Maîtriser le binaire et les conversions réciproques binaire-décimal.

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1 Support Réseau des Accès Utilisateurs SI 2 BTS Services Informatiques aux Organisations 1 ère année Support Réseau des Accès Utilisateurs Objectifs : Chapitre 1 : Codage de l'information Le système binaire Maîtriser le binaire et les conversions réciproques binaire-décimal. Plan : 1. Les systèmes de numération Définition d'un système de numération Le système décimal Le système binaire. 2. Manipulation des nombres binaires Savoir compter Passage de la base 2 vers la base Passage de la base 10 vers la base Entraînons-nous un peu Corrections des exercices. C1 Le système binaire Page 1

2 Support Réseau des Accès Utilisateurs Les hommes (ou les femmes), les Hommes en tous les cas, utilisent presque tous le système décimal. Pourquoi? Tout simplement parce que les hommes (et les femmes) ont 10 doigts. L'ordinateur, lui, n'a pas dix doigt mais simplement de l'électricité. Alors il ne connaît que deux types d'informations : il y a du courant, il n'y a pas de courant. On dit qu'il travaille dans un système binaire, ou en base deux. 1. Les systèmes de numération Définition d'un système de numération. Un système de numération n se définit au moins par deux notions : Il doit avoir n éléments qui composent sa base, Chaque groupe doit être n fois plus grand que le groupe immédiatement plus petit Le système décimal. Les dix éléments qui composent la base 10, sont les dix chiffres : Ainsi, tout nombre écrit dans la base 10 est composé de ces chiffres. La valeur de chaque chiffre dépend alors du chiffre lui-même et de sa place. Ainsi, le 2 de 1924 et celui de 2004 n'ont pas la même valeur : Le premier vaut 20, alors que le second vaut Dans un système de position, comme le notre, pour connaître la valeur de chaque chiffre qui compose un nombre, il faut décomposer ce nombre pour identifier chaque chiffre et son coefficient : on parle de forme canonique. Les nombres de la base 10 sont décomposés en plusieurs niveaux : Niveau Nom Coefficient 0 les unités 10 0 = 1 1 les dizaines 10 1 = 10 2 les centaines 10 2 = les milliers 10 3 = 1000 etc. Par exemple : décomposons le nombre 3528 : 8 unités. 2 dizaines 5 centaines 3 milliers Sa forme canonique est 3 * * * * 10 0 On peut alors vérifier que le nombre 3528 est bien dans la base 10, car tous ces chiffres appartiennent à la base 10. Les nombres de la base 10 ou du système décimal sont des nombres décimaux. C1 Le système binaire Page 2

3 Support Réseau des Accès Utilisateurs 1.3. Le système binaire. Il n'y a donc que 2 chiffres qui composent cette base. Ces chiffres sont : 0 et 1 Les nombres de la base 2 sont décomposés en plusieurs niveaux : Niveau Nom Coefficient 0 les unités car = 1 1 les "deuzènes" car = 2 2 les "quatrènes" car = 4 3 les "huitènes" car = 8 4 les "seizène" car = = = = = 256 etc. Pour composer un nombre binaire, il faut un certain nombre (0 ou 1) d'unités (niveau 0), un certain nombre (0 ou 1) de deuzènes (niveau 1), un certain nombre (0 ou 1) de quatrènes (niveau 2), etc. Exemple : donnez la décomposition et la forme canonique du nombre Le nombre est-il de la base 2? Pourquoi? 0 au niveau 0 1 au niveau = 1 * * * * au niveau 2 1 au niveau est bien un nombre de la base 2, car tous ses chiffres appartiennent à la base 2. Les nombres de la base 2 ou du système binaire sont des nombres binaires. 2. Manipulation des nombres binaires Savoir compter. Vous savez compter en décimal. Le fonctionnement est le même en binaire : On augmente les unités (le chiffre le plus à droite) de 1. Sauf lorsque celui-ci est le plus grand de la base, alors on le remet à 0 et on augmente de 1 le chiffre à sa gauche. Tout chiffre, quelle que soit sa place, réagit de la même façon. Ainsi En binaire, cela donne (jusqu'à 1000 (2) ) : C1 Le système binaire Page 3

4 Exercice : Comptez jusqu'à 35 en binaire Passage de la base 2 vers la base 10. L'intérêt est de connaître la valeur (dans notre système de numération) d'un nombre binaire rencontré sur une donnée technique par exemple. La méthode est on ne peut plus simple : il suffit de calculer le résultat de la forme canonique du nombre binaire. Par exemple : 1110 (2) = 1 * * * * 2 0 = = 14 (10) lorsqu'une écriture mathématique contient plusieurs bases, il faut préciser la base de chaque expression Exercice : Donnez les conversions décimales des nombres binaires : (2) (2) 1111(2) (2) Exercice : Donnez les conversions décimales des nombres binaires suivants : Passage de la base 10 vers la base 2. D'après la méthode de passage de base 2 vers la base 10, vue précédemment, on sait que chaque chiffre binaire est associé à un poids, dépendant de sa base : Ainsi, le chiffre des unités est associé au coefficient : 2 0 = 1 Le chiffre à sa gauche (deuzène) est associé au coefficient 2 1 =2 Le chiffre à sa gauche (quatrène) est associé au coefficient 2 2 =4 Le chiffre à sa gauche (huitène) est associé au coefficient 2 3 =8 La maîtrise de cela va nous permettre de faire la conversion du décimal vers le binaire rapidement Etape 1 : Tableau d'aide à la conversion Coefficient 2 n Valeur coefficient Bit? C1 Le système binaire Page 4

5 Etape 2 : technique de conversion 1. Déterminer le coefficient le plus proche du nombre à convertir, mais plus petit. Le bit associé à ce coefficient est Soustraire le coefficient utilisé du nombre pour obtenir le nouveau nombre à convertir. 3. Recommencer à l'étape 1 tant que le nombre à convertir n'est pas nul. 4. Le nombre binaire correspondant est composé des 1 obtenus et des 0 correspondant aux coefficients inutilisés, en respectant l'ordre. Conversion du nombre décimal 170 en binaire : Coefficient Bit? Résultat : 170 (10) = (2) Exercice : Donnez les conversions binaires des nombres décimaux : 156 (10) 96 (10) 256 (10) 124 (10) 3. Entraînons-nous un peu (corrections en dernière page) 3.1. Écrivez les 3 nombres binaires qui précèdent et qui suivent les nombres binaires suivants : 101(2) : < < < 101 < < < 1110 (2) : < < < 1110 < < < (2) : < < < < < < 3.2. Écrivez tous les nombres binaires compris entre 1111 et Convertir les nombres binaires suivants en décimal : , 1010, 1234, , Convertir les nombres décimaux suivants en binaire : 11, 30, 256, 255, 128, 124. C1 Le système binaire Page 5

6 Correction des exercices 2.1. Exercice : Comptez jusqu'à 35 en binaire Exercice : Donnez les conversions décimales des nombres binaires : (2) = 109 (10) (2) = 193 (10) 1111(2) = (2) = 16-1 (10) = 15 (10) (2) = (2) = 1023 (10) 2.2. Exercice : Donnez les conversions décimales des nombres binaires suivants : 1 (2) = 1 (10) 10 (2) = 2 (10) 100 (2) = 4 (10) 1000 (2) = 8 (10) (2) = 16 (10) (2) = 32 (10) (2) = 64 (10) (2) = 128 (10) 2.3. Exercice : Donnez les conversions binaires des nombres décimaux : 156 (10) = (2) 96 (10) = (2) 256(10) = (2) 124(10) = (2) 3.1. Écrivez les 3 nombres binaires qui précèdent et qui suivent les nombres binaires suivants : 101(2) : 10 < 11 < 100 < 101 < 110 < 111 < (2) : 1011 < 1100 < 1101 < 1110 < 1111 < < (2) : < < < < < < Écrivez tous les nombres binaires compris entre 1111 et C1 Le système binaire Correction des exercices - Page 6

7 3.3. Convertir les nombres binaires suivants en décimal : , 1010, 1234, , (2) = = = 49 (10) 1010 (2) = = = 10 (10) 1234 n'est pas un nombre binaire car les chiffres 2, 3 et 4 n'appartiennent pas à la base (2) = = 32 (10) (2) = = = 31 (10) Autre réponse : (2) est juste avant (2) donc 1111 (2) = 32-1 = 31 (10) 3.4. Convertir les nombres décimaux suivants en binaire : 11, 30, 256, 255, 128, 124. Rappel des coefficients binaires rangés dans l'ordre d'utilisation : (10) = = 1011 (2) 30 (10) = = (2) 256 (10) = (2) 255 (10) = = = (2) 128 (10) = (2) 124 (10) = = = (2) C1 Le système binaire Correction des exercices - Page 7