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1 Questios pour u champio e lige Le jeu télévisé QPUC préseté sur FR3 et aimé par Julie Lepers existe aussi e variate «e lige». U jeu «e lige» se déroule aisi : Six iterautes disputet ue première mache dite «9 poits gagats». Les quatre premiers sot qualifiés pour ue deuxième mache dite «4 à la suite». A l issue de cette deuxième mache, deux fialistes sot reteus pour s affroter das ue troisième mache «Face à face». Les deux fialistes du «Face à face» doivet répodre à u même questioaire, chacu ayat la mai à tour de rôle pedat quelques secodes. Ce questioaire est tiré au hasard parmi ue liste de questioaires préétablie et e ombre relativemet limitée. Aussi, il arrive aux iterautes assidus de retrouver au cours d ue fiale u questioaire auquel ils ot déjà répodu. C est pourquoi des petits malis preet soi d archiver à l issue de chacu de leurs «Face à face» les questioaires auxquels ils se mesuret. Lorsque ces petits malis ot la chace de retrouver ue série déjà coue, ils désitègret leur adversaire e trois coups de cuillers à pot puisqu ils coaisset d avace toutes les réposes. Il est alors frustrat pour l adversaire malchaceux de voir la répose iscrite par so rival alors que la questio est même pas etièremet posée (à mois qu il e soit lui-même u petit mali chaceux, auquel cas c est le premier à recoaître le quiz qui gage ). Ayat moi-même eu l occasio de subir à plusieurs reprises cette frustratio d iteraute malchaceux, j ai teté de la surmoter e fabriquat ce problème de probabilités. Comme quoi la pratique des mathématiques, si elle est peut-être pas ue paacée, est tout de même u remède à de ombreux maux Das ce problème, o se propose d étudier l expériece suivate : Au début de l expériece, o dispose d ue ure coteat boules blaches, avec 2. Das ue boîte à part, o dispose de boules oires. A chaque istat k, o tire ue boule de l ure. Si elle est oire, o la remet das l ure ; si elle est blache, o la remplace par ue boule oire. Problème 1 O se propose das ce problème d aborder deux des questios qui peuvet se poser à propos d ue telle expériece : Quelle est la probabilité de tirer ue boule blache (respectivemet, oire) à l istat k? Combie de boules peut-o espérer avoir remplacé das l ure après l istat k et avat l istat k + 1? ( ) O désige par X k la variable aléatoire : X k = ombre de boules oires coteues das l ure après l istat k + 1. O désige par p k la probabilité de tirer ue boule oire à l istat k et par k et avat l istat ( ) q =1 la probabilité de tirer ue boule blache à l istat k. Evidemmet, X 1 pred la valeur 1 de faço k p k certaie et p 1 = 0 ; q1 = 1 puisque la première boule tirée est écessairemet blache. La variable aléatoire X 2 quat à elle pred les valeurs 1 et 2 avec les probabilités : P[ X 2 = 1] = p2 = ; P[ X 2 = 2] = q2 =. So espérace est par coséquet. Mais que se passe-t-il après? G. Julia 1

2 1. Etude de deux exemples ( = 2 et 3). 1. O suppose das cette questio que = 2. Etudier l expériece (loi de probabilité et espérace des X k, expressio de la probabilité p k e foctio de k). O suppose das toute la suite de cette partie que = Décrire les quatre premiers istats de l expériece (o pourra s aider d u arbre de probabilité). 3. Détermier les lois des variables aléatoires X 3 ; X 4 aisi que leur espérace mathématique. 4. Calculer les probabilités p 3, p 4 aisi que q 3, q Etude du cas gééral O suppose que est u etier 4 et que k est u etier tel que : 1. Doer ue expressio explicite de ( =1) X k 2. Doer ue expressio explicite de ( X k) 2 < k. P e foctio de et de k. P k = e foctio de et de k. 3. Soit j u etier vérifiat : 1 < j < k. Ecrire ue relatio de récurrece liat la probabilité ( X j) probabilités P( X k 1 = j) et P( X k 1 = j 1). E déduire das le cas gééral e foctio de les lois de probabilités des variables X 3 et X Vérifier pour les valeurs 1, 2, 3, 4 de k la relatio : 1 < k. E déduire ue formule explicite pour p k. 5. Vérifier pour les valeurs 1, 2, 3, 4 de k la relatio : E( X ) vérifiat 1 < k. k 1 1 P k = aux q k = puis la démotrer pour tout k vérifiat k = ( 1) k 1 k puis la démotrer pour tout k 6. O suppose que k. Y a-t-il quelque chose à modifier aux formules des questios 4 et 5? 3. Questios pour u champio e lige. O suppose qu il y a 1000 questioaires différets (je e coais pas le ombre exact, certais diset pas plus de 500, d autres diset eviro 1000 ; de toute faço, cela a pas trop d importace ) O cosidère les agissemets d u «petit mali». Appliquer les résultats du problème pour estimer le ombre de questioaires qu il peut espérer avoir archivé das les cas suivats (o e demade pas le résultat exact mais ue estimatio) : 1. Il a participé à 500 «Face à face» (c'est-à-dire u ombre égal à la moitié de celui des questioaires). 2. Il a participé à 1000 «Face à face» (c'est-à-dire à autat de «Face à face» qu il y a de questioaires). 3. Il a participé à 2000 «Face à face» (c'est-à-dire à deux fois plus de «Face à face» qu il y a de questioaires). G. Julia 2

3 Problème 2 : Fi de l expériece A partir du momet où toutes les boules blaches ot été remplacées par des oires, il y a plus aucu itérêt à cotiuer le processus, celui-ci se stabilisat sas fi à des tirages de boules oires. O peut se demader à quel momet cette stabilisatio se produit. Ce problème a pour objectif d apporter u certai éclairage sur cette questio. O repred les otatios du problème précédet. O désige das tout ce problème par Y la variable aléatoire : Y = «istat où la derière boule blache de l ure est remplacée par ue oire». Cela sigifie qu à l istat précédet, l ure e coteait plus qu ue seule boule blache et 1 boules oires et que, à cet istat, o viet de tirer l uique boule blache restat ecore das l ure. Y = k» peut s exprimer Y peut predre toute valeur etière et si k est ue telle valeur, l évèemet «[ ] aisi : [ Y = k] = [ X = 1] [ X ] k 1 k = 1. U exemple umérique : le cas = 3. O suppose das toute cette partie que = 3 1. Pour cette valeur de, o ote u j la probabilité : P( [ X = 2] ) variable aléatoire X 1 e pred jamais la valeur 2. u. Aisi, = P( [ X = 2] ) 0 j = j 1.1. Pour tout etier j 1, écrire ue relatio de récurrece etre u j+ 1 et u j O défiit la suite ( ) j etre v j+ 1 et j j 1 u puisque la 1 1 = 3 v par : v j = u j pour tout etier j 1. Ecrire ue relatio de récurrece 2 v. Exprimer, pour tout etier j 1, la différece v j+1 v j e foctio de j E déduire ue expressio explicite de v j e foctio de j puis ue expressio explicite de 2. Pour tout etier k 3, doer ue expressio explicite de ([ Y k] ) 3. Calculer l espérace mathématique de Y. p =. u j. 2. U essai de gééralisatio. Soit u etier 3 et k u etier fixé. O se propose das cette partie d étudier l évèemet «[ X k 1 = 1]» aisi esuite que l évèemet «[ Y = k]». O aura besoi das cette partie d utiliser, pour des valeurs de i et de j bie choisies, le ombre de S i, j d u esemble de cardial i sur u esemble de cardial j. O le otera simplemet surjectios ( ) ( i j) S, et o e cherchera pas à le calculer e gééral. 1. O suppose das cette questio que aisi que la probabilité P ([ Y = ] ) k =. Exprimer e foctio de la probabilité ([ X = ]) P k 1 1 G. Julia 3

4 2. O suppose que k. Exprimer P( [ X k = ]) e utilisat le ombre ( k 1, 1) 1 1 S. 3. E déduire ue expressio de P ([ Y = k] ) utilisat le ombre S ( k 1, 1) 4. Exprimer sous forme de somme l espérace mathématique de Y e utilisat les ombres S ( k 1, 1) pour k j p p, = (voir sur iteret, il =1 y a d excellets problèmes pour classes prépas qui établisset cette formule). j p i 5. Ue expressio «explicite» de S ( i, j) est la suivate : S( i j) ( 1) ( 1) p À l aide d u logiciel de calcul formel, obteir l espérace ( Y ) = 3 ; 5 ; 8 ; 10 ; 15 ; 20. j E pour les valeurs suivates de : Malheureusemet, le logiciel de calcul formel est impuissat à doer u résultat fiable pour des valeurs de que l o pourrait juger «itéressates» comme 200, 500 ou 1000 par exemple. Il peut afficher «Dépassemet des ressources, calcul impossible» ou bie «Ressources isuffisates, la simplificatio peut être icomplète». Pour ces valeurs, le mystère restera etier 3. Ue simulatio et quelques commetaires. Le programme fi1 est affecté de l argumet. Il simule des tirages successifs de boules et liste e variable r les uméros obteus. U test d arrêt (boucle While EdWhile) arrête le processus lorsque toutes les boules sot remplacées. Le ombre de tirages écessaires est eregistré e variable yy. Le programme fait afficher la liste r (tous les uméros y figuret, das u ordre aléatoire) puis le ombre yy. Sur la partie gauche, o voit quelques exemples. Les affichages de r et de yy serot effacés du programme pour ue utilisatio ultérieure. Le programme fie fait appliquer le programme précédet u certai ombre e de fois. À chaque essai, il liste le ombre yy correspodat e variable ff. Le programme ff fait afficher cette liste (istructio qui pourra être effacée pour utilisatio ultérieure). À gauche de l écra, trois exemples sot proposés, avec diverses valeurs de et 0 essais. O va relacer le programme, mais avec des valeurs de e ettemet plus élevées (400 par exemple) G. Julia 4

5 Das ue page Tableur & listes, o a affiché ue liste um compteur des essais effectués et la liste ff obteue par le programme fie (avec la valeur = 3 ). La liste moy calcule au fur et à mesure la moyee des yy obteus. Le uage de poits (um, moy) est représeté graphiquemet et ajusté empiriquemet à l aide d ue parallèle à l axe des abscisses. Voici u autre exemple, cette fois avec 1000 essais. À vous de cofroter les résultats de cette simulatio avec les résultats théoriques, évetuellemet de la reproduire et de l appliquer pour d autres valeurs de. Vous pourrez aisi cotrôler la pertiece des résultats obteus par le logiciel de calcul formel G. Julia 5

6 Pour = 20, le logiciel de calcul formel devrait vous aocer : E ( Y ) = O pourra vérifier que ces résultats collet bie avec ceux d ue simulatio. Pour = 100 le logiciel devrait afficher comme valeur de l espérace de Y e mode exact, et après u temps de réflexio : (( )/( )) Mais e mode approché, il chage d avis et affiche 363,323 ce qui est cotradictoire. Il semble e l occurrece que ce soit le résultat exact qui soit «fiable» (?). G. Julia 6

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