Chapitre 1 : Les notions de base

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1 Chapitre : Les otios de base Itroductio I Comparer des gradeurs A) Les pourcetages B) Taux de variatio, coefficiet multiplicateur, idice C) Importace du ses de la comparaiso ) Raisoemet sur les taux de variatio 2) Raisoemet sur coefficiets multiplicateurs et idices D) Des taux de variatio successifs au taux de variatio global E) Taux auel moye de variatio II Résumer l iformatio : les moyees A) La moyee arithmétique ) Moyee simple, moyee podérée 2) Propriétés de la moyee arithmétique B) La moyee géométrique C) La moyee harmoique D) Relatio etre les moyees 3

2 Itroductio La statistique vise à décrire la réalité sous forme chiffrée. Elle s appuie sur u esemble de techiques qui permettet de doer du ses à l'iformatio collectée. E effet, l'iformatio chiffrée brute est e gééral peu parlate ( trop d iformatios tue l iformatio ). Il faut la traiter, ce qui cosiste à la trier, la résumer, la sythétiser. Ce faisat, o perd e précisio, mais o gage e sigificatio. Il y a 2 types de traitemet de base : sythétiser et comparer. Outils de base pour les comparaisos : le coefficiet multiplicateur, l idice, le taux de variatio ; qui serot examiés das le I ; Outil de base permettat de résumer l ifo : le calcul de moyees ; ce sera l objet du II. I Comparer des gradeurs Le tableau..a doe les résultats d'ue equête sur la situatio professioelle des jeues sortis du système éducatif e 998, 3 as après la sortie. Tableau..a Répartitio des jeues sortis du système éducatif e 998 selo le iveau d études et la situatio professioelle, 3 as après la sortie Emploi Chômage Autres* Total iveau iférieur au bac Bac Études supérieures Total * Iactifs, reprise d'études... Source : equête "Géératio 98", Céreq, 2003 Ce sot des doées brutes qui e sot pas très «lisibles». Pour pouvoir les iterpréter, o va comparer etre elles certaies de ces gradeurs. Comparer des gradeurs, c est : e lagage courat, les mettre e rapport ; e lagage «mathématique», faire le rapport de ces gradeurs, c est-à-dire calculer ue fractio. Ce rapport, cette fractio, o l exprimera e pourcetage. A) Les pourcetages O utilise doc les pourcetages pour exprimer u rapport de 2 gradeurs. Exprimer e pourcetage reviet à trasformer ce rapport de sorte que so déomiateur soit égal à Statistique descriptive

3 Trasformatio e pourcetage des doées du tableau.a Il y a 2 possibilités : O examie, pour chacue des 3 situatios cosidérées (avoir u emploi, être au chômage, 'exercer i e rechercher de professio), la répartitio des idividus selo leur iveau d études. Pour chaque coloe du tableau, o rapporte le ombre idiqué das chaque lige au total de la coloe, rapport que l o exprime e pourcetage. Remarque : formule Excel $ devat le chiffre de la cellule du déomiateur Tableau..b Niveau d études de la géératio 98 selo la situatio professioelle e 200 e % Emploi Chômage Autre Total Niveau iférieur au bac 33,0 62,8 46,6 36,9 Bac 25,8 9,3 33,6 25,8 Études supérieures 4,2 7,9 9,9 37,3 Total Les pourcetages globaux de la derière coloe idiquet la répartitio, selo leur iveau d études, des sortats du système éducatif de Pour mieux mettre e évidece cette relatio, il est préférable de calculer, pour chaque iveau d études, le pourcetage de ceux qui ot u emploi, qui sot au chômage ; aisi, pour chaque lige du tableau..a, o rapporte le ombre idiqué das chaque coloe au total de la lige et l o exprime le résultat e pourcetage. Remarque : formule Excel $ devat la lettre de la cellule du déomiateur Tableau..c Situatio professioelle e 200 de la géératio 98 selo le iveau d études e % Emploi Chômage Autre Total Niveau iférieur au bac 73,8 5,6 0,6 00 Bac 82,2 6,8 0,9 00 Études supérieures 9, 4,4 4,5 00 Total 82,4 9,2 8,4 00 Les pourcetages de la derière lige du tableau idiquet la répartitio des jeues selo leur situatio professioelle 3 as après la fi de leurs études (tous iveaux d études cofodus). ) Caractéristiques des pourcetages U pourcetage exprime u rapport etre 2 gradeurs (évidemmet exprimées das la même uité). Cela implique 3 choses : U ombre sas dimesio. Le pourcetage idique ue valeur relative ; il a de ses que par rapport à l esemble cosidéré. Chapitre Les otios de base 5

4 Il gomme l effet de taille. E élimiat l effet de taille, le calcul de pourcetages permet d'iterpréter les doées. Mais il peut égalemet coduire à des iterprétatios absurdes. 2) Utilisatio des pourcetages Il y a 3 grads types d utilisatio : Pour exprimer ue proportio, idiquer quelle part de l esemble total représete la gradeur cosidérée. Das ce cas, le pourcetage est écessairemet supérieur à 0 et iférieur à 00 (0 < % < 00). Pour mesurer ue gradeur par rapport à ue autre qui lui est extérieure. Pour exprimer ue variatio relative ; cela reviet à mesurer l écart etre 2 valeurs d ue même gradeur par rapport à ue situatio de référece. O fait alors le calcul d u taux de variatio. B) Taux de variatio, coefficiet multiplicateur, idice Il s agit ici de comparer les valeurs prises par ue même gradeur das des situatios différetes, à des dates différetes ou das des lieux différets. ) Écarts absolus, écarts relatifs Cosidéros les deux séries de doées suivates correspodat à chacu de ces 2 cas : gradeur observée à des dates différetes (PIB e valeur et populatio de l Île-de-Frace de 95 à 200) ; gradeur observée e des lieux différets (PIB par habitat des régios fraçaises). Tableau.2.a PIB e valeur et populatio de l Île-de-Frace PIB, Milliards d euros 334,2 344,6 355,8 367,7 383,7 402,9 43,7 Pop, Millios d hab. 0,87 0,89 0,9 0,93 0,96,04 PIB/hab., milliers d euros 30,75 3,64 32,64 33,64 35,0 36,63 37,47 Source : INSEE Tableau.3 PIB régioaux e valeur par habitat e 2006 e euros Base 00 métropole Base 00 Île-de-Frace Base 00 Nord-Pas-de-Calais Alsace ,4 6,2 8, Aquitaie ,5 59,2 4,4 Auverge ,5 54,6 05,5 Basse-Normadie ,8 54,2 04,6 Bourgoge ,8 57,5,0 Bretage ,9 58,2 2,4 Cetre , 58,3 2,6 Champage-Ardee ,9 60,8 7,5 6 Statistique descriptive

5 Corse Frache-Comté Haute-Normadie Île-de-Frace Laguedoc- Roussillo Limousi Lorraie Midi-Pyréées Nord-Pas-de-Calais Pays de la Loire Picardie Poitou-Charetes Provece-Alpes-Côte d Azur Rhôe-Alpes ,9 85,2 89,9 5,0 78,7 82, 82,2 89,7 78,2 90,7 78,9 83, 94,3 00,2 52,2 56,4 59,6 00,0 52, 54,4 54,4 59,4 5,8 60,0 52,2 55, 62,5 66,4 00,9 08,9 5,0 93, 00,7 05,0 05, 4,8 00,0 6,0 00,9 06,3 20,6 28,2 Métropole ,0 66,2 27,9 Source : INSEE Pour comparer etre elles les valeurs de chaque tableau, o peut les soustraire les ues aux autres et calculer les écarts absolus (etre 2 dates das le premier cas, etre 2 régios das le secod). Etre 95 et 200, le PIB par habitat de l Île-de-Frace a augmeté d'u peu plus de euros. E 200, le PIB par habitat de l Alsace est supérieur d eviro euros à celui du Laguedoc- Roussillo, mais iférieur de près de euros à celui de l Île-de-Frace. Mais le recours aux écarts absolus est pas très satisfaisat pour 2 raisos : La mesure de l écart obteue déped de l uité das laquelle les gradeurs sot exprimées. Par ailleurs, l écart absolu e tiet pas compte du iveau de la valeur de départ, ce qui limite les possibilités d iterprétatio. Par exemple, l augmetatio de euros du PIB par habitat e Île-de-Frace de 995 à 200 aurait pas la même sigificatio si le PIB de 995 était de euros au lieu de Pour cotourer ces icovéiets, o raisoe sur les écarts relatifs, c est-à-dire l écart absolu divisé par la valeur de départ. Cet écart relatif correspod au taux de variatio, et o l exprime gééralemet e pourcetage. Soit X ue variable statistique ayat x 0 comme valeur de départ et x t comme valeur d arrivée, le taux de variatio etre la valeur de départ et la valeur d arrivée s écrit : v t / 0 = (x t x 0 ) x 0 = x t x 0 O multipliera le taux de variatio par 00 pour obteir u pourcetage. Etre 995 et 200, le PIB/hab. de l Île-de-Frace a crû de : valeur 200 valeur 995 = 37,47 30,75 = 6,72 30,75 = 0,29 = 2,9 % L écart relatif de PIB/hab. etre l Alsace et le Laguedoc-Roussillo, e preat le PIB/hab. du Laguedoc-Roussillo comme valeur de référece, est de : valeur Alsace = valeur Laguedoc-Roussillo = = 0,73 = 7,3 % Chapitre Les otios de base 7

6 Le PIB/hab. alsacie est supérieur de 7,3 % au PIB/hab. du Laguedoc-Roussillo. L écart relatif de PIB/hab. etre l Alsace et l Île-de-Frace, e preat l Île-de-Frace comme référece, est de : valeur Alsace = valeur Île-de-Frace = = 0,388 = 38,8 % Le PIB/hab. alsacie est iférieur de 38,8% au PIB/hab. fracilie. Comme le taux de variatio est obteu e divisat des valeurs exprimées das la même uité, c est évidemmet u ombre sas dimesio. 2) Taux de variatio et coefficiet multiplicateur Pour exprimer ces variatios relatives, o aurait pu tout aussi bie faire le rapport etre les 2 valeurs cosidérées, diviser la valeur d arrivée par la valeur de départ. O obtiet alors le coefficiet multiplicateur qui idique le ombre par lequel la gradeur cosidérée a été multipliée etre la situatio de départ et la situatio d arrivée : m t / 0 = x t x 0 Remarques ) Valeur du coefficiet multiplicateur : Quad la valeur d'arrivée est supérieure à la valeur de départ (croissace das le cas où o suit l'évolutio d ue valeur das le temps), le coefficiet multiplicateur est supérieur à. Quad la valeur d'arrivée est iférieure à la valeur de départ (baisse), le coefficiet multiplicateur est iférieur à. 2) Relatio etre taux de variatio et coefficiet multiplicateur : Ce qui implique évidemmet que : Taux de variatio = Coefficiet multiplicateur = 00 (coefficiet multiplicateur ) % Coefficiet multiplicateur = + taux de variatio = + taux de variatio e % 00 U coefficiet multiplicateur supérieur à correspod à u taux de variatio supérieur à 0, et u coefficiet multiplicateur iférieur à correspod à u taux de variatio iférieur à 0. PIB régioaux Coeff., multiplicateur Taux de variatio Alsace par rapport au Laguedoc-R.,73 7,3 % Alsace par rapport à l IdF 0,62 38,8 % 3) Pour calculer u taux de variatio, il est plus simple de passer par le multiplicateur que de rapporter l écart absolu à la valeur de départ. 3) Expressio sous forme d idices C est la troisième faço d exprimer ue variatio relative. L idice correspodat à la valeur d arrivée est obteu e multipliat par 00 le coefficiet multiplicateur. 8 Statistique descriptive

7 O appelle idice le ombre sas dimesio résultat du rapport de deux valeurs prises par ue même gradeur, soit à deux dates différetes, soit sur deux espaces différets. Il est bo de remarquer qu u idice e peut suivre l évolutio que d ue seule variable : soit l évolutio de la variable das le temps, c est alors u idice temporel, soit l évolutio des différeces etre plusieurs variables à u momet doé, c est alors u idice spatial. Soiet x t la valeur de la variable à la date courate «t» (ou situatio courate), et x 0 la valeur de la variable à la date de base «0» (ou situatio de base), l idice de la variable etre la situatio «0» et la situatio «t» est : I t / 0 = 00 x t x 0 L idice du PIB/hab. de l Île-de-Frace, base 00 e 95, vaut 00 37,47 = 2, 9 e ,75 E 999, cet idice vaut : I 99 / 95 = 00 valeur 99/valeur 95 = 00 35,0 30,75 = 3,9 O peut aisi retracer l évolutio du PIB/hab. de l Île-de-Frace e trasformat les doées brutes e idices base 00 e 95. Tableau.2b Idices du PIB e valeur et de la populatio de l Île-de-Frace, base 00 e PIB e valeur 00,0 03,0 06,4 0,0 4,8 20,6 23,8 Populatio 00,0 00,2 00,3 00,5 00,8 0,2 0,6 PIB/hab. 00,0 02,9 06, 09,4 3,9 9, 2,9 De la même faço, o peut exprimer les disparités de PIB régioaux e choisissat l ue des régios comme base. Cf. 3 derières coloes du tableau.3. Remarques ) U idice se calcule à partir d ue doée de base ou de référece qui sert de base aux calculs. L idice correspodat à cette doée iitiale est 00. 2) Das le cas d u idice temporel, cette doée de base s appelle «date de base» ou «date de référece» ; das celui d u idice spatial, cette doée s appelle «situatio de base» ou «situatio de référece». 3) La valeur d'u idice 'a de ses que relativemet à la base das laquelle il s'exprime. La base 00 idique le poit de départ de la comparaiso. Le choix de la base permet de faire ressortir certaies évolutios. Toujours idiquer à quoi correspod la base 00 (quelle date, quel edroit). Cf. tableau.3. 4) Exprimer ue variatio e idice reviet à rameer à 00 la valeur de départ, et l'idice associé à la valeur d'arrivée vaudra plus de 00 e cas de variatio supérieure à 0, mois de 00 e cas de variatio iférieure à 0. 5) Les idices cosidérés ici, appelés idices élémetaires, sot trasitifs. Aisi, ous avos : Chapitre Les otios de base 9

8 I 2 / 0 = I 2 / I / 0 x 00 ce qui est équivalet à I 2 / = 00 I 2 / 0 I / 0 Cette propriété de trasitivité se déduit immédiatemet de la défiitio des idices : I 2 / 0 = 00 x 2 x 0 = 00 x 2 x x x 0 = I 2 / I / 0 00 I 2 / = 00 x 2 = 00 x 2 x 00 x 2 0 x = 0 = x x 0 x x x 0 I 2 / 0 I / 0 00 = 00 I 2 / 0 I / 0 PIB/hab. Île-de-Frace O vérifiera aisi que I 0 / 99 I 99 / 95 = 00 I 0 / 95 I 0 / 99 = 07,0 07,0 3,9 = 00 2,9 CQFD Iterprétatio : le PIB/hab. d Île-de-Frace a augmeté de 3,9 % etre 995 et 999, puis de 7 % etre 999 et 200. Il a doc augmeté de 2,9 % etre 995 et 200. O reviedra sur les idices au chapitre suivat. 6) Relatio etre idice et taux de variatio Idice e, base 00 e 0 = 00 coefficiet multplicateur etre 0 et Quelques équivaleces chiffrées : Ue gradeur qui = 00 + taux de variatio etre 0 et e % A augmeté de A été multipliée par L idice, base 00 e 0, est passé à 5 % 40 % 00 % 300 %,05,4 2 4 A dimiué de A été multipliée par L idice, base 00 e 0, est passé à 5 % 50 % 00 % 0,95 0,5 (divisé par 2) 0 (disparatio) Attetio au passage des idices aux taux de variatio. Là ecore, importace de la base. Cf. tableau.2b : le PIB/hab. d IdF a augmeté de 3,9 % etre 995 et 999 et de 2,9 % etre 995 et 200. Cela e sigifie pas qu il a augmeté de 8 % etre 999 et 200. E fait, comme o l a vu, il a augmeté de 7 % Cf. trasitivité des idices élémetaires : I 0 / 99 = I 0 / I 99 / C) Importace du ses de la comparaiso Comparer la situatio e à la situatio e 0 e doe pas les mêmes résultats que la comparaiso iverse (situatio e 0 par rapport à la situatio e ). Si l'écart absolu est, au sige près, idetique das les 2 cas, l'écart relatif est lui écessairemet différet puisque le déomiateur 'est pas le même. ) Raisoemet sur les taux de variatio Le PIB/hab. est, e Île-de-Frace, supérieur de 9,8 % à ce qu il est e Laguedoc-Roussillo. Ça e veut évidemmet pas dire que le PIB/hab. du Laguedoc-Roussillo est iférieur de 9,8 % au PIB/hab. fracilie (le PIB/hab. du Laguedoc-Roussillo serait alors égatif!). 0 Statistique descriptive

9 Comparaiso IdF / Lag-R. Valeur de départ de la comparaiso = celle observée au Lag-R. Écart absolu = valeur IdF valeur Lag-R. = euros. O rapporte cet écart absolu à la valeur du PIB/hab. du Lag-R. (= 22 66). Comparaiso Lag-R. / IdF Valeur de départ de la comparaiso = celle observée e IdF Écart absolu = valeur Lag-R. valeur IdF = euros. O rapporte cet écart absolu à la valeur du PIB/hab. e IdF (= ). Le déomiateur est beaucoup plus élevé das le 2 ème cas que das le er. Le taux de variatio sera écessairemet beaucoup plus faible (e valeur absolue). Il vaudra 47,9 %, ce qui veut dire que le PIB/hab. du Laguedoc-Roussillo est iférieur de 47,9 % à ce qu il est e Île-de-Frace (autremet dit, il représete 52, % du PIB/hab. fracilie, cf. tableau.3). Gééralisatio O motre que : si le taux de variatio etre 0 et vaut a, alors le taux de variatio etre et 0 vaut a + a Ue baisse de 20 % etre 0 et correspod aisi à ue hausse de 0,2 / 0,8 = 25 % etre et 0. Si, par exemple, les salaires baisset de 20 % au cours d ue période, puis augmetet de 25 % à la période suivate, ils revieet à leur iveau de départ. Quelques équivaleces chiffrées : 20 % etre 0 et + 25 % etre et 0 50 % etre 0 et + 00 % etre et 0 80 % etre 0 et % etre et % etre 0 et 6,67 % etre et % etre 0 et 33,33 % etre et % etre 0 et 44,44 % etre et 0 Illustratio : U commerçat pratique ue marge d u-tiers (ved ses produits 33,33 % de plus qu il e les achète). Au momet des soldes, quelle réductio maximum sur les prix marqués peut-il accorder pour e pas vedre à perte? Répose : 25 % 2) Raisoemet sur coefficiets multiplicateurs et idices. Le coefficiet multiplicateur etre et 0 est égal à l'iverse du coefficiet multiplicateur etre 0 et m 0 / = x 0 = x m / 0 O e déduit que I 0 / = I / 0 00² (propriété de réversibilité des idices élémetaires). Tableau.3 : I L-R / IdF = 48,9 I IdF / L-R = 00² = 00² = 0, ² = 204,5 I L-R / IdF 48,9 Chapitre Les otios de base

10 D) Des taux de variatio successifs au taux de variatio global Questio : commet, à partir de taux de variatio successifs, détermier le taux de variatio global? Supposos qu au lieu de disposer des valeurs du PIB/hab. de l Île-de-Frace, o e coaisse que les taux auels de variatio. Tableau.2c Taux de variatio auels PIB e valeur - 3, 3,3 3,4 4,4 5 2,7 Populatio - 0,2 0, 0,2 0,3 0,3 0,4 PIB par hab. - 2,9 3, 3, 4 4,6 2,3 Commet mesurer le taux global de variatio etre 95 et 0? La mauvaise répose est e additioat les pourcetages. Ce faisat, o sous-estimerait le taux de variatio global puisque additioer les pourcetages reviet à tous les appliquer à ue même valeur (la valeur de départ), alors qu e fait, ils s appliquet à ue valeur qui croît d'ue date à l autre. Si les variatios étaiet toutes iférieures à 0 (baisse cotiue), alors l additio des pourcetages surestimerait la baisse globale. Pour calculer le taux de variatio global, il faut passer par les coefficiets multiplicateurs, il faut multiplier les multiplicateurs. Le multiplicateur global etre 95 et 0 vaut m 0 / 95 =,029,03,03,04,046,023 =,27 Soit u taux de variatio global de 2,7 % (résultat u peu différet de celui obteu sur les doées brutes e raiso des arrodis). La somme des pourcetages vaut quat à elle 20. Gééralisatio Soit ue variable X observée e 0,, 2 jusqu à. Le multiplicateur global etre 0 et vaut : m / 0 = m / m / 2 m 2 / m / 0 D après le lie etre multiplicateur et taux de variatio, o peut dire que le taux global de variatio etre 0 et vaut alors : v / 0 = m / 0 = 00 (m / 0 ) % De même, pour les idices, l idice global vaut alors : I / 0 = I / I / 2 I 2 / I / 0 00 Das le cas où la date (ou la situatio) de base est p, les idices sot multipliés par 00 (p + ). Applicatio : Calcul de taux de variatio globaux à partir d ue évolutio exprimée e idices. Supposos que les variatios auelles du PIB/hab. d Île-de-Frace soiet exprimées e idices. Il s agirait alors d idice base 00 l aée précédete. 2 Statistique descriptive

11 Tableau.2d Idices base 00 l aée précédete PIB e valeur - 03, 03,3 03,4 04, ,7 Populatio - 00,2 00, 00,2 00,3 00,3 00,4 PIB par hab. - 02,9 03, 03, 04 04,6 02,3 Combie vaut le taux de variatio global etre 95 et 99 du PIB/hab.? Il s agit de calculer la valeur e 99 de l idice base 00 e 95. O utilise la propriété de trasitivité des idices élémetaires. I 99 / 95 = I 99 / 98 I 98 / 97 I 97 / 96 I 96 / = 04 03, 03, 02, = 3,8 D après le rapport etre idice et taux de variatio, o a : v 99 / 95 = I 99 / Doc, v 99 / 95 = 0,38 Combie vaut le taux de variatio global etre 99 et 200 du PIB/hab.? Il s agit de calculer la valeur e 200 de l idice base 00 e 999. I 0 / 99 = I 0 / 00 I 00 / = 02,3 04,6 00 = 07,0 Doc, v 0 / 99 = 0,07 Combie vaut le taux de variatio global etre 95 et 200? La valeur e 200 de l idice base 00 e 995 se déduit des 2 idices précédets : I 0 / 95 = I 0 / 99 I 99 / = 07,0 3,8 00 = 27,8 D où : v 0 / 95 = 0,278 Illustratio : E Frace, pour calculer le reveu imposable (base de l IR), o applique ue ère déductio de 0 % sur le reveu déclaré (pour frais professioels). O pratique esuite u abattemet de 20 %. Quelle est la déductio globale accordée? Quelle serait-elle si l o pratiquait d abord l abattemet de 20 %, puis la déductio de 0 %? Répose : Même déductio de 28 % das les 2 cas. E) Taux auel moye de variatio Questio posée : À quel taux le PIB/hab. d Île-de-Frace a-t-il crû, e moyee, par a sur l esemble de la période cosidérée? La mauvaise répose est pour le savoir, il suffit de diviser le taux de variatio global par le ombre d aées cosidérées ; calcul qui a aucu ses. Pour répodre à la questio, il faut partir de la défiitio du TAMV (Taux Auel Moye de Variatio). Chapitre Les otios de base 3

12 Le TAMV correspod au taux auel costat auquel la gradeur cosidérée aurait dû varier pour coaître la même variatio globale que celle effectivemet eregistrée. Raisoos sur les multiplicateurs. Etre 995 et 200, le PIB/hab. d Île-de-Frace a été multiplié par,29. Par quel ombre costat aurait-il dû être multiplié tous les as pour que la multiplicatio globale soit toujours de,29? O cherche doc m tel que : m m m m m m = m 6 =,29 m = 6,29 =,29 /6 =,034 Doc, TAMV = 0,034 = 3,4 % Etre 995 et 200, le PIB/hab. fracilie a crû e moyee de 3,4 % par a. Gééralisatio Le TAMV etre l aée t et l aée est tel que : ( + TAMV etre t et ) t = + v / t + TAMV etre t et = t + v / t TAMV etre t et = t + v / t Autremet dit, TAMV etre t et = (multiplicateur global etre t et ) / t Et o multiplie le résultat par 00 pour l exprimer e pourcetage. Applicatio : Le PIB/hab. d Île-de-Frace a-t-il crû au même rythme auel moye etre 995 et 999, et etre 999 et 200? TAMV =,38 ¼ = 0,033 = 3,3 % TAMV 99-0 =,070 ½ = 0,034 = 3,4 % Il y a ue croissace auelle moyee du même ordre sur les 2 sous-périodes. Remarque : O s est cocetré sur le taux auel moye de variatio. Cepedat, o peut tout aussi bie calculer des taux de variatio mesuels moyes, trimestriels moyes, etc. II Résumer l iformatio : les moyees Le calcul d ue moyee permet de résumer l iformatio chiffrée dot o dispose, ce qui sigifie évidemmet que l o perd e même temps de l iformatio (otammet sur la dispersio des valeurs de la variable cosidérée). La moyee la plus commuémet utilisée est la moyee arithmétique. A) La moyee arithmétique La moyee arithmétique des valeurs que pred ue variable est égale à la somme de ces valeurs divisée par leur ombre. Remarque évidete : Pour calculer la moyee d'ue variable, il faut que ses valeurs soiet sommables. 4 Statistique descriptive

13 ) Moyee simple, moyee podérée Exemple : U magasi ved 3 types d ordiateurs portables à 300, à et à Quel est le prix moye des ordiateurs e vete das ce magasi? Répose : = Gééralisatio Soit ue variable qui pred valeurs différetes, {x, x 2,, x }, la moyee arithmétique de ces valeurs s'écrit : x = x + x x = x i C est la moyee simple, égale à la somme des valeurs observées divisée par leur ombre. Exemple : Au cours du mois écoulé, le magasi cosidéré plus haut a vedu 200 ordiateurs : 20 ordiateurs à 300, 60 ordiateurs à 2 000, 20 ordiateurs à Quelle recette réalise-t-il, e moyee, par ordiateur? r = = = 650 Gééralisatio La moyee arithmétique podérée est obteue e multipliat chaque valeur cosidérée par u coefficiet de podératio. Soit ue série statistique {x, x 2,, x } das laquelle les x i sot affectés d ue podératio différete λ, λ 2,, λ, la moyee arithmétique podérée de cette série est : x = λ x + λ 2 x λ x λ + λ λ = λ i x i λ i Cette moyee est égale à la somme podérée des valeurs divisée par la somme des podératios. 3 remarques sur les podératios : ) Ce qui compte, ce sot les poids relatifs. a) Si o multiplie tous les poids par u même ombre, la valeur de la moyee podérée est pas modifiée. b) Si les podératios sot toutes idetiques, alors toutes les valeurs ot le même poids relatif. Les podératios e jouet aucu rôle ; o peut doc les supprimer. O obtiet alors ue moyee Chapitre Les otios de base 5

14 simple. Ue moyee simple est doc e fait ue moyee podérée pour laquelle les podératios sot toutes idetiques. 2) Les podératios peuvet représeter, comme das l exemple précédet, l effectif de chaque valeur cosidérée. λ i représete alors l effectif global (le ombre total d idividus de la populatio cosidérée). λ i λ i représete la fréquece de la valeur x i. O la otera f i et o a f. La moyee podérée se réécrit alors : λ 2 λ x = λ x + x x = f x + f 2 x f x = f i x i λ i λ i λ i Das l exemple, les ordiateurs à 300 représetet = 60 % des vetes, 60 à = 30 % 20 à = 0 % La recette moyee par ordiateur peut se calculer de la faço suivate : r = 0, , , ) Les podératios peuvet égalemet refléter le fait que les différetes valeurs de la série cosidérée 'ot pas toutes la même importace. Exemples : - Idice des prix à la cosommatio (IPC) servat à mesurer l iflatio = moyee podérée des prix d'u paier de bies de référece, podératio par le poids de chaque type de bie das la cosommatio totale des méages (par coefficiet budgétaires, cf. ch. 2). - Moyee des otes obteues par u étudiat das des matières affectées de coefficiets différets. 2) Propriétés de la moyee arithmétique La moyee arithmétique d ue série de valeurs coserve la somme des valeurs. x est le ombre tel que : λ x + λ 2 x + + λ x = λ x + λ 2 x λ x x λ i = λ i x i Plutôt qu ue propriété de la moyee arithmétique, c e est e fait la défiitio. La moyee arithmétique d ue série est e effet le ombre tel que, si l o remplace chaque valeur particulière de la série par cette moyee, la somme des valeurs est ichagée. 2 Toutes les valeurs de la variable sot situées de part et d autre de la moyee (moyee écessairemet comprise etre la plus petite et la plus grade valeur). La moyee est ue caractéristique de tedace cetrale, o s'atted à ce qu elle se trouve quelque part vers le milieu de la série. Cette formule est toutefois ambiguë : le milieu est mieux défii par la médiae et la moyee se trouve plus ou mois proche du milieu (de la médiae) selo la dispersio de la série (Cf. Chap. 4). 6 Statistique descriptive

15 3 Si l o ajoute (ou retrache) u même ombre à chaque valeur de la série, la moyee arithmétique se trouve augmetée (dimiuée) de ce ombre. (avec a > 0 ou < 0) λ (x + a) + λ 2 (x 2 + a) + + λ (x + a) λ + λ λ = λ i x i λ i + a λ i λ i = x + a C est ue propriété qui permet de simplifier les calculs umériques, quad les valeurs de la variable sot élevées ; o retrache alors u même ombre de toutes les valeurs. O peut retracher de chaque valeur la moyee arithmétique de la série. Cette opératio s appelle le cetrage de la série (o cetre la série sur sa moyee). La somme podérée des valeurs de la variable cetrée est ulle. La série cetrée a ue moyee arithmétique ulle. λ ( x x ) + λ 2( x 2 x ) + + λ ( x x ) λ + λ λ = λ i x i λ i x λ i = x x = 0 λ i 4 Si l o multiplie par u même ombre chaque valeur de la série, la moyee arithmétique est multipliée par ce ombre. λ (ax ) + λ 2 (ax 2 ) + + λ (ax ) λ + λ λ = a λ i x i λ i = a x C est ue propriété qui implique que la valeur de la moyee arithmétique est idépedate du choix de l uité de mesure (la moyee d ue variable exprimée e vaut autat de $ que la moyee de la même variable exprimée e $). 5 Propriété d associativité (ou d agrégatio) : la moyee arithmétique des moyees arithmétiques calculées sur des sous-esembles d ue série est égale à la moyee arithmétique géérale de la série. L itérêt de cette propriété est qu elle permet de simplifier les calculs umériques. B) La moyee géométrique La moyee géométrique des valeurs prises par ue variable est le ombre qui coserve le produit de ces valeurs. ) La moyee géométrique simple La moyee géométrique, otée g x, de la série de valeurs (x, x 2,, x ) est telle que : g x g x g x fois = x x 2 x g x = x i g x = x i = Il est bo de oter que est le ombre de termes de la série. / x i / = ( x ) x 2 x NB : Cette formule e peut s appliquer qu à des séries de valeurs strictemet positives. Chapitre Les otios de base 7

16 L utilisatio la plus courate de la moyee géométrique est pour le calcul de taux de variatio moyes (le TMV s obtiet à partir de la moyee géométrique des multiplicateurs). O peut doer ue autre expressio de la moyee géométrique (calcul par les logarithmes) : g x est tel que g x = x x 2 x l( g x ) = l( x x 2 x ) l( g x ) = l( x i ) l( ) g x = l( ) x i Le logarithme de la moyee géométrique est égal à la moyee arithmétique simple des logarithmes des valeurs x i. 2) La moyee géométrique podérée Soit ue série statistique {x,, x } das laquelle les x i sot affectés d ue podératio différete, la moyee géométrique podérée de cette série est : g x α g x α 2 g x α = x α x 2 α 2 x α g x α i = x α x 2 α 2 x α α g x = ( x α x 2 α 2 x ) / α i α g x = x / α i α x 2 / α i x 2 α / α i f g x = x f x 2 f 2 x f g x = x i i avec f i = α i α i Expressio e log : Le logarithme de la moyee géométrique podérée est égal à la moyee arithmétique podérée des logs des valeurs x i. l(g x ) = f i l(x i ) = λ i l(x i ) λ i C) La moyee harmoique La moyee harmoique d ue série de valeurs est le ombre qui coserve la somme des iverses de ces valeurs. ) La moyee harmoique simple La moyee harmoique, otée h x, de la série de valeurs {x, x 2,, x } est telle que : = = h x h x h x x x 2 x h x x i = h x Il est bo de oter que est le ombre de termes de la série. L'iverse de la moyee harmoique est égal à la moyee arithmétique des iverses des valeurs x i. x i 8 Statistique descriptive

17 De l expressio précédete o tire : h x = x i 2) La moyee harmoique podérée L iverse de la moyee harmoique podérée est égal à la moyee arithmétique podérée des iverses des valeurs x i. h x = α i x i λ i = f i x i h x = f i x i La moyee harmoique possède la propriété d associativité. La moyee harmoique des moyees harmoiques calculées sur des sous-esembles d ue série est égale à la moyee harmoique géérale de la série. Soit ue série de valeurs divisée e deux sous-esembles, sous-esemble de valeurs x i (N valeurs) et sous-esembles de valeurs y i (M valeurs) ; o a : = N h x N x i et M = h y M j = y j La moyee harmoique géérale h de la série est telle que : h = N + M N + M h x h y D) Relatio etre les moyees Les différetes moyees (arithmétique, géométrique, harmoique) d ue série de valeurs e sot égales que si la série est formée de valeurs toutes idetiques. Das tous les autres cas, la relatio d ordre suivate est vérifiée : h x < g x < x Exemple : Moyees de la série statistique {00 ; 60} Moyee harmoique = 75 Moyee géométrique = ,5 Moyee arithmétique = 80 Cette relatio a d itérêt que mathématique car les cas das lesquels le calcul de ces moyees a u ses sot extrêmemet rares! Chapitre Les otios de base 9

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