EPM RT COMPORTEMENT DYNAMIQUE DES PLAQUES RECTANGULAIRES SUBMERGÉES

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1 EPM RT 5-5 COMPORTEMENT DYNMIQUE DES PLQUES RECTNGULIRES SUBMERGÉES Y. Krboua,.. Lakis, M. Thomas t L. Marcouillr Départmnt d Géni mécaniqu Écol Polytchniqu d Montréal oût 5

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3 EMP-RT-5-5 COMPORTEMENT DYNMIQUE DES PLQUES RECTNGULIRES SUBMERGEES Y.Krboua,..Lakis, M. Thomas t L. Marcouillr Départmnt d géni mécaniqu, Écol Polytchniqu d Montréal C.P. 679, succ. Cntr Vill Montréal (Québc) HC 7 Départmnt d géni mécaniqu, Écol d tchnologi supériur, Notr-Dam Oust, Montréal (Québc) CND HC K Institut d rchrch d Hydro Québc, Varnns, Québc oût 5

4 5 Y.Krboua,..Lakis, M. Thomas t L. Marcouillr Tous droits résrvés Dépôt légal : Bibliothèqu national du Québc, 5 Bibliothèqu national du Canada, 5 EPM-RT-5-5 Comportmnt dynamiqu ds plaqus rctangulairs submrgés par : Y.Krboua,..Lakis, M. Thomas t L. Marcouillr Départmnt d géni mécaniqu, Écol Polytchniqu d Montréal Départmnt d géni mécaniqu, Écol d tchnologi supériur Institut d rchrch d Hydro Québc Tout rproduction d c documnt à ds ins d'étud prsonnll ou d rchrch st autorisé à la condition qu la citation ci-dssus y soit mntionné. Tout autr usag doit air l'objt d'un autorisation écrit ds auturs. Ls dmands puvnt êtr adrssés dirctmnt au auturs (consultr l bottin sur l sit ou par l'ntrmis d la Bibliothèqu : Écol Polytchniqu d Montréal Bibliothèqu Srvic d ournitur d documnts Cas postal 679, Succursal «Cntr-Vill» Montréal (Québc) Canada HC 7 Téléphon : (54) Télécopi : (54) 4-46 Courrir élctroniqu : biblio.sd@courril.polymtl.ca C rapport tchniqu put-êtr rpéré par autur t par titr dans l catalogu d la Bibliothèqu :

5 RÉSUMÉ L comportmnt dynamiqu d un structur n contact avc un luid chang d un açon rmarquabl, un chut d réquncs très important st constaté, ll st causé par l échang d énrgi cinétiqu ntr l luid t la structur. Nous dévloppons dans c travail un élémnt ini (luid-plaqu) nous prmttant d modélisr tout structur tridimnsionnll submrgé dans un liquid. Il s agit d un méthod hybrid combinant la méthod ds élémnts inis avc la théori classiqu ds plaqus mincs. L champ d déplacmnts d mmbran st approché par ds polynôms bilinéairs t l déplacmnt transvrsal par un onction ponntill, ayant la orm général d la solution act ds équations d équilibr. La matric d mass t la matric d rigidité sont calculés par intégrations acts n s basant sur la méthod ds élémnts inis. La prssion d luid appliqué sur la plaqu st calculé n utilisant l équation d Brnoulli à l intrac luid solid t l équation diérntill gouvrnant l potntil d vitss. La condition d imprméabilité assur un accouplmnt complt ntr l luid t la structur. Ls résultats obtnus prmttnt d conclur qu ls réquncs calculés par ctt méthod sont n accord avc clls obtnus par d autrs chrchurs. Ls ts d diérnts conditions au limits d plaqu t d luid ont été plorés dans c travail.

6 . BIBLIOGRPHIE - - Ls plaqus sont ds structurs très utilisés dans l industri sous-marin, l aérospatial, l géni civil, l domain d l énrgi, tc. Tous cs domains sont stratégiqus t économiqumnt très importants. C st pour ctt raison qu ls plaqus ont ait l objt d un très grand nombr d travau dpuis plus d un siècl. Souvnt, dans cs domains d applications, ls plaqus rntrnt n contact avc du luid au rpos ou n écoulmnt. Dans c cas, ls vibrations d la plaqu sont transérés au luid, cla caus un augmntation considérabl d l énrgi cinétiqu du systèm. u 8 siècl, l prmir modèl d ormulation d l t mmbran a été ait par Eulr, prsqu un dmi-siècl plus tard, Lagrang a mis n œuvr ls équations diérntills d vibrations ds plaqus. Navir a dévloppé un méthod pour calculr ls mods d vibrations t ls réquncs pour crtains conditions au limits. Kircho [5] st considéré l ondatur d la théori modrn ds plaqus dans laqull il a considéré n mêm tmps l t mmbran t l t d lion. Il a conclu qu nous pouvons utilisr l travail virtul pour l calcul ds mods t ds réquncs. Lov [9] a appliqué l travail d Kircho au plaqus épaisss. Lissa a rassmblé dans un livr un grand nombr d travau concrnant ls vibrations ds plaqus sans luid, d plusiurs chrchurs []. L bsoin d l industri aéronautiqu a motivé la rchrch dans c domain. En 956, Turnr t al. [8] ont utilisé la méthod ds élémnts inis pour l analys ds plaqus, c qui a prmis d étudir ds problèms d plaqus compliqués. Zinkiwicz [7] a contribué au dévloppmnt d plusiurs élémnts inis. Bognr t al. [6] ont travaillé sur l élémnt d plaqu n utilisant ls onctions d intrpolation bicubiqu. La prmièr tntativ d modélisation d comportmnt hydroélastiqu d un plaqu a été ait par Lord Rayligh (877) []. Il a calculé l augmntation d l inrti d un disqu rigid

7 - - (in an ininit bal). En 9, Lamb [] a calculé l prmir mod d lion d un plaqu circulair, minc ncastré sur tout la circonérnc, n contact avc l luid t posé dans l ouvrtur d un mur rigid inini. La méthod dévloppé a été basé sur l calcul d l énrgi cinétiqu du luid. La réqunc d résonanc a été calculé n utilisant la méthod d Rayligh. Powll t Robrt (9) [] ont vériié périmntalmnt l travail d Lamb. Ils ont souligné qu lurs réquncs sont légèrmnt supériurs à clls calculés par Lamb. Ct écart a été pliqué plus tard [] par la diérnc ds conditions au limits ntr ls du travau. McLachlan [4], Pak t Thurston [5] ont généralisé l travail d Lamb à ds plaqus circulairs simplmnt supportés ou librs. Lindholm t al. (965) [6] ont ait un étud périmntal concrnant ls vibrations librs d un plaqu ncastré à un sul côté t submrgé dans l au. Ls résultats ont été comparés à un approch théoriqu basé sur la théori ds poutrs t ds plaqus mincs dans laqull ds acturs d masss apparnts ont été introduits. Ls périncs ont été écutés dans un résrvoir cubiqu suisammnt larg. Ls plaqus étaint ncastrés dans un poutr n I. L systèm prmttait d air ds tsts sur ds plaqus vrticals, horizontals t inclinés à 45 dgrés. Un séri d quinz plaqus n acir ayant diérnts rapports d dimnsions a été utilisé pour air ls tsts. Ls prmièrs réquncs ont été calculés pour diérnts nivau d luid. Ls résultats obtnus montrnt qu lorsqu la plaqu st loin d la surac libr d un distanc égal à la moitié d la longuur d la plaqu, ls réquncs cssnt d changr t l t d la surac libr dvint moins important. Pour un plaqu vrtical totalmnt submrgé dans l au, nous avons l mêm comportmnt qu clui d la plaqu horizontal totalmnt submrgé. Si la plaqu vrtical st partillmnt submrgé, Lindholm t al. [6] ont constaté qu la chut majur d réqunc d un plaqu vrtical a liu lorsqu la parti submrgé st moins qu la moitié d la longuur.

8 - - Muthuvrapan t al. (979) [7] ont analysé la plaqu ncastré submrgé dans l luid n utilisant ds élémnts inis ordinairs (Zinkivitch) pour la plaqu t ds élémnts inis tridimnsionnls pour l luid. La réqunc ondamntal obtnu pour ds plaqus rctangulairs continu à changr mêm pour ds hauturs d luid qui dépassnt du ois la longuur d la plaqu. C résultat n st pas n parait accord avc la majorité ds travau. Plusiurs autrs travau ont été aits d la mêm açon n utilisant ds élémnts inis ou ds supr élémnts []. Montro t al. (984) [8] ont étudié l augmntation d l inrti d un plaqu circulair dans l au. Un méthod prmttant l évaluation d l t d luid sur ls réquncs ds vibrations asymétriqus dont ls mods sont connus à vid a été dévloppé. Fu t Pric (987) [9] ont étudié la répons dynamiqu d un plaqu rctangulair ncastré, totalmnt ou partillmnt submrgé dans l au, vrtical ou horizontal. Il a été assumé qu la plaqu vibr dans un domain d luid smi inini. Ls mods d la plaqu n contact avc l luid sont considérés ls mêms qu cu à vid. Un combinaison ntr la méthod ds élémnts inis t ds onctions singulièrs (singularity distribution panl approach) a été utilisé pour l analys d la plaqu à vid t pour calculr l coicint hydrodynamiqu pour chaqu élémnt n contact avc l luid, rspctivmnt. Ls résultats obtnus s accordnt avc cu obtnus dans l travail périmntal d Lindholm. La répons à un orc sinusoïdal a été étudié dans c travail. Kwak t Kim (99) [] ont étudié l t d luid sur ls vibrations librs d un plaqu circulair n contact avc la surac libr du luid. Ils ont considéré sulmnt ls vibrations aisymétriqus. Lur travail a été stimulé par ls contradictions apparnts dans ls travau précédnts analytiqus ou périmntau. Ils ont ssayé d pliqur pourquoi il y a un écart ntr ls résultats périmntau t analytiqus n cas d plaqus circulairs ncastrés. Ils ont

9 - 4 - calculé c qu on appll l actur d mass ajouté adimnsionnll incrémntal (NVMI). C actur rlèt l augmntation d l énrgi cinétiqu du systèm causé par la présnc du luid, il vari n onction d la géométri, ds propriétés ds matériau t ds conditions au limits. Ils ont supposé qu : (i) la longuur d ond st considérablmnt aibl qu l diamètr d la plaqu, (ii) l luid st incomprssibl, l écoulmnt st irrotationnl t inviscid, (iii) la charg dynamiqu du luid a un aibl t sur la courb d délction, c qui vut dir qu il n y a pas un changmnt d l énrgi potntill du systèm, (iv) ls déplacmnts d la surac moynn sont aibls. L actur (NVMI) a été détrminé n utilisant la méthod d Rayligh. Ls mods d vibrations d la plaqu n contact avc l luid sont supposés ls mêms qu cu d la plaqu sans luid. L actur (NVMI) a été calculé pour ls mods ondamntau pour ds plaqus circulairs librs, ncastrés t puis simplmnt supportés, situés sur la surac libr d un luid. Ils ont souligné qu ls résultats théoriqus ds travau précédnts (Lamb, McLachlan, Pak) sont valabls pour un plaqu circulair n vibrations librs posé dans l ouvrtur d un mur rigid t ayant ds dimnsions ininis. Cla pliqu l écart ds résultats obtnus. Sulmnt dans l cas d la plaqu libr, il y a un bonn concordanc avc ls autrs travau [4]. Kwak (99) [] a généralisé son prmir travail [] pour l analys ds vibrations asymétriqus ds plaqus circulairs. Il a calculé un nouvll prssion d (NVMI). Cs acturs puvnt êtr utilisés pour l étud du comportmnt d un plaqu totalmnt submrgé, n ls multipliant par du. Haddara t Cao (996) [] ont présnté un étud périmntal t analytiqu d la répons dynamiqu d un plaqu submrgé dans l au. Ils ont discuté l t ds conditions au limits t l nivau d liquid n contact avc la plaqu. L actur d mass ajouté (FM) a

10 - 5 - été calculé pour diérnts cas. C drnir rprésnt l rapport ntr l énrgi cinétiqu d la structur t cll d luid. Pour la prmièr ois, l étud ds vibrations librs d un mmbran circulair n contact avc la surac libr du luid a été ntrpris par Kwak (994) [4]. Ls mêms hypothèss qu ls travau précédnts ont été considérés. Il a trouvé qu ls acturs (NVMI) pour un mmbran circulair sont prsqu ls mêms qu cu d un plaqu circulair ayant ls mêms conditions d appuis. in d pliqur l écart istant ntr ls résultats d Lamb [] t cu d Kwak t Kim [,], Kwak (997) [] a calculé l (NVMI) pour ls mêms plaqus circulairs n contact avc l luid lorsqu'lls sont placés dans l ouvrtur d un mur rigid inini. Ls résultats obtnus coïncidnt très bin avc clls d Lamb t McLachlan sau dans l cas d plaqu libr placé dans l ouvrtur (aprtur) d un mur rigid. mabili t al. (996) [5] ont étudié ls vibrations librs d un plaqu circulair annulair n contact avc l luid d un sul côté, placé dans l ouvrtur d un mur rigid inini. L actur (NVMI) a été obtnu n calculant l rapport ds énrgis cinétiqus d luid t d la plaqu. Ds résultats ont été obtnus sans tnir compt d la supposition qu ls mods d vibrations sont ls mêms à vid t avc luid, cci n utilisant la méthod d Rayligh Ritz. La diérnc ntr ls mods avc t sans luids n était pas considérabl, prsqu dans tous ls cas. Kwak [6] a étudié ls vibrations librs d un plaqu rctangulair uniorm n contact avc un luid d un sul côté. Il a calculé la matric d mass ajouté pour l cas où la plaqu s rpos sur la surac libr du luid sans mur rigid t pour l cas où la plaqu st placé dans l ouvrtur d un mur rigid n contact avc la surac libr du luid. Ls plaqus analysés sont simplmnt supportés ou ncastrés sur ls quatr côtés. La méthod ds élémnts au

11 - 6 - rontièrs (BEM) combiné avc la méthod d Rayligh Ritz a été utilisé ain d surmontr crtains diicultés d conditions au limits. Un autr ois ls acturs (NVMI) calculés sont plus importants lorsqu la plaqu st placé dans l ouvrtur d un mur rigid qu cu du cas d la plaqu s rposant sur la surac libr. Cla st dû au ait qu l mur augmnt l énrgi cinétiqu du luid. Il a été prouvé qu ls mods d vibrations d la structur n contact avc l luid changnt légèrmnt pour ls plus basss réquncs alors qu l changmnt st considérabl pour ls réquncs élvés. mabili t al (999). [7] ont étudié l t d la surac libr sur l comportmnt dynamiqu d un plaqu circulair. Dans c typ d problèms avc la présnc d la gravité, du amills d t d suracs libr istnt, l t Sloshing dû au oscillations d luid (c mod a généralmnt ds réquncs aibls) t l t Bulging dû au vibrations d la structur. Tout l importanc a été donné au mod Bulging. Ls résultats obtnus montrnt qu l t d la surac libr st important lorsqu la plaqu st très libl. C'st-à-dir lorsqu ls réquncs naturlls d la plaqu circulair sont prochs d clls ds mods d Sloshing ou d Bulging, cci a été conirmé plus loin dans nos résultats. Kwak t Han () [8] ont considéré l mêm problèm qu Kwak [] mais, ctt ois, l intérêt était l t d la proondur du luid sous la plaqu circulair. Un étud périmntal dans l mêm contt a été ait ain d vériir ls résultats. Ls acturs (NVMI) périmntau t théoriqus augmntnt rapidmnt lorsqu la proondur du luid st très aibl. L t d luid put êtr négligé lorsqu la proondur du liquid dépass l rayon d la plaqu. L cas où la plaqu circulair annulair st placé dans l ouvrtur d un mur rigid a été étudié par mabili (996) [9].

12 - 7 - ujourd hui, un grand nombr d élémnts inis d plaqus sans luid ist, chacun st capabl d rprésntr l comportmnt d la plaqu dans ds situations spéciiqus miu qu d autrs. Mais, jusqu à maintnant, il n y a pas un élémnt ini qui put tnir compt d la présnc d luid à ss alntours. L objcti d notr travail st d dévloppr un élémnt ini qui modélis la plaqu sans luid avc un très bonn précision t qui pourra tnir compt d l t du luid sur l comportmnt dynamiqu d la plaqu submrgé ou n contact avc l luid. Par la suit, il pourra êtr utilisé à ds géométris plus compliqués qu la plaqu ainsi qu pour l étud d l t d un écoulmnt potntil ou turbulnt sur un plaqu ou ds structurs pouvant êtr modélisés par ds élémnts d plaqus.. INTRODUCTION L idé d bas d notr travail provint d l approch hybrid utilisé par Lakis [-4] pour l analys ds coqus cylindriqus ouvrts ou rmés totalmnt ou partillmnt rmplis d liquid, ou bin soumiss à l t d un écoulmnt potntil ou turbulnt. Ls onctions d déplacmnts ont été dérivés d la solution act ds équations d équilibr ds coqus. Un élémnt circonérntil a été utilisé pour ls coqus aisymétriqus rmés [] t un autr élémnt longitudinal pour l analys ds coqus ouvrts ou rmés [4]. Ls du élémnts ont crtains rstrictions géométriqus. Nous comptons dévloppr dans c travail un élémnt ini d plaqu, qui st n qulqu sort un combinaison ntr ls du élémnts d coqus déjà dévloppés qui n aura pas d rstrictions géométriqus t qui sra capabl d calculr ls hauts t ls basss réquncs

13 - 8 - avc précision t d tnir compt d n import lsqulls ds conditions au limits au miliu ou au bords d la structur. Nous comptons utilisr ct élémnt à un séri d applications ntr autrs ls cas suivants : - l analys ds plaqus n vibration dans l air t n contact avc un luid au rpos, soit lorsqu la plaqu st totalmnt submrgé ou n contact avc l luid; B- l analys ds vibrations ds plaqus lorsqu lls sont soumiss à un écoulmnt potntil d vitss; C- l analys ds vibrations ds plaqus lorsqu lls sont soumiss à un écoulmnt turbulnt. Un ois qu ls trois cas précédnts sont étudiés, nous voulons analysr ds coqus n intraction avc l luid, n utilisant ds élémnts d plaqus t n aisant ls transormations géométriqus nécssairs. Nous citons ci-dssous crtains cas où nous pouvons utilisr cs élémnts : I- un séris d plaqus parallèls souvnt rncontrés dans ds échangurs d chalur; II- III- ds plaqus radials ncastrés sur un a; ds résrvoirs ou ds conduits rctangulairs n contact avc l luid au rpos ou n écoulmnt; IV- aubs d turbins hydrauliqus tridimnsionnlls t lur répons à ds citations sinusoïdals ou aléatoirs; V- plaqus parallèls n contact avc l luid au rpos t soumiss à ds citations sinusoïdals, n tnant compt d l amortissmnt;

14 . NLYSE DE L PLQUE SNS FLUIDE Comm il st rprésnté sur la igur, l élémnt ini utilisé dans c travail st un portion d plaqu rctangulair ayant quatr nœuds, chaqu nœud possèd si dgrés d librté. Nous utilisons la théori d Sandrs [ ] pour ls coqus cylindriqus n assumant qu l rayon st égal à l inini, la coordonné θ y t rd θ dy. Nous préérons la théori d Sandrs puisqu, contrairmnt à d autrs théoris, ll a prouvé qu touts ls déormations disparaissnt pour ls aibls mouvmnts d corps rigid. Ls équations d équilibr tinnnt compt d l t d mmbran t d l t d lion. Ls équations d Sandrs sont basés sur la prmièr approimation d Lov [9] pour ls coqus mincs. Z y l Y { δ l } k { δ k } Y V U i W U i i i i, i, y, i, y j { δ j } i { δ i } { δ } {, V, W, W W W } T X B X y a- Élémnt ini d plaqu b- Plaqu rctangulair Figur. Géométri t champ d déplacmnts d l élémnt ini d plaqu

15 . Équations d`équilibr t onctions d déplacmnts - - Plusiurs champs d déplacmnts ont prouvé qu ils rprésntnt très bin l comportmnt d un plaqu solid n cas statiqu ou dynamiqu. Mais, malhurusmnt, c n st pas l cas lorsqu l mêm champ doit êtr utilisé pour modélisr l intraction d ctt plaqu avc l luid. Ls équations d équilibr d un plaqu n onction ds champs d déplacmnts d la surac moynn, slon la théori d Sandrs [], sont : V U U V P + P + P ( + ) y y y (E) U V V U P + P + P ( + ) y y y (E) W W W P 44 + ( P45 + P54 + P66 ) + P y y (E) Comm nous l avons déjà mntionné, l élémnt circonérntil hybrid pour l analys ds coqus cylindriqus ait par Lakis t Paidoussis [] ou l élémnt longitudinal pour l analys ds coqus ouvrts ait par Lakis t Slman [4] sont basés sur la solution act ds équations d équilibr. Ctt caractéristiqu a prmis d avoir ds élémnts inis très précis t qui convrgnt rapidmnt. Cla nous a incité à pnsr au dévloppmnt d un élémnt d mêm typ pour ls plaqus, malhurusmnt la solution act ds équations d équilibr st très diicil dans l cas ds plaqus. Pour surmontr c problèm, nous rprésntons ls déplacmnts d mmbran par ds polynôms bilinéairs [4] t l déplacmnt transvrsal

16 - - par un onction ponntill, puisqu l couplag luid solid s ait dans la plupart ds cas par l déplacmnt transvrsal d la surac moynn, car il st l mouvmnt dominant. L champ d déplacmnts st : y y, C + C + C + C (.a) B B ( y, t) U 4 y y, C5 + C6 + C7 + C (.b) B B ( y, t) V 8 La solution act d l équation d équilibr (E) d lion st d la orm général suivant : W 4 B iωt ( y, t) C i 9 j y iπ +, (.c) où : U t V sont ls déplacmnts d la surac moynn dans l plan d la plaqu slon l a X t Y rspctivmnt ; W st l déplacmnt transvrsal d la surac moynn ; st la longuur d la plaqu slon l a X ; B st la longuur d la plaqu slon l a Y ; ω st la réqunc naturll d vibration d la plaqu n rad/sc ; i st l nombr compl i - ; ls C j sont ds constants inconnus. Pour la plaqu sans luid, nous utilisons l`équation (.c) dévloppé n séri d Taylor [], comm suit : q p q B p y W (, y, t) () q q! p p! B

17 où : - - y y y y y W(, y, t) C9 + C + C + C + C + C4 + C5 + C6 + C7 + B B B 6 B B y y y y y y y C 8 + C 9 + C + C + C + C + C 4 () 6B 6 B 4 B 6B B B 6 B Ici, ls q, B q t ls C j sont ds constants inconnus. Sous orm matricill, l champ d déplacmnts put êtr écrit comm suit : U V W [ R]{ C} (4) avc : { } { C, C,... C } T (5) C, 4 où : [R] st un matric (4) donné à l`appndic ; { C } st l vctur ds constants inconnus. C vctur ds constants inconnus put êtr détrminé n utilisant ls vingt-quatr dgrés d librté d l élémnt ini quadrilatèr rprésnté sur la igur. L vctur d déplacmnts nodau st donné par : {} δ { δ }, { δ }, { δ }, { δ } T (6) Chaqu nœud (i) possèd un vctur nodal d déplacmnts, composé d: où : i { } { U, V, W, W, W y, W ( y), } T i i i i i j i k δ (7) U i, V i, sont ls déplacmnts d la surac moynn dans l plan d la plaqu, corrspondants au nœud i ; W i st la délion d la surac moynn, corrspondant au nœud i. l i

18 - - Pour chaqu élémnt, nous avons donc un vctur d déplacmnts nodau, {δ}, primé par: { } [ ]{ C} δ (8) L invrs d la matric [] st donné à l appndic. On put donc rmplacr ls constants inconnus par ls vcturs d déplacmnts généralisés d l élémnt ini quadrilatèr. En utilisant la rlation suivant : { } [ ] { δ } C (9) Et n introduisant l équation (9) dans (7), l champ d déplacmnt dvint: U V W [ R][ ] {} δ [ N ]{} δ () La matric [ ] st donné à l appndic (). [ N ] st la matric ( 4) ds onctions d déplacmnts d l élémnt ini... Rlations cinématiqus L champ d déormations st lié au champ d déplacmnts comm suit [] : ε ε ε κ κ κ y y y y U V y V + U y W W y W y () En substituant ls déplacmnts d l équation () dans l vctur d déormations (), nous obtindrons l prssion du vctur d déormations n onction ds déplacmnts nodau. {} ε [ Q ][ ] { δ} [ B]{ δ} ()

19 - 4 - où : [ Q ] st un matric (64) listé à l appndic () ; [B] st la matric liant ls déormations au déplacmnts nodau... Rlations constituants Pour un plaqu anisotrop, l champ d contraints st lié au champ d déormation par la rlation suivant : où : { σ} [ P]{ ε} () [ P ] st la matric d élasticité (66). Pour un matériau isotrop, il n y a pas d couplag ntr l t mmbran t l t d lion, la matric d élasticité s réduit à : P P D P 44 P P 55 K P P ( ν ) D P66 νd P 45 ( ν ) K P 54 νk (4) où : Eh K, D Eh, ( ν ) ν E st l Modul d Young,ν st l coicint d Poisson t h st l`épaissur d la plaqu. En substituant () dans (), nous obtnons l prssion du vctur d contraints n onction ds déplacmnts nodau. { σ } [ P][ B]{ δ} (5)

20 La matric d mass t la matric d rigidité d`un élémnt puvnt êtr primés par: T [ ] [ B] [ P][ B] k d (6) T [ m] sh [ N ] [ N ]d ρ (7) où : d st un surac élémntair d l élémnt; ρ s st la dnsité d la plaqu; [ ][ B] t [ P] N, sont déinis dans ls équations (), () t (4). En utilisant cs équations dans (6) t (7), nous obtnons: [ k] [ ] y T T [ ] [ Q] [ P][ Q] ddy [ ] (8) [ m] h [ ] y T T [ ] [ R] [ R] ddy [ ] ρ s (9) où : t y sont ls dimnsions d un élémnt slon ls coordonnés X t Y, rspctivmnt. Cs intégrals ont été calculés n utilisant l logicil ds calculs mathématiqus Mapl. 4. INTERCTION DE L PLQUE VEC LE FLUIDE La présnc d luid au voisinag d un structur chang son comportmnt dynamiqu. La prssion d luid sur la structur st souvnt primé n onction ds accélérations, ds vitsss t ds déplacmnts. Cs trois partis d la prssion d luid sont applés rspctivmnt l t d l inrti, l t d orc d Coriolis t l t d la orc cntriug

21 - 6 - [,4]. Cs ts ajoutnt au matrics d masss, d amortissmnts t d rigidités d la structur solid ds matrics virtulls. L systèm d équation global qui tint compt ds trois ts st l suivant : [ M s ] t [ s ] [ M ] [ M ]]{ δ & } + [ C ]{ & δ } + [ K ] [ K ] [ ]{ δ } { } & () s T T s T K sont ls matrics d mass t d rigidité d la plaqu sans luid, rspctivmnt; [ M ] st la matric d mass rprésntant l t ds orcs d inrti du luid ; [ C ] st la matric d amortissmnt, rprésntant l t ds orcs d Coriolis ; [ K ] st la matric d rigidité rprésntant l t ds orcs cntriugs. { δ T } st l vctur d déplacmnts global. Si l luid st au rpos, l t ds orcs d Coriolis t clui ds orcs cntriugs sont nuls. L systèm d comportmnt dynamiqu d la structur st acté sulmnt par la présnc d un mass ajouté rprésntant l t ds orcs d inrti. [ M ] [ M ]]{ δ & } + [ K ]{ δ } { } s & () T Nous pouvons donc modélisr l comportmnt d la plaqu submrgé ou n contact avc l luid au rpos n calculant la orc d inrti du luid. s T 4.. Élémnt ini luid-solid Pour ormulr l problèm, nous supposons qu : (a) ls mouvmnts d luid sont aibls, (b) l luid st incomprssibl, inviscid t irrotationnl. L écoulmnt potntil satisait l équation d Laplac. Dans un systèm d coordonnés cartésinns, ctt équation pourra êtr primé comm suit :

22 - 7 - φ φ φ φ + + () y z où : φ rprésnt la onction du potntil d vitss. L équation d Brnoulli (dans l cas où la vitss d écoulmnt U ) st : φ P + t ρ z () Z Fluid l { δ l } Surac libr { δ k } k Élémnt d Plaqu h Intrac solid luid i { } i δ j { δ } j X Figur : Élémnt ini solid-luid D où on put primr la prssion à l intrac par : φ ρ (4) P z t z Nous assumons qu l potntil d vitss st donné par la onction suivant : (, y, z, t) F( z) S(, y, t) φ (5) À l intrac, la condition d imprméabilité assurant l contact ntr l luid t l solid pourra s`écrir d la açon suivant :

23 φ z z W t (6) Où : W st l déplacmnt transvrsal d la plaqu. En introduisant l équation (5) dans (6), on trouv l prssion d S(,y,t) comm suit : W S(, y, t) (7) df() dz t En substituant l équation (7) dans (5), l prssion du potntil dvint : F( z) W φ (, y, z, t) (8) df() dz t Ls conditions au limits d luid sont introduits séparémnt pour chaqu élémnt, cla nous prmt d étudir ds structurs partillmnt submrgés, comm par mpl l cas d la plaqu vrtical [9], ou ds plaqus inclinés [6], totalmnt ou partillmnt submrgés, t aussi ds plaqus n contact avc la surac libr d un luid [-9]. En substituant l équation (8) dans l équation (), on obtint l équation diérntill d scond ordr suivant: d F( z) μ F( z) (9) dz avc : μ π + B () La solution d l équation diérntill (9) nous prmt d avoir la onction F(z). La solution général st d la orm suivant : F(z) () μz μz +

24 - 9 - En substituant () dans (8), on obtint l prssion du potntil suivant : μz μz ( + ) W φ (, y, z, t) () df() dz t L potntil φ doit vériir ls conditions au limits à l`intrac solid luid t au limits du luid. ) Élémnt plaqu luid avc surac libr En assumant qu ls prturbations résultants du mouvmnt d luid à la surac libr sont aibls, nous pouvons appliqur au potntil d vitss à la surac libr la condition suivant (igur ) : φ(, y, z, t) z φ g z h t () Surac libr Fluid Z { δ l } l k { δ k } Intrac solid luid h i Élémnt d Plaqu δ j { δ } X { } i j Figur : Élémnt luid solid ayant un surac libr d luid à Zh où : g st l accélération d la gravité.

25 - - En rmplaçant l équation () simultanémnt dans () t (6), nous obtnons ls constants t. La substitution d cs constants dans () nous prmt d avoir l prssion du potntil suivant : μz μ ( zh ) + C W φ (, y, z, t) h (4) μ μ C t avc : ( gμ ω ) ( gμ + ω ) C (5) Comm il st rprésnté dans la igur B. d l appndic B, la valur d C tnd asymptotiqumnt vrs -. Ctt approimation st ait pour évitr d avoir un systèm d valurs proprs non linéair. La prssion corrspondant à l intrac dvint (équation 4) : P ρ + C μ C μh μh t W Z t W (6) B) Élémnt plaqu luid avc mur rigid L autr condition à la limit d luid rprésnté sur la igur 4 adopté par Lamb t McLachlan [, 4] connu sous l nom d réqunc null st la condition d mur rigid primé par : φ z zh (7)

26 - - Mur rigid Z { δ l } l k { δ k } Élémnt d Plaqu h Fluid Intrac solid luid i { δ } j { δ } i j X Figur 4: Élémnt d plaqu n contact avc un luid ayant à la limit un mur rigid En rmplaçant l équation () simultanémnt dans (7) t (6), nous pouvons calculr ls constants t. La substitution d cs constants dans () nous prmt d avoir l prssion suivant du potntil d vitss : μ ( zh ) μz + W φ (, y, z, t) h (8) μ μ t La prssion (4) corrspondant à l intrac dvint : P ρ μ μh μh + W t Z t W (9) C) Élémnt plaqu luid avc surac libr La drnièr condition à la limit d luid st rprésnté sur la igur 5 t st connu sous l nom d la condition d réqunc inini primé par (Fig. 5) : φ (4)

27 - - Figur 5 : Élémnt d plaqu n contact avc un luid ayant à la limit un surac libr avc un prssion null En rmplaçant l équation () simultanémnt dans (7) t (6), nous pouvons calculr ls constants t, la substitution d cs constants dans () nous prmt d avoir l prssion suivant du potntil d vitss : ( ) t W t z y h h z z + ) (,,, μ μ μ μ φ (4) La prssion (4) corrspondant à l intrac dvint : h h t W Z t W P + μ μ μ ρ (4) Dans l cas où la structur st totalmnt submrgé, la prssion total st la combinaison d prssion corrspondant au conditions limits d luid au-dssus t au-dssous d la plaqu. X Z i j k l { } i δ { } j δ { } k δ Fluid Surac libr φ h Intrac solid luid Élémnt d plaqu

28 4.. Cas étudiés - - En pratiqu, l contact ntr la plaqu t l luid s présnt d plusiurs açons. Dans chacun ds cas, l prssion d la prssion appliqué par l luid sur la plaqu st diérnt. Nous donnons ci-dssous qulqus cas pratiqus souvnt rncontrés: 4... Élémnt d plaqu totalmnt submrgé (Figur. 6) Comm il st rprésnté sur la igur 6, la plaqu st soumis à la prssion du luid ds du côtés, donc la prssion total st la somm ds du prssions inériur t supériur, calculés n utilisant ls équations (6) t (9), rspctivmnt. Fluid Surac libr Z l k { δ k } Intrac solid luid h { δ i } i { δ j } j Élémnt d Plaqu X h Fluid Mur rigid Figur 6: Élémnt d plaqu n contact avc un luid ayant à la limit supériur un surac libr t à la limit inériur un mur rigid

29 - 4 - La prssion résultant st la somm ds du prssions donnés par ls équations (6) t (9): 4 h h h h t W Z t W C C P μ μ μ μ μ ρ (4) 4... Élémnt d plaqu submrgé dans un luid limité par du murs (Figur 7) Comm nous voyons à la igur 7 la plaqu st soumis à la prssion du luid ds du côtés, supériur t inériur, la prssion résultant st la somm ds du prssions calculés à l équation (6) pour ds hauturs d luids h t h : 5 h h h h t W Z t W P μ μ μ μ μ ρ (44) Si h st égal à h, la prssion corrspondant st l doubl d la prssion calculé à (9) : / 5 h h t W Z t W P + μ μ μ ρ (45)

30 - 5 - Mur rigid Z k { δ k } Intrac solid luid Fluid Élémnt d Plaqu h { } i δ { δ } i Fluid j j X h Mur rigid Figur 7: Élémnt d plaqu n contact avc un luid ayant à la limit supériur t inériur un mur rigid 4... Plaqu s rposant sur la surac libr d un luid (Figur 8) Dans c cas, la plaqu st soumis à la prssion du luid situé sous la plaqu. { } i Z δ { δ } i l { δ l } Élémnt d Plaqu j j k { δ k } Intrac solid luid X h Fluid Mur rigid Figur 8: Élémnt d plaqu n contact avc un luid ayant à la limit inériur un mur rigid

31 - 6 - La prssion résultant st calculé à l équation (6) pour un hautur h : P ρ μ μh μh + W t Z 6 t W (46) Calcul d la orc d inrti d luid L vctur d orcs induits par l luid put êtr primé d la açon suivant : où : T { } [ N ] { P} F d (47) [ N ] st la matric ds onctions d déplacmnts d l élémnt ini provnant d l équation () ; {P} st un vctur primant la prssion appliqué par l luid sur la plaqu (équations (6), (9), t (4) à (46)). La prssion radial st la sul composant non null. En rmplaçant l déplacmnt transvrsal d l équation () dans l prssion d la prssion convnabl ((6), (9), (4) à (46)), dépndammnt du mod d contact d la plaqu avc l luid t ds conditions au limits à Z h t/ou Zh, nous obtnons la prssion du luid appliqué sur la plaqu suivant : { P} Z [ R ][ ] { & δ } (48) i Z i : dépnd du mod d contact ntr la plaqu t l luid (plaqu totalmnt submrgé, ou plaqu s rposant sur la surac libr d luid (6, 9, 4-46) t ds conditions d`intrac luid-plaqu. [R], [] - t ls coicints Zi, (i, 6) sont donnés à l`appndic.

32 - 7 - En rmplaçant la prssion obtnu dans (48) t la onction d déplacmnts d l équation () dans l équation (47), nous obtnons l vctur d orc suivant : { F} Z i [ ] Où : d st un surac élémntair d l élémnt. T T [ ] [ R] [ R ][ ] d{ & δ } (49) Calcul d [K s ], [M s ] t [M ] Ls plaqus sont subdivisés à un nsmbl d élémnts inis quadrilatèrs, l rpèr local d chaqu élémnt coïncid avc l rpèr global d la structur. Pour chaqu élémnt, nous avons calculé un matric d mass t un matric d rigidité. En utilisant ls tchniqus d assmblag habitulls ds élémnts inis [], nous avons obtnu l systèm matricil global suivant : [ M M ]{ δ & } + [ K ]{ δ } { } [ M s ] st la matric d mass global d la plaqu ; [ M ] st la matric d mass ajouté global induit par l luid ; [ K s] st la matric d rigidité d la plaqu. En assumant : où : s & (5) T { } { δ } iωt δ T T s T (5) { δ T } st l vctur d déplacmnts global t ω st la réqunc naturll du systèm (rad/sc),

33 { δ T } st l vctur global ds amplituds ds déplacmnts pour chaqu mod En introduisant l équation (5) dans l équation (5), on obtint l problèm d valurs proprs suivant : [ K ] [ ] M M Dt ω (5) s s La solution d c systèm nous prmt d avoir ls réquncs t ls mods d vibrations du systèm (plaqu luid). 5. RÉSULTTS ET DISCUSSION 5.. Plaqu sans luid L prmir mpl d calcul st un plaqu n acir simplmnt supporté sur ls quatr côtés (ig.9). Ss dimnsions t ss propriétés mécaniqus sont : modul d Young E96GP, la mass volumiqu ρ786kg/m, l épaissur h.54mm, l coicint d Poissonν. t ls dimnsions 69.6mm, B4.8mm. La variation ds cinq prmièrs réquncs n onction du nombr d élémnts inis st rprésnté à la igur. Un nombr d élémnts minim assur un convrgnc très rapid pour ls basss t ls hauts réquncs. Huit élémnts inis sont suisants pour assurr la convrgnc ds du prmirs mods, alors qu pour ls autrs mods, la convrgnc nécssit au moins 5 élémnts. C nombr d élémnts st cllnt rlativmnt au autrs élémnts istants. Dans touts ls applications suivants à vid ou avc luid, nous allons utilisr 64 élémnts. Cci nous assurra ds résultats indépndants d maillag. u tablau, nous avons ls réquncs obtnus par notr méthod t clls d la méthod analytiqu d Lissa [8]. Nous avons aussi ls résultats obtnus par l logicil d calcul ds

34 - 9 - structurs NSYS n utilisant l élémnt (Shll6). Nous avons calculé l rrur rlativ ntr nos résultats t ls autrs. Nous constatons qu l rrur pour ls trois prmièrs réquncs st minim. Y Plaqu simplmnt supporté sur ls quatr côtés X Figur 9 : Plaqu simplmnt supporté sur ls quatr côtés Fréqunc (Hz) 4 mod mod mod mod 4 mod Nombr d'élémnts Figur : Fréquncs naturlls ds cinq prmirs mods d'un plaqu simplmnt supporté sur ls quatr côtés n onction du nombr d'élémnts inis

35 - - Tablau : Fréquncs naturlls n (Hz) d la plaqu simplmnt supporté sur ls quatr côtés Mod Présnt NSYS (shll6 Errur % nalytiqu Errur % élémnt 98 élémnts) Présnt élémnt solution Présnt élémnt NSYS Lissa [] Lissa [] L duièm mpl st un plaqu rctangulair n acir ncastré sur l côté l plus court (Fig. ). Nous disposons pour ctt structur ds résultats périmntau d Grinstd [5] t ls résultats théoriqus d Martin [6], ainsi qu ds résultats obtnus par ls logicils NSTRN t NSYS. Ls dimnsions d la structur sont ls suivants: 7.mm, Bmm, h.5mm. Ls quatr prmirs mods sont rprésntés sur la igur. (n, m) rprésntnt ls mods aiau slon ls as Y t X. Il st clair du tablau qu nos réquncs coïncidnt très bin avc clls obtnus par d autrs travau.

36 - - Libr Y Encastré Libr X Libr Figur : Plaqu ncastré sur l côté l plus court Tablau : Fréquncs naturlls n (Hz) d la plaqu ncastré sur l côté l plus court, (n, m) sont ls mods aiau suivant Y t X rspctivmnt. (Voir igur ) (n,m) Martin Eprimntal NSTRN NSYS Présnt [6] Grinstd [5] (Shll 6) élémnt (,) (,) (,) (,) (,) 6 ND

37 Hz 4.5 Hz (n,m)(,) (n,m)(,) 59.4 Hz 557 Hz (n,m) (,) (n,m) (,) Figur : Prmirs mod d vibration d la plaqu ncastré au côté l plus court L troisièm mpl st la mêm plaqu étudié au prmir mpl, mais ctt ois-ci, la plaqu st simplmnt supporté sur ls du côtés opposés ls plus courts (Fig. ). Ls résultats sont listés au tablau. Notr méthod montr un très bonn précision. Libr Y Simplmnt supporté Simplmnt supporté X Libr Figur : Plaqu simplmnt supporté sur ls du côtés opposés ls plus courts

38 Tablau : Fréquncs naturlls n (Hz) d la plaqu simplmnt supporté sur ls du côtés opposés ls plus courts, n t m rprésntnt ls mods aiau slon ls as Y t X rspctivmnt (voir igur ) - - (n,m) nalytiqu (Hz) NSYS (98) (Hz) Présnt Lissa [] Shll6 élémnt (,) (,) (,) (,) L quatrièm t l drnir mpl d plaqu sans luid st un plaqu carré n acir ncastré à un côté. Ctt plaqu était parmi la séri ds plaqus étudiés par Lindholm t al. [6]. Ls dimnsions d la plaqu sont Bm, t l épaissur h.8m. Ls résultats sont listés au tablau 4. D après ls résultats obtnus, nous pouvons conclur qu l élémnt rprésnt très bin l comportmnt dynamiqu ds plaqus rctangulairs. Nous pouvons donc passr à la validation d l élémnt ini (luid-solid).

39 Tablau 4 : Fréquncs naturlls n (Hz) d la plaqu ncastré à un sul côté Mod 4 5 Form d mod Flion Torsion Flion Flion Torsion Présnt élémnt nalytiqu Gorman [7] Lindholm [6] Fu t Pric [9] Intraction plaqu luid 5... Plaqu totalmnt submrgé Nous disposons d résultats d plusiurs travau périmntau t théoriqus pour ds plaqus ayant ds conditions au limits diérnts, n contact avc l luid ou totalmnt submrgés. Nous allons ls utilisr pour vériir notr élémnt (luid-solid) dévloppé cidssus. L prmir cas a été étudié par Haddara t Cao []. Nous disposons d résultats périmntau t analytiqus. La structur étudié st un plaqu n acir rctangulair simplmnt supporté sur ss du côtés ls plus courts, totalmnt submrgé dans l au (Fig. 4). Ls dimnsions d la plaqu sont : la longuur B.655m, la largur.65m t l épaissur d la plaqu h9.6mm. Ls tsts ont été aits dans un résrvoir rctangulair ayant.m d longuur,.55m d largur t un proondur égal à.8m. Ls résultats sont listés au tablau 5.

40 - 5 - Surac libr Fluid Z Plaqu h Y h Mur rigid Figur 4 : Plaqu simplmnt supporté sur ls du côtés opposés ls plus courts L duièm cas st un plaqu ncastré sur ls du côtés ls plus courts, totalmnt submrgé dans l au (Fig.5). Ls dimnsions t ls propriétés mécaniqus sont ls mêms qu l mpl précédnt. Nos résultats ainsi qu cu d Haddara t Cao [] sont rapportés au tablau 6. Surac libr Fluid Z h Plaqu h Y Mur rigid Figur 5 : Plaqu ncastré sur ls du côtés opposés ls plus courts

41 - 6 - Tablau 5 : Fréquncs naturlls n (Hz) d la plaqu simplmnt supporté sur du bords opposés totalmnt submrgé dans l au Mod Epérimntal (Hz) nalytiqu (Hz) Présnt élémnt Haddara t Cao [] Haddara t Cao [] (Hz) ND ND 4.57 Tablau (6) : Fréquncs naturlls n (Hz) d la plaqu ncastré sur du bords opposés totalmnt submrgé dans l au Mod Epérimntal (Hz) nalytiqu (Hz) Présnt élémnt Haddara t Cao [] Haddara t Cao [] (Hz) ND ND L troisièm cas étudié st un plaqu submrgé, dont nous disposons ds résultats périmntau d Lindholm t al. [6] t ds résultats numériqus d Fu t Pric [9]. C st un plaqu carré n acir ncastré sur un sul côté, totalmnt submrgé dans un résrvoir (Fig. 6). Ls dimnsions d la plaqu sont : Bm t l épaissur h.8m. Ls résultats sont

42 - 7 - listés au tablau 7, nous rmarquons qu nos résultats sont cllnts n ls comparant avc cu ds autrs travau. Surac libr Fluid Z h Plaqu h Y Mur rigid Figur 6 : Plaqu carré ncastré sur un sul côté Tablau 7 : Fréquncs naturlls n (rad/sc) d la plaqu carré ncastré sur un sul totalmnt submrgé dans l au Sans luid Totalmnt submrgé Présnt Fu Pric [9] Présnt Fu t Pric Epérimntal élémnt élémnt [9] Lindholm [6],9,94 7, 7,5 6,56,69,9 7,6,9 9,66 79,7 79,8 4,98 5, 45, L quatrièm mpl st la plaqu rctangulair ncastré sur ls quatr côtés, s rposant sur la surac libr d luid (Figur 7). Nous disposons pour c cas d résultats périmntau d Kim [8] t d résultats analytiqus d Kwak [6]. C drnir a étudié aussi l cas où la mêm plaqu st posé dans l ouvrtur d un mur rigid inini n contact avc l luid. En utilisant ls acturs NVMI théoriqus [6] t périmntau, nous avons tracé à

43 - 8 - la igur 8 la variation ds rapports ntr ls réquncs ondamntals à vid t avc luid dans l cas d la plaqu sans mur rigid t pour diérnts rapports d dimnsions d la plaqu (/B). Nos résultats coïncidnt très bin avc ls rapports analytiqus t périmntau. Nous soulignons aussi qu ls résultats calculés par notr élémnt sont très prochs du cas d la plaqu s rposant sur la surac libr d luid qu du cas d la plaqu posé dans l ouvrtur d un mur rigid inini n contact avc l luid. Cla conirm qu nos conditions au limits sont similairs à clls d`un plaqu n contact avc la surac libr sans mur rigid. Z Z Plaqu Surac libr Plaqu Surac libr h Y h X Fluid Fluid Plan YZ Mur rigid Plan XZ Mur rigid Figur 7 : Plaqu ncastré sur ls quatr côtés n contact avc l luid

44 - 9 - Fréqunc (air)/fréqunc(au),5,5,5,,5,,5,,5 /B KIM-Eprimntal [4] Présnt élémnt KWK-nalytiqu [6] Figur 8 : Rapport ntr la prmièr réqunc calculé dans l air t la prmièr réqunc calculé lorsqu la plaqu ncastré sur ls quatr côtés s rpos sur la surac libr d luid pour diérnts rapports d dimnsions d la plaqu 5... Ets ds conditions au limits t du nivau d luid L nivau du luid sur t/ou sous la plaqu ainsi qu la condition à la limit d luid (surac libr ou mur rigid (), (7) t (4)) inlunt sur l comportmnt d la plaqu jusqu à un crtain hautur d luid. in d éclaircir c phénomèn, nous avons calculé la variation ds réquncs n onction d la hautur du luid du systèm luid structur d duièm mpl étudié à la sction (5..), igur 5. Du cas ont été élaborés : a) lorsqu la plaqu st totalmnt submrgé dans l au avc un hautur h d luid variabl t un hautur h sous la plaqu suisammnt grand, d tll sort qu ll n inlu pas sur ls réquncs d la plaqu (igur 6); b) lorsqu la plaqu st n contact avc l luid avc h nul t h variabl (igur 8).

45 - 4 - Nous constatons qu dans l cas où la limit du luid st un surac libr, ls réquncs diminunt n augmntant la hautur du luid igur 9-b. Lorsqu l nivau d luid attint 5% d la longuur d la plaqu, ls réquncs cssnt d diminur. C pourcntag s accord très bin avc l pourcntag donné par Haddara t Cao [6]. À ctt position, la surac libr linéairisé n a aucun inlunc. Dans l cas où la limit du luid st un mur rigid (igur 9.a), nous constatons qu lorsqu l nivau du luid st moins qu % d la longuur d la plaqu, ls réquncs diminunt d un açon brusqu. u-dlà d c pourcntag, ls réquncs sont indépndants du nivau d luid. C comportmnt a été signalé par d autrs travau théoriqus t périmntau [9, 6].

46 Fréqunc (Hz) 4 (a),,4,6,8 h/ Fréquncs (Hz) ,,,,4,5 (b) h/ Figur 9 : Variation ds réquncs n onction du nivau du luid (a) Plaqu lottant (h, h variabl), la limit du luid n bas d la plaqu st un mur rigid, (b) plaqu submrgé (h variabl, h >>) ( ) mod, ( ) mod, ( ) mod, () mod 4,(*) mod 5 Ls structurs ayant ds conditions au limits diérnts n s comportnt pas d la mêm açon lorsqu`lls sont n contact avc un luid [-,6]. Nous avons étudié ci-haut l changmnt du comportmnt d la plaqu ncastré sur du côtés lorsqu on chang l nivau d luid sur ou sous la plaqu. Nous allons étudir, maintnant, l mêm phénomèn pour d autrs plaqus ayant ds conditions au limits diérnts. Nous avons pris l troisièm mpl étudié à la sction (5..) t nous avons calculé ls réquncs à diérnts nivau d luid sur la plaqu. Ct mpl a été étudié par Fu t

47 - 4 - Pric [9] t Lindholm [6]. Nous signalons qu la hautur d l au sous la plaqu st suisammnt grand d tll sort qu ll n`inlunc pas sur l comportmnt dynamiqu du systèm. D après la igur, nous constatons qu ls réquncs diminunt n augmntant l nivau d luid t lls dvinnnt indépndants du nivau d luid lorsqu c drnir attint 5% d la longuur d la plaqu, l mêm pourcntag a été trouvé par Lindholm t Fu t Pric. Nous signalons, à titr d inormation, qu pour l cas ds plaqus circulairs, mabili [9] t Kwak t al. [8] ont conclu qu l nivau d luid auqul ls réquncs cssnt d changr st égal au rayon d la plaqu circulair. 7 Fréqunc (rad/sc) mod mod mod,,,,4,5,6 h/ Fu t Pric [9] Présnt élémnt Lindholm t al [6] Figur : Variation ds réquncs n onction du nivau d luid sur la plaqu carré ncastré sur un sul côté n onction du nivau d luid L nivau d luid auqul ls réquncs cssnt d changr vari d un structur à l`autr. in d pliqur ctt ambiguïté, nous avons considéré un plaqu ayant un surac

48 - 4 - constant égal à 4m. Nous avons changé ls conditions au limits (igurs.,.,.d) t l rapport ntr la longuur t la largur d la plaqu (/B). À la igur.a- nous avons tracé la variation ds réquncs ds cinq prmirs mods n onction du rapport h /longuur d la plaqu ncastré-libr. Nous constatons qu l rapport h/longuur auqul ls réquncs cssnt d changr attint son maimum dans l cas d la plaqu carré (/B), igur.a, (h limit /h limit /B.5). Pour l cas d la plaqu rctangulair où 4, t B rprésnté sur la igur.c l rapport h limit /.5. L mêm rapport a été obtnu à la igur.d lorsqu on invrs ls dimnsions d la plaqu,, t B4 l rapport h limit /B.5, malgré qu ls conditions au limits d la plaqu n sont pas symétriqus par rapport au as (X, Y). Sur ls igurs.b t., du autrs rapports d dimnsions d plaqu (/B.64) t (/B.56) rspctivmnt ont été utilisés, la valur d h limit /longuur trouvé st la mêm t st égal à.. u igurs t, nous avons gardé ls mêms plaqus t ls mêms rapports d dimnsions (/B) qu cu d la igur, mais nous avons changé ls conditions au limits. À la igur, nous avons ds plaqus ncastrés sur ls du côtés opposés parallèls à l a X t sur la igur nous avons ds plaqus simplmnt supportés sur ls quatr côtés. Ls igurs 4, 5, 6 nous montrnt qu pour tout valur d rapport (h /longuur) t (/B), nous obtnons l mêm rapport ds réquncs (ω h /ω hlimit ) qulls qu soint ls conditions au rivs. Nous pouvons conclur qu, qulls qu soint ls conditions au rivs (voir igur 7), t dans l cas où /B t /B, ls réquncs du systèm luid solid dvinnnt constants pour touts ls valurs d h /longuur supériurs à.5 t.5, rspctivmnt.

49 Cla pliqu l écart istant ntr Haddara t Cao [] t Fu t Pric [9] concrnant la limit d luid à laqull ls réquncs cssnt d changr.

50 Fréqunc (Hz) (a) m, Bm; /B,,,,4,5,6,7,8 h/longuur Fréqunc (Hz) (b).6m, B.5m, /B.64,,,,4,5,6,7,8 h/longuur Fréqunc (Hz) (c) 4m, Bm, /B4,,,,4,5,6,7,8 h/longuur Fréqunc (Hz) (d) m, B4m, /B.5,,,,4,5,6,7,8 h/longuur Fréqunc (Hz) ).5m, B.6m; /B.565,,,,4,5,6,7,8 h/longuur Fluid Surac libr Z h Plaqu Mur rigid Figur : Variation ds réquncs d un plaqu ncastré sur un côté parallèl à l a Y t libr sur ls trois autrs n onction du rapport (h /longuur) d la plaqu. La plaqu st totalmnt submrgé dans l luid limité par un mur rigid n bas suisammnt éloigné d la plaqu t un surac libr n haut à un hautur h variabl (a) /B, (b) /B.64, (c) /B4, (d) /B.5, () /B.565 ( ) mod, ( ) mod, ( ) mod, () mod 4,(*) mod 5 h () conditions au rivs d la plaqu Y

51 Fréqunc (Hz) (a) m, Bm, /B 8 6 4,,,,4,5,6,7,8 h/longuur Fréqunc (Hz) (b).6m, B.5m, /B.56,,,,4,5,6,7 h/longuur Fréqunc (Hz) (c) 4m, Bm, /B4,,,,4,5,6 h/longuur Fréqunc (Hz) (c) m, B4m, /B.5,5,,5,,5,,5,4 h/longuur Fréqunc (Hz) ().5m, B.6m, /B.64,,,,4,5,6,7 h/longuur Fluid Z Plaqu Surac libr h h X Y Mur rigid () conditions au rivs d la plaqu Figur : Variation ds réquncs d un plaqu ncastré sur ls du côtés ls plus courts parallèls à l a Y t libr sur ls du autrs n onction du rapport (h /longuur) d la plaqu. La plaqu st totalmnt submrgé dans l luid limité par un mur rigid n bas suisammnt éloigné d la plaqu t un surac libr n haut à un hautur h variabl. (a) /B, (b) /B.565, (c) /B4, (d) /B.5, () /B.64. ( ) mod, ( ) mod, ( ) mod, () mod 4,(*) mod 5

52 Fréqunc (Hz) (a), B, /B,,,,4,5,6,7,8 h/longuur Fréqunc (Hz) (b) 4, B, /B4,,,,4,5,6,7 h/longuur 4 (c).5, B.6, /B.565 Fréqunc (Hz) 8 6 4,,,,4,5,6,7 h/longuur Surac libr Surac libr Fluid Fluid Z h Z h Plaqu Y Plaqu X h h Plan YZ Mur rigid Plan XZ Mur rigid (d) conditions au rivs d la plaqu Figur : Variation ds réquncs d un plaqu simplmnt supporté sur ls quatr côtés n onction du rapport (h /longuur) d la plaqu. La plaqu st totalmnt submrgé dans l luid limité par un mur rigid n bas suisammnt éloigné d la plaqu t un surac libr n haut d hautur h variabl. (a) /B, (b) /B4, (c) /B.565. ( ) mod, ( ) mod, ( ) mod, () mod 4,(*) mod 5

53 - 48 -,4 /B,5 /B,64 Fréqunc(h)/Fréqunc(h-limit),9,4,9,4,9,4 /B,9 /B, /B4 /B /B,56,99,,,,4,5,6,7,8 h/longuur Figur 4 : Variation d rapport d réquncs (réqunc (h -variabl)/ réqunc (h -limit)) corrspondants au prmir mod n onction du rapport (h /longuur) pour un plaqu ncastré sur un côté parallèl à l a Y t libr sur ls trois autrs pour diérnts rapports d dimnsions d la plaqu (/B)

54 Fréqunc(h)/Fréqunc(h-limit),,8,,8,,8,,98 /B,5 /B,64 /B,9 /B /B, /B,565 /B4,,,,4,5,6,7,8 h/longuur Figur 5 : Variation d rapport d réquncs (réqunc (h-variabl)/ réqunc (h-limit)) corrspondants au prmir mod n onction du rapport (h /longuur) pour un plaqu ncastré sur ls du côtés ls plus courts parallèls à l a Y t libr sur ls du autrs pour diérnts rapports d dimnsions d la plaqu (/B)

55 - 5 - Fréqunc(h)/Fréqunc(h-limit),8,,8,,8,,8,,98 /B,9 /B /B,565 /B4,,,,4,5,6,7,8 h/longuur Figur 6 : Variation d rapport d réquncs (réqunc (h-variabl)/ réqunc (h-limit)) corrspondants au prmir mod n onction du rapport (h /longuur) pour un plaqu simplmnt supporté sur ls quatr côtés pour diérnts rapports d dimnsions d la plaqu (/B)

56 - 5 - Fréqunc(h)/Fréqunc (h-limit),8,,8,,8,,8,,98 h /L>. h /L. h /L. h /L 4 5 (/B) h/l h/l, h/l, h/l, h/l,4 h/l,5 h/l,6 h/l,7 Figur 7 : Variation d rapport d réquncs ( ω h / ωhlim it ) corrspondants au prmir mod n onction du rapport d dimnsions d la plaqu (/B) pour diérnts nivau d rmplissag (Mêm courb pour touts ls conditions au limits)

57 5... Changmnt ds mods La majorité ds travau suppos qu ls mods d vibrations d la plaqu dans l air sont ls mêms qu dans un liquid. Ctt supposition n ait pas parti d nos hypothèss. in d vériir l dgré d validité d ctt hypothès, nous avons tracé ls mods d vibrations d la plaqu ncastré sur ss du côtés ls plus courts, étudié au duièm mpl d la sction (5..). Nous avons tracé à la igur 8 l déplacmnt transvrsal W sur un lign d longuur ntr ls du ncastrmnts ain d miu visualisr l écart, puisqu ls déormés ds mods supériurs sont plus compliqués qu clls ds prmirs mods. On commnc à avoir un diérnc ntr ls mods d la plaqu (avc t sans luid) à partir du trizièm mod. Ls prmirs mods sont idntiqus.

58 - 5 -,, W normalisé,,4,6,8 W normalisé,,4,6,8 -, avc luid sans luid Longuur -, sans luid avc luid Longuur Mod Mod 4, W normalisé,,4,6,8 -, Longuur sans luid avc luid Mod 5 Figur 8 : Changmnt ds mods d un plaqu ncastré sur ls du bords ls plus courts totalmnt submrgé dans l luid Sur la igur 9 nous avons tracé l long d un lign d longuur ls mods supériurs d déplacmnt transvrsal W d un plaqu n aluminium carré ncastré sur un sul côté t ayant ls dimnsions suivants : m, Bm, modul d Young 7GP, coicint d Poisson. t un épaissur h.5m. Nous commnçons à avoir un diérnc ntr ls mods d vibration dans l air t dans un liquid à partir du diièm mod.

59 W normalisé,5,5 W normalisé,5,5 - - Longuur sans luid avc luid sans luid Mod Mod avc luid Longuur W normalisé,5,5 - sans luid Mod avc luid Longuur Figur 9 : Changmnt ds mods d un plaqu ncastré sur l côté l plus court totalmnt submrgé dans l luid 6. UTRES PLQUES Nous avons comparé, à l`appndic C, ls réquncs adimnsionnlls ( λ ) obtnus n utilisant notr élémnt ini d plaqu, avc ls réquncs obtnus par la méthod analytiqu d Lissa [4], pour un variété d conditions au limits t pour diérnts rapports d dimnsions d la plaqu (/B). Nous avons calculé aussi pour chaqu cas ls réquncs adimnsionnlls lorsqu la plaqu st totalmnt submrgé dans l au. La réqunc adimnsionnll sans luid st primé par :