Majorations de l erreur dans les calculs classiques de valeurs approchées d intégrale. Notes pour la préparation au CAPES - Strasbourg- février 2006

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Majorations de l erreur dans les calculs classiques de valeurs approchées d intégrale. Notes pour la préparation au CAPES - Strasbourg- février 2006"

Transcription

1 Mjortions de l erreur dns les clculs clssiques de vleurs pprochées d intégrle Notes pour l préprtion u CAPES - Strsbourg- février 00 On trouve dns différents ouvrges élémentires des démonstrtions à coup d intégrtion pr prties ou d utilistion subtile de l formule de Tylor) des mjortions de l erreur obtenue en pprochnt une intégrle définie pr l méthode des milieux, des trpèzes ou de Simpson voir [G] pge 78, [L] pge 5 ou [O-V 1] pge 9). Tout d bord il n est ps fcile de mémoriser ces démonstrtions le fmeux 880 de l formule de Simpson pr exemple), mis surtout elles ne permettent ps de comprendre l ordre de ces mjortions. Pour les rectngles l mjortion est en O1/n) mis pour les milieux c est ussi des rectngles) en O1/n ). Pour les trpèzes elle est en O1/n ) mis pour Simpson on psse tout d un coup en O1/n 4 ). Le but de ce texte est d en donner une démonstrtion qui permet de comprendre pourquoi ce n est ps un modèle de leçon!). Objectif. On se donne une fonction continue f sur un intervlle [, b] et on cherche à obtenir des vleurs pprochées de l intégrle I = fx) dx. Rppel. Sommes de Riemnn) Si on choisit une subdivision de l intervlle [, b] en n intervlles de même lrgeur en considérnt les points = 0 < 1 <... < n = b vec i+1 i = b n et que l on choisit un point ξ i i = 0,..., n 1) dns chque intervlle [ i, i+1 ] lors I = lim I n où I n = b n 1 fξ i ). n n L démonstrtion repose sur le fit que l fonction f, qui est continue sur le compct [, b], y est uniformément continue pr le théorème de Heine. Ici I n peut être interprétée comme l somme des ires des rectngles de côtés i+1 i et fξ i ) ou comme l intégrle d une fonction en escliers. On remplce en fit sur chque intervlle [ i, i+1 ],l fonction f pr l fonction constnte x fξ i ) c est-à-dire pr un polynôme de degré 0. C est ce que l on v générliser en remplçnt sur chque intervlle [ i, i+1 ] cette fonction constnte pr un polynôme bien choisi. On noter [, β] un intervlle qui ser remplcé pr l suite pr l un des intervlles [ i, i+1 ].,

2 Nicole Bopp 1. Interpoltion de Lgrnge Soit f une fonction continue sur l intervlle [, β] et i ),...,p une suite croissnte de points pprtennt à l intervlle [, β]. Proposition 1.1 Interpoltion de Lgrnge). Il existe un unique polynôme de degré p tel que P i ) = f i ) pour i = 0,..., p. Démonstrtion. L plus rpide consiste à définir, pour i = 0,...,p le polynôme L i de degré p pr L i x) = x 0)x 1 ) x i ) x p ), i 0 ) i 1 ) i i ) i p ) où le signe signifie que l on supprime ce fcteur. Ces polynômes vérifient { 1 si i = j L i j ) = 0 si i j. On en déduit isément qu ils sont linéirement indépendnts dns l espce des polynômes de degré inférieur ou égl à p et donc qu ils en forment une bse cr ils sont u nombre de p + 1 qui est l dimension de cet espce. Un polynôme P vérifie les hypothèses de l proposition si et seulement si il s écrit sous l forme i=p P = f i )L i. Il est donc déterminé de fçon unique pr cette formule. On ser ttentif u fit que les polynômes L i dépendent du choix des points i. Pour des petits degrés, on peut ussi démontrer l existence de P en écrivnt le système linéire dont ses coefficients sont solutions. En utilisnt l formule donnnt P explicitée dns l démonstrtion, on obtient imméditement le corollire Corollire 1.. Si P est le polynôme de degré p tel que lors P i ) = f i ) pour i = 0,..., p, Px) dx = p C i f i ), où les constntes C i qui sont indépendntes de P) sont données pr C i = L i x) dx.

3 Clculs de vleurs pprochées d intégrles 3 Cs 1. Si P 0 est le polynôme de degré 0 tel que P) = f) lors et P 0 x) dx = β )f), C 0 = β. f) β Cs. Si P 1 est le polynôme de degré 1 tel que P) = f) et Pβ) = fβ) lors P 1 x) dx = β f) + fβ)), et C 0 = C 1 = β. Noter que c est l formule donnnt l ire d un trpèze. Cs 3. Si P est le polynôme de degré tel que P) = f), P +β ) = f+β ) et Pβ) = fβ) lors P x) dx = β f) + fβ) + 4f + β ) ), et C 0 = C = β et C 1 = β ). 3 Cette formule est ppelée formule des trois niveux. f) fβ) f +β f) fβ) ) +β β β Démonstrtion. Appliquons le corollire vec 0 =, 1 = +β, = β. On pr définition des L i L 0 x) = β ) x + β )x β), 4 L 1 x) = β ) x )x β), + β L x) = β ) x )x ).

4 4 Nicole Bopp Clculons les intégrles des polynômes L i en utilisnt le chngement de vrible On obtient d où le résultt. L 0 x) dx = β 4 x = + β β ) L 1 x) dx = L x) dx = β ) 4 + t β. tt 1) dt = β, t 1) dt = β ), 3 tt + 1) dt = β Pour un polynôme d interpoltion de degré, il est probblement plus rpide de clculer directement ses coefficients en fonction de f), fβ) et f +β ) pour obtenir l formule des 3 niveux.. Mjortions Nous llons décrire ici les mjortions dns les cs où on interpole vec des polynômes de petit degré 0,1 ou ). On trouver un résultt plus générl dns [O-V ] pge Mjortion de l erreur dns le cs 1 méthode des rectngles). Une ppliction directe de l inéglité des ccroissements finis implique l Proposition.1. Si f est une fonction de clsse C 1 sur [, β], on pour tout x [, β] fx) P 0 x) = fx) f) β ) sup f x). x [,β] On en déduit en utilisnt le clcul de l intégrle de P 0 fit plus hut le Corollire.. Si f est une fonction de clsse C 1 sur [, β], fx) dx β )f) β ) sup f x). x [,β] En ppliqunt ce résultt à chcun des n intervlles [ i, i+1 ] qui ont pour longueur b n, on obtient Théorème.3 Méthode des rectngles). Si f est une fonction de clsse C 1 sur [, b], fx) dx b n 1 b ) f i ) M 1. n n où M 1 = sup x [,b] f x).,

5 Clculs de vleurs pprochées d intégrles 5 b Méthode des rectngles à guche) Méthode des trpèzes b.. Mjortion de l erreur dns le cs méthode des trpèzes). Proposition.4. Si f est une fonction de clsse C sur [, β], on pour tout x [, β] fx) P 1 x) x )x β) sup f x). x [,β] Démonstrtion. Remrquons tout d bord que les fonctions f et P 1 sont égles ux points et β er fixons un point x ], β[. Considérons l fonction ) ) t )t β) ϕ : t ft) P 1 t) fx) P 1 x) x )x β). Cette fonction s nnule ux points distincts), β et x. En ppliqunt deux fois le théorème de Rolle, on obtient l existence d un point ξ ], β[\{x} tel que ϕ ξ) = 0. L dérivée seconde du polynôme de degré 1) P 1 est nulle et l dérivée seconde de l fonction t t )t β) est constnte, égle à!. On en déduit que ) ϕ ξ) = f! ξ) fx) P 1 x) x )x β). Comme elle est nulle, on conclut que fx) P 1 x) = f ξ) x )x β)! x )x β)! sup f x). x [,β] Et comme l inéglité est ussi vérifiée pour x = ou x = β on obtient bien le résultt nnoncé. Corollire.5. Si f est une fonction de clsse C sur [, β], β ) ) fx) dx f) + fβ) β )3 sup f x). 1 x [,β]

6 Nicole Bopp Démonstrtion. Ce résultt s obtient en intégrnt l inéglité démontrée à l proposition précédente. Pour le membre de guche, il suffit d utiliser le clcul de l intégrle de P 1 fit plus hut. Pour le membre de droite, il suffit d utiliser à nouveu le chngement de vrible x = +β + t β. On obtient x )x β) dx = β )3 8 1 t ) dt = β )3 En ppliqunt ce résultt à chcun des n intervlles [ i, i+1 ] qui ont pour longueur b n, on obtient le Théorème. Méthode des trpèzes). Si f est une fonction de clsse C sur [, b], fx) dx b n 1 b )3 f i + f i+1 )) M n 1 n. où M = sup x [,b] f x)..3. Mjortion de l erreur dns le cs 3. On pplique exctement l même méthode que dns le cs et on comprendr qu on urit pu l écrire directement pour tous les cs à ce détil près qu on n ps clculé l intégrle du polynôme d interpoltion de degré p, et qu on n ps non plus précisé les points choisis pour interpoler). Pour simplifier l écriture, nous désignerons pr m le milieu de [, β]. Proposition.7. Si f est une fonction de clsse C 3 sur [, β], on pour tout x [, β] fx) P x) x )x m)x β) 3! sup f x). x [,β] Démonstrtion. Remrquons tout d bord que les fonctions f et P sont égles ux points, β et m. Fixons un point x [, β] distincts de ces trois points. Considérons l fonction ) ) t )t m)t β) ϕ : t ft) P t) fx) P x) x )x m)x β). Cette fonction s nnule ux points distincts), m, β et x. En ppliqunt trois fois le théorème de Rolle, on obtient l existence d un point ξ ], β[\{m, x} tel que ϕ ξ) = 0. L dérivée troisième du polynôme de degré ) P est nulle et l dérivée troisième de l fonction t t )t m)t β) est constnte, égle à 3!. On en déduit que ) ϕ ξ) = f 3! ξ) fx) P x) x )x m)x β). Comme elle est nulle, on en déduit, comme ci-dessus, le résultt nnoncé..

7 Clculs de vleurs pprochées d intégrles 7 Corollire.8. Si f est une fonction de clsse C 3 sur [, β], β ) fx) dx f) + 4f + β ) + fβ)) β )4 5 3! sup f x). x [,β] Démonstrtion. Comme dns le cs ce résultt s obtient en intégrnt l inéglité démontrée à l proposition précédente. L intégrle de P ynt été clculé plus hut, il reste à clculer l intégrle du membre de droite de l inéglité vec toujours le même chngement de vrible. On obtient x )x m)x β) dx = β )4 1 t 1 t ) dt = β )4 5. En ppliqunt à nouveu ce résultt à chcun des n intervlles [ i, i+1 ] qui ont pour longueur b, on obtient n Théorème.9. Si f est une fonction de clsse C 3 sur [, b], fx) dx b n 1 f i + f i + i+1 ) + f i+1 )) n où M 3 = sup x [,b] f x). b )4 5 3! n 3 M 3. Nous vons obtenu des résultts ssez cohérents, vec une mjortion en O 1 n) en utilisnt un polynôme de degré 0, une mjortion en O ) 1 n en utilisnt un polynôme de degré 1 et une mjortion en O ) 1 n en utilisnt un polynôme de degré. Mis il se psse un 3 phénomène priori étonnnt. 3. L méthode des milieux Dns le cs 1 où nous interpolons vec un polynôme constnt, nous vons choisi comme point d interpoltion. Le résultt du corollire. est ussi vri si on remplce le point pr le point β, ou pr un utre point du segment [, β], pr exemple c + 1 c)β où c [, β]. On obtient lors une vrinte de l mjortion de l erreur pour l méthode des rectngles qui s écrit insi pour f de clsse C 1 sur [, b] : fx) dx b n n 1 fc i + 1 c) i+1 ) b ) M 1. n Si on choisit comme point d interpoltion le milieu m = β du segment [, β], bien sûr cette mjortion est correcte...mis nous llons montrer qu on une bien meilleure mjortion.

8 8 Nicole Bopp Sur l figure ci-contre on trcé le rectngle dont l ire est égle à l intégrle grphe def du polynôme d interpoltion de degré 0 qui prend u point m l même vleur que f. On ussi trcé l tngente u grphe de f u point d bscisse m. Et on remrque que l ire comprise entre cette tngente et l xe des x est égle à l ire du rectngle mentionné ci-dessus. m = +β β Ceci se démontre isément nlytiquement. En effet l éqution de l tngente u grphe de f étnt donnée pr y = fm) + x m)f m), l ire comprise entre cette tngente et l xe des x est égle à fx) fm) x m)f m) ) dx. Comme m est le milieu de [, β], l intégrle sur [, β] de x x m) est nulle pour d évidentes risons de symétrie. Pr conséquent on fx) fm) x m)f m) ) dx = fx) fm) ) dx, qui est bien l ire du rectngle considéré. L fçon de mjorer l erreur commise pprît lors clirement. Proposition 3.1. Si f est une fonction de clsse C sur [, β], on pour tout x [, β] fx) fm) x m)f m) x m) sup f x). x [,β] Démonstrtion. Méthode 1. On pplique l formule de Tylor qui donne l existence d un point ξ [, β] tel que fx) fm) x m)f m) = x m) f ξ), ce qui implique le résultt. Méthode. On re)démontre l formule de Tylor en intégrnt pr prtie m x t x)f t) dt. On obtient m x ] m t x)f t) dt = t x)f t) x On en déduit que m fx) fm) x m)f m) sup f t) t [,β] x f t) dt = fx) fm) x m)f m). x m t m) dt = sup f x m) t) t [,β].

9 Clculs de vleurs pprochées d intégrles 9 Méthode 3. Posons P 1 x) = fm) x m)f m). On remrque tout d bord que les fonctions f et P 1 insi que leurs dérivées sont égles u point m. Fixons un point x [, β] distinct de m et considérons l fonction χ : t ft) P ) 1 t) fx) P ) t m) 1 x) x m). Cette fonction s nnule ux points distincts) m et x. S dérivée s nnule donc en un point y distinct de x et de m. Mis comme cette dérivée s nnule ussi u point m, on en déduit, en ppliqunt à nouveu le théorème de Rolle, l existence d un point ξ [, β]\{x, m} tel que χ ξ) = 0. L dérivée seconde du polynôme de degré 1) P 1 est nulle et l dérivée seconde de l fonction t t m) est constnte, égle à!. On en déduit que χ ξ) = f ξ) fx) P )! 1 x) x m), ce qui implique le résultt puisque χ ξ) = 0. On en déduit en utilisnt l remrque fite vnt l proposition le Corollire 3.. Si f est une fonction de clsse C sur [, β] et m le milieu de [, β] fx) dx β )fm) β )3 sup f x). 4 x [,β] Démonstrtion. Ce résultt s obtient en intégrnt l inéglité démontrée à l proposition précédente. Pour le membre de droite, il suffit d utiliser le fit que m est le milieu de [, β]. On obtient 1 x m) dx = m x m) dx = β )3 4 En ppliqunt ce résultt à chcun des n intervlles [ i, i+1 ] qui ont pour longueur b n, on obtient Théorème 3.3 Méthode des milieux). Si f est une fonction de clsse C sur [, b], fx) dx b n 1 ) i + i+1 b )3 f M n 4 n. où M = sup x [,b] f x)..

10 10 Nicole Bopp 4. Méthode de Simpson Pr une méthode nlogue à celle utilisée pour l méthode des milieux, on peut méliorer l mjortion obtenue u théorème.9 voir [O-V ] pge 115). En effet on remrque que x )x m)x β) dx = 0, cr en utilisnt le même chngement de vrible qu à l section.3 on obtient x )x m)x β) dx = t1 t ) dt = 0. En remplçnt le polynôme P qui interpole f ux points, β et m pr un polynôme P 3 tel que P 3 x) = P x) + λx )x β)x m), on ne chnge ps l intégrle cr fx) P x)) dx = fx) P ) 3 x) Pr contre en choisissnt bien λ, on peut méliorer l mjortion. On choisit λ de sorte que ce qui est possible cr P 3m) = f m), d dx x )x m)x β) x=m 0. Proposition 4.1. Si f est une fonction de clsse C 4 sur [, β], on pour tout x [, β] fx) P 3 x) x )x m) x β) 4! dx. sup f 4) x). x [,β] Démonstrtion. Remrquons tout d bord que les fonctions f et P 3 sont égles ux points, β et m. Fixons un point x [, β] distincts de ces trois points. Considérons l fonction θ : t ft) P ) 3 t) fx) P ) t )t m) t β) x) x )x m) x β). Cette fonction s nnule ux points distincts), m, β et x. Pr le théorème de Rolle s dérivée s nnule en trois points distincts de, β, m et x, mis elle s nnule ussi u point m. En ppliqunt trois fois le théorème de Rolle à cette dérivée, on obtient l existence d un point ξ ], β[\{m, x} tel que θ 4) ξ) = 0.

11 Clculs de vleurs pprochées d intégrles 11 L dérivée qutrième du polynôme de degré 3) P 3 est nulle et l dérivée qutrième de l fonction t t )t m) t β) est constnte, égle à 4!. On en déduit que θ 4) ξ) = f 4) ξ) fx) P ) 4! 3 x) x )x m) x β), ce qui implique le résultt nnoncé. Corollire 4.. Si f est une fonction de clsse C 4 sur [, β], β ) fx) dx f) + 4f + β ) ) + fβ) β )4 3 4! 15 sup f 4) x). x [,β] Démonstrtion. Comme plus hut, ce résultt s obtient en intégrnt l inéglité démontrée à l proposition précédente. Pour le premier membre on utilise le choix de P 3 et le clcul de l intégrle de P fit en.3, d où fx) P ) 3 x) dx = fx) P x)) dx = fx) dx β ) f) + 4f + β ) ) + fβ). Pour le membre de droite on obtient vec toujours le même chngement de vrible) x )x m) x β) dx = β )5 5 t 1 t ) dt = β )5 4 β )5 = En ppliqunt à nouveu ce résultt à chcun des n intervlles [ i, i+1 ] qui ont pour longueur b, on obtient n Théorème 4.3 Méthode de Simpson). Si f est une fonction de clsse C 4 sur [, b], fx) dx b n 1 f i ) + f i + i+1 ) + f i+1 )) n b ) 5 3 4! 15 n 4M 4. où M 4 = sup x [,b] f 4) x). Et pour finir on clcule 3 4! 15 = Conclusion En ugmentnt le nombre de points d interpoltion, que l on choisit régulièrement espcés sur chque intervlle [ i, i+1 ], on peut obtenir de meilleures mjortions. Pour p+1 points d interpoltion, on interpole pr un polynôme de degré p et il n est ps difficile de générliser ce qu on fit u prgrphe pour obtenir à l ide du théorème de Rolle une mjortion de l erreur commise en O ) 1 n. C est l méthode de Newton-Cotes composée voir pr p+1 exemple [De] pge ).

12 1 Nicole Bopp Dns le cs où p est pir on pourr méliorer l mjortion cr l un des points d interpoltion est le milieu de l intervlle [ i, i+1 ]. L générlistion de l proposition 4.1 est donnée pr l interpoltion d Hermite voir [K] théorème 8.7). Prtiquement le clcul des dérivées de f peut devenir très compliqués et on se contente souvent de l méthode de Simpson qui est ssez performnte. On peut ussi choisir des points d interpoltion qui ne sont ps régulièrement espcés. En choisissnt les zéros de polynômes orthogonux on obtient l méthode de Guss voir problème écrit du CAPES 000 ou [K] théorème 10.3). Références [D] J-P. Demilly, Anlyse numérique et équtions différentielles [G] X. Gourdon, Les mths en tête : nlyse [K] V. Komornik, Précis d nlyse réelle [L] T. Lmbre, Anlyse pour l épreuve sur dossier à l orl du CAPES [O-V 1] J-L. Overt & J-L. Verley, Anlyse vec commentires et notes historiques [O-V ] J-L. Overt & J-L. Verley, Algèbre vec commentires et notes historiques

Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre

Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers l dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chpitre Chpitre 20 Intégrtion Sommire 20.1 Continuité uniforme.................................

Plus en détail

EPUUniversité de Tours

EPUUniversité de Tours DI 3ème nnée EPUUniversité de Tours Déprtement Informtique 007-008 ANALYSE NUMERIQUE Chpitre 3 Intégrtion numérique résumé du cours 1 Introduction Il s git d une mniére générle de déterminer, le mieux

Plus en détail

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) (

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) ( Correction de l épreuve CCP PSI Mths PREMIÈRE PARTIE I- Soit t u voisinge de, t Alors ϕt t s = ϕt ρt s ρs Pr hypothèse, l fonction ϕt ϕt est lorsque t, il en est donc de même de ρt s ρt s ρs cr ρ s est

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mthémtiques nnée 2009-2010 Chpitre 2 Le prolème de l unicité des solutions 1 Le prolème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l éqution différentielle :

Plus en détail

Exercices corrigés 9325 = 2 4662 + 1 4662 = 2 2331 + 0 2331 = 2 1165 + 1

Exercices corrigés 9325 = 2 4662 + 1 4662 = 2 2331 + 0 2331 = 2 1165 + 1 Grenoble INP Pgor 1ère nnée Exercices corrigés Anlyse numérique NB : Les exercices corrigés ici sont les exercices proposés durnt les sénces de cours. Les corrections données sont des corrections plus

Plus en détail

Intégration. Rappels. Définition 3. Soit I un intervalle réel et f : I E. On dit que F : I E est. f(x) f(a) x a

Intégration. Rappels. Définition 3. Soit I un intervalle réel et f : I E. On dit que F : I E est. f(x) f(a) x a Intégrtion Les fonctions considérées ci-dessous sont des fonctions définies sur un intervlle réel I, à vleurs réelles ou complees ou, plus générlement, à vleurs dns un espce vectoriel normé de dimension

Plus en détail

Calcul int egral. 15 d ecembre 2008

Calcul int egral. 15 d ecembre 2008 Clcul intégrl. 15 décembre 2008 2 Tble des mtières I Intégrles multiples 5 1 Rppels sur l intégrle définie des fonctions d une vrible. 7 1.1 Motivtions................................ 7 1.1.1 Cs des fonctions

Plus en détail

ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE

ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE Université de Metz Licence de Mthémtiques - 3ème nnée 1er semestre ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE pr Rlph Chill Lbortoire de Mthémtiques et Applictions de Metz Année 010/11 1 Tble des mtières Chpitre

Plus en détail

Chapitre 7. Primitives et Intégrales. 7.1 Primitive d une fonction. 7.2 Propriétés des primitives. 7.3 Intégrale définie ou Intégrale de Riemannn)

Chapitre 7. Primitives et Intégrales. 7.1 Primitive d une fonction. 7.2 Propriétés des primitives. 7.3 Intégrale définie ou Intégrale de Riemannn) Chpitre 7 Primitives et Intégrles 7. Primitive d une fonction Soit f une fonction définie sur un intervlle K de R. On ppelle primitive de f, une fonction F dont l dérivée est f : F (x) = f(x). On note

Plus en détail

Le Calcul Intégral. niveau maturité. Daniel Farquet

Le Calcul Intégral. niveau maturité. Daniel Farquet Le Clcul Intégrl niveu mturité Dniel Frquet Eté 8 Tble des mtières Introduction Intégrle indéfinie 3. Définitions et générlités................................ 3.. Déf. d une primitive..............................

Plus en détail

Calcul intégral. II Intégrale d une fonction 4

Calcul intégral. II Intégrale d une fonction 4 BTS DOMOTIQUE Clcul intégrl 8- Clcul intégrl Tble des mtières I Primitives I. Définitions............................................... I. Clculs de primitives.........................................

Plus en détail

Résumé du cours d analyse de maths spé MP

Résumé du cours d analyse de maths spé MP 1 TOPOLOGE Résumé du cours d nlyse de mths spé MP 1 Topologie 1) Normes, normes équivlentes Une norme sur l espce vectoriel E est une ppliction N de E dns R vérifint : x E, N(x). x E, (N(x) = x = ) (xiome

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries

Plus en détail

Chapitre 9: Primitives et intégrales

Chapitre 9: Primitives et intégrales PRIMITIVES ET INTEGRALES 7 Chpitre 9: Primitives et intégrles Prérequis: Limites, dérivées Requis pour: Emen de mturité 9. «À quoi ç sert?» Un peu d histoire Isc Newton (64-77) Les clculs d ire de figures

Plus en détail

Cours de Mathématiques 2

Cours de Mathématiques 2 Cours de Mthémtiques 2 première prtie : Anlyse 2 DEUG MIAS 1 e nnée, 2 e semestre. Mximilin F. Hsler Déprtement Scientifique Interfcultire B.P. 7209 F 97275 SCHOELCHER CEDEX Fx : 0596 72 73 62 e-mil :

Plus en détail

COURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel

COURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel COURS D ANALYSE Licence d Informtique, première nnée Lurent Michel Printemps 2010 2 Tble des mtières 1 Éléments de logique 5 1.1 Fbriquer des énoncés........................ 5 1.1.1 Enoncés élémentires.....................

Plus en détail

Relations binaires. Table des matières. Marc SAGE. 18 octobre 2007. 1 Amuse gueule 2. 2 Combinatoire dans les quotients 2. 3 Problème d extréma 3

Relations binaires. Table des matières. Marc SAGE. 18 octobre 2007. 1 Amuse gueule 2. 2 Combinatoire dans les quotients 2. 3 Problème d extréma 3 Reltions binires Mrc SAGE 8 octobre 007 Tble des mtières Amuse gueule Combintoire dns les quotients 3 Problème d extrém 3 4 Un théorème de point xe 3 5 Sur l conjugisons dns R 3 6 Sur les corps totlement

Plus en détail

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann Chpitre 11 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Ce chpitre s inscrit dns l continuité du précédent. On vu à l proposition 1.16 que les formes différentielles sont bien plus grébles à mnipuler

Plus en détail

Théorème de Lax Milgram Application au problème de Dirichlet pour l équation de Sturm Liouville

Théorème de Lax Milgram Application au problème de Dirichlet pour l équation de Sturm Liouville Théorème de Lx Milgrm Appliction u problème de Dirichlet pour l éqution de Sturm Liouville Résumé du cours de MEDP Mîtrise de mthémtiques 2000 2001 2001nov18 (medp-lx-milgrm.tex) Dns ce chpitre, on se

Plus en détail

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral Synthèse de cours (Terminle S) Clcul intégrl Intégrle d une onction continue positive sur un intervlle [;] Dns cette première prtie, on considère une onction continue positive sur un intervlle [ ; ] (

Plus en détail

Chapitre 11 : L inductance

Chapitre 11 : L inductance Chpitre : inductnce Exercices E. On donne A πr 4π 4 metn N 8 spires/m. () Selon l exemple., µ n A 4π 7 (8) 4π 4 (,5) 5 µh (b) À prtir de l éqution.4, on trouve ξ ξ 4 3 5 6 6,3 A/s E. On donne A πr,5π 4

Plus en détail

Kit de survie - Bac ES

Kit de survie - Bac ES Kit de survie - Bc ES. Étude du signe d une expression ) Signe de x + Ü Ü ½ Ò µ¼ Ò ½ 0) On détermine l vleur de x qui nnule x +, puis on pplique l règle : «signe de près le 0». ) Signe de x + x + c ܾ

Plus en détail

Tout ce qu il faut savoir en math

Tout ce qu il faut savoir en math Tout ce qu il fut svoir en mth 1 Pourcentge Prendre un pourcentge t % d un quntité : t Clculer le pourcentge d une quntité pr rpport à une quntité b : Le coefficient multiplicteur CM pour une ugmenttion

Plus en détail

Chapitre 3 Dérivées et Primitives

Chapitre 3 Dérivées et Primitives Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives Chpitre Dérivées et Primitives A) Rppels de première et compléments ) Dérivées usuelles Fonction définie sur Fonction f() =

Plus en détail

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005 MATHÉMATIQUES 3 semestre 3 des Licences MISM nnnée universitire 24-25 Driss BOULARAS 2 Tble des mtières Rppels 5. Ensembles et opértions sur les ensembles.................. 5.. Prties d un ensemble.........................

Plus en détail

Intégration sur un intervalle quelconque MP

Intégration sur un intervalle quelconque MP ntégrtion sur un intervlle quelconque MP 9 décembre 22 Dns ce chpitre, on définit l notion de fonction continue pr morceu et intégrble sur un intervlle quelconque. Cel nous permettr de donner un sens à

Plus en détail

Les règles de Descartes et de Budan Fourier

Les règles de Descartes et de Budan Fourier Ojectifs de ce chpitre Mthémtiques ssistées pr ordinteur Chpitre 4 : Rcines des polynômes réels et complexes Michel Eisermnn Mt49, DLST LS4, Année 8-9 www-fourierujf-grenolefr/ eiserm/cours # mo Document

Plus en détail

Préparation à l'examen écrit de maturité Mathématiques 2013

Préparation à l'examen écrit de maturité Mathématiques 2013 Wechter Loïc Mturité 2013 Mthémtiques Cours de M. Flcoz 2013 Préprtion à l'exmen écrit de mturité Mthémtiques 2013 1.Primitives et intégrles 1.1Primitives (CRM pp.77-80) Une primitive pourrit se définir

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO

Université Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO Université Pris-Duphine DUMI2E UFR Mthémtiques de l décision Notes de cours Anlyse 2 Filippo SANTAMBROGIO Année 2008 2 Tble des mtières 1 Optimistion de fonctions continues et dérivbles 5 1.1 Continuité........................................

Plus en détail

ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE

ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Jen-Pierre Dedieu, Jen-Pierre Rymond ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Institut de Mthémtiques Université Pul Sbtier 31062 Toulouse cedex 09 jen-pierre.dedieu@mth.univ-toulouse.fr jen-pierre.rymond@mth.univ-toulouse.fr

Plus en détail

Cours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions

Cours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions Université Clude Bernrd, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Snté 43, boulevrd 11 novembre 1918 Spécilité Mthémtiques 69622 Villeurbnne cedex, Frnce L. Pujo-Menjouet pujo@mth.univ-lyon1.fr Cours d

Plus en détail

Séquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire

Séquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire Séquence 8 Proilité : lois à densité Sommire. Prérequis 2. Lois de proilité à densité sur un intervlle 3. Lois uniformes 4. Lois exponentielles 5. Synthèse de l séquence Dns cette séquence, on introduit

Plus en détail

mémento de mathématiques pour les ECE1

mémento de mathématiques pour les ECE1 mémento de mthémtiques pour les ECE1 Abdellh Becht Résumé L objectif de ce mémento est de permettre ux élèves de première nnée des clsses préprtoires ux Ecoles de Commerces, option économique, d voir un

Plus en détail

Licence M.A.S.S. Cours d Analyse S4

Licence M.A.S.S. Cours d Analyse S4 Université Pris I, Pnthéon - Sorbonne Licence MASS Cours d Anlyse S4 Jen-Mrc Brdet (Université Pris 1, SAMM) UFR 27 et Equipe SAMM (Sttistique, Anlyse et Modélistion Multidisiplinire) Université Pnthéon-Sorbonne,

Plus en détail

Table des matières Dénombrer et sommer Événements et Probabilités

Table des matières Dénombrer et sommer Événements et Probabilités Tble des mtières 1 Dénombrer et sommer 5 1.1 Rppels ensemblistes............................. 5 1.1.1 Opértions ensemblistes....................... 5 1.1.2 Bijections............................... 7 1.2

Plus en détail

Cours de Mathématiques L1. Résumé des chapitres. Hassan Emamirad

Cours de Mathématiques L1. Résumé des chapitres. Hassan Emamirad Cours de Mthémtiques L1 Résumé des chpitres Hssn Emmird Université de Poitiers Version 29/21 TABLE DES MATIÈRES 3 Tble des mtières 1 Nombres complexes 5 1.1 Le corps C.....................................

Plus en détail

S il ne peut être déterminé en raison d'excavations et de remblais antérieurs, la référence est le terrain naturel environnant.

S il ne peut être déterminé en raison d'excavations et de remblais antérieurs, la référence est le terrain naturel environnant. Annexe A MESSAGE TYPE 8. COMMENTAIRES DES DEFINITIONS DE L ANNEXE NOTIONS ET METHODES DE MESURE 1. TERRAIN DE RÉFÉRENCE 1.1 Terrin de référence Le terrin de référence équivut u terrin nturel. S il ne peut

Plus en détail

Chapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction

Chapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction 2e semestre 2/ UE 4 U : Abrégé de cours Anlyse 3: fonctions nlytiques Les notes suivntes, disponibles à l dresse http://www.iecn.u-nncy.fr/ bertrm/, contiennent les définitions et les résultts principux

Plus en détail

Ecole Normale Supérieure de Cachan 61 avenue du président Wilson 94230 CACHAN. Concours d admission en 3 ème année Informatique.

Ecole Normale Supérieure de Cachan 61 avenue du président Wilson 94230 CACHAN. Concours d admission en 3 ème année Informatique. C39211 Ecole Normle Supérieure de Cchn 61 venue du président Wilson 94230 CACHAN Concours d dmission en 3 ème nnée Informtique Session 2009 INFORMATIQUE 1 Durée : 5 heures «Aucun document n est utorisé»

Plus en détail

Automates d arbres avec visibilité : rapport de stage de licence (L3)

Automates d arbres avec visibilité : rapport de stage de licence (L3) Automtes d rbres vec visibilité : rpport de stge de licence (L3) Nicols Perrin ENS de Lyon Mître de stge : Hubert Comon-Lundh - LSV, ENS Cchn Autre encdrnt : Florent Jcquemrd - LSV, ENS Cchn Résumé Mon

Plus en détail

Séquence 7. Intégration. Sommaire

Séquence 7. Intégration. Sommaire Séquence 7 Intégrtion Sommire. Prérequis. Aire et intégrle d une fonction continue et positive sur [ ; ]. Primitives 4. Primitives et intégrles d une fonction continue 5. Synthèse de l séquence Dns ce

Plus en détail

UNIVERSITE PARIS 1 PANTHEON SORBONNE UFR DE GESTION

UNIVERSITE PARIS 1 PANTHEON SORBONNE UFR DE GESTION UNIVERSITE PRIS PNTHEON SORBONNE UFR DE GESTION MTHEMTIQUES PPLIQUEES L ECONOMIE ET L GESTION LICENCE nnée Cours de Thierry LFY TRVUX DIRIGES semestre 7-8 Thème n : Rppels Eercice Déterminez l ensemble

Plus en détail

3.8. 1 Estimation de l aire d une région curviligne. Exemple 1 Estimer l aire de la région sous une hyperbole. Solution

3.8. 1 Estimation de l aire d une région curviligne. Exemple 1 Estimer l aire de la région sous une hyperbole. Solution .8 Aperçu de l intégrle.8 APERÇU DE L INTÉGRALE Estimtion de l ire d une région curviligne Erreur d pproimtion Aire ecte d une région curviligne 4 Intégrle définie 5 Intégrle définie négtive 6 Propriétés

Plus en détail

Chapitre VI Contraintes holonomiques

Chapitre VI Contraintes holonomiques 55 Chpitre VI Contrintes holonomiques Les contrintes isopérimétriques vues u chpitre précéent ne sont qu un eemple prticulier e contrintes sur les fonctions y e notre espce e fonctions missibles. Dns ce

Plus en détail

SESSION 2013 MPIN007! INFORMATIQUE. Durée : 3 heures!

SESSION 2013 MPIN007! INFORMATIQUE. Durée : 3 heures! SESSION 2013 MPIN007 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP " INFORMATIQUE Durée : 3 heures " N.B. : Le cndidt ttcher l plus grnde importnce à l clrté, à l précision et à l concision de l rédction. Si un cndidt

Plus en détail

DEUG MIAS 1 Année 2002-2003 Premier et deuxième semestres Feuilles de Cours

DEUG MIAS 1 Année 2002-2003 Premier et deuxième semestres Feuilles de Cours Deug Mis 1 Année 2002-2003 J.-F. Burnol Université Lille 1 1 DEUG MIAS 1 Année 2002-2003 Premier et deuxième semestres Feuilles de Cours Toutes les fiches de cours distribuées ux étudints pendnt l nnée

Plus en détail

Module 2 : Déterminant d une matrice

Module 2 : Déterminant d une matrice L Mth Stt Module les déterminnts M Module : Déterminnt d une mtrice Unité : Déterminnt d une mtrice x Soit une mtrice lignes et colonnes (,) c b d Pr définition, son déterminnt est le nombre réel noté

Plus en détail

Option informatique :

Option informatique : Option formtique : l deuxième nnée Lurent Chéno été 1996 Lycée Louis-le-Grnd, Pris Tle des mtières I Arres 13 1 Arres ires 15 1.1 Défitions et nottions... 15 1.1.1 Défition formelle d un rre ire... 15

Plus en détail

Continuité - Limites Asymptotes à une courbe

Continuité - Limites Asymptotes à une courbe Continuité - Limites Asymptotes à une cre Continuité - Théorème des vleurs intermédiires Notion de continuité Grphiquement, on peut reconnître une fonction continue sur un intervlle I pr le fit que le

Plus en détail

Systèmes logiques combinatoires

Systèmes logiques combinatoires «'enseignement devrit être insi : celui qui le reçoit le recueille comme un don inestimle mis jmis comme une contrinte pénile.» Alert Einstein Systèmes logiques comintoires Définitions. es vriles inires

Plus en détail

École de technologie supérieure Service des enseignements généraux Local B-2500 514-396-8938 Site internet : http://www.etsmtl.ca/ MAT145.

École de technologie supérieure Service des enseignements généraux Local B-2500 514-396-8938 Site internet : http://www.etsmtl.ca/ MAT145. École de technologie supérieure Service des enseignements généru Locl B-500 54-96-898 Site internet : http://www.etsmtl.c/ MAT45 CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL NOTES DE COURS e PARTIE PAR GENEVIÈVE SAVARD,

Plus en détail

Kit de survie - Bac ES

Kit de survie - Bac ES Kit de survie - c E Etude du signe d une eression - igne de + b ( 0) On détermine l vleur de qui nnule + b, uis on lique l règle : "signe de rès le 0". +b b/ + signe de ( ) signe de - igne de + b + c (

Plus en détail

edatenq est une application qui permet aux entreprises de compléter et d'envoyer leurs déclarations statistiques par internet.

edatenq est une application qui permet aux entreprises de compléter et d'envoyer leurs déclarations statistiques par internet. Sttistique mensuelle tourisme et hôtellerie Introduction edatenq est une ppliction qui permet ux entreprises de compléter et d'envoyer leurs déclrtions sttistiques pr internet. Il s'git d'une ppliction

Plus en détail

LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES

LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES Mrie-Pule Muller Version du 14 juillet 2005 Ce cours présente et met en oeuvre quelques méthodes mthémtiques pour l informtique théorique. Ces notions de bse pourront

Plus en détail

Influence du milieu d étude sur l activité (suite) Inhibition et activation

Influence du milieu d étude sur l activité (suite) Inhibition et activation Influence du milieu d étude sur l ctivité (suite) Inhibition et ctivtion Influence de l tempérture Influence du ph 1 Influence de l tempérture Si on chuffe une préprtion enzymtique, l ctivité ugmente jusqu

Plus en détail

Techniques d analyse de circuits

Techniques d analyse de circuits Chpitre 3 Tehniques d nlyse de iruits Ce hpitre présente différentes méthodes d nlyse de iruits. Ces méthodes permettent de simplifier l nlyse de iruits ontennt plusieurs éléments. Bien qu on peut résoudre

Plus en détail

Automates temporisés. Amal El Fallah Seghrouchni Amal.Elfallah@lip6.fr

Automates temporisés. Amal El Fallah Seghrouchni Amal.Elfallah@lip6.fr Automtes temporisés Aml El Fllh Seghrouchni Aml.Elfllh@lip6.fr Pln Introduction Définition d un utomte temporisé Composition d utomtes temporisés Automtes hybrides Conclusion Le problème à résoudre monde

Plus en détail

TOUT SUR LE TRIANGLE

TOUT SUR LE TRIANGLE PROBLEME de niveu sup rédigé pr R. Ferreol ferreol@mthcurve.com TOUT SUR LE TRIANGLE. DONNÉES ET NOTATIONS 3 points A, B, C non lignés d un pln ffine euclidien P orienté de fçon à ce que (AB, AC ) soit

Plus en détail

Savoir-faire expérimentaux.

Savoir-faire expérimentaux. LYCEE LOUIS DE CORMONTAIGNE. 12 Plce Cormontigne BP 70624. 57010 METZ Cedex 1 Tél.: 03 87 31 85 31 Fx : 03 87 31 85 36 Sciences Appliquées. Svoir-fire expérimentux.. Référentiel.. :. S5 Sciences. Appliquées......

Plus en détail

CH.1 Automates finis

CH.1 Automates finis CH.1 Automtes finis 1.1 Les utomtes finis déterministes 1.2 Les utomtes finis non déterministes 1. Les utomtes vec -trnsitions 1.4 Les expressions régulières 1.5 L'équivlence des modèles Automtes ch1 1

Plus en détail

Direction des Études et Synthèses Économiques Département des Comptes Nationaux Division des Comptes Trimestriels

Direction des Études et Synthèses Économiques Département des Comptes Nationaux Division des Comptes Trimestriels Etb=MK2, Timbre=G430, TimbreDnsAdresse=Vri, Version=W2000/Chrte7, VersionTrvil=W2000/Chrte7 Direction des Études et Synthèses Économiques Déprtement des Comptes Ntionux Division des Comptes Trimestriels

Plus en détail

Des extraits de cette norme seront présentés pour la compréhension de la démarche.

Des extraits de cette norme seront présentés pour la compréhension de la démarche. Estimtion de l incertitude de l mesure : Appliction à l incertitude sur le clcul de l concentrtion d EDTA lors de l détermintion de l dureté d une eu nturelle Pour cette démrche, nous nous ppuierons sur

Plus en détail

3- Les taux d'intérêt

3- Les taux d'intérêt 3- Les tux d'intérêt Mishkin (2007), Monnie, Bnque et mrchés finnciers, Person Eduction, ch. 4 et 6 Vernimmen (2005), Finnce d'entreprise, Dlloz, ch. 20 à 22 1- Mesurer les tux d'intérêt comprer les différents

Plus en détail

Systèmes de détection Exemples académiques & commerciaux

Systèmes de détection Exemples académiques & commerciaux Systèmes de détection Exemples cdémiques & commerciux Système de détection: Propgtion de logiciels mlveillnts Exemple I: MIT, ICSI & Consentry Jen-Mrc Robert, ETS Protection contre les mences - Détection

Plus en détail

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle - Calédonie Mars 2009

Baccalauréat S Nouvelle - Calédonie Mars 2009 Bcclurét S Nouvelle - Clédoie Mrs 009 Exercice Commu à tous les cdidts (5 poits) r r Le pl est rpporté à u repère orthoorml direct ( O, u, v) d uité grphique cm O cosidère les poits et B d ffixes respectives

Plus en détail

Intégrale et primitives

Intégrale et primitives Chpitre 5 Intégrle et primitives 5. Ojetif On herhe dns e hpitre à onstruire l opérteur réiproue de l opérteur de dérivtion. Les deux uestions suivntes sont lors nturelles. Question : Soit f une pplition

Plus en détail

COURS DE MATHÉMATIQUES

COURS DE MATHÉMATIQUES COURS DE MATHÉMATIQUES Terminle S Vlère BONNET vlere.bonnet@gmil.com) 9 mi Lycée PONTUS DE TYARD rue des Gillrdons 7 CHALON SUR SAÔNE Tél. : ) 85 46 85 4 Fx : ) 85 46 85 59 FRANCE ii LYCÉE PONTUS DE TYARD

Plus en détail

Notes de révision : Automates et langages

Notes de révision : Automates et langages Préprtion à l grégtion de mthémtiques 2011 2012 Notes de révision : Automtes et lngges Benjmin MONMEGE et Sylvin SCHMITZ LSV, ENS Cchn & CNRS Version du 24 octore 2011 (r66m) CC Cretive Commons y-nc-s

Plus en détail

Strasbourg, 12 novembre 2013 (projet) T-CY (2013) 26. Comité de la Convention Cybercriminalité (T-CY)

Strasbourg, 12 novembre 2013 (projet) T-CY (2013) 26. Comité de la Convention Cybercriminalité (T-CY) www.coe.int/tcy Strsourg, 12 novemre 2013 (projet) T-CY (2013) 26 Comité de l Convention Cyercriminlité (T-CY) Note d orienttion n 8 du T-CY Otention, dns le cdre d une enquête pénle, de données reltives

Plus en détail

Chapitre 3 Intégrale double

Chapitre 3 Intégrale double Chpitre 3 Intégrle oule Nous llons supposer le pln usuel muni un repère orthonormé (O,i,j). 3. Aperçu e l éfinition formelle e l intégrle oule Soit =[, [, (

Plus en détail

STI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE

STI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE L' Algère de BOOLE L'lgère de Boole est l prtie des mthémtiques, de l logique et de l'électronique qui s'intéresse ux opértions et ux fonctions sur les vriles logiques. Le nom provient de George Boole.

Plus en détail

MATHEMATIQUES GENERALES partim A

MATHEMATIQUES GENERALES partim A Fculté des Sciences MATHEMATIQUES GENERALES prtim A Première nnée de bchelier en Biologie, Chimie, Géogrphie, Géologie, Physique et Informtique, Philosophie Année cdémique 04-05 Frnçoise BASTIN Introduction

Plus en détail

Logiciel Anti-Spyware Enterprise Module

Logiciel Anti-Spyware Enterprise Module Logiciel Anti-Spywre Enterprise Module version 8.0 Guide Qu est-ce qu Anti-Spywre Enterprise Module? McAfee Anti-Spywre Enterprise Module est un module d extension qui permet d étendre les cpcités de détection

Plus en détail

Calibration absolue par la mesure du faisceau direct

Calibration absolue par la mesure du faisceau direct DNPA Clibrtion 16-01-04 1 Clibrtion bsolue pr l mesure du fisceu direct 1- Introduction Les différentes méthodes permettnt de fire des mesures bsolues en diffusion de neutrons ux petits ngles (DNPA) sont

Plus en détail

gfaubert septembre 2010 1

gfaubert septembre 2010 1 Notes de cours Pour l e secondire Compiltion et/ou crétion Guyline Fuert Septemre 00 gfuert septemre 00 Géométrie------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Plus en détail

3 LES OUTILS DE DESCRIPTION D UNE FONCTION LOGIQUE

3 LES OUTILS DE DESCRIPTION D UNE FONCTION LOGIQUE 1GEN ciences et Techniques Industrielles Pge 1 sur 7 Automtique et Informtiques Appliquées Génie Énergétique Première 1 - LA VARIABLE BINAIRE L électrotechnique, l électronique et l mécnique étudient et

Plus en détail

Assemblages angulaires de plans de travail de cuisine d'une largeur de 60 cm

Assemblages angulaires de plans de travail de cuisine d'une largeur de 60 cm N 529 Assemlges ngulires de plns de trvil de cuisine d'une lrgeur de 60 cm A Description Le grit de frisge APS 900 et une défonceuse Festool, p. ex. l défonceuse OF 1400, permettent de réliser rpidement

Plus en détail

Devoir de physique-chimie n 4bis (2H)

Devoir de physique-chimie n 4bis (2H) TS jn 2014 Devoir de physique-chimie n 4bis (2H) Nom:...... LES EXERIES SNT INDEPENDANTS ALULATRIE AUTRISEE PHYSIQUE : ETILE BINAIRE /20 1. Le télescope 8 Les 3 prties sont indépendntes. Document 1 : L

Plus en détail

Intégration et primitives

Intégration et primitives DERNIÈRE IMPRESSIN LE 8 mrs 24 à 4:2 Itégrtio et primitives Tle des mtières Notio d itégrle 2. Défiitio................................. 2.2 Exemple de clcul d itégrle : l qudrture de l prole.... 3.3 Itégrle

Plus en détail

Cours de Mathématiques

Cours de Mathématiques Cours de Mthémtiques TS Lycée Henri IV Tble des mtières I Les nombres complexes 7 Rcines n ième d un nombre complexe non nul 7. Définition.................................................... 7.2 Représenttion

Plus en détail

Fiabilité, sécurité et enfichage intégral éprouvés. Tous les connecteurs sont équipés de dispositifs de verrouillage antiarrachement.

Fiabilité, sécurité et enfichage intégral éprouvés. Tous les connecteurs sont équipés de dispositifs de verrouillage antiarrachement. Fibilité, sécurité et enfichge intégrl éprouvés Tous les connecteurs sont équipés de dispositifs de verrouillge ntirrchement. 100% stekerbr Qu est-ce qu une instlltion 100 % enfichble? Mtériel fourni en

Plus en détail

Le Plancher Rayonnant Surfacique à faible inertie

Le Plancher Rayonnant Surfacique à faible inertie Le Plncher Ryonnnt Surfcique à file inertie Vue en coupe mm *4 mm 0 5 4 * Selon le type d isolnt et selon le niveu d isoltion du plncher G r n t 0 i e ns Avis technique CSTB 4/-55 Grntie 0 ns GAN M34-0-058/059

Plus en détail

Guide d'utilisation Easy Interactive Tools Ver. 2

Guide d'utilisation Easy Interactive Tools Ver. 2 Guide d'utilistion Esy Interctive Tools Ver. 2 Guide d'utilistion Esy Interctive Tools Ver.2 Présenttion de Esy Interctive Tools 3 Crctéristiques Fonction de dessin Vous pouvez utiliser Esy Interctive

Plus en détail

CAP PRO E SCHEMA : LE MOTEUR

CAP PRO E SCHEMA : LE MOTEUR CAP PRO E SCHEMA : E MOTEUR folio folio folio folio folio folio folio 7 folio 8 folio 9 plque signlétique d un moteur puissnce sorée pr un moteur plque à ornes d un moteur triphsé e couplge étoile e couplge

Plus en détail

Analyse statique et domaines abstraits symboliques

Analyse statique et domaines abstraits symboliques Anlyse sttique et domines strits symoliques Mémoire d hilittion à diriger des recherches Lurent Muorgne Hilittion soutenue le 12 février 2007 à l Université Pris-Duphine Jury : Ptrick Cousot (rpporteur)

Plus en détail

Automates hyper-minimaux

Automates hyper-minimaux Université derouen UFR des sciences et techniques Projet nnuel de mster 1 Encdrnts : Pscl Cron et Ludovic Mignot Automtes hyper-minimux Jen-Bptiste PRIEZ Rouen, le 20 mi 2011 Résumé Deux lngges sont f-équivlents

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Progrmmes des clsses préprtoires ux Grndes Ecoles Filière : scientifique Voie : Mthémtiques et physique (MP) Discipline : Mthémtiques Seconde nnée Clsse préprtoire MP Progrmme de mthémtiques Tble des mtières

Plus en détail

Table des matières. Cristallographie. S.Boukaddid Cristallographie MP2

Table des matières. Cristallographie. S.Boukaddid Cristallographie MP2 S.Boukddid Cristllogrphie MP Cristllogrphie Tble des mtières 1 Bses de l cristllogrphie 1.1 Définitions....................................... 1. Crctéristiques des réseux cristllins......................

Plus en détail

AMETRA TRAVAIL SUR ECRAN DE VISUALISATION. Santé au travail. Guide destiné aux personnels exposés

AMETRA TRAVAIL SUR ECRAN DE VISUALISATION. Santé au travail. Guide destiné aux personnels exposés AMETRA Snté u trvil TRAVAIL SUR ECRAN DE VISUALISATION Guide destiné ux personnels exposés IMPLANTATION GÉNÉRALE Norme NF X 35-109 Les limites cceptbles du port mnuel de chrges pr une personne : Le slrié,

Plus en détail

CHAPITRE 5 ANALYSE EN REGIME SINUSOIDAL

CHAPITRE 5 ANALYSE EN REGIME SINUSOIDAL CHAPITRE 5 ANALYSE EN REGIME SINUSOIDAL H.W. Bode (95-98), mthémticien et physicien méricin. Bode entr dès 99 ux Bell Lbs, où il trvill vec Fry et Nyquist sur l théorie des circuits et des systèmes. Il

Plus en détail

16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.

16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C. 16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes. 16.1 Covergece simple et covergece uiforme

Plus en détail

Créer des jeux avec GLUP

Créer des jeux avec GLUP Créer des jeux vec GLUP GLUP (générteur ludopédgogique) est un service en ligne du CRDP de l cdémie de Versilles. Il permet de trnsformer des exercices à se de texte en mini-jeux téléchrgeles. Les jeux

Plus en détail

2.1 L'automate minimal

2.1 L'automate minimal CH.2 Minimistion 2.1 L'utomte miniml 2.2 L'lgorithme de minimistion Automtes ch2 1 2.1 L'utomte miniml Le lngge L définit sur Σ* l reltion d'équivlence R L : x R L y ssi ( z, xz L yz L). L'AFD M définit

Plus en détail

Cf. Document : Les différents modes de financement des entreprises

Cf. Document : Les différents modes de financement des entreprises / 7 3 e rtie : Les modes de finncement (à moyen et long terme) Cf. Document : Les différents modes de finncement des entrerises Cf. Fiche conseil.37 : Les modes de finncement des investissements - L utofinncement

Plus en détail

[ Aire ] représente l aire algébrique comprise entre la courbe et l axe des temps sur un intervalle d une période. T : période en secondes (s)

[ Aire ] représente l aire algébrique comprise entre la courbe et l axe des temps sur un intervalle d une période. T : période en secondes (s) AIDE-MEMOIRE REGIME PERIODIQE Grdeur périodique : e grdeur périodique es ue grdeur qui se répèe ideiqueme à elle même e régulièreme ds le emps. Période : durée cose oée, exprimée e secode (s) qui sépre

Plus en détail

Portes coupe feu EI 2 30 pour tout type de construction

Portes coupe feu EI 2 30 pour tout type de construction L nouvelle génértion de portes coupe feu élégntes Portes coupe feu EI 30 pour tout type de construction L nouvelle génértion de portes métlliques NovoPort Premio devient l référence dns l protection incendie

Plus en détail

Calcul de la rugosité surfacique

Calcul de la rugosité surfacique VI èmes Journées d Etudes Techniques 200 The Interntionl congress for pplied mechnics L mécnique et les mtériux, moteurs du développement durble du 05 u 07 mi 200, Mrrkech Mroc Clcul de l rugosité surfcique

Plus en détail

Turbine hydraulique Girard simplifiée pour faibles et très faibles puissances

Turbine hydraulique Girard simplifiée pour faibles et très faibles puissances Turbine hydrulique Girrd simplifiée pour fibles et très fibles puissnces Prof. Ing. Zoltàn Hosszuréty, DrSc. Professeur à l'université technique de Kosice Les sites hydruliques disposnt de fibles débits

Plus en détail

Menu outils de navigation mennavi.htm

Menu outils de navigation mennavi.htm Pge de lncement index.htm Voici l représenttion schémtique de l structure du site Wllonie, toutes les crtes en mins... Pge d ccueil win.htm nevs générl menwin.htm À propos de l structure des données :

Plus en détail