Devoir commun de Mathématiques 18 janvier Problème 1

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1 Lycée Jean Bart MPSI & PCSI Année Devoir commun de Mathématiques 18 janvier 214 La clarté des raisonnements, la précision de la rédaction et la présentation entreront pour une part non négligeable dans l appréciation des copies Les résultats non justifiés ou non encadrés ne seront pas pris en compte L utilisation de tout document, de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite Pour les étudiants de MPSI : le sujet est constitué de deux problèmes, le problème 1 et le problème M Pour les étudiants de PCSI : le sujet est constitué de deux problèmes, le problème 1 et le problème P ; et d un exercice noté exercice P Dans une assez large mesure, les parties de chaque problème sont indépendantes ; et vous avez la possibilité d admettre le résultat d une question pour traiter les suivantes Problème 1 Commun aux MPSI et aux PCSI Pour un réel x et un entier naturel non nul k, on pose : I k (x) = ch k (t) L objectif de ce problème est d étudier quelques propriétés de I k (x) en fonction des variations de x et de k Partie I Questions préliminaires 1 Pour tout réel t, calculer ch (t) et th (t) lorsque sh (t) = 1 Puis résoudre dans R l équation sh (t) = 1 (on exprimera le résultat sous la forme d un logarithme népérien) 2 A l aide de la définition de la fonction th d une part, et de la relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique d autre part, retrouver les deux expressions de la dérivée de la fonction th sur R 3 Soit x un réel strictement positif fixé On définit une suite (u n ) n N à valeurs réelles en posant n N, u n = I n (x ) = (a) Montrer que la suite (u n ) n N est à termes positifs (b) Etudier le sens de variation de la suite (u n ) n N (c) Etablir que la suite (u n ) n N est convergente ch k (t) Partie II Intégrales Soit x un réel fixé 4 Calculer I 1 (x) (on pourra effectuer le changement de variable u = e t ) 5 Calculer I 2 (x) (a) A l aide d une intégration par parties, établir une relation de récurrence entre I k+2 et I k (on pourra observer que 1 ch k+2 (t) = 1 ch k (t) 1 ch 2 (t) ) (b) En déduire les valeurs de I 3 (x) et I 4 (x)

2 2 MPSI - PCSI Devoir commun de Mathématiques 18 janvier 214 Partie III Etude de la fonction x I k (x) Dans cette partie, on suppose que k est un entier naturel non nul fixé ; et on étudie la fonction I k de la variable réelle x I k : R x R ch k (t) 6 Justifier que la fonction I k est dérivable sur R, et préciser l expression de I k (x) pour tout réel x 7 Déduire de la question précédente que I k est strictement croissante sur R 8 On note C k la courbe représentative de I k dans un repère orthonormal direct du plan, et T k la tangente C k au point d abscisse (a) Déterminer une équation cartésienne de T k (b) Etudier la position relative de C k et T k Partie IV Etude d une suite Dans cette partie, on suppose que k est un entier naturel non nul fixé ; et on considère la suite (u n ) n N définie en posant n N, u n = I k (n) 9 Démontrer que la suite (u n ) n N est monotone 1 Etablir que pour tout réel t on a : 1 ch (t) 2e t ; en déduire la convergence de (u n ) n N Partie V Calcul d une limite Dans cette partie, on suppose que k est un entier naturel non nul fixé 11 Etablir que I k (x) admet une limite finie lorsque x tend vers + Dans les questions 12-a et 12-b ci-dessous, on pose : J k = 12 (a) Calculer J 1 et J 2 (b) Calculer J k pour tout entier naturel non nul k lim I k (x) soit encore : J k = x + lim x + ch k (t)

3 MPSI - PCSI Devoir commun de Mathématiques 18 janvier Pour tout (a, b, c) R 3, on note T (a, b, c) = On pose I = Partie I 1 1, A = 1 1 Problème M Épreuve spécifique MPSI a b c b a + c b c b a S = { T (a, b, c) (a, b, c) R 3} et B = 1 Montrer que S est un sous-groupe de M 3 (R) On considère l ensemble S défini par (a) Exprimer A 2, B 2, AB et BA à l aide de I, A et B (b) Soient (a, b, c) et (a, b, c ) dans R 3, M = T (a, b, c) et M = T (a, b,, c ) Calculer le produit MM (c) Montrer que S est un sous-anneau de M 3 (R) Est-il commutatif? (d) L anneau S est-il un corps? 3 Cette question est consacrée à la recherche des éléments inversibles de l anneau S (a) On reprend les notations de la question 2 Calculer, lorsque c est possible, a, b et c en fonction de a, b et c pour que MM = I (b) Quels sont les éléments inversibles de l anneau? Partie II Une matrice M est dite orthogonale si M t M = t M M = I 1 Montrer M est orthogonale si et seulement si M 1 = t M a 2 + b 2 + c 2 = 1 2 Soit M S Montrer que M est orthogonale si et seulement si b 2 + 2ac = b(a + c) = 3 En déduire toutes les matrices orthogonales appartenant à S Partie III Dans cette partie, on note K = 1 2 A et M = T (1, 2, ) On se propose de calculer les puissances de K puis celles de M 1 Calculer K 2, K 3 puis K n pour tout n N suivant la parité de n 2 Exprimer M à l aide de I et de K et montrer que n N, M n = I + a n K + b n K 2 avec ( ) n ( ) n a n = 2 k et b n = 2 k k k 1 k n, k impair 1 k n, k pair 3 Calculer 1 + a n + b n et 1 a n + b n pour tout n N En déduire a n et b n en fonction de n 4 Conclure en exprimant M n comme combinaison linéaire de I, A et B

4 4 MPSI - PCSI Devoir commun de Mathématiques 18 janvier 214 Exercice P Épreuve spécifique PCSI Tout au long de cet exercice, α désigne un réel de l intervalle ] ; π [ 1 Résoudre dans C l équation : (E) z 2 2z cos α + 1 = 2 Soit n un entier naturel non nul Résoudre dans C l équation : (E n ) z 2n 2z n cos α + 1 = 3 A l aide de la question précédente, résoudre dans C l équation : (F n ) ( z 1 z + 1 ) n + ( ) z + 1 n = 2 cos α z 1 Problème P Épreuve spécifique PCSI L objectif du problème est de résoudre l équation différentielle (E), d inconnue y : ] ; + [ R, (E) t 2 y (t) ty (t) + y (t) = 2t Observez que cette équation différentielle étant d ordre 2 à coefficients non-constants, les méthodes et résultats vus cette année ne vous permettent pas d en trouver directement les solutions L énoncé ci-dessous vous présente toutefois deux méthodes pour y parvenir, dans les parties II et III La partie IV est une application des deux précédentes La partie I vous propose quant à elle de résoudre deux équations différentielles en utilisant cette fois-ci les propriétés bien connues de votre cours Partie I Questions préliminaires 1 Résoudre l équation différentielle (E 1 ), d inconnue y : ] ; + [ R, (E 1 ) ty (t) + y (t) = 2 t 2 Résoudre l équation différentielle (E 2 ), d inconnue z : R R, (E 2 ) z (x) 2z (x) + z (x) = 2e x

5 MPSI - PCSI Devoir commun de Mathématiques 18 janvier Partie II Résolution de (E) par changement de fonction inconnue 3 Montrer que l équation homogène (H) associée à (E), c est-à-dire (H) t 2 y (t) ty (t) + y (t) = admet une solution particulière de la forme h (t) = t α où α est une constante réelle que l on déterminera 4 Soit f une fonction définie sur ] ; + [ Pour t >, on pose g(t) = f(t) où α est la constante déterminée dans la question précédente t α Montrer que f est solution de (E) si et seulement si g est solution de (E 1 ) 5 En déduire les solutions de (E) Partie III Résolution de (E) par changement de variable On considère une fonction y deux fois dérivable sur ] ; + [ et on pose : z : R R x y (e x ) 6 Justifier brièvement pourquoi la fonction z définie ci-dessus est deux fois dérivable sur R, puis exprimer z (x) et z (x) en fonction de y, y et de x 7 Montrer que y est solution de (E) sur ] ; + [ si et seulement si z est solution sur R de (E 2 ) 8 Retrouver l expression des solutions de (E) Partie IV Résolution d une équation fonctionnelle On se propose de déterminer toutes les fonctions f définies et dérivables sur ] ; + [ vérifiant (P) t >, f (t) = tf ( ) 1 1 t 9 Montrer que toute solution f de (P) est deux fois dérivable sur ] ; + [ 1 Montrer que si f est solution de (P), alors f est solution de (E) 11 Résoudre (P)

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