Question 1: Analyse et évaluation des obligations

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1 Question 1: Analyse et évaluation des obligations (48 points) M. Smith, responsable des investissements obligataires dans une société de conseil en investissements, a analysé la courbe des taux des obligations d Etat du pays A et créé le tableau ci-dessous (tableau 1). Supposez que les prix de marché des obligations d Etat du pays A, avec ou sans coupon, soient tels qu il n y ait pas d opportunité d arbitrage. Tableau 1 Niveau des taux d intérêt (annualisés) au moment de l analyse Echéance (années) Taux au pair 2.200% 2.685% % 3.700% Taux spot 2.200% 2.692% 3.108% 3.452% 2 Taux forward 2.200% % 4.491% 4.951% Facteur d escompte Duration modifiée au pair zéro-coupon Remarques: - Le taux au pair représente le taux actuariel (yield to maturity) d une obligation cotée au pair avec paiement annuel du coupon. - Le taux spot représente le taux actuariel (yield to maturity) des obligations zéro-coupon. - Le taux forward représente le taux d intérêt forward à 1 an pour l échéance donnée. En d autres termes, le taux forward indiqué dans la colonne d échéance à 3 ans correspond au taux spot à 1 an qui prévaudra dans 2 ans. - Le facteur d escompte indique le prix d une obligation zéro-coupon pour l échéance donnée (prix par unité de valeur faciale). a) Calculez les taux d intérêt (Chiffres 1 à 3), le facteur d escompte (4) et la duration modifiée (5) manquants dans le tableau 1. Détaillez vos calculs (les taux d intérêt doivent être arrondis à la troisième décimale; le facteur d escompte à la cinquième décimale ; la duration modifiée à la troisième décimale). (15 points) b) La courbe des taux du tableau 1 indique que le taux forward est supérieur au taux d intérêt courant à 1 an. Donnez deux raisons possibles à cela. c) Supposez, au moment de l analyse, que M. Smith crée un portefeuille «barbell» d une valeur de marché de EUR 1 million, contenant des obligations zéro-coupon d échéances de 2 et 5 ans, de sorte que la duration modifiée du portefeuille soit équivalente à celle de l obligation zéro-coupon à échéance de 3 ans. Calculez les pondérations des obligations dans le portefeuille «barbell» et leurs montants nominaux. M. Smith pense que l an prochain l économie poursuivra sa croissance et que le taux d inflation progressera. Anticipant des taux d intérêt plus élevés dans un an, il établit ses propres prévisions de taux reprises dans le tableau 2 : Page 1 / 7

2 Tableau 2 Niveau des taux d intérêt dans 1 an Échéance (années) Taux au pair 3.150% 3.424% 3.800% 4.090% 4.260% Taux spot 3.150% 3.429% 3.818% 4.123% 4.303% Taux forward 3.150% 3.709% 4.600% 5.043% 5.026% Facteur d escompte Duration modifiée au pair zéro-coupon Il considère comme investissements potentiels des obligations zéro-coupon dont l échéance va de 1 à 5 ans à partir du moment de l analyse. [Indication: pour les étudiants qui n ont pas résolu le point c), supposez pour les points d) et e) que les pondérations initiales du portefeuille barbell soient de 65% pour le zéro-coupon à 2 ans et 35% pour le zérocoupon à 5 ans.] d) En supposant que les prévisions du tableau 2 se réalisent, calculez le rendement, sur une période de détention (holding period return) de 1 an, du portefeuille «barbell» créé en c) (en pourcentage, arrondi à la seconde décimale). Comparez ce résultat avec le rendement, sur la même période de détention, d une obligation zéro-coupon dont l échéance est de 3 ans. e) En vous référant à la prévision de courbe des taux de M. Smith, évaluez la différence, après une année, entre la duration modifiée du portefeuille «barbell» créé en c) et celle de l obligation zéro-coupon à 3 ans. Que pouvez-vous dire sur ces résultats? (8 points) f) Le pays A émet également des obligations d Etat indexées sur l inflation. Il s agit d obligations zéro-coupon avec une valeur de remboursement qui est fonction du taux cumulé de variation de l indice des prix depuis l émission. M. Smith considère un investissement dans des obligations indexées sur l inflation comme un moyen d éviter le risque de hausse des taux d intérêt. Argumentez et expliquez comment le prix de l obligation indexée sur l inflation varie par rapport aux changements de prix d une obligation zéro-coupon ordinaire avec la même échéance. Incluez les termes clés suivants dans votre réponse : «taux d inflation anticipé» (expected rate of inflation) et «rendement ajusté de l inflation» (inflation-adjusted return) (ou d autres termes exprimant les mêmes concepts). (8 points) [Remarque: Une obligation d Etat indexée sur l inflation est une obligation dont le montant nominal F 0 est ajusté en fonction de l indice des prix à la consommation. Si I 0 est la valeur de cet indice au moment de I t l émission et I t est sa valeur au temps t, alors le montant nominal au temps t est donné par: F t = F0.] I 0 Page 2 / 7

3 Question 2: Instruments dérivés en gestion de portefeuille (42 points) Le Responsable du Département d investissement a des difficultés à trouver des opportunités d investissements intéressantes à cause de la persistance du niveau bas des taux d intérêt. Dans ce contexte, il reçoit la proposition d obligation structurée suivante: Montant nominal de JPY 100 millions. Échéance d un an. Montant nominal garanti à l échéance. Les intérêts sont payés uniquement à l échéance et leur valeur est liée à l indice actions S 1 de la façon suivante : si, à l échéance, l indice actions S 1 est inférieur à JPY , le taux d intérêt appliqué au nominal sera de 2%. Si, à l échéance, S 1 est supérieur à JPY , le taux d intérêt est réduit proportionnellement à l excès de valeur de S 1 par rapport à JPY (une baisse de 1% pour chaque JPY 3000 audessus de JPY ). Si l indice actions S 1 est supérieur à JPY , le taux d intérêt est alors de 0%. Le prix d émission de cette obligation liée au prix de l indice actions est de JPY 100 millions. Vous êtes totalement libre de décider si votre société doit investir ou non dans ce produit structuré. Vous commencez par vérifier si le prix de cette obligation est correct. Le marché traite à la fois les obligations d Etat zéro-coupon (au taux sans risque) à échéance 1 an et les options européennes et futures à échéance d un an émises sur le même indice actions. Pour simplifier, supposez que tant l option que le futures ont une taille de contrat qui correspond à une fois l indice actions et la même échéance que l obligation liée au prix de l indice actions. Le cours de l indice actions S 0 est de JPY et le taux sans risque à 1 an est de 1%. Répondez aux questions suivantes. a) Montrez graphiquement la relation entre la valeur de remboursement (i.e. somme du montant nominal et de l intérêt perçu) à l échéance dans un an, pour un investissement de JPY 100 millions dans le produit structuré (axe vertical), et le niveau de l indice actions S 1 dans un an (axe horizontal). Le marché traite des options européennes émises sur ce même indice actions avec une échéance d un an et des prix d exercices variant de JPY à JPY par intervalles de JPY Leurs cotations, ainsi que les deltas (par rapport à l indice actions) figurent dans le tableau suivant. Prix d exercice Prix du call Delta (call) Prix du put Delta (put) ' ' ' ' ' ' b) Essayez de répliquer le «payoff» de l obligation structurée en utilisant des obligations d Etat et des options call [il faut que dans le pire scénario le remboursement soit de 100% de la valeur nominale]. Page 3 / 7

4 b1) Quelle est la stratégie d options à utiliser? (4 points) b2) Combien devez-vous investir initialement dans chaque instrument? (9 points) b3) D après votre stratégie, montrez qu à l échéance, dans le pire scénario (indice actions supérieur à JPY ), la protection du capital est vérifiée. Calculez également le rendement annuel (en %) résultant de votre stratégie à l échéance lorsque l indice actions est inférieur à JPY (7 points) c) Sur la base des résultats de la question b), déterminez si le prix d émission de l obligation structurée est correct. Explicitez la situation dans laquelle vous achèterez ce produit. Mentionnez clairement vos hypothèses. [Indication: Pour répliquer l obligation structurée, vous pouvez utiliser des options put au lieu d options call. Ainsi, pour les étudiants n ayant pas résolu le point b2), pour répondre aux questions d) et e), supposez que vous vendez 330 options put avec un prix d exercice (strike) à JPY et achetez 330 options put avec un prix d exercice (strike) à JPY Au lieu d utiliser des options, vous décidez de répliquer le «payoff» de l obligation structurée en utilisant la méthode de «hedging» dynamique. Ne tenez pas compte d éventuels dividendes. d) Calculez le prix du futures sur indice aujourd hui, puis déterminez la position en futures que vous devez prendre pour construire le «delta hedging». e) L indice action grimpe substantiellement juste après que vous ayez constitué votre position pour le «delta hedge». Explicitez la façon dont vous devriez ajuster votre position futures de sorte à maintenir le «delta hedge». Mentionnez clairement dans la réponse vos hypothèses et les raisons de vos hypothèses. Page 4 / 7

5 Question 3: Analyse et évaluation d instruments dérivés (60 points) Vous analysez les options sur l action DaimlerChrysler AG [Symbole: DCX] traitées sur le marché d options EUREX. Le prix de l action est aujourd hui de EUR 42. Il n y a pas de paiement de dividendes prévu pour les six prochains mois. Le taux sans risque est de 2% p.a. (taux continu). Les options disponibles sur les titres DCX à échéance de six mois [le 15 mars 2007] sont présentées dans le tableau suivant: Option Prix d exercice (en EUR) Prix de l option (en EUR) Delta Gamma Theta Vega DCX Call Mar DCX Call Mar DCX Call Mar DCX Put Mar DCX Put Mar DCX Put Mar Notez que votre collègue a déjà effectué certains calculs sur les Grecques (Greeks - paramètres de hedging comme delta, gamma, vega, theta, etc.). La taille du contrat est de 100. Supposez que ces options sont de type européen. a) Complétez les chiffres de votre collègue en calculant les variables manquantes dans le tableau ci-dessus. Supposez que la volatilité du titre DCX est de pour tous les prix d exercice. Donnez les réponses avec le même nombre de décimales que les autres données. (Indication: Vous n avez pas nécessairement besoin de calculs dans tous les cas.) (10 points) b) Le vega du call avec un prix d exercice de 42 est de Supposez que la volatilité augmente de 10% (i.e. la volatilité devient 0.332). Calculez le nouveau prix estimé du call en utilisant son vega (toutes choses égales par ailleurs). (4 points) c) Le theta du call avec un prix d exercice de 40 est de Calculez le nouveau prix estimé du call un mois plus tard en utilisant son theta (toutes choses égales par ailleurs). d) Vérifiez si les prix des options avec un prix d exercice de 40 dans le tableau ci-dessus vérifient la relation de parité put-call. (4 points) e) Supposez (uniquement pour cette sous-question) que le call avec un prix d exercice de 40 vaut maintenant 4.5 au lieu de Vous découvrez que la relation de parité put-call n est pas vérifiée, toutes choses égales par ailleurs à la question d). Quel arbitrage sans risque pouvez-vous proposer afin de tirer profit de cette différence? Quel est votre profit immédiat si vous traitez 10 contrats sur chacune des options? Page 5 / 7

6 Notez que pour les questions suivantes, le call avec un prix d exercice de 40 vaut à nouveau f) Au lieu d exploiter l opportunité d arbitrage du point e), vous considérez la possibilité d établir un «backspread» avec des calls. Pour ce faire, vous vendez 10 contrats du call dans la monnaie (in-the-money) mars 40 et achetez 20 contrats du call en dehors de la monnaie (out-of-the-money) mars 44. Cette stratégie est parfois également appelée «2:1 reverse ratio call spread». Calculez l investissement initial, le profit et/ou la perte maximale, ainsi que les points de «break even», s ils existent. Vous pouvez ignorer les intérêts sur la prime si il y en a. Tracez un graphique qui montre la valeur finale de votre position à l échéance. (11 points) g) Etant donné que la valeur initiale totale de votre position, établie en f), est proche de zéro, dessinez un deuxième tracé estimé sur votre graphique montrant la valeur de la position aujourd hui en fonction du prix de l action. Quels sont les avantages et les risques de cette stratégie d options? Quels types d attentes sur le comportement de l action coïncident avec cette stratégie? (8 points) h) Un collègue examine vos calculs. Il suggère que vous devriez considérer une position initiale delta-neutre afin d éviter d être trop baissier ou haussier dès le départ. Quel est le delta de votre backspread 2:1 avec calls et quelle proportion de calls mars 44 par rapport aux calls mars 40 serait approximativement delta-neutre? Au vu de ces résultats, commentez les suggestions de votre collègue. i) Vous essayez finalement de constituer un backspread identique avec des puts. Quelles options ci-dessus utiliseriez-vous? Combien de contrats de chaque actif allez-vous vendre ou acheter afin d aboutir au même «payoff» que le backspread 2:1 original avec calls? Quels sont les coûts initiaux de cette stratégie? Page 6 / 7

7 Question 4: Gestion de portefeuille (30 points) Le tableau 1 contient les nouvelles et anciennes allocations d actifs pour un fonds de pension. Le tableau 2 donne les rendements espérés, risques et coefficients de corrélation pour les classes d actifs traditionnellement utilisés. Vous êtes le directeur pour les investissements auprès du gérant du fonds et devez répondre aux questions suivantes soumises par les participants au plan de retraite (employés). Tableau 1: Modifications de la politique d allocation d actifs (%) Total Rendement Risque Nouvelle allocation Ancienne allocation Tableau 2: Rendements espérés, risques et coefficients de corrélation des actifs traditionnels Rendement espéré (%) Risque (%) Corrélations a) Comment avez-vous déterminé la politique d allocation d actifs? Formulez le processus. b) En supposant que les rendements espérés, risques et coefficients de corrélation entre actifs ne varient pas pour les actifs traditionnels du tableau 2, pourquoi avez-vous modifié la politique d allocation d actifs? Mentionnez et expliquez les raisons. c) Expliquez pourquoi vous avez investi en obligations et actions. Répondez en calculant d abord le rendement et le risque d un portefeuille comprenant 80% d obligations et 20% d actions, puis en les comparant au rendement et au risque de la nouvelle politique d allocation d actifs. d) Mentionnez et décrivez brièvement trois méthodes pour estimer les rendements espérés. e) Vous êtes intéressé par l introduction d investissements alternatifs en plus des actifs traditionnels. Donnez trois avantages et trois désavantages de suivre une telle stratégie. Page 7 / 7

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