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1 Applicatio du logiciel Ecel Utilisatio du Solver du logiciel Ecel Table de matiers Lacemet du logiciel... Optimisatios... Programmatio liéaire... Problème du trasport... 8 Problème de programmatio quadratique... Etremums liés... 4 Résolutios des sstèmes d équatios o liéaires... 6

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3 Lacemet du logiciel Ce composat du logiciel Ecel permet à résoudre umériquemet des problèmes mathématiques. Pour lacer ce composat : - das le cas de la versio Microsoft Office 00 o choisie de la barre du meu pricipal du logiciel Ecel le sous-meu Tools et d ici l optio Solver. Si il a pas la il doit isérer e suivat les pas : o clique sur Add-is et o choisie Solver et puis OK. - das le cas de la versio Microsoft Office 007 o efoce Office Butto puis Ecel Optios de la feêtre qui sera affichée o choisie Add-Is o cotiu avec Go Solver Add-i et OK. Das le sous-meu Data sera affiche Solver. Quelques eemples des problèmes qui peuvet être résolues e utilisat ce composat du logiciel Ecel serot présetés das ce chapitre. Optimisatios Gééralemet o appelle programmatio mathématique la recherche de l optimum d ue foctio de plusieurs variables liées etre elles par cotraites sous forme d égalités ou iégalités. Notos que le mot programmatio a pas ici le ses usuel d élaboratio d u programme pour ordiateur il est utilise car u esemble de valeurs des variables satisfaisat les cotraites d u problème de programmatio mathématique est parfois appelé u programme. Nombreu sot les problèmes de décisio qui se ramèet à u model de programmatio mathématique. Programmatio liéaire Soit u foctio f : R R f c dot les variables sot soumises au cotraites i i i restrictios liéaires de la forme A b m A M m b R c R et évetuellemet des

4 restrictios de sige par eemple 0 cette a dire i 0 i programmatio liéaire reviee à résoudre la demade suivate :. Le problème de Détermier le vecteur R 0 qui maimise miimise la foctio liéaire f et qui vérifie les restrictios ci-dessus ou : ma mi f mami c i i i A b 0 La foctio f est ommée foctio obectif la matrice A est la matrice des coefficiets des restrictios le vecteur est le vecteur des icoues le vecteur b est le vecteur des termes libres et le vecteur c est le vecteur des coefficiets de la foctio obectif. Remarque : la foctio obectif et les restrictios du problème sot des foctios liéaires d où le om du problème «problème de programmatio liaire». Eemple. U atelier d ue etreprise produit trois tpes de bies : P P P e utilisat mai d œuvre F et ressources fiacières A limites comme das le tableau : Ressources Tpe de bie P P P Dispoible F 5 A Profit.5 4 qui coties égalemet les cosommatios uitaire de chaque de bie aisi que les profits amèes de chaque uité de tpe de bie. A cause des coditios de stockage le total de la productio e peut pas dépassée 8 uités. Détermier le pla optimal de productio tel que le total du profit soit maimal sous les coditios imposées! Solutio 4

5 Modélisatio du problème Variables de décisio : soit i ombre de bies de tpe P i i 0 i ; Foctio obectif : le profit total - f.5 4 ; Restrictios du problème : 5 - le ombre des heures utilisées pour le total de la productio e peut pas dépasser le total dispoible ; - la somme totale d arget dispoible e peut pas soit dépassée ; 8 - la capacité de stockage e peut pas soit dépassée. O obtiet le suivat problème de programmatio liéaire : ma f ma 5 8 0i i {.5 4 } Créatio de la feuille électroique pour résoudre le problème Pour obteir la feuille suivate il doit procéder comme dessous. 5

6 Das la cellule A o écrit Solutio d u problème de programmatio liéaire et puis Eter. Les cellules A usqu'à J cotieet les oms des coloes ces sot des commetaires!. Das les cellules G-G5 o écrit MMULTD:F;B:B5 MMULTD4:F4;B:B5 MMULTD5:F5;B:B5 respectivemet. La cellule J coties l epressio de la foctio obectif et pour ça o écrit SUMPRODUCTI:I5;B:B5 Avat à lacer le Solver o sélectioe la cellule J cellule qui coties la foctio obectif et puis o choisi Solver du sous-meu Data. Ue boite de dialogue est affiche : Il doit préciser la cellule cible foctio à optimiser das la oe Set Target Cell le tpe du critère ma ou mi par les buttos Ma Mi les cellules qui représetet les icoues das la oe B Chagig Cells et puis les restrictios e oe Subect to the Costraits e appuat le bouto Add. O affiche la boite de dialogue suivate Das la oe d éditio Cell Referece o met G le sige «iferieur ou égale» et das la oe d éditio Costrait H. E appuat sur le bouto Add o a la possibilité de procéder de la même maière pour le reste des restrictios G4 G5. Les restrictios de sige serot itroduites comme ça : das la oe d éditio Cell Referece o sélectioe les cellules B :B5 le sige sera «supérieur ou égale» à éro 0 et pour termier d itroduire les restrictios o presse le bouto OK. Pour résoudre le problème o presse le bouto Solve et o affichera la boite suivate 6

7 Pour visualiser les détails sur la solutio o peut sélectioer tous les tpes de rapport offerts par Solver. Ces sot metioer sur la barre d état e bas de l écra. Eercice. Ue etreprise désire acquérir des fraiseuses mauelles FM et automatisées FA pour sa productio. L etreprise e peut dépeser plus pour les machies et pas de 000 par mois la maiteace. Les fraiseuses mauelles coutet 0000 par pièce et e moee 00 par mois la maiteace tadis que les fraiseuses automatisées coutet par pièce et e moee 50 par mois la maiteace. E sachat que chaque fraiseuse mauelle peut produire 5 uités et chaque fraiseuse automatique 5 trouver le ombre de chacue a acheter pour maimiser la capacité de productio! Modéliser le problème et le résoudre e utilisat le Solver de Ecel! Eercice. A u départemet de productio d'ue etreprise de costructio où o travaille e flu cotiu sot écessaires pour la productio de paeau de coffrage quatre tpes de matières premières paeau P plaches de sapi PS les madriers M et des clous C qui sot traitées à trois stads. Distributio de matières premières et les coûts du travail écessaire à la trasformatio das les stads est doée das le tableau ci-dessous. Matiere prime Stad Cosomes specifiques P PS M C Nécessaire S 0 7

8 S 0 4 S 0 Dépeses Détermier u pla de productio tel que les dépeses soit miimes! Modéliser le problème et le résoudre e utilisat le Solver de Ecel! Problème du trasport U cas particulier du problème de programmatio liéaire est doe du problème de trasport. Supposos qu il a dépôt ou se trouve u bie D i i das les quatités a i i et m cetre de cosomme C m qui demadet ue quatité b m de ce bie. Le coût uitaire de trasport de dépôt D i au cetre de cosomme C est c i i m. Détermier u pla de trasport tel que le coût total de trasport est miimal e satisfaisat toutes les demades! Solutio Modélisatio du problème Variables de décisio : soit i ombre de bies trasportes du dépôt i au cetre de cosomme ; m i Foctio obectif : le coût total - f c i i M m R ; Restrictios du problème : m i ai i total du dépôt ; les ombre de bies qui part du dépôt Di e peut pas dépassé la capacité 8

9 i i b m les ombres de bies qui arrivet au cetre de cosomme dépassé la demade total du cetre ; C e peut pas Remarque : d habitude le dispoible a la même valeur avec le écessaire c est-a-dire i m a i b coditio d équilibre et alors les iégalités ci-dessus devieet égalisées! 0 - coditio de o-égativité. i O a obteu le problème du trasport : m mi f mi ci i i m i ai i i b m i i i m Eemple. Trois cetrales à béto S i i{ } recevaiet du cimet par trois rampes de déchargemet R { }. Quatités écessaires par chaque statio et les quatités offertes par chaque rampe de déchargemet aisi que les coûts de trasport de la rampe R à chaque statio S i sot idiqués das le tableau : Rampe Statio Couts de trasport c i S S S Dispoible a i toe R R 6 R Necessaire b toe

10 E utilisat le Solver de Ecel détermier u pla de trasport tel que le coût total de trasport est miimal e satisfaisat toutes les demades! Solutio Il doit résoudre le problème mi f mi i 0 i { } Créatio de la feuille électroique qui résoudre le problème du trasport Pour créer la feuille électroique 0

11 qui résoudre le problème il doit suivi les pas : - das la cellule A o écrit le om du problème - la cellule D coties la foctio obectif SUMPRODUCTB9:D;J9:L - les cellules B :E cotiet les doées du problème comme das le tableau ci-dessus - les cellules J9 :L vot coteir les variables de décisio les icoues du problème - les restrictios serot précisées par les cellules B6 :B8 et E6 :E8 comme o motre das les coloes gauches respectivemet eemple : la cellule B6 coties SUMPRODUCTB9:D;J9:L et aisi de suite. - Pour résoudre le problème e utilisat cette feuille électroique o sélectioe la cellule D et puis du sous-meu Data o lace le Solver. Il doit préciser le tpe d optimisatio le bouto Mi les cellules coteat les icoues et puis les restrictios comme das l image ci-dessus. E appuat le bouto Solve s affichera la boite - et o peut sélectioer tous les rapports proposés pour avoir beaucoup des iformatios sur la solutio du problème. Das les cellules J8 :L sera affichée la solutio du problème. Eercice. U produit à achemier depuis dépôts vers 4 cliets de faço a miimiser les couts de distributio Dépôt Cliet Coûts uitaires de trasport C C C C4 Offre D

12 D D Demade E utilisat le Solver de Ecel détermier u pla de trasport tel que le coût total de trasport est miimal e satisfaisat toutes les demades! Problème de programmatio quadratique Si das le problème de programmatio liéaire o chage la foctio obectif a ue foctio quadratique et les restrictios restet liéaires o obtiet le problème de programmatio quadratique. U problème de programmatio quadratique est u problème qui peut se mettre sous la forme suivate mima f ou f f... i g ci i 0 i R a i i i b i i O remarque que la foctio obective cotiet des termes de degré deu d où le om de programmatio quadratique. Eemple : Détermier les poits qui doet le miimum de la foctio 4 f sous les restrictios. 0 Créatio de la feuille électroique pour résoudre le problème Pour créer la feuille suivate

13 das la cellule D o écrit 05*B6^05*B7^-*B6*B7B8 ce qui représete la foctio à optimiser das la cellule D6 o écrit B6-*B7B8 ce qui doe la restrictio du problème. O select la cellule D et du sous-meu Data est choisi Solve. Das la boite de dialogue affiché o presse le bouto Mi das la oe B Chagig Cells o select les cellules B6:B8 o move le poiter du curseur das la oe Subect to costraits et o presse le bouto Add. Toute suite s affiche la boite Et das la oe Cell Referece o ecrit D6 puis le sige et la valeur 4 das la oe Costrait. O presse le bouto Add et das la oe Cell Referece o écrit B6 :B9 puis le sige et la valeur 0 das la oe Costrait. O presse le bouto Ok. Sur la boite Solver Parametrs o presse le bouto Solve et o peut sélectioer tous les rapports pour avoir plusieurs iformatios sur la solutio.

14 O obtiet mi f 0. 5 das le poit 0. Etremums liés Si das le problème précédet o reoce à la coditio de liéarité même pour les restrictios o obtiet u problème d etremum lié. La forme géérale du tel problème est la suivate : mima f g 0 M gk 0 R où: est le vecteur des icoues et g g k sot des restrictios qui doivet être vérifiées de. Eemple. Détermier les poits sur l ellipsoïde situés a la distace miimale 96 ou maimale du pla 4 88 e utilisat le logiciel Ecel. Solutio. La foctio obective sera la distace etre u poit et u pla: 4

15 f et la restrictio et doée par la coditio que le poit est sur l ellipsoïde 0 96 g. Le problème d etremums lies à résoudre deviet mima mima R g f Créatio de la feuille électroique à résoudre le problème Das la cellule A o écrit le om du problème. La cellule B coties ABS*B64*B7*B8-88/SQRT^4^^ l epressio qui doe la foctio obective. Les icoues serot déposées das les cellules B6 :B8. Das la cellule C6 l epressio ABS*B64*B7*B8-88/SQRT^4^^ représete la restrictio du problème. Avat de l appel du Solver o sélectioe la cellule B et puis du sous-meu Data o appelle Solver et la boite de dialogue suivate est affichée:

16 6 Il doit préciser le tpe d optimum les bouto Ma ou Mi puis les cellules B :B8 représetat les icoues das la oe B Chagig Cells et la restrictio sera aouter das la oe Subect to the Costraits e appuat le bouto Add et o remplie les oes de la boite affichée comme das la figure suivate : Pour termier o appuie les boutos Add et puis Solve. O peut sélectioer les rapports qui doet des iformatios complètes sur la solutio Aswer Sesitivit Limits. Résolutios des sstèmes d équatios o liéaires Pour résoudre les sstèmes d équatios o liéaires m k g g k 0 0 R M e utilisat le Solver du logiciel Ecel o costruit ue foctio comme somme du carrés des équatios du sstème m k g k f dot le miimum sera détermié sous les restrictios doées par des équatios du sstème. Le problème deviet m k g g f k m k k 0 mi mi Eemple. E utilisat le Solver du logiciel Ecel détermier la solutio du sstème Solutio. Il doit ameer le problème ci-dessus à u problème d optimisatio :

17 6 6 mi Créatio de la feuille électroique à résoudre le problème Les icoues serot déposées das les cellules B^6:B7 et les restrictios das les cellules D6 B6^B7^-6*B6 et D7 B6^-B7^-6*B7 respectivemet. Das la cellule D o écrit D6^D7^ e représetat la foctio a optimiser. O sélectioe la cellule D et âpres la sélectioe du Solver le sous meu Data la boite sera affichée. Il doit choisi le tpe d optimisatio o presse le bouto Mi établit les cellules coteat les icoues B6 :B7 et aouter les restrictios das la oe d éditio Subect to the Costraits. Das ce cas les restrictios sot doées par les deu équatios du sstème et le fait que la solutio doit être située das le premier quadrat. Remarque. O peut reocer au restrictios doées par des équatios du sstème mais e les utilisat o obtiee ue meilleure approimatio! 7

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