L3 PAPP Physique Quantique et applications UE A302 Chapitre VII PLAN Moment cinétique de spin Addition de moments cinétiques

Transcription

1 L3 PAPP Physique Quantique et applications UE A3 Chapite VII PLAN Moment cinétique de spin Addition de moments cinétiques I) Expéience de ten et Gelach (9) ) L expéience ) Valeus numéiques 3) Matices de PAULI 4) P + ( u ) pobabilité de touve cet atome dans la tache du haut apès passage dans A 5) i on effectue les mesues su un gand nombe d'atomes N o, supposés avoi initialement une épatition isotope de spins, combien en obtienda-t-on espectivement dans les états + et à la sotie de l'aimant? 6) Déduie de ce qui pécède une méthode pou pépae un jet d'atomes dans un état de spin choisi. II) Poblème : Inteaction d échange ente deux spins élémentaies Etat tiplet et état singulet - Pincipe de Pauli III) Cous : ystème de paticules identiques Pincipe d exclusion de Pauli ) Lien ente symétie des états et spin des paticules : 7 ème postulat. Bosons et femions. ) Pincipe d exclusion de Pauli (femions) 3) Vecteu d état pou un système à paticule 4) Vecteu d état pou un système à paticules 5) uite : cous de tatistique IV) Cous : Addition de moments cinétiques J = J + j et j donnés Intoduction ) ECOC n J J J J ( ) base des états non couplés j j m m m m ) ECOC n J J J J ( ) base des états couplés j j j m j m 3) Valeus popes de J : m = m + m Valeus popes de J : j j j j + j vaiant pa pas de 4) Constuie les vecteus de la base des états couplés j m en fonction des vecteus de la base des états non couplés m m. V) Poblème : J = L + VI) Poblème = + J

2 I) Expéience de ten et Gelach (9). ) L'expéience consiste à étudie la déviation d'un jet d'atomes neutes paamagnétiques (comme de l'agent) dans un champ magnétique fotement inhomogène. L E F A P y Des atomes d'agent contenus dans une encee E, chauffée à haute tempéatue, s'en échappent pa un oifice étoit et se popagent en ligne doite dans le vide poussé égnant dans l'appaeil. Une fente collimatice F sélectionne ceux dont la vitesse est paallèle à une diection donnée pise pou axe Oy. Le jet atomique ainsi éalisé tavese l'entefe d'un électoaimant A et vient se condense su une plaque. Dans l'entefe de l'aimant ègne un champ magnétique selon O de la fome : B = B o + β avec un fot gadient β = db d ( valeu numéique β = T.m - ). Un atome d'agent possède un moment magnétique M qui est celui de son électon célibataie M est lié au spin de cet électon pa la elation M = γ avec ici γ = e m ( γ < ca e < ). Dans cet entefe, monte qu'un atome d'agent subit une foce F = M db d. Expéimentalement (avec des atomes d'agent) on obseve su la plaque P l'existence de taches symétiques N et N distinctes. Explique pouquoi l'existence de ces deux taches implique que la pojection du moment cinétique de l'électon su l'axe O est quantifiée et ne peut pende que valeus. Quels sont les états de spin possibles de l'atome au niveau de la plaque P? ) Valeus numéiques. Calcule l'écat ente les faisceaux, immédiatement à la sotie de l'aimant ( L = m ), pou des atomes d'agent sotant d'un fou à K. e =,6. -9 C, m = 9, -3 kg, h =,5-34 J.s.

3 3) Matices de PAULI oit le moment cinétique de spin. Les vecteus popes communs à et s'écivent sous la fome s,m s avec les elations : s,m s = m s h s,m s s,m s = s(s+)h s,m s oit une paticule de spin s =, les vecteus popes sont, = + = + et, = =. a) Les vecteus + et ainsi définis foment une base de l'espace des états, de dimension, associé à la paticule. Dans cette base, donne l'expession de. i on effectue une mesue de, quelles valeus peut-on touve? b) On peut oduie des opéateus + et : tels que : ˆ + s m s = h s( s +) m s m s + et ˆ s m s = h s( s +) m s m s ( ) s m s + ( ) s m s ˆ + = ˆ x + i ˆ y ˆ = ˆ x i ˆ y Donne les expessions de x et y en fonction de + et. Calcule ˆ x +, ˆ x, ˆ y + et ˆ y. c) Dans la base { +, }, donne les expessions de x et de y en vous aidant de la question pécédente. Pa des considéations de symétie, détemine les valeus popes de x et de y. Le véifie pa le calcul. d) Ecie les états popes de x notés + x et x en fonction des états popes de, soient + et. de diection quelconque, suivant un vecteu unitaie u caactéisé pa les angles polaies θ et ϕ. e) oit u composante d'un spin u =. u = x sin θ cosϕ + y sin θ sin ϕ + cosθ 3

4 dans la base +,. i on effectue une mesue de u, quelles valeus peut- En déduie u on touve? Monte que l expession des vecteus popes de u donnée pa : en fonction de ceux de est + u = cos θ + + sin θ eiϕ et u = sin θ + + cos θ eiϕ. Véifie que l'on etouve bien + x et x. 4) oit un atome de spin initial, de diection quelconque u θ,ϕ ( ) (avant la tavesée de l'entefe). On suppose qu'il est dans l'état + u, c'est-à-die que si on effectue une mesue de u on touve la valeu + h (on pouait faie le même aisonnement en supposant qu'il est de l'état u ). Quelle est la pobabilité P + u dans A? Quelle est la pobabilité P passage dans A? ( ) de touve cet atome dans la tache du haut apès passage ( u ) de touve cet atome dans la tache du bas apès 5) i on effectue les mesues su un gand nombe d'atomes N o, supposés avoi initialement une épatition isotope de spins, combien en obtienda-t-on espectivement dans les états + et à la sotie de l'aimant? 6) Déduie de ce qui pécède une méthode pou pépae un jet d'atomes dans un état de spin choisi. II) Poblème : Inteaction d échange ente deux spins élémentaies Etat tiplet et état singulet - Pincipe de Pauli ) oit ˆ l obsevable associée à un spin. Les vecteus popes communs à ˆ et ˆ s écivent sous la fome s,m s avec s =. Justifie la notation, = : + et, = : pou décie ces vecteus popes. Ces vecteus foment une base de l espace E des états de spin. Quelle est la dimension de E? Ecie les équations aux valeus popes de ˆ et de ˆ. oit ˆ l obsevable associée à un aute spin s =. De la même façon, les états popes communs à ˆ et ˆ sont notés : + et : et constituent une base de l espace E. 4

5 ) L espace des états des spins est E =E E. Quelle est la dimension de E? Monte qu une base possible de E est : +, : +, :, : +, : +, : et :, :, base notée [ ]. 3) On considèe l hamiltonien d eaction ente spins élémentaies H ˆ = α ˆ ˆ h Monte que cette eaction peut se mette sous la fome H ˆ = α ( ˆ ˆ h + ˆ + ˆ + ˆ ˆ + ) avec ˆ + = ˆ x + iˆ y et ˆ = ˆ x i ˆ y et 4) Ecie l action de H ˆ su les vecteus de la base ˆ + = ˆ x + iˆ y et ˆ = ˆ x iˆ y. [ ] définie à la question ). Ces vecteus sont-ils vecteus popes de ˆ H? Pou vous aide : a) un opéateu noté ( ou ) en indice n agit que su la patie coespondante : (ou : ) du ket. Exemples : ˆ : +, : = + h : +, : ou ˆ : +, : = h b) On appelle l action des opéateus ˆ ± su un état s,m s ˆ ± s,m s = h s(s +) m s (m s ±) s, m s ± En déduie la matice associée à l opéateu H ˆ, expimée dans la base [ ]. : +, : 5) Diagonalise cette matice. Monte que l on peut constuie une nouvelle base de E, base notée [ ], en utilisant les vecteus popes de H ˆ. Donne l expession de ces vecteus popes en fonction de ceux de la base [ ]. 6) Faie un schéma des niveaux d énegie associés à ˆ H ( on donne α= ev ). Pou chaque niveau, pécise la dégénéescence et les états associés. 7) Ces états sont appelés état tiplet et état singulet. Quelle est la paticulaité de chacun de ces états? 5

6 V) Poblème J = L + Composition d'un moment cinétique obital l= et d'un moment cinétique de spin s = /. On considèe un électon possédant un moment cinétique obital l= et un spin s = / (électon p). ) Décie l'espace des états noté E associé au moment cinétique total J de cet électon p. Les états popes communs de L et L seont notés : l m l > Les états popes communs de et seont notés : s ms > Quelle est la dimension de E? =L + ) Monte que les vecteus notés l s ml ms> = l ml > s ms > sont vecteus popes de L, L, et. Conclusions. Ces vecteus sont-ils vecteus popes de J et J? Indication : On développea J en faisant appaaîte les opéateus L +, L, + et. 3) Monte que les vecteus notés j m j >, vecteus popes de J et J, sont également vecteus popes de L et. Indication : On véifiea que L et commutent avec J et J. Conclusions. 4) En utilisant la méthode des diagonales, donne les valeus possibles de mj, pécise leu dégénéescence. Quelles sont les valeus possibles de j? 5) Monte que l'espace des états de la paticule E est la somme de deux sousespaces que vous notee E ( j) et E (j). Donne la dimension de chacun de ces sousespaces. 6) Expime tous les états j m j > en fonction des états non-couplés l s m l m s >. VI) Poblème = + 6

7 On considèe un système physique constitué de deux spins élémentaies s spin total du système s écit : = s + s. Les obsevables Ŝ et agissent dans l espace Ε et foment un E.C.O.C. = s =. Le Ŝ associées à ce spin total ) Question de cous. a) achant que = s + s est une obsevable de moment cinétique, donne sans ˆ, ˆ ˆ, ˆ où i,j x,y,. démonstation, les commutateus : [ ] et [ ] b) Les obsevables Ŝ et { M } et définis pa : ˆ i i j Ŝ admettent comme vecteus popes les kets notés ˆ M = ( + ) h M = M h M Ces kets { M } foment une base de Ε. Quelle est la dimension de M Ε? (justifie vote éponse). On appelle que pou un système à spins, s + et vaie pa sauts de. s s s c) Donne toutes les valeus possibles pou et M, et démonte que les kets { } M s écivent nécessaiement : + ; ; ;. d) achant que les opéateus ˆ ˆ x i ˆ ± = ± y sont caactéisés pa : ˆ M = h ( + ) M ( M ± ) M ± ± Ecie l action des opéateus Ŝ, ˆ, Ŝ + et Ŝ su chacun des kets : + ; ; et. e) En déduie les matices epésentant ces 4 opéateus que vous notee [ ] [ ], [ ] + et [ ] dans la base des { M } utilisee obligatoiement l ode suivant de classement des kets { } + ; ; ;.,. Pou établi ces matices, vous M : ) Poblème : Etude de l Hamiltonien ˆΗ du système de deux spins L Hamiltonien de note système à deux spins s écit : ˆ D ˆ A ˆ Η = + + x h h où A et D sont des constantes positives ayant la dimension d une énegie ( D A ). On désie connaîte les énegies accessibles pou note système en ésolvant les équations aux valeus popes de ˆΗ soit : Η ϕ n = En ϕ n. a) Est-ce que les obsevables ˆ x et ˆ commutent avec les obsevables Ŝ et Ŝ? b) Que pouve-vous en conclue quant aux vecteus { } M établis en -c? 7

8 c) En utilisant les ésultats de la question -d, écie l action de l opéateu chacun des kets : + ; ; et. ˆx su d) A pati des ésultats des questions -c à -e, monte que vous pouve diectement établi la matice epésentant l Hamiltonien ˆΗ (que vous notee [ Η ] ) dans la base des { M }. Pou établi cette matice, vous utilisee obligatoiement l ode suivant de classement des kets { M } : + ; ; ;. e) Véifie que la matice [ Η ] coespond à un opéateu hemitique. f) α) De la fome de [ Η ], déduie quels sont les n vecteus M qui sont d oes et déjà vecteus popes de ˆΗ. β) Pou obteni les autes 4-n vecteus popes de ˆΗ, vous deve diagonalise une matice (4-n)x(4-n) que vous écie. Détemine les valeus popes et les vecteus popes només de cette matice. γ) Ecie la matice epésentant ˆΗ dans la base fomée pa ses 4 vecteus popes que vous ave déteminés en f-α) et f-β). g) Donne les énegies du système E n et pécise le degé de dégénéescence de chaque niveau. Quel est l état fondamental du système, c est à die celui pésentant l énegie la plus faible? Tace un diagamme d énegie en utilisant 3 3 les valeus suivantes : D = 3. ev et A = 3.5 ev, vous utilisee une 3 échelle en énegie de cm / ev. 8