UNE APPROCHE INTÉGRÉE POUR RÉSOUDRE LE PROBLÈME DE FORMATION DES CELLULES DE PRODUCTION AVEC DES ROUTAGES ALTERNATIFS

Transcription

1 4 e Conférence Francophone de MOdélisation et SIMulation Organisation et Conduite d Activités dans l Industrie et les Services MOSIM 3 du 23 avril au 25 avril 23 Toulouse (France) UNE APPROCHE INTÉGRÉE POUR RÉSOUDRE LE PROBLÈME DE FORMATION DES CELLULES DE PRODUCTION AVEC DES ROUTAGES ALTERNATIFS E. Vin, P. De Lit, A. Delchabre Départeent CAD/CAM Université libre de Bruxelles (ULB) 5 av. F.D. Roosevelt, CP65/4 B-5 Bruxelles, Belgique. Mél : eanuelle.vin@ulb.ac.be RÉSUMÉ : Dans cet article, nous traitons le problèe de foration de cellules de production en présence de routages alternatifs et de contraintes de capacité au niveau des achines. Connaissant la capacité des achines, le processus de fabrication des produits et les quantités à produire, le problèe consiste à choisir, pour chaque produit, le routage préférentiel qui perettra d optiiser la ise en cellules en tere de trafic intercellulaire. L objectif principal est de iniiser ce trafic en respectant les contraintes de capacité. Nous proposons une approche basée sur l intégration d un algorithe génétique de groupeent ulti-objectifs pour la foration des cellules dans un preier algorithe génétique de groupeent ulti-objectifs pour le choix du routage préférentiel (en résolvant un problèe associé de resource planning). MOTS CLÉS : Cellule; routage alternatif; algorithe génétique de groupeent; ulti-objectifs.. INTRODUCTION Les sstèes de production en cellules (cellular anufacturing) sont une des principales applications de la technologie de groupe (group technolog) qui consiste à décoposer des sstèes en sous-sstèes en groupant enseble les éléents siilaires du point de vue opératoire ou fonctionnel. Un des principaux problèes de l ipléentation de ce sstèe cellulaire est celui de la foration de cellules de production (cell foration proble). Ces dernières années, le problèe de foration de cellules a été étudié dans de nobreux travaux. Un panel des différentes approches de ce problèe a été proposé par Mungwattana (Mungwattana, 2). Dans cet article, nous nous focalisons sur la foration de cellules en présence de contraintes de capacité au niveau des achines et en présence de routages alternatifs. Nous considérerons que plusieurs routages sont disponibles pour chaque produit dont la séquence opératoire (process) est déterinée. De nobreux auteurs proposent différentes éthodes de résolution pour le problèe de foration de cellules incluant les routages alternatifs (par exeple Diallo et al., 993 ; Askin et al., 997 ; Logendran et al., 994). Gupta (Gupta, 993) a proposé un algorithe en deux étapes. Pendant la preière étape, un routage est déteriné définitiveent pour chaque produit en respectant les contraintes de capacité. Ensuite, la ise en cellules est effectuée. Le désavantage de cette éthode est son approche séquentielle. La sélection des routages n est aéliorée qu une fois au début du traiteent et la flexibilité donnée par les routages alternatifs n est plus utilisée pour iniiser le trafic intercellulaire. Nagi (Nagi et al., 99) a proposé une éthode itérative résolvant deux sous-problèes distincts : la foration de cellules à l aide d une heuristique (Harhalakis et al, 99) et la sélection des routages par l algorithe du Siplex. À chaque génération, un des deux problèes est résolu en utilisant la solution de l autre problèe. Cette éthode est liitée par l utilisation de la éthode du Siplex car le nobre de contraintes devient très iportant quand la taille des problèes augente. De plus, l utilisation d une heuristique ne garantit pas la convergence vers un optiu. Caux (Caux et al., 2) a iaginé une approche basée sur le recuit siulé et l algorithe de «branch-andbound» pour aéliorer siultanéent la sélection des routages et la iniisation du flux intercellulaire. Dans ce cas, chaque opération est effectuée sur une achine définie et chaque produit possède différentes séquences opératoires. Une bonne allocation des opérations aux achines disponibles n iplique pas forcéent un bon groupeent en cellules. Bien au contraire, ces deux buts sont en général contradictoires. Pour éviter les inconvénients de la résolution séquentielle des deux sous-problèes, la éthode proposée dans cet article groupe siultanéent les opérations des produits sur les achines et les achines en cellules. L approche est basée sur deux algorithes génétiques de

2 MOSIM 3 du 23 avril au 25 avril 23 Toulouse (France) groupeent ulti-objectifs (MOGGA) intégrés. Le preier (RP-MOGGA, resource planning) peret de résoudre le problèe de sélection des routages préférentiels et le second (CM-MOGGA, cellular anufacturing) intégré au RP-MOGGA traite siultanéent le problèe de foration de cellules en iniisant notaent le trafic intercellulaire. Une description détaillée du problèe est proposée au paragraphe 2. Le paragraphe 3 présente le MOGGA, l outil principal utilisé dans l algorithe. L algorithe coplet de résolution est expliqué dans le paragraphe 4 tandis que les deux MOGGAs sont détaillés respectiveent dans les paragraphes 5 et 6. Les conclusions de cette rechreche sont présentées au paragraphe DESCRIPTION DU PROBLÈME Notre problèe peut être décoposé en deux problèes distincts : le groupeent des opérations sur les achines et le groupeent des achines en cellules de anière à iniiser le trafic intercellulaire. Les données du problèe et les hpothèses forulées sont présentées ci-dessous. Nous considérons un enseble M = {, 2,, } de achines dans un sstèe de production donné. Chaque achine n, considérée coe unique, est caractérisée par une disponibilité, d n, Cette valeur doit tenir copte des pannes possibles et des variations de production. Nous définissons aussi un enseble {p, p 2,, p p } de p produits. Chaque produit k est défini par une quantité Q k à produire, une et une seule séquence opératoire de NO k opérations {o k, o k2,, o k NOk } et un facteur de transport FT k copris entre et. Ce facteur de transport doit tenir copte des caractéristiques suivantes : taille, fore, état du produit (liquide, solide, etc.), coût, quantité, risque de doage du produit. L enseble de ces facteurs sont pondérés par un poids variable suivant les priorités que l on accorde à ces critères. La différence avec les études précédentes réside dans la définition des séquences opératoires. Chaque opération n est pas liitée à une achine donnée ais est définie coe un tpe d opération pouvant être réalisée par un tpe de achine donné. Chaque opération peut être réalisée par l enseble des achines appartenant à son tpe. Par exeple, nous pouvons considérer une opération d alésage à effectuer sur le produit. Cette opération d alésage sera du tpe alésage et pourra donc être effectué par l enseble des achines appartenant au tpe de achines aléseuses. Nous définissons donc un enseble T = {t, t 2, t t } de t tpes de achines capables d exécuter les t tpes d opérations. Chaque achine appartient à au oins un tpe de achines. Une achine ulti-fonctionnelle appartiendra à plusieurs tpes de achines. Grâce à cette spécification, un produit possède différents routages potentiels capables de réaliser la séquence opératoire donnée. Les teps opératoires t ikn de chaque opération i des produits k peuvent être fixés de anière générale pour toutes les achines du tpe ou de anière spécifique pour une achine n. Le choix du routage est effectué par l algorithe siultanéent à la foration des cellules. Ce concept est illustré à la Figure. La séquence opératoire d un produit est définie par 4 opérations, et donc 4 tpes de achines. Coe entionné précédeent, une achine donnée peut appartenir à plusieurs tpes (ici, appartient à t et t 3 ). Le routage préférentiel pourrait être {, 3,, 7 }. o i o i2 o i3 o i4 t t 2 t 3 t Figure. Une séquence opératoire correspond à différents routages. Pour orienter les groupeents, nous définissons un coefficient de siilarité (SP kl ) entre tous les produits k et l, calculé suivant la éthode d Irani (Irani et Huang, 2). Ce coefficient se calcule à l aide des forules ci-dessous : c( x, ) c(, x) = id(, x) d(, x) Nx si Nx > N N id( x, ) d( x, ) N si Nx < N N x id( x, ) d( x, ) N ; Nx ax si id(, x) d(, x) N x N N x = N où N x et N représentent respectiveent le nobre d opérations appartenant à la séquence opératoire du produit x et du produit. Le coefficient d(x,) (Merger Distance) ainsi que le coefficient id(x,) (Interuption Distance) sont développés par Irani (Irani et Huang, 2). Ce coefficient de siilarité (c) est la seule esure qui exprie l exacte coparaison de séquence pour détecter les sous-séquences counes. Une coparaison de ce coefficient de siilarité avec d autres coefficients est donné dans (Irani, 2). Pour liiter la difficulté de récolte des données, les coûts sont pris en copte par le biais d une liite inférieure d utilisation (LL n ) pour chaque achine n. Cette liite s exprie coe un pourcentage de la disponibilité (d n ) de la achine. La valeur sera proche

3 MOSIM 3 du 23 avril au 25 avril 23 Toulouse (France) de % si le coût de la achine est élevé et si elle doit être utilisée au axiu. À l inverse, elle pourra être inférieure à 5 % si la achine est peu coûteuse, si elle ne doit pas être utilisée intenséent pour être rentable et si elle peut être dédoublée. De la êe anière, on définit une liite supérieure d utilisation (HL n ). Celle-ci peret d iposer une certaine flexibilité au sstèe. En cas de problèe sur une achine, la production peut alors être réorientée vers une autre achine dont l utilisation est inférieure à sa liite supérieure d utilisation. Si l utilisateur désire une grande flexibilité, il fixera HL n à une valeur relativeent basse (7 % par exeple). Coe le ontre la Figure 2, pour différentes utilisations (U) de la achine, ces liites peuvent être dépassées. Elles le sont néanoins au prix de pénalisations dans l évaluation de la solution proposée. d d.hl d.ll U d d.hl d.ll U Sur-utilisation d d.hl d.ll U Sous-utilisation Figure 2. Trois cas d utilisation de achine (U) en fonction des liites d utilisation. 3. MO-GGA Les algorithes génétiques (GAs) sont une technique d optiisation inspirée du processus d évolution des organises vivants. L idée essentielle est de aintenir une population de chroosoes, chaque chroosoe étant le codage (une description ou génotpe) d une solution (phénotpe) du problèe à résoudre. La valeur de chaque chroosoe est esurée par son fitness, souvent sipleent calculé par la valeur de la fonction objectif au point de l espace de recherche défini par le chroosoe considéré. Falkenauer (Falkenauer, 998) a ontré la faiblesse des GAs standards quand ils sont appliqués à des problèes de groupeent. Il a introduit l algorithe génétique de groupeent (GGA), un GA forteent odifié pour supporter la structure des problèes de groupeent. Le but principal de ces problèes est de grouper des ebres d un enseble (c est-à-dire trouver une bonne partition de cet enseble). Le codage des chroosoes et les opérateurs du GGA (recobinaison, utation et inversion) anipulent des groupes, plutôt que des éléents à grouper. L application des GAs à la résolution des problèes ulti-objectifs (MOP) doit prendre deux objectifs en considération : explorer un vaste espace de solutions et cobiner plusieurs objectifs potentielleent conflictuels. L approche proposée est basée sur l encapsulation dans le GA de la éthode d aide à la décision ulticritère PROMETHEE II (Brans et Mareschal, 994). La description coplète de cette éthode sort du cadre de cet article. Cependant, il est intéressant de savoir que le principe général de la éthode est le calcul d un flux net φ entre les solutions. Ce flux net fournit un classeent entre les différentes solutions de la population (appelé classeent coplet de PROMETHEE II). Ce flux net représente le fitness de la solution et va donc être utilisé par l algorithe génétique pour ordonner l enseble des solutions. Les avantages de PROMETHEE II sont expliqués ciaprès. Tout d abord, cette éthode laisse un axiu de liberté sur les critères à utiliser : le nobre de critères peut varier par siple ajout ou suppression ; les critères à axiiser et à iniiser interviennent siultanéent ; l utilisation de fonctions de préférences peret de quantifier les critères et de coparer les solutions. Ces fonctions de préférence perettent de coparer les solutions deux à deux ce qui donne le degré de préférence d une solution a sur une autre solution b par rapport à un critère. Ensuite, le poids de chaque critère qui définit l iportance relative des différents objectifs peut être odifié par l utilisateur de anière transparente. Finaleent, la rapidité de l algorithe peret de tester différentes solutions en jouant sur les critères ainsi que sur leur poids. L intégration de l algorithe PROMETHEE II dans l algorithe génétique de groupeent (MOGGA), utilisé dans notre cas, a été proposé par Rekiek (Rekiek et al., 22). 4. APPROCHE ITÉRATIVE DE RÉSOLUTION Pour résoudre le problèe coplet, nous utilisons deux MOGGAs intégrés coe l illustre la Figure 3. Le preier odule (RP-MOGGA) initialise la population de chroosoes. Chaque chroosoe représente à ce oent une solution acceptable de groupeent des opérations sur les achines spécifiques respectant les contraintes de capacité ainsi que les contraintes de faisabilité d une opération sur une achine. Après avoir évalué chaque chroosoe sur l enseble des critères, l algorithe d analse uli-critère est appliqué. Les chroosoes sont ordonnés à l aide de PROMETHEE II. Les eilleurs chroosoes sont sélectionnées pour être parents de la génération suivante du RP-MOGGA. Les opérateurs génétiques (crossover, utation et inversion) sont appliqués à ces parents, offrant une nouvelle population qui doit être réévaluée.

4 MOSIM 3 du 23 avril au 25 avril 23 Toulouse (France) CM RP Initialisation de la population Aide à la décision ulti-critère Opérateurs génétiques Préférences de l utilisateur Préférences de l utilisateur Initialisation de la population Aide à la décision ulti-critère Opérateurs génétiques Figure 3. RP-MOGGA (resource planning) avec CM- MOGGA (cellular anufacturing) intégré. Les critères utilisés dans le RP-MOGGA sont : un coefficient de foration de cellules, ainsi que des coefficients de siilarité, d utilisation des achines, de flexibilité et de coût. Ces coefficients seront détaillés au paragraphe 5.3. Il est iportant de coenter l évaluation du critère principal (la foration de cellules). À ce niveau, le chroosoe est constitué uniqueent de la preière partie de la solution, c està-dire du groupeent des opérations sur des achines spécifiques. Le groupeent des achines en cellules n a pas encore été réalisé. Pour évaluer ce coefficient de foration de cellules, il faut coencer par trouver la eilleure solution de ise en cellules pour un groupeent donné d opérations. Pour ce faire, un deuxièe odule de groupeent, CM-MOGGA, est intégré au niveau de l évaluation des solutions. À partir d une solution de resource planning, cet algorithe va perettre de trouver la solution de groupeent en cellules résultant du eilleur coprois entre tous les critères du CM-MOGGA. Chaque chroosoe de la population du RP-MOGGA sera donc coplété par une solution de ise en cellules avant d être évalué. Ceci constitue l une des originalités de l approche : un des résultats d un MOGGA (les cellules) est utilisé pour évaluer la qualité de la solution proposée par le RP-MOGGA. Ces deux MOGGAs intégrés perettent d effectuer la recherche suivant les deux axes relatifs d une part à l allocation des opérations sur des achines et d autre part au groupeent des achines en cellules. 5. IMPLEMENTATION DE L ALGORITHME RP-MOGGA 5.. Codage des chroosoes et opérateurs Le codage des chroosoes et des opérateurs génétiques sont ceux classiqueent utilisés dans les GGAs (Falkenauer, 998). Les groupes représentent les achines et les éléents des groupes les opérations Contraintes strictes Pour qu un individu de la population soit valide, il doit replir deux conditions : une contrainte de faisabilité ainsi qu une contrainte de capacité. La contrainte de faisabilité est définie au niveau de l opération. D une part, chaque opération est caractérisée par un tpe de achine qui liite son allocation aux achines appartenant à ce tpe de achine. D autre part, pour qu une achine soit accessible à l opération, il ne peut avoir de restrictions particulières introduites au niveau de l opération elle-êe. Par exeple, si l opération O 2 est du tpe achine t 2, coprenant la achine 2 et 3, on peut ettre son teps opératoire sur la achine 3 à zéro (t 23 = ). Cette restriction particulière peret d epêcher l utilisation de la achine 3 pour l opération O 2. La contrainte de capacité est définie au niveau de la achine. La disponibilité de chaque achine ne peut pas être dépassée. Cette liite pour chaque achine tient copte des pannes, des légères variations de la production et de l entretien. Il est nécesaire de prévoir une arge pour supporter l écart par rapport à la deande oenne Fonction de coût Coe entionné au paragraphe 4, les chroosoes sont coparés entre eux à l aide de la éthode PROMETHEE II (Brans et Mareschal, 994). Cinq critères, présentés ci-dessous, sont pris en considération : la siilarité (RS), l utilisation des achines ulti-fonctionnelles (RM), la flexibilité (RF), le coût (RC) et le groupeent en cellules (RG). Chacun de ces critères sera illustré sur l exeple suivant. Considérons 4 produits P (O, O 2, O 3 ) ; P 2 (O 2, O 22 ) ; P 3 (O 3, O 32, O 33, O 34, O 35 ) ; P 4 (O 4, O 42, O 43 ), produits en quantité respective Q, Q 2, Q 3 et Q 4. Supposons que l assignation sur les 4 achines accessibles est celle représentée à la Figure 4. Les flux directionnels engendrés par cette assignation sont représentés par les flèches entre les achines. Si deux opérations successives sont assignées à la êe achine, un flux interne à la achine est représenté.

5 MOSIM 3 du 23 avril au 25 avril 23 Toulouse (France) O 2 O 3 O 4 O O 2 O 43 M O 32 O 3 O 35 O 22 O 33 O 34 O 42 Figure 4. Représentation d une solution du RP- MOGGA avec CM-MOGGA intégré Les quatre achines sont caractérisées par une disponibilité de 7 heures et par les paraètres suivants expriés en nobre d heures : Machines U d n.ll n d n.hl n M Tableau. Utilisation, liites hautes et basses d utilisation des achines de l exeple de la figure Maxiiser la siilarité Le coefficient SP kl présenté au paragraphe 2 (Irani et Huang, 2) est utilisé pour calculer le coefficient S kl filtré par deux paraètres p (seuil de préférence) et q (seuil d indifférence) de la anière suivante : Siilarité forte : S kl = si p SP kl ; Indifférence : S kl = SP kl si q SP kl < p; Dissiilarité : S kl = si SP kl < q. Pour chaque achine, un coefficient RS n, expriant la siilarité oenne entre les produits assignés à cette achine, est calculé de la anière suivante : p p NOl NOk NbOn RS = S δ δ q n kl kin ljn l= k= i= j= q= RSn n = RS = Nous pouvons illustrer ce principe avec la achine 3 réalisant les opérations (O 22, O 33, O 34, O 42 ). Nous devons coparer les siilarités entre les pièces P 2, P 3 et P 4. Supposons que nous avons les coefficients de siilarité suivants : SP 23 =,68 ; SP 34 =,83 ; SP 24 =,23 ; les coefficients S kl (S 23 =,68; S 34 = ; S 24 = ) sont calculés en fonction de seuils d indifférence (q =,4) et de préférence (p =,8) choisis par l utilisateur. Le coefficient RS 3 de siilarité pour la achine 3 est la soe des six coefficients S kl entre tous les produits concernés par les quatre opérations, coparés deux à deux (P 2 P 3 ; P 2 P 3 ; P 2 P 4 ; P 3 P 3 ; P 3 P 4 ; P 3 P 4 ). Nous avons donc un coefficient oen de siilarité élevé sur la achine 3 : RS 3 = (,68,68 )/(3 2 ) =, Miniiser le coefficient de achine ultifonctionelle L utilisation du coefficient de siilarité présente l inconvénient que l algorithe privilégie le groupeent d opérations seblables sur les achines. Pour iniiser le trafic entre les achines, il est nécessaire d allouer à des achines ultifonctionnelles les opérations faisant partie de la êe séquence de fabrication d une pièce. Pour cette raison, nous introduisons le coefficient d utilisation des achines ulti-fonctionnelles. Le paraètre MM k représente le rapport entre le nobre de achines différentes utilisées pour réaliser la pièce k et le nobre d opérations de la séquence opératoire de la pièce k (NO k ) : NO k RM = MM NO. Ce paraètre ne tient pas copte de la séquence des où δ kin = si l opération i de la pièce k (O ki ) est assignée à la achine n, et NbO n est le nobre d opérations assignées à la achine n. Dans ce paraètre, on copare deux à deux les produits assignés à la achine et on soe les coefficients de siilarité respectifs. Le résultat est divisé par le nobre de coparaisons effectuées pour donner le coefficient RS n. Le facteur de siilarité RS utilisé pour évaluer la siilarité est alors calculé coe la oenne de ces coefficients RS n, définis pour chaque achine n. k= k k opérations. Par exeple, si les opérations O et O 3 sont placées sur une êe achine, le coefficient MM k sera le êe que si ce sont les deux opérations successives O et O 2 du produit P qui sont assignées à cette achine k. Cependant, la preière solution génèrera plus de flux que la seconde. Cette dernière sera donc préférée du point de vue du critère de ise en cellules coe nous le verrons au paragraphe Le coefficient RM (à iniiser) de la solution proposée à la figure 4 sera RM = =,9. 4

6 MOSIM 3 du 23 avril au 25 avril 23 Toulouse (France) Miniiser le coefficient de flexibilité Un des objectifs de l approche proposée est de axiiser la flexibilité de l environneent de production. Nous allons essaer d obtenir une configuration du sstèe de production qui perette de supporter les variations de la deande ainsi que les pannes. Lorsqu une achine tobe en panne, il est utile de pouvoir réassigner sa charge sans pour autant produire un grand retard de production ou revoir toute l allocation des opérations. Pour ce faire, nous utilisons les liites hautes d utilisation que nous avons introduites au paragraphe 2. Ces liites ne sont pas des contraintes strictes ais des contraintes douces qu il serait préférable de respecter. Nous pénalisons donc tous les dépasseents des liites supérieures d utilisation (d n. HL n ) fixées pour chaque achine (voir paragraphe 2). Le coefficient RF représente la oenne des pénalisations calculées sur toutes les achines utilisées : ( Un HLn dn) RF = ax,. ( dn HLn dn ) n= Pour le calcul des pénalisations, nous utilisons une valeur relative car un dépasseent de 2 heures de la liite haute d utilisation n a pas la êe iportance si la capacité que l on veut laisser libre sur la achine est de 4 heures ou de 2 heures. Dans le preier cas, on dépasse de 5 % la liite tandis que dans le deuxièe cas, le dépasseent ne représente que %. Sur cet unique critère, l algorithe préferera donc la deuxièe solution à la preière. Pour l exeple présenté à la figure 4, nous avons un seul dépasseent de la liite haute d utilisation. Le calcul du coefficient RF nous donne : (62 6) /(7 6) RF = =, Miniiser le coefficient de coût L utilisation de la liite basse introduite au paragraphe 2 nous peret d évaluer la rentabilité de la solution proposée. Toute sous-utilisation de achines introduit une pénalisation relative correspondant au anque de rentabilité. Les objectifs de coût sont cxonsidérés par la pénalisation de toute utilisation de achines inférieure à sa liite inférieure d utilisation (d n.ll n ) : ( LLn dn Un) RC = ax,. LL n dn n= Pour l exeple présenté à la figure 4, deux achines sont sous-utilisées. Ces achines 2 et 4 entraînent donc des pénalités. Le calcul du coefficient RC nous donne : (45 43) / 45 (6 45) / 6 RC = =, Le coefficient RF ainsi que le coefficient RC n ont pas de réalité phsique ais sont utilisées par PROMETHEE II pour coparer les solutions entre elles. Dans ces cas, nous ne pouvons pas parler de flexibilité ou de coût oen Coefficient de groupeent en cellules Après l application du second MOGGA qui groupe les achines en cellules, le coefficient de groupeent est calculé sur base des flux intercellulaires résultant de l allocation des opérations aux ressources de production. On calcule le flux intracellulaire (φ intra ) et on le divise par le flux total (φ tot ) pour obtenir le coefficient RG : RG = φ / φ. intra tot Dans le paragraphe suivant, nous précisons les différents critères qui interviendront lors du groupeent des achines en cellules. La solution proposée sera optiisée sur l enseble des critères du CM-MOGGA. Cependant le coefficient RG expriera seuleent le pourcentage du flux intracellulaire de la eilleure solution. 6. IMPLEMENTATION DE L ALGORITHME CM-MOGGA 6.. Initialisation L initialisation du MOGGA est basée sur l heuristique d Harhalakis (Harhalakis et al., 99) odifiée pour la rendre partielleent aléatoire, afin d obtenir des individus différents à l initialisation. On coence par créer pour chaque achine une cellule. Ensuite, on recherche le flux intercellulaire le plus élevé entre deux cellules. Pour peu que la taille axiale de cellule ne soit pas atteinte si on groupe ces deux cellules, on a 85% de chance de les grouper. Si ces deux cellules ne sont pas retenues, le flux suivant le plus élevé est recherché. Après chaque groupeent de cellules, les flux intercellulaires correspondant sont convertis en flux intracellulaire. Pour utiliser cette heuristique, il faut exprier le flux existant entre chaque achine. Trois atrices de flux différentes sont utilisées dans le MOGGA. 6.. Matrice de flux X Dans cette atrice, les flux entre les achines sont expriés en nobre d heures de travail sur la achine de destination. Tout produit dont deux opérations successives sont assignées respectiveent à la achine et la achine 2, engendre un flux entre ces deux

7 MOSIM 3 du 23 avril au 25 avril 23 Toulouse (France) achines dont la valeur sera égale au nobre d heures de travail à effectuer sur le produit par la achine n 2. Le coefficient x n-n2 sera égal à la soe de tous les flux (partant de la achine n et allant vers la achine n 2 ) engendré par l enseble des opérations de tous les produits entre les deux achines : NP NO k x = Q t δ δ n n2 k k.( i ). n2 k. i. n k.( i ). n2 k= i= 6..3 Matrice de flux Z Cette atrice exprie le flux net unidirectionnel qui existe entre les achines. Les coefficients de cette atrice sont calculés à partir de la atrice Y et exprient la différence des flux entre deux achines n et n 2 si elle est positive : zn n2 n n2 n2 n où δ k i n2 δ k (i) n2 = si l opération i est réalisée sur la achine n et i sur n 2. = ax( ; ). La atrice Z relative à la solution de la figure 4 est calculée à partir de la atrice Y du tableau 3. Si nous calculons la atrice de flux X pour la solution proposée à la figure 4, nous obtenons le tableau 2. X M Q.t 22 Q 2.t 223 M Q 4.t 423 Q.t 34 Q 3.t 324 Q 4.t 43 Q 3.t 343 Q 3.t 354 Q 3.t 333 Tableau 2. Matrice de flux X pour l exeple de la figure Matrice de flux Y Dans la atrice de flux Y, les flux directionnels sont expriés en nobre de lots transférés entre deux achines pondérés par le facteur de transport des produits. Deux opérations successives d un êe produit ipliquent un flux entre les deux achines n et n 2, dont la valeur est égale au nobre de lots transférés pondéré par le facteur de transport du produit. NP NO k = FT Q / TL δ δ n n2 k k k k. i. n k.( i ). n2 k= i= où TL k représente la taille de lot du produit k expriant la difficulté liée au transport du produit. La atrice de flux Y relative à l exeple de la figure 4 est présentée dans le tableau 3. Y M M N.Ft N 2.Ft 2 N 4.Ft 4 N.Ft N 3.Ft 3 N 4.Ft 4 N 3.Ft 3 N 3.Ft 3 N 3.Ft 3 Tableau 3. Matrice de flux net Y pour l exeple de la Figure 4 Z M M Y 2 Y 23 Y 24 Y 3 -Y 3 Y -Y Tableau 4. Matrice de flux unidirectionel Z pour l exeple de la Figure Contraintes dures Deux conditions doivent être satisfaites par les individus du MOGGA. D une part, le nobre axiu de cellules ne peut être dépassé et d autre part, la taille des cellules doit être respectée. Cette taille est liitée par le nobre de achines présentes, par la surface utilisée et/ou par le nobre d utilisateurs nécessaires pour faire fonctionner la cellule Fonction de coût De la êe anière que pour le RP-MOGGA, les chroosoes sont coparés entre eux à l aide de la éthode PROMETHEE II. Deux critères, présentés cidessous, interviennent : les flux intracellulaires (RF) et les flux intercellulaires directionnels (RFD) Maxiiser le flux intracellulaire (RF) À partir de la atrice X des flux expriée en nobre d heures de travail de destination, nous pouvons calculer T cd. Ce coefficient représente l enseble des flux partant d une cellule c et aboutissant à une cellule d. nbcell Φ intracell = Tcc c= où T = x δ δ cd ni n j ic jd i= j= avec δ ic = si la achine n i se trouve dans la cellule c.

8 MOSIM 3 du 23 avril au 25 avril 23 Toulouse (France) Miniiser le flux intercellulaire directionnel (RFD) Si les cellules ne sont pas parfaiteent indépendantes (c est-à-dire qu il existe un flux intercellulaire), nous allons préférer qu une cellule ne soit visitée qu une seule fois, sans retour. Le principe est de privilégier les flux intercellulaires à faible facteur de transport si on a le choix. Dans le calcul du RFD, le paraètre ϕ cd représente le flux net directionnel total de la cellule c à la cellule d (ϕ dc =). nbcell nbcell Φ intercell direct = ϕcd c= d = c où ϕ = ax(, z z ) cd ij ji i Cc j Cd i Cc j Cd 7. CONCLUSIONS Dans cet article, nous présentons une éthode innovante pour résoudre le problèe de foration de cellules avec des routages alternatifs, basée sur deux algorithes génétiques de groupeent ulti-objectifs, prenant en copte différents critères. Considérant les trois paraètres de production iportants dans la foration de cellules (le volue de production, les séquences opératoires et les routages alternatifs), la éthode optiise la foration de cellules et choisit le routage préférentiel de chaque produit. À l avenir, il sera intéressant de tester différents cas industriels avec un jeu de données assez iportant, pour étudier l apport de l intégration d un CM-MOGGA de ise en cellules dans le RP-MOGGA par rapport à l intégration d une heuristique de groupeent (Vin et al., 22). De plus, il est nécessaire de créer une heuristique spécifique pour l allocation des opérations sur les achines qui tient copte des critères d évaluation. Enfin, les routages alternatifs ont été envisagés pour optiiser la foration de cellules. Ils devraient être utilisés au niveau de l évaluation pour tester la flexibilité de la solution en cas de panne. Le êe travail devra être réalisé en tenant copte des séquences opératoires alternatives. 8. REMERCIEMENTS Ce projet est réalisé avec la collaboration du Centre de Recherche belge pour l Industrie étallurgique Francophone (CRIF) et financé partielleent par la Région wallonne et la Région flaande 9. REFERENCES Askin R., Seli H. and Vakharia A., 997. A ethodolog for designing flexible cellular anufacturing sstes. IIE transactions, 29(7), pp Brans J.-P.,Mareschal B., 994. The PROMCALC & GAIA decision support sste for ulticriteria decision aid. Decision support sstes, 2, p Caux C., 2. Cell foration with alternative process plans and achine capacit constraints: A new cobined approach. International Journal of.econoics, 64, p De Lit P., Falkenauer E., Delchabre A., 2, Grouping genetic algoriths: an efficient ethod to solve the cell foration proble. Matheatics and Coputers in Siulation, 5, p Diallo M., Pierreval H., Quilliot A., 993, Manufacturing cells design with flexible routing capabilit in presence of unreliable achines. International Journal of Production Research. 74(), p Falkenauer E., 998. Genetic algorith and grouping proble. Wile & Sons. Gupta T., 993. Design of anufacturing cells for flexible environent considering alternative routing. International Journal of Production Research, 3(6), p Harhalakis G., Nagi R., Proth J.-M. 99. An efficient heuristic in anufacturing cell foration for group technolog applications. International Journal of Production Research 28(), p Holland J. H., 975. Adaptation in Natural and Artificial Sstes. Ann Arbor:Universit of Michigan Press. Irani A., Huang H., 2. Custo design of facilities laouts for ulti-product facilities using laout odules. IEEE Transaction Robotocs and Autoation, 6(3), p Logendran R., Raakrishna P., Srikandarajah C., 994. Tabu search-based heuristics for cellular anufaturing sstes in the presence of alternative process plans. International Journal of Production Research, 32(2), p Mungwattana A., 2, Design of cellular anufacturing sstes for dnaic and uncertain production requireents with presence of routing flexibilit. PhD thesis, Blacksburg, Virginia. Nagi R., Harhalakis G., Proth J.-M., 99. Multiple routings and capacit considerations in group technolog applications. International Journal of Production Research, 28(2), p Rekiek B., De Lit P. Delchabre A., 22. Hbrid assebl line design and user s preference. International Journal of Production Research, 4(5), p Vivekanand P., Narendran T.T., 998. Logical Cell Foration in FMS, Using Flexibilit-Based Criteria. International Journal of Flexible anufacturing Sste,, p Vin E., Delit P., Delchabre A., 22. A new cobined approach to solve the Cell foration proble with alternative routings, Proceeding of 9th International Multi-Conference Advanced Coputer Sstes (ACS 22), Poland, Miedzzdroje,, p