Majorations de l erreur dans les calculs classiques de valeurs approchées d intégrale. Notes pour la préparation au CAPES - Strasbourg- février 2006

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1 Mjortions de l erreur dns les clculs clssiques de vleurs pprochées d intégrle Notes pour l préprtion u CAPES - Strsbourg- février 00 On trouve dns différents ouvrges élémentires des démonstrtions à coup d intégrtion pr prties ou d utilistion subtile de l formule de Tylor) des mjortions de l erreur obtenue en pprochnt une intégrle définie pr l méthode des milieux, des trpèzes ou de Simpson voir [G] pge 78, [L] pge 5 ou [O-V 1] pge 9). Tout d bord il n est ps fcile de mémoriser ces démonstrtions le fmeux 880 de l formule de Simpson pr exemple), mis surtout elles ne permettent ps de comprendre l ordre de ces mjortions. Pour les rectngles l mjortion est en O1/n) mis pour les milieux c est ussi des rectngles) en O1/n ). Pour les trpèzes elle est en O1/n ) mis pour Simpson on psse tout d un coup en O1/n 4 ). Le but de ce texte est d en donner une démonstrtion qui permet de comprendre pourquoi ce n est ps un modèle de leçon!). Objectif. On se donne une fonction continue f sur un intervlle [, b] et on cherche à obtenir des vleurs pprochées de l intégrle I = fx) dx. Rppel. Sommes de Riemnn) Si on choisit une subdivision de l intervlle [, b] en n intervlles de même lrgeur en considérnt les points = 0 < 1 <... < n = b vec i+1 i = b n et que l on choisit un point ξ i i = 0,..., n 1) dns chque intervlle [ i, i+1 ] lors I = lim I n où I n = b n 1 fξ i ). n n L démonstrtion repose sur le fit que l fonction f, qui est continue sur le compct [, b], y est uniformément continue pr le théorème de Heine. Ici I n peut être interprétée comme l somme des ires des rectngles de côtés i+1 i et fξ i ) ou comme l intégrle d une fonction en escliers. On remplce en fit sur chque intervlle [ i, i+1 ],l fonction f pr l fonction constnte x fξ i ) c est-à-dire pr un polynôme de degré 0. C est ce que l on v générliser en remplçnt sur chque intervlle [ i, i+1 ] cette fonction constnte pr un polynôme bien choisi. On noter [, β] un intervlle qui ser remplcé pr l suite pr l un des intervlles [ i, i+1 ].,

2 Nicole Bopp 1. Interpoltion de Lgrnge Soit f une fonction continue sur l intervlle [, β] et i ),...,p une suite croissnte de points pprtennt à l intervlle [, β]. Proposition 1.1 Interpoltion de Lgrnge). Il existe un unique polynôme de degré p tel que P i ) = f i ) pour i = 0,..., p. Démonstrtion. L plus rpide consiste à définir, pour i = 0,...,p le polynôme L i de degré p pr L i x) = x 0)x 1 ) x i ) x p ), i 0 ) i 1 ) i i ) i p ) où le signe signifie que l on supprime ce fcteur. Ces polynômes vérifient { 1 si i = j L i j ) = 0 si i j. On en déduit isément qu ils sont linéirement indépendnts dns l espce des polynômes de degré inférieur ou égl à p et donc qu ils en forment une bse cr ils sont u nombre de p + 1 qui est l dimension de cet espce. Un polynôme P vérifie les hypothèses de l proposition si et seulement si il s écrit sous l forme i=p P = f i )L i. Il est donc déterminé de fçon unique pr cette formule. On ser ttentif u fit que les polynômes L i dépendent du choix des points i. Pour des petits degrés, on peut ussi démontrer l existence de P en écrivnt le système linéire dont ses coefficients sont solutions. En utilisnt l formule donnnt P explicitée dns l démonstrtion, on obtient imméditement le corollire Corollire 1.. Si P est le polynôme de degré p tel que lors P i ) = f i ) pour i = 0,..., p, Px) dx = p C i f i ), où les constntes C i qui sont indépendntes de P) sont données pr C i = L i x) dx.

3 Clculs de vleurs pprochées d intégrles 3 Cs 1. Si P 0 est le polynôme de degré 0 tel que P) = f) lors et P 0 x) dx = β )f), C 0 = β. f) β Cs. Si P 1 est le polynôme de degré 1 tel que P) = f) et Pβ) = fβ) lors P 1 x) dx = β f) + fβ)), et C 0 = C 1 = β. Noter que c est l formule donnnt l ire d un trpèze. Cs 3. Si P est le polynôme de degré tel que P) = f), P +β ) = f+β ) et Pβ) = fβ) lors P x) dx = β f) + fβ) + 4f + β ) ), et C 0 = C = β et C 1 = β ). 3 Cette formule est ppelée formule des trois niveux. f) fβ) f +β f) fβ) ) +β β β Démonstrtion. Appliquons le corollire vec 0 =, 1 = +β, = β. On pr définition des L i L 0 x) = β ) x + β )x β), 4 L 1 x) = β ) x )x β), + β L x) = β ) x )x ).

4 4 Nicole Bopp Clculons les intégrles des polynômes L i en utilisnt le chngement de vrible On obtient d où le résultt. L 0 x) dx = β 4 x = + β β ) L 1 x) dx = L x) dx = β ) 4 + t β. tt 1) dt = β, t 1) dt = β ), 3 tt + 1) dt = β Pour un polynôme d interpoltion de degré, il est probblement plus rpide de clculer directement ses coefficients en fonction de f), fβ) et f +β ) pour obtenir l formule des 3 niveux.. Mjortions Nous llons décrire ici les mjortions dns les cs où on interpole vec des polynômes de petit degré 0,1 ou ). On trouver un résultt plus générl dns [O-V ] pge Mjortion de l erreur dns le cs 1 méthode des rectngles). Une ppliction directe de l inéglité des ccroissements finis implique l Proposition.1. Si f est une fonction de clsse C 1 sur [, β], on pour tout x [, β] fx) P 0 x) = fx) f) β ) sup f x). x [,β] On en déduit en utilisnt le clcul de l intégrle de P 0 fit plus hut le Corollire.. Si f est une fonction de clsse C 1 sur [, β], fx) dx β )f) β ) sup f x). x [,β] En ppliqunt ce résultt à chcun des n intervlles [ i, i+1 ] qui ont pour longueur b n, on obtient Théorème.3 Méthode des rectngles). Si f est une fonction de clsse C 1 sur [, b], fx) dx b n 1 b ) f i ) M 1. n n où M 1 = sup x [,b] f x).,

5 Clculs de vleurs pprochées d intégrles 5 b Méthode des rectngles à guche) Méthode des trpèzes b.. Mjortion de l erreur dns le cs méthode des trpèzes). Proposition.4. Si f est une fonction de clsse C sur [, β], on pour tout x [, β] fx) P 1 x) x )x β) sup f x). x [,β] Démonstrtion. Remrquons tout d bord que les fonctions f et P 1 sont égles ux points et β er fixons un point x ], β[. Considérons l fonction ) ) t )t β) ϕ : t ft) P 1 t) fx) P 1 x) x )x β). Cette fonction s nnule ux points distincts), β et x. En ppliqunt deux fois le théorème de Rolle, on obtient l existence d un point ξ ], β[\{x} tel que ϕ ξ) = 0. L dérivée seconde du polynôme de degré 1) P 1 est nulle et l dérivée seconde de l fonction t t )t β) est constnte, égle à!. On en déduit que ) ϕ ξ) = f! ξ) fx) P 1 x) x )x β). Comme elle est nulle, on conclut que fx) P 1 x) = f ξ) x )x β)! x )x β)! sup f x). x [,β] Et comme l inéglité est ussi vérifiée pour x = ou x = β on obtient bien le résultt nnoncé. Corollire.5. Si f est une fonction de clsse C sur [, β], β ) ) fx) dx f) + fβ) β )3 sup f x). 1 x [,β]

6 Nicole Bopp Démonstrtion. Ce résultt s obtient en intégrnt l inéglité démontrée à l proposition précédente. Pour le membre de guche, il suffit d utiliser le clcul de l intégrle de P 1 fit plus hut. Pour le membre de droite, il suffit d utiliser à nouveu le chngement de vrible x = +β + t β. On obtient x )x β) dx = β )3 8 1 t ) dt = β )3 En ppliqunt ce résultt à chcun des n intervlles [ i, i+1 ] qui ont pour longueur b n, on obtient le Théorème. Méthode des trpèzes). Si f est une fonction de clsse C sur [, b], fx) dx b n 1 b )3 f i + f i+1 )) M n 1 n. où M = sup x [,b] f x)..3. Mjortion de l erreur dns le cs 3. On pplique exctement l même méthode que dns le cs et on comprendr qu on urit pu l écrire directement pour tous les cs à ce détil près qu on n ps clculé l intégrle du polynôme d interpoltion de degré p, et qu on n ps non plus précisé les points choisis pour interpoler). Pour simplifier l écriture, nous désignerons pr m le milieu de [, β]. Proposition.7. Si f est une fonction de clsse C 3 sur [, β], on pour tout x [, β] fx) P x) x )x m)x β) 3! sup f x). x [,β] Démonstrtion. Remrquons tout d bord que les fonctions f et P sont égles ux points, β et m. Fixons un point x [, β] distincts de ces trois points. Considérons l fonction ) ) t )t m)t β) ϕ : t ft) P t) fx) P x) x )x m)x β). Cette fonction s nnule ux points distincts), m, β et x. En ppliqunt trois fois le théorème de Rolle, on obtient l existence d un point ξ ], β[\{m, x} tel que ϕ ξ) = 0. L dérivée troisième du polynôme de degré ) P est nulle et l dérivée troisième de l fonction t t )t m)t β) est constnte, égle à 3!. On en déduit que ) ϕ ξ) = f 3! ξ) fx) P x) x )x m)x β). Comme elle est nulle, on en déduit, comme ci-dessus, le résultt nnoncé..

7 Clculs de vleurs pprochées d intégrles 7 Corollire.8. Si f est une fonction de clsse C 3 sur [, β], β ) fx) dx f) + 4f + β ) + fβ)) β )4 5 3! sup f x). x [,β] Démonstrtion. Comme dns le cs ce résultt s obtient en intégrnt l inéglité démontrée à l proposition précédente. L intégrle de P ynt été clculé plus hut, il reste à clculer l intégrle du membre de droite de l inéglité vec toujours le même chngement de vrible. On obtient x )x m)x β) dx = β )4 1 t 1 t ) dt = β )4 5. En ppliqunt à nouveu ce résultt à chcun des n intervlles [ i, i+1 ] qui ont pour longueur b, on obtient n Théorème.9. Si f est une fonction de clsse C 3 sur [, b], fx) dx b n 1 f i + f i + i+1 ) + f i+1 )) n où M 3 = sup x [,b] f x). b )4 5 3! n 3 M 3. Nous vons obtenu des résultts ssez cohérents, vec une mjortion en O 1 n) en utilisnt un polynôme de degré 0, une mjortion en O ) 1 n en utilisnt un polynôme de degré 1 et une mjortion en O ) 1 n en utilisnt un polynôme de degré. Mis il se psse un 3 phénomène priori étonnnt. 3. L méthode des milieux Dns le cs 1 où nous interpolons vec un polynôme constnt, nous vons choisi comme point d interpoltion. Le résultt du corollire. est ussi vri si on remplce le point pr le point β, ou pr un utre point du segment [, β], pr exemple c + 1 c)β où c [, β]. On obtient lors une vrinte de l mjortion de l erreur pour l méthode des rectngles qui s écrit insi pour f de clsse C 1 sur [, b] : fx) dx b n n 1 fc i + 1 c) i+1 ) b ) M 1. n Si on choisit comme point d interpoltion le milieu m = β du segment [, β], bien sûr cette mjortion est correcte...mis nous llons montrer qu on une bien meilleure mjortion.

8 8 Nicole Bopp Sur l figure ci-contre on trcé le rectngle dont l ire est égle à l intégrle grphe def du polynôme d interpoltion de degré 0 qui prend u point m l même vleur que f. On ussi trcé l tngente u grphe de f u point d bscisse m. Et on remrque que l ire comprise entre cette tngente et l xe des x est égle à l ire du rectngle mentionné ci-dessus. m = +β β Ceci se démontre isément nlytiquement. En effet l éqution de l tngente u grphe de f étnt donnée pr y = fm) + x m)f m), l ire comprise entre cette tngente et l xe des x est égle à fx) fm) x m)f m) ) dx. Comme m est le milieu de [, β], l intégrle sur [, β] de x x m) est nulle pour d évidentes risons de symétrie. Pr conséquent on fx) fm) x m)f m) ) dx = fx) fm) ) dx, qui est bien l ire du rectngle considéré. L fçon de mjorer l erreur commise pprît lors clirement. Proposition 3.1. Si f est une fonction de clsse C sur [, β], on pour tout x [, β] fx) fm) x m)f m) x m) sup f x). x [,β] Démonstrtion. Méthode 1. On pplique l formule de Tylor qui donne l existence d un point ξ [, β] tel que fx) fm) x m)f m) = x m) f ξ), ce qui implique le résultt. Méthode. On re)démontre l formule de Tylor en intégrnt pr prtie m x t x)f t) dt. On obtient m x ] m t x)f t) dt = t x)f t) x On en déduit que m fx) fm) x m)f m) sup f t) t [,β] x f t) dt = fx) fm) x m)f m). x m t m) dt = sup f x m) t) t [,β].

9 Clculs de vleurs pprochées d intégrles 9 Méthode 3. Posons P 1 x) = fm) x m)f m). On remrque tout d bord que les fonctions f et P 1 insi que leurs dérivées sont égles u point m. Fixons un point x [, β] distinct de m et considérons l fonction χ : t ft) P ) 1 t) fx) P ) t m) 1 x) x m). Cette fonction s nnule ux points distincts) m et x. S dérivée s nnule donc en un point y distinct de x et de m. Mis comme cette dérivée s nnule ussi u point m, on en déduit, en ppliqunt à nouveu le théorème de Rolle, l existence d un point ξ [, β]\{x, m} tel que χ ξ) = 0. L dérivée seconde du polynôme de degré 1) P 1 est nulle et l dérivée seconde de l fonction t t m) est constnte, égle à!. On en déduit que χ ξ) = f ξ) fx) P )! 1 x) x m), ce qui implique le résultt puisque χ ξ) = 0. On en déduit en utilisnt l remrque fite vnt l proposition le Corollire 3.. Si f est une fonction de clsse C sur [, β] et m le milieu de [, β] fx) dx β )fm) β )3 sup f x). 4 x [,β] Démonstrtion. Ce résultt s obtient en intégrnt l inéglité démontrée à l proposition précédente. Pour le membre de droite, il suffit d utiliser le fit que m est le milieu de [, β]. On obtient 1 x m) dx = m x m) dx = β )3 4 En ppliqunt ce résultt à chcun des n intervlles [ i, i+1 ] qui ont pour longueur b n, on obtient Théorème 3.3 Méthode des milieux). Si f est une fonction de clsse C sur [, b], fx) dx b n 1 ) i + i+1 b )3 f M n 4 n. où M = sup x [,b] f x)..

10 10 Nicole Bopp 4. Méthode de Simpson Pr une méthode nlogue à celle utilisée pour l méthode des milieux, on peut méliorer l mjortion obtenue u théorème.9 voir [O-V ] pge 115). En effet on remrque que x )x m)x β) dx = 0, cr en utilisnt le même chngement de vrible qu à l section.3 on obtient x )x m)x β) dx = t1 t ) dt = 0. En remplçnt le polynôme P qui interpole f ux points, β et m pr un polynôme P 3 tel que P 3 x) = P x) + λx )x β)x m), on ne chnge ps l intégrle cr fx) P x)) dx = fx) P ) 3 x) Pr contre en choisissnt bien λ, on peut méliorer l mjortion. On choisit λ de sorte que ce qui est possible cr P 3m) = f m), d dx x )x m)x β) x=m 0. Proposition 4.1. Si f est une fonction de clsse C 4 sur [, β], on pour tout x [, β] fx) P 3 x) x )x m) x β) 4! dx. sup f 4) x). x [,β] Démonstrtion. Remrquons tout d bord que les fonctions f et P 3 sont égles ux points, β et m. Fixons un point x [, β] distincts de ces trois points. Considérons l fonction θ : t ft) P ) 3 t) fx) P ) t )t m) t β) x) x )x m) x β). Cette fonction s nnule ux points distincts), m, β et x. Pr le théorème de Rolle s dérivée s nnule en trois points distincts de, β, m et x, mis elle s nnule ussi u point m. En ppliqunt trois fois le théorème de Rolle à cette dérivée, on obtient l existence d un point ξ ], β[\{m, x} tel que θ 4) ξ) = 0.

11 Clculs de vleurs pprochées d intégrles 11 L dérivée qutrième du polynôme de degré 3) P 3 est nulle et l dérivée qutrième de l fonction t t )t m) t β) est constnte, égle à 4!. On en déduit que θ 4) ξ) = f 4) ξ) fx) P ) 4! 3 x) x )x m) x β), ce qui implique le résultt nnoncé. Corollire 4.. Si f est une fonction de clsse C 4 sur [, β], β ) fx) dx f) + 4f + β ) ) + fβ) β )4 3 4! 15 sup f 4) x). x [,β] Démonstrtion. Comme plus hut, ce résultt s obtient en intégrnt l inéglité démontrée à l proposition précédente. Pour le premier membre on utilise le choix de P 3 et le clcul de l intégrle de P fit en.3, d où fx) P ) 3 x) dx = fx) P x)) dx = fx) dx β ) f) + 4f + β ) ) + fβ). Pour le membre de droite on obtient vec toujours le même chngement de vrible) x )x m) x β) dx = β )5 5 t 1 t ) dt = β )5 4 β )5 = En ppliqunt à nouveu ce résultt à chcun des n intervlles [ i, i+1 ] qui ont pour longueur b, on obtient n Théorème 4.3 Méthode de Simpson). Si f est une fonction de clsse C 4 sur [, b], fx) dx b n 1 f i ) + f i + i+1 ) + f i+1 )) n b ) 5 3 4! 15 n 4M 4. où M 4 = sup x [,b] f 4) x). Et pour finir on clcule 3 4! 15 = Conclusion En ugmentnt le nombre de points d interpoltion, que l on choisit régulièrement espcés sur chque intervlle [ i, i+1 ], on peut obtenir de meilleures mjortions. Pour p+1 points d interpoltion, on interpole pr un polynôme de degré p et il n est ps difficile de générliser ce qu on fit u prgrphe pour obtenir à l ide du théorème de Rolle une mjortion de l erreur commise en O ) 1 n. C est l méthode de Newton-Cotes composée voir pr p+1 exemple [De] pge ).

12 1 Nicole Bopp Dns le cs où p est pir on pourr méliorer l mjortion cr l un des points d interpoltion est le milieu de l intervlle [ i, i+1 ]. L générlistion de l proposition 4.1 est donnée pr l interpoltion d Hermite voir [K] théorème 8.7). Prtiquement le clcul des dérivées de f peut devenir très compliqués et on se contente souvent de l méthode de Simpson qui est ssez performnte. On peut ussi choisir des points d interpoltion qui ne sont ps régulièrement espcés. En choisissnt les zéros de polynômes orthogonux on obtient l méthode de Guss voir problème écrit du CAPES 000 ou [K] théorème 10.3). Références [D] J-P. Demilly, Anlyse numérique et équtions différentielles [G] X. Gourdon, Les mths en tête : nlyse [K] V. Komornik, Précis d nlyse réelle [L] T. Lmbre, Anlyse pour l épreuve sur dossier à l orl du CAPES [O-V 1] J-L. Overt & J-L. Verley, Anlyse vec commentires et notes historiques [O-V ] J-L. Overt & J-L. Verley, Algèbre vec commentires et notes historiques

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