Feuille 2 : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissements finis, étude des variations

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1 UPMC 1M001 Aalyse et algèbre pour les scieces Feuille : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissemets fiis, étude des variatios Les eercices sas ( ) sot des applicatios directes du cours. Les eercices marqués ( ) sot u peu plus difficiles, mais quelques eercices de ce gere pourrot aussi figurer das les évaluatios. Efi, quelques eercices marqués ( ) peuvet être cosidérés comme des «complémets de cours» mais certais peuvet aussi être traités comme apportat u autre éclairage sur des otios vues e cours ou des eercices précédets. Toutefois, les évaluatios e comporterot pas d eercices du type ( ). Eercice 1. Pour chacue des foctios suivates, détermier l esemble où elle est dérivable et calculer sa 1 dérivée : 1. f 1 : log( 3 + ). f : 3. f 3 : e 1/ + 1 Eercice. Soit f ue foctio défiie sur R telle que pour tout (, y) R, o ait : f() f(y) y. Motrer que f est costate. Eercice 3. Soit f : R R cotiue et dérivable e 0, et telle que f(0) = 0. Motrer que la foctio g défiie pour > 0 par g() = f() peut se prologer par cotiuité e 0. Que se passe-t-il si f(0) 0? Eercice 4. (Théorème de Darbou). Soit I u itervalle de R et f ue foctio de I das R dérivable sur I. 1. Soit (a, b) I tel que a < b. O suppose que f (a) < 0 et f (b) > 0. Motrer qu il eiste c ]a, b[ tel que f (c) = 0.. E déduire que f (I) est u itervalle, i.e f vérifie le théorème des valeurs itermédiaires. Eercice 5. Soit f la foctio défiie sur R par f() = si() Calculer f, f et f.. Motrer que pour tout 0, o a : f () 0, f () 0 et f () Motrer que pour tout R, 1 cos() 1 et 3 6 si(). Eercice 6. Soit f ue foctio réelle o ulle défiie sur R + dérivable e 1, telle que f(y) = f()f(y). 1. Démotrer que f(1) = 1. Soit 0 R + et h R telle que 0 + h > 0, démotrer que f( 0 + h) f( 0 ) = f( 0 )[f(1 + h 0 ) f(1)]. 3. Démotrer que f est dérivable e tout poit de R+ et que l o a : f () f() = f (1), pour tout > 0. Eercice 7. O dispose d ue plaque de carto carrée, de côté de logueur L. O découpe das chaque coi u carré de côté, obteat aisi ue forme de croi, puis o plie vers le haut chacu des quatre côtés, afi d obteir ue boîte sas couvercle. 1. Eprimer e foctio de L et le volume V () de la boîte.. Sas développer V () et e utilisat des formules coues pour la dérivée d u produit ou d ue composée de foctios, détermier pour quelle valeur de ce volume est maimal. Eercice 8 ( lim si()/ = 1 et dérivabilité de si et cos). Dessier u cercle trigoométrique de cetre O 0 et de rayo 1, placer le poit I correspodat à l agle θ = 0 et placer u poit M correspodat à u agle ]0, π/[ fié (e particulier > 0). Soit H le poit d itersectio de la droite (OM) avec la tagete au cercle au poit I. Comme est la logueur de l arc de cercle IM et comme le plus court chemi etre I et M est le segmet [I, M], o sait (ou l o admet) que IM (o ote IM la logueur du segmet [I, M]). 1. Détermier IM puis IM, puis motrer que 0 < si() < IM <.. Motrer que la logueur IH vaut ta() = si(). Détermier alors la surface du triagle OHI. cos() O admet que la surface de la portio de disque («part de gâteau» si o veut) détermiée par OI et OM est (/π) π = /. 1

2 M001 Aalyse et algèbre pour les scieces UPMC 3. E déduire que si() < < ta(). 4. Déduire de ce qui précède que lim 0 + si() = E utilisat que la foctio si est impaire, motrer que lim 0 si() = Motrer que la foctio si est dérivable e 0 et détermier si (0). 7. Repreat la valeur de IM, motrer que 0 < 1 cos() <. 8. Motrer que la foctio cos est dérivable e 0 et détermier cos (0). 9. Écrire les formules trigoométriques si(a + h) = et cos(a + h) = puis, e utilisat les questios précédetes, motrer que si ( cos) est dérivable sur R, de dérivée cos ( si). 10. (Optioel) Déduire le calcul de cos (0) de la formule 1 cos() =... et de la questio Détermier le domaie de défiitio D de la foctio ta() = si(), calculer sa dérivée et motrer que cos() ta () = 1 + ta(). Motrer aussi que ta( + π) = ta() pour tout D. Étudier les variatios et dessier le graphe de la foctio ] π/, π/[ R, ta(). Eercice 9 (Dérivée de = 1/ ). Soit u etier. 1. Motrer que la foctio f() = est dérivable e tout poit de R + et détermier la foctio dérivée f. Motrer aussi que f est pas dérivable à droite e 0.. Motrer que y b = (y b)(y 1 + y b + + yb + b 1 ), pour tout b, y R. 3. Soit a R +. E utilisat l égalité précédete pour b et y bie choisis, motrer que la foctio f() = est dérivable e tout poit de R + et détermier la foctio dérivée f. Motrer aussi que f est pas dérivable à droite e 0. Eercice 10. O cosidère la foctio f : 4. Les phrases sot-elles vraies ou fausses? 1. f : R Q est ue applicatio surjective. 5. f : [ 1, 1] [0, 1] est bijective.. f : R + R est ue applicatio surjective. 3. f : R R est ue applicatio ijective. 4. f : R + R est ue applicatio ijective. 6. f : [0, ] [0, ] est bijective. 7. f : [0, 1] [0, ] est bijective. 8. f : [0, 1] [0, 1] est bijective. Eercice 11. Soiet f : R R et g : R R deu applicatios. Démotrer les propriétés suivates : 1. g f est ijective f est ijective.. g f est surjective g est surjective. Motrer par des eemples que les réciproques sot fausses. Eercice 1 (Applicatios I R cotiues et ijectives). ( ) Soit I u itervalle de R, o vide et o réduit à u poit, et soit f : I R ue applicatio cotiue et ijective (i.e. f() f( ) si ). Le but de l eercice est de motrer que f est ou bie strictemet croissate ou bie strictemet décroissate. Soiet 0 < 1 < das I et supposos par eemple que f( 1 ) < f( ). O cosidère les itervalles I + = I ] 1, + [ et I = I ], 1 [. 1. E utilisat le théorème des valeurs itermédiaires, motrer f() f( 1 ) > 0 pour tout I +.. E déduire que f([ 1, ]) = [f( 1 ), f( )]. Pour motrer que f( 0 ) < f( 1 ) o va raisoer par l absurde. Supposos doc que f( 0 ) > f( 1 ). 3. Motrer alors, e procédat comme précédemmet, que f([ 0, 1 ]) = [f( 1 ), f( 0 )]. 4. E déduire que f est pas ijective. Idicatio : cosidérer par eemple m = mi(f( 0 ), f( )). 5. Déduire de la cotradictio précédete que f est strictemet croissate. Eercice 13 (Théorème de Rolle et polyômes). O dit qu u polyôme Q() est de degré d N s il s écrit Q() = b 0 + b b d d avec b d 0. Soit N. O cosidère ue foctio polyomiale P de degré, disos P () = a 0 + a a. 1. Citer des résultats qui assuret que P est dérivable sur R et calculer sa dérivé P ().

3 UPMC 1M001 Aalyse et algèbre pour les scieces E utilisat le théorème de Rolle, motrer par récurrece sur que l équatio P () = 0 a au plus solutios das R. Eercice 14 (Règle de L Hôpital et applicatios). Soit I u itervalle ouvert et f, g : I R deu applicatios dérivables sur I. O suppose de plus que g () 0 pour tout I. 1. Fios a < b das I. Motrer qu il eiste c ]a, b[ tel que g(b) g(a) = f (c) g. Idicatio : cosidérer sur (c) [a, b] l applicatio ϕ() = ()g() (g(b) g(a))f(). f (). ( ) Fios a I. Déduire de la questio précédete que si lim a g eiste et vaut l R, alors () = lim a g(b) g(a) = l. si() O rappelle (cf. Eo 8) que lim = 1 et que la foctio si ( cos) est dérivable sur R, de dérivée cos 0 ( si). cos() 1 si() 3. E utilisat la questio, détermier a = lim, puis a 3 = lim, puis 0 0 a 4 = lim 0 cos() 1 a 4 et a 5 = lim 0 si() a ( ) Pouvez-vous défiir et devier la valeur de a 6, a 7, etc.? Eercice 15 (Dérivées de Arcsi, Arccos, Arcta). 1. Motrer que l applicatio [ π/, π/] [ 1, 1], si() est bijective. O ote Arcsi l applicatio réciproque. Calculer Arcsi () pour tout [ 1, 1] (état etedu qu il s agit d ue dérivée à droite si = 1, et à gauche si = 1).. Motrer que l applicatio [0, π] [ 1, 1], cos() est bijective. O ote Arccos l applicatio réciproque. Calculer Arccos () pour tout [ 1, 1] (état etedu qu il s agit d ue dérivée à droite si = 1, et à gauche si = 1). 3. Motrer que pour tout [ 1, 1] o a Arcsi() + Arccos() = π. 4. Motrer que l applicatio ] π/, π/[ R, ta() = si() est bijective. O ote Arcta l applicatio réciproque. Calculer Arcta () pour tout R cos(). Eercice 16 (Dérivée de l f() ). Soit I u itervalle ouvert o vide de R et f : I R ue applicatio dérivable sur I et telle que f() 0 pour tout I. 1. Motrer que f garde u sige costat (> 0 ou bie < 0) sur I. O rappelle que la foctio logarithme épérie l : R + R est dérivable sur R + de dérivée 1/.. Motrer que la foctio l( f() ) est dérivable sur I, de dérivée f ()/f(). Eercice 17 (Foctios sh, ch, th, Argsh, Argch, Argth). Pour tout R, o pose 3 sh() = e e, ch() = e + e et th() = sh() ch() = e e e + e = e 1 e + 1. Remarquos que ch() sh() = 1 pour tout R. 1. Motrer que sh, ch et th sot dérivables sur R, étudier leurs variatios et dessier leurs graphes.. Motrer que l applicatio sh : R R est bijective. O ote Argsh : R R l applicatio réciproque. Calculer Argsh () pour tout R. 3. Motrer que l applicatio ch : R + [1, + [ est bijective. O ote Argch : [1, + [ R + l applicatio réciproque. Calculer Argch () pour tout ]1, + [. Motrer d autre part que Argch est pas dérivable à droite e Calculer la dérivée de la foctio f : R R, l( + + 1) puis motrer que f = Argsh. 3

4 M001 Aalyse et algèbre pour les scieces UPMC 5. Soit g : [1, + [ R +, l( + 1). Calculer g () pour tout ]1, + [, puis motrer que g coïcide avec Argch sur ]1, + [ et aussi e Motrer que l applicatio th : R ] 1, 1[ est bijective. O ote Argth : ] 1, 1[ R l applicatio réciproque. Calculer Argth () pour tout ] 1, 1[. 7. Soit h : ] 1, 1[ R, 1 l ( 1 + ) 1( ) = l(1 + ) l(1 ). Calculer h () pour tout ] 1, 1[, 1 puis motrer que h = Argth. Eercice 18 (Moyees arithmétique et géométrique). 1. Pour a 1, a R +, motrer que a 1 + a a 1 a, avec égalité si et seulemet si a 1 = a. (Cosidérer a 1 + a a 1 a.). Motrer par récurrece sur l etier que, pour tous a 1,..., a R + o a, e otat (a 1 a ) 1/ = a a a1 a, l iégalité : (a 1 a ) 1/, avec égalité si et seulemet si a 1 = = a. Idicatio : supposat le résultat établi pour, o pourra étudier la foctio f : R + R, a a + (a 1 a ) 1/ Eercice 19 (Foctios dérivables covees ou cocaves). Soit I u itervalle ouvert o vide de R, et soit f ue applicatio I R. O dit que f est covee ( strictemet covee) si elle vérifie la coditio suivate : ( ) a < b < c das I, < L eplicatio géométrique est la suivate : f est (strictemet) covee si pour tout a < c das I, la partie du graphe de f au-dessus du segmet ]a, c[ est (strictemet) e-dessous de la droite joigat les poits (a, f(a)) et (c, f(c)). Or, l équatio de cette droite est y f(a) = ( a), i.e. y = f(a) + ( a). Doc la coditio requise est que ( ) b ]a, c[, f(b) f(a) + ce qui équivaut à la coditio ( ) plus haut. () f(b) < f(a) + () De plus, o dit que f est (strictemet) cocave si f est (strictemet) covee, c.-à.-d. si f vérifie la coditio suivate : ( ) a < b < c das I, > 1. Motrer que ( ) est équivalete à l iégalité ( ) ci-dessous : a < b < c das I, (f(b) f(a))(c b) (f(c) f(b))(b a), (f(b) f(a))(c b) < (f(c) f(b))(b a) et que celle-ci est équivalete à : ( ) a < b < c das I, < Idicatio : écrire ( ) sous ue forme ( ) aalogue à ( ), puis ajouter ue même quatité au deu membres de ( ) pour obteir ( ).. O suppose que f est dérivable sur I et que f est croissate ( strictemet croisssate) sur I. Soiet a < b < c das I. E utilisat le théorème des valeurs itermédiaires, motrer alors que f (b) < f (b) < et e déduire que f est covee ( strictemet covee). 4

5 UPMC 1M001 Aalyse et algèbre pour les scieces Fios 1 das I. Alors les élémets du segmet [ 1, ] sot eactemet les réels 1 + µ( 1 ) = (1 µ) 1 + µ, pour µ variat das [0, 1], ce qu o peut aussi écrire : [ 1, ] = {λ λ λ 1, λ [0, 1], λ 1 + λ = 1}. De plus, si b = λ λ = 1 + λ ( 1 ), alors λ = b 1 et la coditio ( ) doe alors que f 1 est covee ( strictemet covee) si et seulemet si, pour tous 1 das I et λ 1, λ ]0, 1[ tels que λ 1 + λ = 1, o a : ( ) f(λ λ ) λ 1 f( 1 ) + λ f( ) ( < si 1 ). O suppose désormais que ( ) est vérifié. 3. ( ) Motrer par récurrece sur l etier que : pour tous 1 das I et λ 1,..., λ [0, 1] tels que λ λ = 1, o a, e otat A = {i {1,..., } λ i 0}, λ λ I ( ) f(λ λ ) λ 1 f( 1 ) + + λ f( ) si f est strictemet covee, l iégalité est stricte sauf si i = j pour i, j A. Idicatio. Soit > et supposos ( k ) vraie pour k =,..., 1. Pour passer de 1 à, o peut 1 λ i supposer que tous les λ i sot > 0, et doc aussi < 1. Posat alors = i, o a λ λ = 1 λ i=1 (1 λ ) + λ. Utiliser alors que ( ) et ( 1 ) sot vraies. 4. Motrer que la foctio l : R + R est strictemet cocave. E déduire que pour tous 1,..., R +, o a ( ) l l( 1) + + l( ) avec égalité si et seulemet si 1 = =. Puis, e utilisat que la foctio ep : R R est strictemet croissate, e déduire que : avec égalité si et seulemet si 1 = =. ( 1 ) 1/ pour tous 1,..., R +, 5

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