Cours d Analyse II. Filières : SMP /SMC (Deuxième semestre, première. Notes rédigées par : M. BENELKOURCHI Slimane

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1 Déprtement de Mthémtiques Fculté des Sciences Université Ibn Tofïl Kénitr Cours d Anlyse II S2 Filières : SMP /SMC (Deuxième semestre, première nnée) Notes rédigées pr : M. BENELKOURCHI Slimne Professeur à l Université Ibn Tofïl. Mrs 2 i

2 Tble des mtières Chpitre. Clcul Intégrl.. Définition de l intégrle d une fonction continue 2.2. Premières propriétés de l intégrle d une fonction f sur un segment [, b] 3.3. Intégrle d une fonction bornée 4.4. Dérivtion et Intégrtion 5.5. Techniques de clcul d intégrl 6.6. Formules de l moyenne 9.7. Formule de Tylor Lgrnge vec reste intégrl.8. Approximtions d Intégrles.9. Exercices 2 Chpitre 2. Intégrles générlisées Définition des intégrles générlisées Etude de l convergence Clcul des intégrles générlisées Exercices 9 Chpitre 3. Equtions differentielles Equtions différentielles linéires d ordre Equtions se rmennt à une éqution linéire Équtions différentielles à vribles séprées, homogènes Equtions différentielles linéires d ordre 2 à coefficients constnts Exercices 29. Cette section peut être omis en première lecture ii

3 CHAPITRE Clcul Intégrl L intégrtion est un concept fondmentl en mthémtiques, issu du clcul des ires et de l nlyse, et utilisé dns de nombreuses brnches des mthémtiques. L intégrtion permet, entre utres, de clculer l surfce de l espce délimité pr l représenttion grphique d une fonction f. Les opértions de mesure de grndeurs (longueur d une courbe, ire, volume, flux...) et de clcul de probbilités étnt souvent soumises à des clculs d intégrles, l intégrtion est un outil scientifique fondmentl. C est l rison pour lquelle l intégrtion est souvent bordée dès l enseignement secondire. L histoire des mthémtiques doit beucoup à l théorie de l intégrtion, et de tout temps, s plce prédominnte fçonné l nlyse en offrnt à qui une solution, à qui un problème. Le lustre des méthodes intégrles en Grèce ntique l tteste, et bien qu il fille ttendre le clcul infinitiséml pour une première formlistion, elles nous vient déjà offert de profonds et beux résultts : les Athéniens évluèrent les grndeurs de l espce puis en démontrèrent implicitement l existence et l unicité ; u XVIIe siècle nissent des méthodes générles de clcul de l infini (rectifiction de courbes, qudrtures, etc.) C est lors que l méthode des indivisibles de Cvlieri voit le jour. C est Leibniz qui opère le fondement de l théorie de l intégrtion (Geometri recondit, 686), perpétué jusqu ujourd hui, d une prt pr un symbolisme inéglé relint intégrtion et dérivtion, d utre prt pr l mise en plce des principux théorèmes. L formlistion de cette théorie revêtu diverses formes. Elle boutit trdivement, à cuse de l complexité des problèmes soulevés : que sont les fonctions? les réels? (ces questions ne furent pleinement élucidées que grâce u développement de l nlyse u 9ème siècle). quelles fonctions peuvent s intégrer? (c est l question de l intégrbilité ; elle est liée, entre utres, à des problèmes de convergence). L intégrle de Riemnn (Bernhrd Riemnn, 854, publiction posthume en 867) puis l intégrle de Lebesgue (Henri Lebesgue, 92) ont mrqué les esprits pr leur formlistion boutie. L intégrtion est encore un sujet pour l recherche contemporine ; en témoigne des extensions telles que l intégrle d Ito-, l intégrle de Kurzweil-Henstock, ou l récente construction de Bongiorno (996). Le but du clcul intégrl est de développer des méthodes permettnt de clculer les intégrles. L principle méthode pour clculer une intégrle psse pr l notion de primitive d une fonction. L primitivtion est l opértion qui, à prtir d une fonction f, donne une fonction F dérivble et dont l dérivée est égle à f : F (x) = f (x). On montre que toute fonction continue sur un segment [, b] dmet des primitives, et que l intégrle de à b est égle à F(b) F(), indépendmment de l primitive choisie. Le théorème fondmentl du clcul différentiel et intégrl

4 2. CALCUL INTÉGRAL ffirme que les deux pproches de l intégrle ( ire sous une courbe et primitivtion ), sont sous certines conditions les mêmes. Ces conditions peuvent vrier selon le type d intégrle considéré. Ici, on s intéresse à l intégrtion des fonctions continues pr morceux... Définition de l intégrle d une fonction continue... Cs d une fonction positive. Définition.. Soit P un pln muni d un repère orthogonl (O, i, j ). Soient I, J, K les trois points du pln P définis pr : OI = i, OJ = j, et OK = i + j. On ppelle unité d ire ( notée en brégé u..) l unité de mesure des ires telle que : Aire(rectngleOIKJ) = u.. OIKJ peut être un crré lorsque le repère est orthonormé. Si l on pr exemple, OI = 3cm et OJ = 2cm, lors une unité d ire correspond à 6cm 2. Définition.2. Soient et b deux réels vec b et f : [, b] R une fonction Continue (ou continue pr morceux) et positive sur l intervlle [, b]. On ppelle l intégrle de f de à b l ire, exprimée en u.., du domine D délimité pr l courbe de f, l xe des bscisses et les deux droites verticles d équtions x = et x = b. On note cette quntité : D = { M(x, y) P; x b nd y f (x) }. f (x) ou f (t)dt ou f (s)ds Les réels et b s ppellent les bornes de l intégrle. L vrible t (ou x ou utre) figurnt dns l intégrle est muette, elle peut être notée pr toute utre lettre. Le symbole dt (ou ) ne joue ucun rôle pour le moment, si ce n est de préciser quelle est l vrible. Exemples.3. Rpportons le pln P à un repère orthonormé (O, i, j ) vec i = j = cm. Ainsi u.. correspond à cm 2. f est égle à une constnte positive k sur [, b]. f (t)dt = kdt = (b )k. 2 f ffine : f (x) = mx + p supposée positive sur [, b]. f (t)dt = 2 m(b2 2 ) + p(b )...2. Cs d une fonction de signe quelconque. Définition.4. Soient et b deux réels vec b et f : [, b] R une fonction Continue (ou continue pr morceux) et négtive sur l intervlle [, b]. On ppelle l intégrle de f de à b l opposé de l ire, exprimée en u.., du

5 .2. PREMIÈRES PROPRIÉTÉS DE L INTÉGRALE D UNE FONCTION f SUR UN SEGMENT [, b] 3 domine D délimité pr l courbe de f, l xe des bscisses et les deux droites verticles d équtions x = et x = b. On note cette quntité : D = { M(x, y) P; x b nd y f (x) }. f (x) ou f (t)dt ou f (s)ds Autrement dit, lorsque f est négtive sur [, b], on : f (x) = f (x). Exercice : Soit f : [, b] R une fonction Continue. On définit deux fonctions f + et f pr { { f (x) si f (x) f (x) si f (x) f + (x) = f Sinon (x) = Sinon Vérifier que f + est positive, f est négtive et que f = f + + f et f + f = f. 2 Montrer que f + et f sont continues. Définition.5. Soient et b deux réels vec b et f : [, b] R une fonction Continue (ou continue pr morceux). On ppelle l intégrle de f de à b l quntité : f (x) = f + (x) + f (x). En d utres termes, f (x) se clcule en comptnt positivement l ire des domins où f est positive et négtivement l ires des domines où f est négtive..2. Premières propriétés de l intégrle d une fonction f sur un segment [, b] Propriété.6 (positivité de l intégrle). Si f est continue et positive sur l inervlle [, b] vec b, lors : f (t)dt Démonstrtion. C est immédit puisque une ire est positive. Propriété.7 (Comptibilité vec l ordre). Si f et g sont continues sur [, b] vec b, lors : f g sur [, b), f (t)dt g(t)dt. Propriété.8 (Inéglité tringulire). Soit f une fonction continue sur un segment [, b] vec b, lors : f (t)dt f (x). Démonstrtion. On f (t) f (t) f (t) t [, b]. En intégrnt les inéglité entre et b, on obtient f (t) dt f (t)dt f (t) dt.

6 4. CALCUL INTÉGRAL D où le résultt. Propriété.9 (Reltion de Chles). Soient f une fonction continue sur un segment I [, b] et, b et c trois points de I. Alors : f (t)dt = c f (t)dt + c f (t)dt. Propriété. (Linérité). Si f et g sont continues sur [, b] et α, β R, lors : ( α f (t) + βg(t) ) dt = α f (t)dt + β g(t)dt. Démonstrtion. Très délict à prouver. A dmettre..3. Intégrle d une fonction bornée Définition.. Soit f : [, b] R une fonction réelle bornée sur un intervlle borné [, b] (, b R). On ppelle subdivision de [, b] toute fmille finie ( i ) i n telle que =... n = b. Notons S[, b] l ensemble des subdivisions de l intervlle [, b]. Pour chque ( i ) i n S[, b], notons (.) I σ ( f ) = et (.2) J σ ( f ) = n [ ] ( i i ). inf f (x) x [ i,[ i= n ( i i ). i= sup x [ i, i [ f (x). Remrquons que si σ = ( i ) i n et δ = (b j ) j m sont deux subdivisions quelconques de [, b], on toujours I σ ( f ) J δ ( f ) (exercice : montrer pourquoi), donc (.3) sup I σ ( f ) inf J σ( f ). σ S[,b] σ S[,b] Définition.2. Si on l églité sup σ S[,b] I σ ( f ) = inf σ S[,b] J σ ( f ), lors on dit que f est intégrble (u sens de Riemnn) sur l intervlle [, b], et on note f (x) l vleur commune. Définition.3. Soit f : [, b] R une fonction. On dit que f est continue pr morceux sur [, b] s il existe une subdivision ( i ) i n de [, b] telle que f est continue sur tous les intervlles ouverts ] i, i [, i =,..., n. On dit que f est bornée s il existe un nombre N R + tel que f (x) N pour tout x [, b]. Théorème.4. Toute fonction bornée continue pr morceux sur un intervlle borné [, b] est intégrble sur [, b].. Cette section peut être omis en première lecture

7 .4. DÉRIVATION ET INTÉGRATION 5.4. Dérivtion et Intégrtion.4.. Notions de primitive d une fonction. Définition.5. Soient I un intervlle de R et f : I R une fonction. On ppelle primitive de f sur I toute fonction F : I R qui est dérivble sur I et dmet f pour fonction dérivée. Théorème.6. Soit f une fonction dmettnt des primitives sur un intervlle I. Soient F et G deux primitives de f sur I. Alors F et G diffèrent d une constnte c.à.d. Il existe une constnte c R telle que F(x) = G(x) + c x I. Primitives usuelles Les résultts de ces tbleux s étblissent en vérifint que l on bien F = f sur l intervlle considéré. Fonction f Fonction primitive F Intervlle I x + b 2 x2 + bx + c R cos(ωx + ϕ ω sin(ωx + ϕ) + c R ω sin(ωx + ϕ) ω cos(ωx + ϕ) + c R ω + tn 2 x = tn x + c ] π + kπ, π + kπ[, k Z cos 2 x 2 2 tn x ln cos x + c ] π + kπ, π + kπ[, k Z 2 2 ln tn x + c ]kπ, (k + )π[, k Z sin x 2 ln tn( x + π + c ] π + kπ, π + kπ[, k Z cos x > rctn x + c R x > ln 2 x 2 2 +x + c x ] ; [ ou ], [ ou ], + [ > rcsin x + c ], [ 2 x 2 > ln x + x c ], [ ou ], + [ x 2 2 > ln x + x c R 2 +x 2 Opértions sur les primitives Soient u et v deux fonctions dérivbles sur un intervlle I. Fonctions Un primitive Conditions u + v u + v ku ku u u n (n Z et n n+ un+ u sur I si n u u α (α R et α α+ uα+ u > u ln u u > sur I ou u < sur I u u e u e u u (v u) v u.4.2. Théorème fondmentl du clcul Intégrl. Théorème.7. Soit f : I R une fonction continue sur un intervlle I de R. Alors, pour tout I, l ppliction t t f (x) est une primitive de f sur I. Théorème.8 (Formule de Newton-Leibniz ou encore Théorème fondmentle de l nlyse). Soient [, b] un intervlle fermé borné de R et f : [, b] R une

8 6. CALCUL INTÉGRAL fonction intégrble. Si F : [, b] R est une primitive de f sur [, b], on : (.4) f (x) = F(b) F(). Ce théorème est fondmentl prce qu il étblit un lien entre des notions ppremment totlement étrngères : d un côté les notions d ire, d intégrle ; de l utre, l notion de primitive liée à l dérivtion..5. Techniques de clcul d intégrl.5.. Intégrtion pr prties. Théorème.9. Soient I un intervlle de R, u : I R et v : I R deux fonctions continûment dérivbles sur I. Alors quels que soient, b I on : (.5) u(t)v (t)dt = u(b)v(b) u()v() u (t)v(t)dt. Démonstrtion. g(t) = u(t)v(t) est continûment dérivble, de dérivée u(t)v (t)+ u (t)v(t), d où le résultt Chngement de vrible. Théorème.2. Soit I et J deux intervlles de R, ϕ : I J une ppliction continûment dérivble (de clsse C ) strictement monotone (croissnte ou décroissnte) et f : J R une ppliction continue. Alors, quelque soient α, β I, on : (.6) β α f (φ(x))φ (x) = φ(β) φ(α) f (y)dy. En fit l formule de chngement de vrible n est rien d utre que l formule de derivtion d une fonction composée lue à l envers. En prtique : Comment retrouver vite cette horrible formule du chngement de vrible? Voici une méthode ppremment ps très rigoureuse, mis cel dit bien prtique. On prt de t = ϕ(x). Alors dt = ϕ (x), donc dt = ϕ (x). Du coup f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x). Mintennt, pendnt que x vrie de à b, t = ϕ(x) vrie de ϕ() à ϕ(b). Démonstrtion. f continue sur J, donc y dmet une primitive F et ϕ(β) f (y)dy = F(ϕ(β)) F(ϕ(α)). ϕ(α) Or F ϕ est continûment dérivble sur I, de dérivée ( f ϕ)ϕ, donc d où le résultt. β α f (ϕ(x))ϕ (x) = F(ϕ(β)) F(ϕ(α)) = ϕ(b) ϕ(α) f (t)dt, Exemples.2. L ire d un demi-disque de ryon est égle à π 2. Du coup l ire d un disque complet de ryon est égle à π.

9 .5. TECHNIQUES DE CALCUL D INTÉGRAL 7 En effet : Le cercle trigonométrique pour éqution crtésienne x 2 + y 2 =. Son demi-cercle supérieur est donc le grphe de l fonction f : x x 2 sur [, ], positive, et l ire du demi-cerclessocié est l intégrle x2. L fonction cosinus est de clsse C sur [, π], à vleurs dns [, ], et l fonction x x 2 est continue sur [, ]. On pose x = cos t. Donc (.7) x2 = cost2 ( sin t)dt = sin t ( sin t)dt = π 2 Soient et b deux réels,, b >. Clculer x ln x 3 Soit α R, < α <. Clculer α α π = sin 2 tdt = π (ind. poser t = ln x). ln x + x 2. π cos 2x 2 = π 2. Corollire.22 (Prité - Périodicité). Soit f une fonction continue sur [ ; ] vec > : Alors f (t)dt = si f est impire ; f (t)dt = 2 f (t)dt si f est pire. 2 Soit f une fonction continue sur R et périodique de période T. Alors α+t f (t)dt = T α Démonstrtion. Exercice pour le lecteur. f (t)dt, α R Clcul d Intégrles de l forme P(cos x, sin x). où P désigne un polynôme à deux vribles. On cherche à clculer des primitives de fonctions qui sont des sommes de termes de l forme sin p x cos q x où p et q sont deux entiers nturels. si p est impir, le chngement de vrible u = cos x (donc du = sin x) conduit à une primitive de fonction polynomile. Exemple : sin 3 x cos 4 x = (t 2 )t 4 dt = t7 7 t5 5 + c = cos7 x 7 Si q est impir, on peut poser t = sinx (donc dt = cos x). Exemple : cos 5 x = Si p et q sont pirs, on linérise. cos5 x 5 + c. ( t 2 ) 2 dt = t 2 3 t3 + 5 t5 + c = t 2 3 sin3 x + 5 sin5 x + c.

10 8. CALCUL INTÉGRAL Exemple : cos 4 x = 8 (cos 4x + 4 cos 2x + 3) = sin 4x 32 + sin 2x 4 + 3x 8 + c Clcul d Intégrles de l forme R(x). où R désigne une frction rtionnelle à une seule vribles. On décompose en éléments simples dns R, puis on intègre ces éléments simples. Seuls ceux qui sont de seconde espèce posent problème. On doit donc intégrer des expressions comme On écrit L fonction g(x) = f (x) = f (x) = λx + µ (x 2 + bx + c) n, où b2 4c <. λ(2x + b 2(x 2 + bx + c) + 2µ λb n 2(x 2 + bx + c). n λ(2x+b) s intègre fcilement cr elle est du type u (x). 2(x 2 +bx+c) n u n (x) Il reste à intégrer h(x) = (x 2 +bx+c) n. Or x 2 + bx + c = ( x + b 2) 2 + 2, vec = 2 4c b2. Le chngement de vrible x = t b donne : 2 (x 2 + bx + c) = dt n (t ) =: I n. n On est insi rmené à une intégrle qu on sit clculer dns le cs n =. Le cs n 2, On effectue le chngement de vrible x = tn t. Ainsi = ( + tn 2 t)dt. On trouve : In = dt 2n ( + tn 2 t) = n 2n On est insi rmené u clcul d une intégrle de Wllis. cos 2n 2 tdt. Remrque : si on joute à ce clcul le temps de l décomposition en éléments simples, il est clir que tout cel peut prendre beucoup de temps Clcul d Intégrles de l forme R(cos x, sin x). où R désigne une frction rtionnelle à deux vribles. Le chngement de vrible u = tn( x ) conduit à l recherche d une primitive 2 d une frction rtionnelle. En fit, il est souvent possible de fire les chngements de vribles u = tn x, u = cos t ou u = sin t. Les règles suivntes, ppelées règles de Bioche, permettent de choisir ces chngements de vribles. Si l expression R( cosx, sin x) est invrinte pr Ie chngement x x, on pose u = cos x. Si l expression R(cosx, sinx) est invrinte pr le chngement x x + π, on pose u = tn x. Si l expression R(cosx, sinx) est invrinte pr le chngement x π x, on pose u = sin x. Si les trois conviennent, on peut poser u = cos 2x.

11 .6. FORMULES DE LA MOYENNE Intégrtion de fonctions rtionnelles en e x. Les chngements de vrible u = e x ou t = tnh x conduisent à l recherche d une primitive d une fontion 2 rtionnelle. Dns certins cs, il est plus simple de fire les chngements de vribles u = tnh x, u = cosh x ou u = sinh x. Pour déterminer le bon chngement de vrible, on utilise l règle qui suit : On considère l expression en sinus et cosinus obtenue en remplçnt cosh x pr cos x, et sinh x pr sin x, puis l on utilise les règles de Bioche. Si le chngement u = tn x convient, on pose u = tnh x; Si le chngement u = sin x convient, on pose u = sinh x. Si le chngement u = cos x convient, on pose u = tnh x Clcul d Intégrles de l forme R(x, n x+b). où R désigne une frction rtionnelle à deux cx+d vribles. Si l fonction à intégrer est rtionnelle en x et en n x+b, le chngement de cx+d vrible u = n x+b permet de se rmener à une frction rtionnelle. cx+d Exemples.23. Clculer les primitives suivntes : ) x 2 x ; b) x x (2x + ) ; c) x + x Formules de l moyenne Définition.24. On ppelle vleur moyemle de l fonction f continue pr morceux sur le segment I = [, b], l quntite : b f (x). Théorème.25. Soient f et g deux fonctions sur [, b], f continue et g continue pr morceux positive. Alors. Il existe c [, b], tel que : f (t)g(t)dt = f (c) g(x). b. On suppose de plus que g continue et strictement positive. Alors il existe c ], b[, tel que : f (t)g(t)dt = f (c) g(x). c. On suppose de plus que f est de clsse C, positive et décroissnte sur [, b]. Alors il existe c [, b] tel que : c f (t)g(t)dt = f () g(t)dt. Démonstrtion.

12 . CALCUL INTÉGRAL.7. Formule de Tylor Lgrnge vec reste intégrl Dns cette section, et b designent deux elements d un intervlle I et n est un entier nturel. Théorème.26. Si f est une fonction de clsse C n+ sur I, on : f (b) = n (b ) k f (k) () + k! k= (b t) n f n+ (t)dt. n! } {{ } Reste intégrl Cette formule générlise celle de Newton Leibniz (théorème fondmentl de l nlyse), que l on retrouve pour n =. Démonstrtion. Fixons l intervlle I, les deux points et b de I et risonnons pr récurrence. Pour tout n N, Soit P n l propriété : f C n+ (I), f (b) = n (b ) k f (k) () + k! k= (b t) n f n+ (t)dt. n! Initilistion : Pour n = : si f est de clsse C sur I. l fonction f est continue et donc pr le théorème fondmentl de l nlyse, on f (b) = f () + f (t)dt. En fit P est l énoncé du théorème fondmentl de l nlyse, déj démontré. Hérédité : Soit n N, n Supposons P n est vrie et montrons que P n l est lors. Soil f une fonclion de clsse C n+ sur I. Elle est lors de clsse C n, et l hypothése de récurrence nous donne : (.8) f (b) = n k= (b ) k f (k) () + k! Intégrons pr prties le terme complémentire (.9) (b t) n (n )! f n (t)dt = [ (b t)n n! f (n) (t) L reltion (.8) devient : n (b ) k f (b) = f (k) () + k! k= ce qui démontre le résultt u rng n. ] b + (b t) n (n )! f n (t)dt. (b t) n f n+ (t)dt (n)! (b )n = f (n) () + n! (b t) n f n+ (t)dt, n! (b t) n (n )! f n (t)dt Exemple.27. En ppliqunt à l fonction cosinus l formule de Tylor vec reste intégrl à l ordre 2, montrer x [ π, π], cos x x2 2.

13 .8. APPROXIMATIONS D INTÉGRALES Corollire.28 (Inéglité de Tylor Lgrnge). Soient f C n+ (I) et, b I. Alors n f (b) (b ) k f (k) b n () k! (n + )! sup f n+ (t), t (,b) k= où sup t (,b) f n+ (t) désigne l borne eupérieure de l ensemble des vleurs de f sur le segment [, b], ou [b, ]. Démonstrtion. Exercice pour le lecteur. Exemple.29. Montrer que : Pour tout x R, lim n + n k= x k k! = ex. Soient et b deux réels tels que < b..8. Approximtions d Intégrles Pour clculer numériquement une intégrle f (t)dt on peut prtger le segment I = [, b] à l ide d une subdivision à ps constnt u = (x i ) et, sur chque intervlle [x i, x i+ ], remplcer l fonction f pr une fonction polynomile dont on sit clculer l intégrle. C est l bse des méthodes d pproximtion d intégrles etudiées dns cette section..8.. Sommes de Reimnn. Définition.3. Si f est une fonction continue sur [.b], on ppelle somme de Riemnn de f l quntite : b n n k= f ( + k b n ). Théorème.3. Soit f C([, b]) une fonction continue. Alors b f (t)dt = lim n + n n k= f ( + k b n ) = lim b n + n n k= f ( + k b n ). 2 Si, f C ([, b]), lors l erreur commise dns ces limites est un O( n, c.à.d. : f (t)dt b n n k= f ( + k b n ) = O( n. En prticulier, le théorème ffirme l existence des deux limites. Démonstrtion. A dmettre. Exemple.32. En effet n k= n + k = n lim n + n k= n k= + k n n + k = ln 2. n dt + t = ln 2.

14 2. CALCUL INTÉGRAL.8.2. Méthode des trpèzes. Le clcul pproché d une intégrle u moyen des sommes de Riemnn est générlement ppelé l méthode des rectngles. Le théorème précedent, nous ffirme que l erreur commise étit u plus de l ordre O( ), si n est le nombre de termes sommés. Cette mjortion de l erreur n est n ps très bonne cr l suite ne tend ps vers zéros rpidement lorsque n tend n vers. L méthode d pproximtion ps les sommes de Riemnn n est donc ps pleinement stisfisnte. Nous llons présenter ici une méthode proche de l précédente, mis l convergence ccélérée O( n 2 ), ppelée l méthode des trpèzes. Il existe bien d utres méthodes encore meilleures. Théorème.33. Soit f C 2 ([, b]). Alors b b f () + f (b) f (t)dt = lim n + n 2 + n 2 De plus l erreur commise dns cette limite est un O( n 2, c.à.d. : f (t)dt b n n k= k= f ( + k b n ). f ( + k b n ) = O( n 2. Démonstrtion. Ce résultt n est ps horrible à montrer. On l dmit. Dns l somme de Riemnn, on pproxime f pr des fonctions constntes sur chque intervlle [x i, x i+ ] où x k = + k b, et on pproxime l intégrle de f pr n l somme des ires des rectngles. Dns l méthode des trpèzes, on pproxime f pr des fonctions ffine. Les rectngles sont insi remplcés ps des trpèzes..9. Exercices Exercice.. Déterminer les primitives suivntes : ) (x 2 + x 2 )2 ; 2) ; 3) x 2 rctn x ; 4) x + x 5) 9) 3) I 4 = 7) ; 6) cos 4 x shx ch x ; ) x2 2 ; 4) + 2sh(x) + ch(x) ; 8) Exercice.2. Clculer π/2 I = π/2 cos(ln x) ; e rcsin x ; 7) e x cos x ; 8) xe x sin x ; x 2 ; ) 2 x 2 + ; 2) x + 2 ( x) 3 ( + x 2 ) ; ch(x) ; 5) ; 6) x x ch(x) + ex ; x cos 2 x ; I 2 = cos 3 x cos 3 x + sin 3 x ; I 5 = sh(x) ; 9) th 2 (x) + x 2) x +. π/2 π/2 cos 3 x ; I 3 = cos x cos x + sin x ; I 6 = 3π/2 x (2x + ) x + ; π/2 5π sin x ; sin x sin 2x sin 3x;

15 I 7 = 2π x + 3 cos 2 x ; I 8 = I 9 =.9. EXERCICES 3 π/2 + x2 + x 2 ; I = ; (θ ] π, π[); + cos θ cos x x ln x (x 2 + ) 2. Exercice.3. Clculer I n,m = 2π cos mt cos ntdt pour n et m dns N. Exercice.4. Soit f : [, b] R une fonction continue et c ], b[. Montrer que b ( c b ) f (t)dt mx f (t)dt, f (t)dt. b c b c Exercice.5. Soit f : [, b] R une fonction continue. Montrer que f (x) = f (x) si et seulement si f ou f. Exercice.6. Soit f : [, ] R une fonction continue. Déterminer lim n + tn f (t)dt. Exercice.7. Soit f : R + R une fonction continue. Déterminer lim n + n /n f (t)dt. Exercice.8. Soient f et g deux fonctions sur [, b], f continue et g continue pr morceux positive.. Montrer qu il existe c [, b], tel que : f (t)g(t)dt = f (c) g(x). b. On suppose de plus que g continue et strictement positive. Montrer qu il existe c ], b[, tel que : f (t)g(t)dt = f (c) g(x). c. On suppose de plus que f est de clsse C, positive et décroissnte sur [, b]. Montrer qu il existe c [, b] tel que : c f (t)g(t)dt = f () g(t)dt. Exercice.9. Clculer l limite qund n tend vers + de : )S n = np k=n k, (vec p N ; 2) S n = n n n k= c k; S n = n k= n2 + kn.

16 CHAPITRE 2 Intégrles générlisées L intégrle générlisée (ou impropre) désigne une extension de l intégrle usuelle, définie pr une forme de pssge à l limite dns des intégrles. On note en générl les intégrles impropres sns les distinguer des véritbles intégrles ou intégrles définies, insi : + sin t dt t est un exemple très clssique d intégrle impropre convergente, mis qui n est ps définie u sens de l intégrtion usuelle (que ce soit l intégrtion des fonctions continues pr morceux, l intégrle de Riemnn, ou celle de Lebesgue). Dns l prtique, on est mené à fire une étude de convergence d intégrle impropre lorsqu on intègre jusqu à une borne infinie, lorsqu on intègre jusqu à une borne en lquelle l fonction n dmet ps de limite finie, lorsqu on englobe un point de non définition dns l intervlle d intégrtion. Dns chque cs, on évluer l intégrle définie comme une fonction d une des deux bornes et on prendr l limite de l fonction obtenue lorsque l rgument tend vers l vleur de l borne. L intégrle impropre prtge un certin nombre de propriétés élémentires vec l intégrle définie. 2.. Définition des intégrles générlisées Nous llons générliser l définition de f (x) u cs où f n est ps forcément bornée et, b peuvent être ±. Nous supposons que f est loclement intégrble sur ], b[, c est à dire pour tout sous-intervlle fermé borné [α, β] ], b[, f est intégrble sur [α, β]. En prtique, Les fonctions considérées sont souvent continues sur l intervlle ], b[ ce qui implique en prticulier qu elles sont loclement intégrbles Le cs < < b +. Soit f loclement intégrble sur [, b[. On lui ssocie l ppliction F : [, b[ R définie pr : (2.) F(x) = x f (t)dt. Définition 2.. Si F(x) dmet l limite J R lorsque x b, on dit que l intégrle générlisée f (t)dt est convergente et on lui ttribue l vleur J. Pr contre, si F(x) n dmet ps de limite ou tend vers ± lorsque x b, on dit que l intégrle générlisée f (t)dt est divergente. 4

17 2.. DÉFINITION DES INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES 5 Exemples 2.2. (i) x cos t dt = sin x n dmet ps de limite lorsque x, donc l intégrle générlisée + cos t dt est divergente. (ii) x dt = tends vers lorsque x +, donc + dt =. t 2 x t 2 (iii) L fonction f (x) = x 2 pour x [, [, x = rcsin t x pour vleur π/2. dt t 2 n est ps bornée sur l intervlle [, [. Cependnt, = rcsin x x π 2. Donc dt t 2 converge et Le cs < b <. De fçon similire, dns ce cs, on ssocie à l fonction f :], b] R l ppliction G :], b] R définie pr : (2.2) G(x) = x f (t)dt. Si G(x) dmet l limite J R lorsque x, on dit que l intégrle générlisée f (t)dt est convergente et on lui ttribue l vleur J. Pr contre, si G(x) n dmet ps de limite ou tend vers ± lorsque x, on dit que l intégrle générlisée f (t)dt est divergente. En fit f (t)dt = x f ( t)dt ; les intégrles générlisées f (t)dt et f ( t)dt x b b sont de même nture et égles en cs de convergence. C est pourquoi on peut toujours se rmener u cs < < b + que nous reprenons dns toute l suite. b (2.3) Convergence Absolue. Définition 2.3. Soit f : [, b[ R loclement intégrble. Lorsque l intégrle f (t) dt est convergente, on dit que f (t)dt est bsolument convergente Fonctions à vleurs complexes. Définition 2.4. Soit f : [, b[ C loclement intégrble. On dit que l intégrle f (t)dt est convergente si et seulement si les deux intégrles R( f (t))dt et I( f (t))dt sont convergentes et lors f (t)dt = R( f (t))dt + i I( f (t))dt. (R designe l prtie réelle et I l prtie imginire). On dirit ussi que f (t)dt est bsolument convergente si et seulement si f (t) dt est convergente Critère de Cuchy. Théorème 2.5. Soit f : [, b[ R une ppliction loclement intégrble. L intégrle f (t)dt est convergente si et seulement si f vérifie l condition suivnte, dite critère de Cuchy : ε > c [, b[ tel que x, x 2 [c, b[ on x 2 x f (t)d(t) ε. Démonstrtion. (i) Condition nécessire. Supposons que f (t)dt est convergente, c est dire lim x b F(x) = I R où F(x) = x f (t)dt. Pr définition, ε > c < b tel que F(x) I ε/2 x [c, b[, donc x 2 f (t)d(t) = F(x x 2 ) F(x ) F(x ) I + I F(x 2 ) ε/2 + ε/2 = ε x, x 2 [c, b[.

18 6 2. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES (ii) Condition suffisnte. Supposons que l condition de Cuchy est stisfite. Choisissons une suite (x n ) n N rbitrire de nombres dns [c, b[ telle que lim n x n = b. Alors l suite F(x n ) est de Cuchy, donc convergente. Notons I = lim n F(x n ). ε >, c [, b[ tel que F(x ) F(x ) = x f (t)dt ε/2 x, x [c, b[, et x N N tel que F(x n ) I ε/2 n N. Prenons un n N tel que x n [c, b[, lors F(x) I F(x) F(x n ) + F(x n ) I ε/2 + ε/2 = ε x [c, b[. Cel veut dire que lim x b F(x) = I. Corollire 2.6. Soit f : [, b[ R loclement intégrble. f (t)dt bsolumente convergente = f (t)dt convergente. Démonstrtion. Elle résulte imméditement du critère de Cuchy et de l inéglité tringulire suivnte : x2 (2.4) x2 f (t)dt f (t) dt Le cs de fonctions positives. x Théorème 2.7. Soit f : [, b[ R + loclement intégrble. L intégrle f (t)dt est convergente si et seulement si l ensemble { x f (t)dt; x [, b[} est mjoré (i.e. il existe une constnte réelle positive M > tel x f (t)dt M, x [, b[) ; dns ce cs (2.5) f (t)dt = sup x [,b[ x x f (t)dt = lim x b x f (t)dt. Démonstrtion. F(x) = x f (t)dt est croissnte, donc lim x b F(x) existe toujours ; si elle est finie l intégrle est convergente ; sinon elle est égle à Critère de comprison Etude de l convergence Rppel sur les nottions de Lndu. Soient f : [, b[ R et g : [, b[ R deux fonctions. On dit que f = O(g) u voisinge de b s il existe c [, b[ et α R + tel que f (t) α g(t) t [c, b[. (Lorsque b = +, cel signifie que t c, f (t) α g(t). On dit que f = o(g) u voisinge de b si ε > c [, b[ tel que f (t) ε g(t) t [c, b[. On dit que f g u voisinge de b si f g = o(g) u voisinge de b ( f g = o( f ) u voisinge de b). Théorème 2.8. Soient f et g deux pplictions loclement intégrbles de [, b[ dns R. On suppose qu il existe c [, b[ tel que : t [c, b[, f (t) g(t). Alors : (i) g(t)dt convergente = f (t)dt convergente. (ii) f (t)dt divergente = g(t)dt divergente. Démonstrtion. f et g étnt intégrbles sur [, c], il suffit d étudier l convergence de f (t)dt et de g(t)dt. Schnt que x [c, b[, x f (t)dt x g(t)dt c c c c l conclusion résulte du Théorème 2.7.

19 2.2. ETUDE DE LA CONVERGENCE 7 Corollire 2.9. Soient f et g deux pplictions loclement intégrbles de [, b[ dns R. On suppose qu il existe d [, b[ tel que f et g soient positives sur [d, b[ et que f = O(g) u voisinge de b. Alors : (i) g(t)dt convergente = f (t)dt convergente. (ii) f (t)dt divergente = g(t)dt divergente. Démonstrtion. Pr hyposthèse, il existe c [d, b[ et α R + tels que f (t) αg(t) t [d, b[, et on pplique le théorème. Corollire 2.. Soient f et g deux pplictions loclement intégrbles de [, b[ dns R. On suppose : (i) d [, b[ tel que g(t) t [d, b[. (ii) λ tel que f λg u voisinge de b. Alors les intégrles f (t)dt et g(t)dt sont de même nture. Démonstrtion. Les intégrles de f et de f étnt de même nture, on peut supposer λ >. Il existe lors c [d, b[ tel que t [c, b[: 2 λg(t) f (t) 3 2 λg(t). Le résultt est lors une conséquence directe du théorème précédent. α > Quelques fonctions de référence. Lemme 2.. Pour > et α R, l intégrle + Démonstrtion. Pour x [, + [, F(x) = x t α dt s écrit ln x ln si α = d où le résultt. Lemme 2.2. Pour < < b < + et α R, l intégrle seulement si α <. dt converge si et seulement si tα ( α α dt (b t) α ) si α ; x α converge si et Démonstrtion. Pour x [, b[, F(x) = x dt s écrit ln(b ) ln(b x) si (b t) α α = ; ((b α ) α (b x) α ) si α d où le résultt Règles d bsolue convergence. Proposition 2.3. Soit f : [, + [ R une ppliction loclement intégrble. (i) S il existe α R et c tels que, u voisinge de +, f (t) ct α, lors l intégrle + f (t)dt est bsolument convergente si α > et divergente si α. (ii) S il existe α R, α > tel que, u voisinge de +, f (t) = O(t α ), lors + f (t)dt est bsolument convergente. (iii) S il existe α R, α tel que lim inf t t α f (t) >, lors + f (t)dt est divergente. Proposition 2.4. Soit f : [, b[ R ( < < b < + ) une ppliction loclement intégrble. (i) S il existe α R et c tels que, u voisinge de b, f (t) c(b t) α, lors l intégrle f (t)dt est bsolument convergente si α < et divergente si α. (ii) S il existe α R, α < tel que, u voisinge de b, f (t) = O((b t) α ), lors f (t)dt est bsolument convergente. (iii) S il existe α R, α tel que lim inf t b (b t) α f (t) >, lors f (t)dt est divergente.

20 8 2. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES Exemple 2.5. Etude de l convergence de + t α cos(λt)dt, vec α, λ R, π α >. On t α cos(λt) t α et + t α dt converge. Donc + t α cos(λt)dt converge π π bsolument. Exemple 2.6. Etude de l convergence de voisinge de où l on = t 3 t +t+t 2 convergente, d près l Proposition 2.4. t dt. Le problème se pose u t 3 3 ( t) /2. L intégrle est donc Règle d Abel. Le théorème suivnt permet souvent d étudier l convergence des intégrles qui ne sont ps bsolument convergentes. Théorème 2.7 (Règle d Abel). Soient f : [, b[ R + et g : [, b[ C deux pplictions loclement intégrbles (b R {+ }). On fit les hypothèses suivntes : (i) f est réelle positive, décroissnte, et (ii) K R + tel que u lim f (x) =. x b g(t)dt K u [, b[. Alors l intégrle f (t)g(t)dt est convergente. Démonstrtion. Pour simplifier l preuve, nous supposons que f est continûment dérivble. Notnt G(u) = u g(t)dt, on G(u) K u [, b[. Comme f est décroissnte, f (u) u [, b[. Utilisnt l intégrtion pr prties, on obtient d où v u v u f (t)g(t)dt = f (v)g(v) f (u)g(u) f (t)g(t)dt f (v) G(v) + f (u) G(u) + v v K[ f (u) + f (v) + u u f (t)g(t)dt u < v < b, ( f (t)) G(t) dt v u ( f (t))dt)] = 2K f (u) u b. Cel veut dire que l intégrle générlisée f (t)g(t)dt vérifie le critère de Cuchy, donc elle converge. + Exemple 2.8. Soit α >. Etude de l convergence de + t α cos(t)dt. (i) Pour α >, l intégrle + t α dt est convergente d près le Lemme 2., donc t α cos(t)dt est bsolument convergente pr comprison ( t α cos(t) t α ). (ii) Supposons désormis < α. Alors l intégrle + t α cos(t)dt est convergente mis ps bsolument convergente. Pour montrer l convergence simple, on peut ppliquer l règle d Abel, vec f (t) = t α et g(t) = cos(t). En effet, u cos dt = sin(u) sin() 2 u [, + [. Pour montrer l non-convergence bsolue de + t α cos(t)dt, c est à dire l divergence de + t α cos(t) dt, on peut utiliser l inéglité t α cos(t) t α cos 2 (t) = 2 [t α + t α cos(2t)].

21 EXERCICES 9 t α cos(2t)dt converge (pour les même risons que + t α cos(t)dt), mis t α dt diverge (qund < α ), donc + t α cos 2 (t)dt diverge, et pr comprison + t α cos(t) dt diverge. Remrque 2.9. Une intégrle générlisée convergente, mis ps bsolument convergente, est dite ussi semi-convergente Clcul des intégrles générlisées Pour clculer une intégrle générlisée ou étudier s nture (bsolue convergence, semi-convergence, divergence) on ur le plus souvent recours u clcul d une primitive. On pourr ussi utiliser d utres méthodes, pr exemple, l intégrtion pr prties ou le chngement de vrible. On en prticulier : Théorème 2.2. Soit φ :]α, β[ ], b[ une bijection continûment dérivble strictement monotone et f :], b[ R une ppliction continue. Alors l intégrle f (x) converge si et seulement si β f (φ(t)φ (t)dt converge et dns ce cs (2.6) α β α f (φ(t))φ (t)dt = φ(β) φ(α) f (x). Démonstrtion. Utiliser l formule de chngement de vrible pour le cs propre (Théorème.2) et psser à l limite. Exemple 2.2. Soit < α < 2. Etude de l convergence de Notons I ε = ε I = s α cos(s )ds. s α cos(s )ds, s = φ(t) = /t, φ (t) = /t 2. I ε = t α cos(t) ε t dt = ε t (2 α) cos(t)dt. 2 D près les résultts de l Exemple 2.8, on obtient : Pour < α <, 2 α > et I est bsolument convergente. Pour α < 2, < 2 α et I est convergente mis ps bsolument convergente Exercices Exercice 2.. Monter l divergence de : sin x, sin 2 x, x Exercice 2.2. Convergence bsolue : sin x, x 2 sin(/t)dt, sin x, x 2 2 x x 4, x /2, rccos x, Exercice 2.3. Convergence simple (semi-convergence) : sin(x 2 ), cos x x 2 2 x ln x x(ln x) 2

22 2 2. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES Exercice 2.4. Etudier l convergence (α R) t ln t ( + t 2 ) α dt, (tn x x) α, Exercice 2.5. Montrer l convergence et clculer + dt t 2 + 2t + 2, dt + t 4, x α ln x, t 2 dt + t 4, Exercice 2.6. Montrer l convergence et clculer 2 x 2, (x + )(x + 2)(x + 3), Exercice 2.7. Montrer l convergence et clculer ln t + t 2 dt, ln t t dt, 5 4 π/2 cos(t α )dt tn t dt dt (t 4)(5 t) (, b > ) ( + x 2 )(b + x 2 ) Exercice 2.8. Montrer que les intégrles suivntes convergent et les clculer pr réccurence : I n = t n e t dt dt, J n = ( + t 2 ). n+

23 CHAPITRE 3 Equtions differentielles Dns tout le chpitre, K désigne R ou C. On suppose que I est un intervlle de R contennt u moins deux points. On sit qu une fonction dérivble de I dns K est constnte si, et seulement si, s dérivée est nulle et une fonction f deux fois dérivble sur I est ffine (c est à dire une expression de forme f (t) = t + b) si, et seulement si, f = : Le cs réel été vu dns les clsses ntérieures et le cs complexe s en déduit en considérnt les prties réele et imginire. En prticulier, deux primitives sur I d une même fonction diffèrent d une constnte. Enfin, on sit que toute fonction continue sur I dmet une primitive. 3.. Equtions différentielles linéires d ordre Soient, b, c trois pplictions continues sur I, à vleurs dns K. Dns cette section, on note (E) l éqution : (x)y + b(x)y = c(x). On dit que (E) est une éqution différentielle linéire d ordre. On note (H) l éqution différentielle : (x)y + b(x)y = (éqution homogène ssociée à (E).) Importnt : Les résultts concernnt (E) et (H) supposent qu on se plce sur un sous-intervlle J de I sur lequel l fonction x (x) ne s nnule ps. Pour résoudre (E) ou (H) sur I tout entier, il fudr procéder intervlle pr intervlle (entre deux zéros successifs de l fonction ), et vérifier en suite s il est possible de recoller des solutions sur des intervlles consécutifs. Proposition 3. (solution générle de (H)). On considère (H) : (x)y +b(x)y =, sur un intervlle I où (x) ne s nnule ps. L solution générle de (H) sur I est donnée pr y(x) = λe B(x), où B est une primitive prticulière de x b(x) sur I, et où λ est un (x) sclire quelconque. Remrques et exemples Le résultt précédent montre que l ensemble S H des solutions y de (H) sur I est égl à l ensemble des multiples d une solution prticulière y non nulle de (H) sur I. On exprime cette sitution en disnt que S H est une droite vectorielle. On voit d illeurs qu une solution de (H) sur I, si elle n est ps l solution nulle, ne s nnule jmis sur I. Si on devine une solution non nulle de (H) sur I, lors on connit l solution générle (sns voir à psser pr l formule précédente.) On constte pr exemple que x x est solution de (H) : xy + y = sur R et sur R +. Sur I = R ou R +., l solution générle de (H) est donc l ensemble des x λx, (λ K). Proposition 3.2 (solution générle de (E)). On considère (E) : (x)y +b(x)y = c(x), sur un intervlle I où (x) ne s nnule ps. L solution générle de (E) sur I est donnée 2

24 22 3. EQUATIONS DIFFERENTIELLES pr y(x) = (C(x) + λ)e B(x), où B est une primitive prticulière de x b(x) sur I, λ est un (x) sclire quelconque, et C est une primitive prticulière de x c(x) (x) eb(x) sur I. Remrques L expression précédente montre que pour obtenir l solution générle S E de (E) sur I, il suffit d jouter à une solution prticulière de (E) sur I l solution générle de (H) sur I. Pr exemple, une solution prticulière de (E) : xy + y = 2x est l ppliction x x. L solution générle de (E) sur I = R + ou R est donc y(x) = x + λ x, vec λ K. Autre exemple : considérons l éqution (E) : cos(x)y + sin(x)y =, sur I =] π, π [. Une solution prticulière de (E) (resp. de (H)) sur I est x sin(x) (resp. 2 2 x cos(x).) L solution générle de (E) sur I s écrit donc y(x) = sin(x) + λ cos(x), vec λ K. Exercice : Résoudre sur ], + [ l éqution xy (x) y(x) = x 2 e x. Proposition 3.3 (Problème de Cuchy). On considère (E) : (x)y + b(x)y = c(x), sur un intervlle I où (x) ne s nnule ps. Soit x un point de I, et soit y un élément quelconque de K. Il existe une unique solution de (E) sur I stisfisnt à l condition initile y(x ) = y. Trouver cette solution, c est résoudre le problème de Cuchy reltif à ces conditions initiles. Interpréttion Supposons K = R (toutes les fonctions sont donc à vleurs réelles.) Les courbes représenttives des solutions de (E) sont ppelées courbes intégrles de (E). Pr tout point M(x, y ) de I R, il psse une et une seule courbe intégrle de (E). Méthode de vrition de l constnte On considère les équtions (H) : (x)y + b(x) = et (E) : (x)y + b(x) = c(x). On rppelle que les pplictions, b, c sont continues, à vleurs dns K. On se plce sur un intervlle I sur lequel l ppliction x (x) ne s nnule ps. Soit x h(x) une solution de (H) sur I, non nulle (donc ne s nnulnt ps sur I.) On sit que l solution générle de (H) sur I s écrit y : x λh(x), vec λ K. Pour résoudre complètement (E) sur I, il suffit d en connitre une solution prticulière. On cherche une telle solution sous l forme y : x λ(x)h(x), où λ est mintennt une ppliction dérivble sur I à vleurs dns K (on fit vrier l constnte.) Avec ces nottions : (x)y (x) + b(x)y(x) = c(x) (x)(λ (x)h(x) + λ(x)h (x)) + b(x)λ(x)h(x) = c(x) λ (x)(x)h(x) = c(x) (cr(x)h (x) + b(x)h(x) = ) λ (x) = c(x) (x)h(x), (ce qui détermine λ une constnte près). c(x) (x)h(x) Si on note Γ une primitive de x sur I, l méthode de vrition de l constnte donne donc les solutions x y(x) = Γ(x)h(x) + αh(x), vec α K. On insi obtenu l ensemble des solutions de (E) sur I Equtions se rmennt à une éqution linéire Equtions de Bernoulli. L éqution différentielle de Bernoulli est une éqution différentielle du premier ordre de l forme : y (x) + (x)y(x) = b(x)y(x) m, m R.

25 3.2. EQUATIONS SE RAMENANT À UNE ÉQUATION LINÉAIRE 23 Cette éqution été proposée pr Jcques Bernoulli en 695 et résolue un n plus trd pr Leibniz grâce à un chngement de vrible qui rmène à une éqution différentielle linéire. C est d illeurs l méthode encore employée ujourd hui pour résoudre cette éqution. En effet Si m = c est une éqution linéire de premier ordre. Si m. En supposnt y strictement positif sur l intervlle I, on peut diviser l éqution pr y m (x) et on obtient y (x) y m (x) + (x) y m (x) = b(x) On pose u(x) = y m (x) Donc u(x) = y m (x) u (x) = ( m)y (x)y m u (x) = ( m)y (x) y m (x) on obtient l éqution différentielle linéire m u (x) + (x)u(x) = b(x) dont l solution générle est ( ) u(x) = e ( m) (t)dt) C + ( m) b(t)e ( m) (s)ds dt ce qui donne pour l fonction y = u m ( y(x) = e (t)dt) C + ( m) b(t)e ( m) (s)ds dt ) m Si l fonction y psse pr le point (x, y ) lors l solution de cette éqution est : y(x) = y e ( x x (t) dt x + ( m)y m b(t) (e ) ) t m m (s) ds x dt Des solutions peuvent être cherchées prmi les fonctions qui ne sont ps prtout positives dns leur domine de définition, mis lors de nombreuses précutions doivent être prises qunt ux domines de vlidité des solutions. Exemple Résoudre l éqution y 2xy + 2xy 2 = Equtions de Riccti. Une éqution de Riccti est une éqution différentielle de l forme y = q (x) + q (x)y + q 2 (x)y 2 Où q, q, et q 2 sont trois fonctions, souvent choisies continues sur un intervlle commun à vleurs réelles ou complexes. Elle porte ce nom en l honneur de Jcopo Frncesco Riccti ( ) et de son fils Vincenzo Riccti (77-775). Il n existe ps, en générl, de résolution pr qudrture à une telle éqution mis, il existe une méthode de résolution dès que l on en connît une solution prticulière. x

26 24 3. EQUATIONS DIFFERENTIELLES S il est possible de trouver une solution y, lors l solution générle est de l forme y = y + u En remplçnt y pr y + u dns l éqution de Riccti, on obtient : y + u = q + q (y + u) + q 2 (y + u) 2 et comme y = q + q y + q 2 y 2 on : u = q u + 2q 2 y u + q 2 u 2 Or u (q + 2q 2 y )u = q 2 u 2 est une éqution de Bernoulli. L substitution nécessire à l résolution de cette éqution de Bernoulli est lors : Substituer z = u 2 = u y = y + z directement dns l éqution de Riccti donne l éqution linéire : z + (q + 2q 2 y )z = q 2 L solution générle de l éqution de Riccti est lors donnée pr : y = y + z où z est l solution générle de l éqution linéire citée ci-dessus. Exemple Résoudre l éqution y + xy y 2 = (Ind. y (x) = x est une solution de l éqution) Équtions différentielles à vribles séprées, homogènes Éqution différentielle d ordre un à vribles séprées. Une éqution différentielle d ordre un à vribles séprées mis non nécessirement linéire est une éqution différentielle qui peut s écrire sous l forme suivnte y = f (x)g(y). On recherche dns un premier temps les solutions telles que g(y) n est jmis nul. De telles solutions sont dites régulières. Cette présenttion clssique, notmment pour l résolution de problèmes ppliqués, est difficile à justifier mthémtiquement mis elle permet d obtenir une bonne prtie des solutions. Elle utilise les nottions de Leibniz pour le clcul différentiel. Elle consiste à séprer les différentielles en écrivnt sous l forme dy g(y) = f (x) dy = f (x) g(y)

27 3.3. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES À VARIABLES SÉPARÉES, HOMOGÈNES 25 En intégrnt séprément chque membre : H(y) = F(x) + K où H représente une primitive de /g et F représente une primitive de f et K une constnte rbitrire. En outre, l fonction H est continûment dérivble, strictement monotone, donc dmet une fonction réciproque de sorte que l solution s exprime comme y = H (F(x) + K). Présenttion lterntive : Le clcul utilisé précédemment ne possède un sens mthémtique précis que si l on introduit l notion ssez bstrite de différentielle. Il est possible d en donner une version plus élémentire, en primitivnt chque membre de l expression g(y(x)) y (x) = f (x), pr rpport à l vrible x, ce qui conduit à x x x g(y(u)) y (u) du = f (u) du x Ce qui, près chngement de vrible, est de l forme y y g(v) dv = x x f (u) du Et l conclusion est identique à celle du prgrphe précédent. Exemples : L éqution différentielle ordinire : dy = y( y). Si l on suppose f (x) = et g(y) = y( y), on peut écrire l éqution différentielle sous l forme de l éqution ci-dessus. Ainsi, l éqution différentielle est séprble. Comme montré u-dessus, on peut triter dy et comme des vribles séprées, ce qui fit que les deux membres de l éqution peuvent être multipliés pr. En divisnt pr l suite les deux membres de l éqution pr y( y), on obtient : dy y( y) =. On donc sépré à ce moment les vribles x et y l une de l utre, x pprissnt uniquement dns le membre de droite et y dns celui de guche. En intégrnt les deux membres, on obtient : dy y( y) =, qui, en pssnt pr des frctions prtielles, devient : y + y dy =, puis : ln y ln y = x + C

28 26 3. EQUATIONS DIFFERENTIELLES où C est l constnte d intégrtion. Quelques considértions lgébriques donnent une solution pour y : y = + Be. x On peut lors vérifier cette solution en considérnt l dérivée pr rpport à x de l fonction trouvée, où B est une constnte rbitrire. Le résultt devrit être identifiée u problème originl. (On doit être ttentif ux vleurs bsolues lors de l résolution de l éqution ci-dessus. Il est évident que les signes différents de l vleur bsolue contribuent ux vleurs positive et négtive pour B, respectivement. Et le cs B= est ppuyé pr le cs où y=, comme indique ci-dessous.) 2 L croissnce d une popultion est prfois modélisée pr l éqution différentielle : dp ( dt = kp P ) K où P est l popultion en fonction du temps t, k est le tux de croissnce, et K l cpcité de contennce de l environnement. L séprtion des vribles peut être utilisée pour résoudre cette éqution différentielle. dp ( dt = kp P ) K dp P ( ) = k dt P K Afin d évluer l intégrl du membre de guche, on simplifie l frction complexe : P ( P K ) = K P (K P) Puis on décompose l frction en éléments simples : K P (K P) = P + K P On lors : ( P + ) dp = K P On pose A = ±e C. k dt ln P K ln P = kt + C K P P = e kt C K P = ±e C e kt P K P = Ae kt K P = + Ae kt Puis, l solution à l éqution logistique est : K P (t) = + Ae. kt Pour trouver A, on considère l étpe suivnte dns le processus de résolution de l éqution différentielle : K P = Ae kt P

29 3.4. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES D ORDRE 2 À COEFFICIENTS CONSTANTS 27 On pose t = et P () = P. On lors : K P P = Ae = A Éqution différentielle du premier ordre, homogène. Une éqution différentielle du premier ordre mis non nécessirement linéire est dite homogène si elle peut s écrire sous l forme grâce à l substitution dy = h ( y x u(x) = y(x) x, l éqution homogène se trnsforme en une éqution à vribles séprées : ). u (x) h (u(x)) u(x) = x. Exemple : Résoudre l éqution différentielle : y x 2 2xy + y 2 = ; 3.4. Equtions différentielles linéires d ordre 2 à coefficients constnts On rppelle que K désigne R ou C. Dns cette section,, b, c sont trois éléments de K, vec. On se donne une ppliction d : I K, continue sur l intervlle I. On considère les équtions (E) : y + by + cy = d(x) et (H) y + by + cy =. On dit que (H) est l éqution homogène ssociée à l éqution (E). Proposition 3.4 (Eqution crctéristique). Soit t un élément de K. L ppliction y : x e tx est solution de (H) si et seulement si t 2 + bt + c =. L éqution t 2 + bt + c = est ppelée éqution crctéristique de (H) et (E). Proposition 3.5 (Solution générle de (H) dns le cs complexe). On suppose ici K = C et on reprend les nottions précédentes. On note C l éqution crctéristique, et = b 2 4c son discriminnt. Si, l éqution C possède deux solutions complexes distinctes r et s. L solution générle de (H) sur R s écrit : y(x) = λe rx + µe sx, vec (λ, µ) C 2. Si =, l éqution C possède une solution double r dns C. L solution générle de (H) sur R s écrit : y(x) = (λx + µ)e rx, vec (λ, µ) C 2. Proposition 3.6 (Solution générle de (H) dns le cs réel). On suppose ici K = R. Soit = b 2 4c le discriminnt de l éqution crctéristique. Si >, l éqution C possède deux solutions réelles distinctes r et s. L solution générle de (H) sur R s écrit : y(x) = λe rx + µe sx, vec (λ, µ) R 2. Si =, l éqution C possède une solution double r dns R. L solution générle de (H) sur R s écrit : y(x) = (λx + µ)e rx, vec (λ, µ) R 2. Si <, l éqution C possède deux solutions complexes conjuguées distinctes r et r. Posons r = α + iβ, vec (α, β) R R. L solution générle de (H) sur R est y(x) = e αx (λ cos(βx) + µ sin(βx)), où (λ, µ) R 2. Remrques Dns tous les cs, l solution générle y de (H) s écrit sous l forme y = λy + µy 2, où y et y 2 sont deux solutions prticulières de (H) non nulles et non proportionnelles.

30 28 3. EQUATIONS DIFFERENTIELLES On exprime cette sitution en disnt que l solution générle de (H) sur R est un pln vectoriel, dont une bse est constituée des pplictions y et y 2. Si K = R, il y deux cs prticuliers importnts. Soit ω un réel strictement positif. L solution générle de y + ω 2 y = s écrit y(x) = λ cos ωx + µ sin ωx, vec (λ, µ) R 2. L solution générle de y ω 2 y = s écrit y(x) = λe ωx + µe ωx, vec (λ, µ) R 2. Elle s écrit ussi y(x) = cosh ωx + µ sinh ωx, vec (λ, µ) R 2. Méthode de vrition des constntes Soit (h, h 2 ) une bse de solutions de l éqution (H). On cherche une solution de (E) sous l forme y(x) = λ(x)h (x) + µ(x)h 2 (x). Les pplictions x λ(x) et x µ(x) sont ici supposées dérivbles sur R. On impose l condition supplémentire : Cette condition conduit à : Dns ces conditions () x R, λ (x)h (x) + µ (x)h 2 (x) =. x R, y (x) = λ(x)h (x) + µ(x)h 2 (x). y + by + cy = d(x) λ (x)h (x) + µ (x)h 2 (x) = d(x) (2). On vérifie que le déterminnt du sytème { λ (x)h (x) + µ (x)h 2 (x) = λ (x)h (x) + µ (x)h 2 (x) = d(x) ne s nnule ps. Ce système fournit donc λ (x) et µ (x) de fçon unique. On en déduit chcune des fonctions x λ(x) et x µ(x) à une constnte près. Notons x (x) = λ (x) + λ et x µ(x) = µ (x) + λ les fonctions insi obtenues. On donc trouvé les solutions suivntes, pour l éqution (E) : x y(x) = λ (x)h (x) + µ (x)h 2 (x) + λh (x) + µh 2 (x), vec (λ, µ) K. Si on note y l ppliction x λ (x)h (x) + µ (x)h 2 (x) (solution de (E) obtenue pr l méthode précédente vec λ = µ = ), on peut donc énoncer le résultt suivnt. Proposition 3.7 (Solution générle de (E)). L éqution y + by + cy = d(x) dmet des solutions sur R. Plus précisément, si y est l une de ces solutions, et si (h, h 2 ) est une bse de solutions de (H) sur R, lors l solution générle de (E) sur R s écrit y = y + λh + µh 2, où (λ, µ) bbr 2. Autrement dit, l solution générle de (E) sur R s obtient en joutnt à une solution prticulière de (E) l solution générle de (H) sur R. Proposition 3.8 (Problème de Cuchy). Soit x un réel, et (y, m) un élément quelconque de K 2. Il existe une unique solution de (E) stisfisnt ux conditions initiles { y(x ) = y y (x ) = m. Trouver cette solution, c est résoudre le problème de Cuchy reltif à ces conditions initiles.