Généralités sur les fonctions numériques

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Généralités sur les fonctions numériques"

Transcription

1 7 Généralités sur les fonctions numériques Une fonction numérique est, de manière générale, une fonction d une variable réelle et à valeurs réelles. 7.1 Notions de base sur les fonctions Si I, J sont deux parties non vides de R, on note J I l ensemble de toutes les fonctions définies sur I et à valeurs dans J. Les éléments de J I sont plus simplement appelés fonctions de I dans J. On notera : f : I J x f (x) ou f : I J ou f : x f (x) une fonction de I dans J. L ensemble J I est une R-algèbre commutative et unitaire en le munissant des opérations suivantes : pour f, g dans J I, la somme f + g est définie par : x I, (f + g) (x) = f (x) + g (x), pour f, g dans J I, le produit f g est définie par : x I, (f g) (x) = f (x) g (x), pour f dans J I et λ dans R, le produit λf est définie par : x I, λf (x) = λf (x). Pour toute fonction f R I, on note f (I) l image de I. C est le sous-ensemble de R défini par : y f (I) x I y = f (x). Si f est une fonction de I dans J et g une fonction définie sur J et à valeurs réelles, alors la composée g f est la fonction définie sur I par : x I, g f (x) = g (f (x)). On rappelle qu une fonction f de I dans J est dite : 167

2 168 Généralités sur les fonctions numériques injective si : ou de manière équivalente si : surjective de I sur J : (x, x ) I 2, (f (x) = f (x ) x = x ), (x, x ) I 2, (x x f (x) f (x )), y J, x I y = f (x), ou de manière équivalente si J = f (I), bijective de I sur J si elle est injective et surjective de I sur J, ce qui équivaut à dire que : y J,!x I y = f (x). Dans ce cas la fonction réciproque de f est la fonction f 1 définie sur J et à valeurs dans I définie par : ( y J et x = f 1 (y) ) (x I et y = f (x)). Dans le cas où I est un intervalle d extrémités a et a avec a > 0, on dit que f R I est paire [resp. impaire], si f ( x) = f (x) [resp. f ( x) = f (x)] pour tout x I. Une fonction paire n est jamais injective. Exercice 7.1 Montrer que toute fonction f : R R s écrit de manière unique comme somme d une fonction paire et d une fonction impaire. Solution 7.1 Supposons que f = g + h avec g paire et h impaire. Avec : { f (x) = g (x) + h (x) f ( x) = g ( x) + h ( x) = g (x) h (x) f (x) + f ( x) pour tout réel x, on déduit que nécessairement g et h sont définies par g (x) = 2 f (x) f ( x) et h (x) = pour tout réel x, ce qui prouve l unicité d une telle décomposition. Et 2 réciproquement, on vérifie que ces deux fonctions conviennent. Les fonctions usuelles, exp, ln, x a, cos, sin, tan, sont supposés connus. Elles seront définies plus loin. 7.2 Fonctions bornées Définition 7.1 On dit qu une fonction f : I R est majorée [resp. minorée] si l ensemble f (I) est majorée [resp. minorée] dans R, ce qui signifie qu il existe un réel M [resp. m] tel que : x I, f (x) M [resp. m f (x) ]. Définition 7.2 On dit qu une fonction f : I R est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

3 Fonctions monotones 169 Du théorème de la borne supérieure, on déduit que si f : I R est une fonction qui est majorée [resp. minorée], alors l ensemble f (I) admet une borne supérieure [resp. inférieure]. On note sup f (x) [resp. inf f (x)] cette borne supérieure [resp. inférieure]. On rappelle que la borne supérieure est le plus petit des majorants de f (I), ce qui se traduit par : x I, f (x) sup f (x) ε > 0, x I sup f (x) ε < f (x) sup f (x) et que la borne inférieure est le plus grand des minorants de f (I), ce qui se traduit par : { x I, inf f (x) f (x) ε > 0, x I inf 7.3 Fonctions monotones f (x) f (x) < inf f (x) + ε Définition 7.3 On dit qu une fonction f : I R est croissante [resp. décroissante] si : (x, x ) I 2, (x x f (x) f (x ) [resp. f (x) f (x ) ]). On définit les notions de fonction strictement croissante ou strictement décroissante en remplaçant les inégalités larges par des inégalités strictes. Définition 7.4 On dit qu une fonction f : I R est monotone si elle est croissante ou décroissante. Une fonction strictement monotone est une fonction strictement croissante ou strictement décroissante. On résume avec le théorème suivant quelques résultats utiles relatifs aux opérations sur les fonctions monotones de même sens de variation. Théorème 7.1 Soient f, g deux fonctions croissantes [resp. décroissantes] de I dans R. 1. La somme f + g est croissante [resp. décroissante] ; 2. si f et g sont à valeurs positives, alors le produit f g est croissant [resp. décroissant] ; 3. si f est à valeurs strictement positives, alors l inverse 1 f est décroissante [resp. croissante]. Démonstration. On suppose les fonctions f et g croissantes et on se donne x, x dans I tels que x x. 1. Résulte de : (f + g) (x) = f (x) + g (x) f (x ) + g (x ) = (f + g) (x ). 2. De f (x) f (x ) et g (x) 0, on déduit que f (x) g (x) f (x ) g (x) et de g (x) g (x ) et f (x ) 0, on déduit que f (x ) g (x) f (x ) g (x ), ce qui donne f (x) g (x) f (x ) g (x ). 3. De 0 < f (x) f (x 1 ), on déduit que f (x ) 1 f (x).

4 170 Généralités sur les fonctions numériques Théorème 7.2 Soient f une fonction monotone de I dans R et g une fonction monotone définie sur une partie J de R qui contient f (I). La fonction g f est alors monotone sur I. Cette fonction est croissante si f et g sont de même sens de variation et décroissante sinon. Démonstration. Soient x, x dans I tels que x x. Si f et g sont croissantes, alors f (x) f (x ) et g (f (x)) g (f (x )). Si f et g sont décroissantes, alors f (x) f (x ) et g (f (x)) g (f (x )). Si f est croissante et g décroissante, alors f (x) f (x ) et g (f (x)) g (f (x )). Si f est décroissante et g croissante, alors f (x) f (x ) et g (f (x)) g (f (x )). Théorème 7.3 Si f est une application strictement monotone de I dans R, elle réalise alors une bijection de I sur f (I) d inverse strictement monotone et de même sens de variation que f. Démonstration. En remplaçant éventuellement f par f, on peut supposer que f est strictement croissante. Si x y dans I on a x < y ou y < x (l ordre de R est total) ce qui entraîne f (x) < f (y) ou f (y) < f (x), soit f (x) f (y) dans tous les cas. La fonction f est donc injective et elle réalise une bijection de I sur f (I). Il est facile de vérifier que la fonction réciproque f 1 est également strictement croissante. Le théorème de la borne supérieure nous permet de montrer le résultat suivant important dans l étude des points fixes. Exercice 7.2 Montrer que toute fonction croissante f de I = [a, b] dans I, admet au moins un point fixe, c est-à-dire qu il existe un réel α dans I tel que f (α) = α. Solution 7.2 L ensemble : E = {x [a, b] f (x) x} est non vide (f (a) [a, b] entraîne f (a) a) majoré par b, il admet donc une borne supérieure α [a, b]. Si α = a alors f (x) < x pour tout x I \ {a} et pour n 0 N tel que a + 1 n 0 b on a, du fait de la croissance de f sur I : n n 0, a f (a) f ( a + 1 ) < a + 1 n n qui par passage à la limite quand n tend vers l infini donne a = f (a). Si α > a, par définition de la borne supérieure, on peut trouver pour tout entier naturel non nul n un réel x n ]α 1n ], α E et : n 1, f (α) f (x n ) x n > α 1 n qui par passage à la limite quand n tend vers l infini donne f (α) α, c est-à-dire que α est dans E. Si α = b alors α f (α) b = α et α = f (α). ( Si α < b, pour n assez grand on a α f (α) f α + 1 ) < α + 1 qui par passage à la limite n n donne α = f (α). En définitive α est un point fixe de f dans I.

5 Fonctions monotones 171 Remarque 7.1 Le résultat de l exercice précédent n est plus valable pour [ f décroissante comme le montre l exemple de la fonction f définie par f (x) = 1 si x 0, 1 ] et f (x) = 0 si ] ] 2 1 x 2, 1. Il n est pas valable non plus sur un intervalle fermé non borné comme le montre l exemple de f (x) = x + 1 sur [0, + [. Dans le cas d une fonction décroissante on a le résultat suivant. Exercice 7.3 Montrer qu une fonction décroissante f de I = [a, b] dans I admet au plus un point fixe dans I. Solution 7.3 Si α β sont deux points fixes de f dans I, on a alors pour f décroissante : α = f (α) f (β) = β, et α = β. La fonction f admet donc au plus un point fixe dans I.

6 172 Généralités sur les fonctions numériques

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0 Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0. Le théorème de Rolle sur un espace vectoriel normé Pour ce paragraphe, on se donne un espace vectoriel normé (E, ). Le théorème

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Enoncés Familles sommables Ensemble dénombrable a) Calculer n+ Exercice [ 03897 ] [Correction] Soit f : R R croissante. Montrer que l ensemble des

Plus en détail

Cours d Analyse Semestre 1. Stéphane Attal

Cours d Analyse Semestre 1. Stéphane Attal Cours d Analyse Semestre 1 Stéphane Attal 2 Contents 1 Les nombres réels 5 1.1 Les ensembles usuels de nombres................ 5 1.2 Ensembles ordonnés........................ 6 1.3 Le corps des nombres

Plus en détail

Cours d analyse 1ère année. Rhodes Rémi

Cours d analyse 1ère année. Rhodes Rémi Cours d analyse 1ère année Rhodes Rémi 10 décembre 2008 2 Table des matières 1 Propriétés des nombres réels 5 1.1 Sous-ensembles remarquables de R........................ 5 1.2 Relations d ordre..................................

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

Fonction réciproque d une fonction strictement monotone sur un intervalle de Y. Etude de la continuité, de la dérivabilité. Exemples.

Fonction réciproque d une fonction strictement monotone sur un intervalle de Y. Etude de la continuité, de la dérivabilité. Exemples. Fonction réciproque d une fonction strictement monotone sur un intervalle de Y. Etude de la continuité, de la dérivabilité. Exemples. Introduction : On suppose connues les notions d injectivité, surjectivité,

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

MEÉF 1 - Mathématiques DS2-5 octobre 2015 Analyse - Géométrie

MEÉF 1 - Mathématiques DS2-5 octobre 2015 Analyse - Géométrie MEÉF - Mathématiques DS2-5 octobre 25 Analyse - Géométrie Eercice Soit E un K-espace vectoriel (K étant le corps R ou C). Deu normes N et N 2 sur E sont dites équivalentes s il eiste deu constantes réelles

Plus en détail

Suites et Convergence

Suites et Convergence Suites et Convergence Une suite c est se donner une valeur (sans ambigüité) pour chaque N sauf peutêtre les premiers n. Donc une suite est une fonction : I R où I = N: = N. Notation : On note ( ) I R pour

Plus en détail

Devoir commun de Mathématiques 18 janvier 2014. Problème 1

Devoir commun de Mathématiques 18 janvier 2014. Problème 1 Lycée Jean Bart MPSI & PCSI Année 213-214 Devoir commun de Mathématiques 18 janvier 214 La clarté des raisonnements, la précision de la rédaction et la présentation entreront pour une part non négligeable

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M Topologie 1 Espaces métriques 1.1 Distance Dans toute cette partie E représente un ensemble qui n est pas forcément un espace vectoriel. Définition

Plus en détail

Fonctions circulaires et applications réciproques

Fonctions circulaires et applications réciproques Chapitre II Fonctions circulaires et applications réciproques A Fonctions circulaires A Rappels de trigonométrie Radians et cercle trigonométrique Le radian est une unité de mesure d angle (orienté) définie

Plus en détail

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE P. Pansu 16 mai 2005 1 Qu est-ce que la topologie? C est l étude des propriétés des objets qui sont conservées par déformation continue. Belle phrase, mais qui nécessite d

Plus en détail

Exercices du chapitre VI avec corrigé succinct

Exercices du chapitre VI avec corrigé succinct Exercices du chapitre VI avec corrigé succinct Exercice VI. Ch6-Exercice Montrer par récurrence que En déduire que puis que k =,,..., n, d k dx k xn = n(n ) (n + k)x n k, d n dx n xn = n! d k dx k xn =

Plus en détail

Les espaces vectoriels

Les espaces vectoriels Agrégation interne UFR MATHÉMATIQUES 1. Généralités Les espaces vectoriels Dans tout le chapitre, K représente un corps commutatif. 1.1. Notion d espace vectoriel On considère un ensemble E sur lequel

Plus en détail

CHAPITRE 2 SUITES RÉELLES ET COMPLEXES

CHAPITRE 2 SUITES RÉELLES ET COMPLEXES CHAPITRE SUITES RÉELLES ET COMPLEXES Les suites sont un objet fondamental à la fois en mathématiques et dans l application des mathématiques aux autres sciences. Nous verrons dans ce cours et les travaux

Plus en détail

Feuille d exercices n o 1. N(x i ). 4. On rappelle qu un espace normé est séparable s il contient une partie dénombrable dense.

Feuille d exercices n o 1. N(x i ). 4. On rappelle qu un espace normé est séparable s il contient une partie dénombrable dense. 1 Feuille d exercices n o 1 1. Deuxième forme géométrique du théorème de Hahn-Banach Soient A E et B E deux convexes, non vides, disjoints (E est une espace vectoriel normé). On suppose que A est fermé

Plus en détail

Intégration de polynômes Points de Gauss

Intégration de polynômes Points de Gauss Intégration de polynômes Points de Gauss Commençons par un exercice classique de premier cycle. Problème 1 Trouver trois réels α, β et γ tels que, pour tout polynôme P de degré au plus 2, on ait : ( )

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Construction de la mesure de Lebesgue. 1 Mesure positive engendrée par une mesure extérieure.

Construction de la mesure de Lebesgue. 1 Mesure positive engendrée par une mesure extérieure. Université d Artois Faculté des Sciences Jean Perrin Analyse Fonctionnelle (Licence 3 Mathématiques-Informatique Daniel Li Construction de la mesure de Lebesgue 28 janvier 2008 Dans ce chapitre, nous allons

Plus en détail

EXERCICE 1. Corrigé ECRICOME Eco 2012 par Pierre Veuillez

EXERCICE 1. Corrigé ECRICOME Eco 2012 par Pierre Veuillez Corrigé ECRICOME Eco par Pierre Veuillez EXERCICE (M 3 (R), +,.) désigne l espace vectoriel des matrices carrées d ordre 3 à coeffi cients réels. Deux matrices A et B de M 3 (R) étant données, on suppose

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. a) x arctan x. a) x x x b) x (ch x) x c) x ln x

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. a) x arctan x. a) x x x b) x (ch x) x c) x ln x [ttp://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 205 Enoncés Dérivation Dérivabilité Eercice [ 0354 ] [Correction] Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : a) 2 3 b) 2 ) arccos 2 ) Eercice 2

Plus en détail

FICHE DE RÉVISION DU BAC

FICHE DE RÉVISION DU BAC Note liminaire Programme selon les sections : - fonctions de références, représentations graphiques, dérivées, tableau de variations : toutes sections - opérations sur les limites, asymptotes : STI2D,

Plus en détail

Intégrale de Lebesgue

Intégrale de Lebesgue Intégrale de Lebesgue ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 1 / 50 1. Motivations et points de vue ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 2 / 50 Deux

Plus en détail

1 Topologies, distances, normes

1 Topologies, distances, normes Université Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathématiques L3. Topologie Générale 29/1 1 1 Topologies, distances, normes 1.1 Topologie, distances, intérieur et adhérence Exercice 1. Montrer que dans un

Plus en détail

Cours polycopié pour le module Mathématique II

Cours polycopié pour le module Mathématique II Université Paul Sabatier - UFR MIG - Département de Mathématique. Année scolaire 2009/2010. Cours polycopié pour le module Mathématique II Conventions. Dans ce qui suit, les mots en italiques sont ceux

Plus en détail

Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles

Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles ENIHP1 mathématiques continuité et dérivabilité p 1/10 Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles Le cours sera illustré à l'aide du logiciel de calcul formel gratuit Maima. Les commandes

Plus en détail

L2 ÉCONOMIE & GESTION 2010-11 COURS DE MÉTHODES MATHÉMATIQUES 3. Alexandre VIDAL

L2 ÉCONOMIE & GESTION 2010-11 COURS DE MÉTHODES MATHÉMATIQUES 3. Alexandre VIDAL L2 ÉCONOMIE & GESTION 2010-11 COURS DE MÉTHODES MATHÉMATIQUES 3 Alexandre VIDAL Dernière modification : 11 janvier 2011 Table des matières I Généralités et rappels sur les fonctions 1 I.1 Définition....................................

Plus en détail

Éléments de logique et de théorie des ensembles

Éléments de logique et de théorie des ensembles 1 Éléments de logique et de théorie des ensembles Pour les exemples et exercices traités dans ce chapitre les ensembles usuels de nombres entiers, rationnels réels et complexes sont supposés connus, au

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot ESPACES VECTORIELS 1 Définition et exemples fondamentaux 1.1 Définition Définition 1.1 Espace vectoriel Soient K un corps et E un ensemble muni d une loi interne + et d une loi externe. i.e. d une application

Plus en détail

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales Recueil d annales en Mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Frédéric Demoulin Dernière révision : 3 juin 2 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini 2. frederic.demoulin

Plus en détail

Compléments de trigonométrie

Compléments de trigonométrie IUT Orsay Mesures Physiques Cours du er semestre Compléments de trigonométrie A. Les outils A-I. Notion de bijection, bijection réciproque Une application de E vers F est une bijection lorsque : tout élément

Plus en détail

Techniques fondamentales de calcul

Techniques fondamentales de calcul Chapitre Techniques fondamentales de calcul. Inégalités dans R On rappelle que (R, +,, ) est un corps totalement ordonné, d où : x, y R, x y ou y x, x, y, z R, x y = x + z y + z, x, y R, x 0ety 0 = xy

Plus en détail

Cours de terminale S Suites numériques

Cours de terminale S Suites numériques Cours de terminale S Suites numériques V. B. et S. B. Lycée des EK 13 septembre 2014 Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

COURS DE LICENCE 2 SCIENCES ECONOMIQUES COURS D ANNIE CLARET

COURS DE LICENCE 2 SCIENCES ECONOMIQUES COURS D ANNIE CLARET COURS DE LICENCE 2 SCIENCES ECONOMIQUES COURS D ANNIE CLARET MATHEMATIQUES 3 PRISE DE NOTE PAR : PLASMAN SYLVAIN SERIE 7 ANNEE 2010-2011 1 Sommaire et accès aux chapitres/sous-chapitres Cliquez sur le

Plus en détail

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique Analyse et Géométrie Différentielle Première Année I NOMBRES REELS ET COMPLEXES, SUITES ET FONCTIONS 1 Nombres réels et complexes 2 Suites de nombres

Plus en détail

Algèbre linéaire avancée I Jeudi 8 Octobre 2015 Prof. A. Abdulle J =

Algèbre linéaire avancée I Jeudi 8 Octobre 2015 Prof. A. Abdulle J = Algèbre linéaire avancée I Jeudi 8 Octobre 205 Prof. A. Abdulle EPFL Série 4 (Corrigé) Exercice Soit J M 2n 2n (R) la matrice définie par J 0 In, I n 0 où I n est la matrice identité de M n n (R) et 0

Plus en détail

Exo7. Développements limités. 1 Calculs. 2 Applications. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Développements limités. 1 Calculs. 2 Applications. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Développements ités Corrections d Arnaud Bodin. Calculs Exercice Donner le développement ité en 0 des fonctions :. cosx expx à l ordre 2. ln + x)) 2 à l ordre 4 shx x. x à l ordre 6 4. exp sinx) )

Plus en détail

Cours Mathématiques PACES UHP-Nancy

Cours Mathématiques PACES UHP-Nancy Cours Mathématiques PACES UHP-Nancy V. Latocha PACES UHP septembre 2010 remerciements à D. Schmitt et V. Ries V. Latocha (PACES UHP) Cours mathématiques Paces septembre 2010 1 / 48 1 Fonctions d une variable

Plus en détail

COURBES PARAMÉTRÉES. t + 1. c ex :]0, [ R n, t + Γ ex := c ex (I). c est une courbe paramétrée de classe C 2.

COURBES PARAMÉTRÉES. t + 1. c ex :]0, [ R n, t + Γ ex := c ex (I). c est une courbe paramétrée de classe C 2. COUBES PAAMÉTÉES 1 Propriétés géométriques des courbes paramétrées Soit n = 2 ou 3 et E n un espace ane associé à l'espace vectoriel n Soit une norme sur n Dénition 11 Une courbe paramétrée est une application

Plus en détail

Sujet Métropole 2013 EXERCICE 1. [4 pts] Probabilités

Sujet Métropole 2013 EXERCICE 1. [4 pts] Probabilités Sujet Métropole 01 EXERIE 1. [4 pts] Probabilités Une jardinerie vend de jeunes plants d arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 5% des plants proviennent de l horticulteur H 1, 5% de l horticulteur

Plus en détail

Fonctions de IR dans IR

Fonctions de IR dans IR Fonctions der dansr G03.1 JMS Fonctions de IR dans IR 1 ) Intervalles Intervalle fermé : [a;b] = { R tq a b } ( peut prendre les valeurs a et b) Intervalle semi-ouvert : [a;b[ = { R tq a < b } ne peut

Plus en détail

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Licence MIMP Semestre 1 Math 12A : Fondements de l Analyse 1 http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Septembre 2013 Table des matières Chapitre I. Les nombres réels et les suites numériques 1 1

Plus en détail

Fiche n 1: Groupe, sous-groupe, ordre

Fiche n 1: Groupe, sous-groupe, ordre Université Lille 1 Algèbre 2010/11 M51.MIMP Fiche n 1: Groupe, sous-groupe, ordre Exercice 1 On considère sur R la loi de composition définie par x y = x + y xy. Cette loi est-elle associative, commutative?

Plus en détail

MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ. Ce polycopié conforme au programme 2002, regroupe les documents distribués aux élèves en cours d année.

MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ. Ce polycopié conforme au programme 2002, regroupe les documents distribués aux élèves en cours d année. MATHÉMATIQUES TERMINALE ES A. YALLOUZ Ce polcopié conforme au programme 00, regroupe les documents distribués au élèves en cours d année. Année 0-0 Année 0-0 T le ES A. YALLOUZ (MATH@ES) TABLE DES MATIÈRES

Plus en détail

Chapitre : Fonctions convexes

Chapitre : Fonctions convexes Chapitre : Fonctions convexes I Définition Définition 1 Soit f : I R une fonction continue où I un intervalle de R On dit que f est une fonction convexe si (x, y I 2, λ [0, 1], f(λx + (1 λy λf(x + (1 λf(y

Plus en détail

Espaces vectoriels normés

Espaces vectoriels normés Espaces vectoriels normés Essaidi Ali 19 octobre 2010 K = R ou C. E un K-espace vectoriel. 1 Normes et distances : 1.1 Normes et distances : Définition : On appelle semi-norme sur E toute application N

Plus en détail

Sujets et corrigés des DS de mathématiques. BCPST 1A Lycée Hoche 2014-2015. Sébastien Godillon

Sujets et corrigés des DS de mathématiques. BCPST 1A Lycée Hoche 2014-2015. Sébastien Godillon Sujets et corrigés des DS de mathématiques BCPST A Lycée Hoche 04-05 Sébastien Godillon Table des matières Sujet du DS n o Corrigé du DS n o 5 Exercice logique 5 Exercice nombres réels, sommes, suites

Plus en détail

Suites numériques. Sommaire :

Suites numériques. Sommaire : Suites numériques I Activité n o 2 page 295 Sommaire : II Généralités sur les suites numériques III Variations et bornes IV Suites arithmétiques V Suites géométriques VI Suites convergentes VII Représentation

Plus en détail

La fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien La fonction logarithme népérien Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières La fonction logarithme népérien 2. Définition Courbe représentative................................... 2.2

Plus en détail

Agrégation de Mathématiques Exercices d algèbre linéaire

Agrégation de Mathématiques Exercices d algèbre linéaire Agrégation de Mathématiques Exercices d algèbre linéaire P. HUBERT La plupart des exercices ci-dessous se trouvent dans les livres suivants : - E. Leichtnam, X. Schaeur, Exercices corrigés de mathématiques

Plus en détail

IV. Espaces L p. + tx 1. (1 t)x 0

IV. Espaces L p. + tx 1. (1 t)x 0 cours 13, le lundi 7 mars 2011 IV. spaces L p IV.1. Convexité Quand deux points x 0, x 1 R sont donnés, on peut parcourir le segment [x 0, x 1 ] qui les joint en posant pour tout t [0, 1] x t = (1 t)x

Plus en détail

Topologie des espaces vectoriels normés

Topologie des espaces vectoriels normés Topologie des espaces vectoriels normés Cédric Milliet Version préliminaire Cours de troisième année de licence Université Galatasaray Année 2011-2012 2 Chapitre 1 R-Espaces vectoriels normés 1.1 Vocabulaire

Plus en détail

Un peu de topologie. Espaces métriques. Documents disponibles sur www.math.polytechnique.fr/ laszlo. Enseignants :

Un peu de topologie. Espaces métriques. Documents disponibles sur www.math.polytechnique.fr/ laszlo. Enseignants : Documents disponibles sur www.math.polytechnique.fr/ laszlo Un peu de topologie Enseignants : F. Golse (golse@math.polytechnique.fr), Y. Laszlo (laszlo@math.polytechnique.fr), C. Viterbo (viterbo@math.polytechnique.fr)

Plus en détail

Sujets HEC B/L 2013-36-

Sujets HEC B/L 2013-36- -36- -37- Sujet HEC 2012 B/L Exercice principal B/L1 1. Question de cours : Définition et propriétés de la fonction de répartition d une variable aléatoire à densité. Soit f la fonction définie par : f(x)

Plus en détail

Formulaire de maths - Analyse dans R n

Formulaire de maths - Analyse dans R n Formulaire de maths - Analyse dans R n Nom Théorème ou formule Espaces vectoriels normés Norme sur E Application qui vérifie les propriétés de : séparation : homogénéité : inégalité triangulaire : Normes

Plus en détail

RAPPELS ET COMPLÉMENTS CALCULATOIRES

RAPPELS ET COMPLÉMENTS CALCULATOIRES RAPPELS ET COMPLÉMENTS CALCULATOIRES ENSEMBLES DE NOMBRES ENSEMBLES,,,ET: On rappelle que : désigne l ensembleprivé de 0 idem pour, et, + désigne l ensemble des réels positifs ou nuls et l ensemble des

Plus en détail

Structures algébriques : groupes, anneaux et corps

Structures algébriques : groupes, anneaux et corps Maths PCSI Cours Structures algébriques : groupes, anneaux et corps Table des matières 1 Groupes 2 1.1 Lois de composition interne..................................... 2 1.2 Groupes................................................

Plus en détail

Préparation à l agrégation interne de mathématiques - Année 2014-2015 Préparation à l écrit - Samedi 13 décembre 2014

Préparation à l agrégation interne de mathématiques - Année 2014-2015 Préparation à l écrit - Samedi 13 décembre 2014 Préparation à l agrégation interne de mathématiques - Année 04-05 Préparation à l écrit - Samedi 3 décembre 04 Durée : 4 à 6 heures - Le sujet comporte 6 pages. Dans ce problème, on se propose de prouver

Plus en détail

Synthèse d analyse Avril 2011

Synthèse d analyse Avril 2011 Snthèse d analse Avril 20 Cette snthèse d analse a été rédigée suite à une suggestion de M le Professeur E Delhez Elle est destinée à aider les étudiants à préparer l eamen d admission au études d ingénieur

Plus en détail

Chapitre 1. Ensembles et sous-ensembles

Chapitre 1. Ensembles et sous-ensembles Chapitre 1 Ensembles et sous-ensembles 1. Notion d ensemble - Elément d un ensemble Un ensemble est une collection d objets satisfaisant un certain nombre de propriétés et chacun de ces objets est appelé

Plus en détail

Probabilités et Statistiques. Raphaël KRIKORIAN Université Paris 6

Probabilités et Statistiques. Raphaël KRIKORIAN Université Paris 6 Probabilités et Statistiques Raphaël KRIKORIAN Université Paris 6 Année 2005-2006 2 Table des matières 1 Rappels de théorie des ensembles 5 1.1 Opérations sur les ensembles................... 5 1.2 Applications

Plus en détail

OLYMPIADES FRANÇAISES DE MATHÉMATIQUES

OLYMPIADES FRANÇAISES DE MATHÉMATIQUES OLYMPIADES FRANÇAISES DE MATHÉMATIQUES OLYMPIADES OFM FRANÇAISES MATHÉMATIQUES ENVOI NO. 3 CORRIGÉ 1 Exercices du groupe B Exercice 1. Soit n 1 un entier tel que le quotient de 2 n par n est une puissance

Plus en détail

Ensembles-Applications

Ensembles-Applications Ensembles-Applications Exercice 1 : Soient A = {1,2,3} et B = {0,1,2,3}. Décrire les ensembles A B, A B et A B. Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Soient A = [1,3] et B = [2,4]. Déterminer

Plus en détail

Avertissement! Dans tout ce chapître, C désigne une partie convexe de IR n, et f une fonction. 9.1 Fonctions affines, convexes, strictement convexes

Avertissement! Dans tout ce chapître, C désigne une partie convexe de IR n, et f une fonction. 9.1 Fonctions affines, convexes, strictement convexes Chp. 9. Convexité Avertissement! Dans tout ce chapître, C désigne une partie convexe de IR n, et f une fonction numérique partout définie sur C. 9.1 Fonctions affines, convexes, strictement convexes Définition

Plus en détail

Épreuve de Mathématiques 8

Épreuve de Mathématiques 8 Lycée La Prat s Vendredi 10 avril 2015 Classe de PT Épreuve de Mathématiques 8 Durée 4 h L usage des calculatrices est interdit. La présentation, la lisibilité, l orthographe, la qualité de la rédaction

Plus en détail

Cours de Mathématiques 2

Cours de Mathématiques 2 Cours de Mathématiques 2 première partie : Analyse 2 DEUG MIAS 1 e année, 2 e semestre. Maximilian F. Hasler Département Scientifique Interfacultaire B.P. 7209 F 97275 SCHOELCHER CEDEX Fax : 0596 72 73

Plus en détail

Dérivées et applications. Equation

Dérivées et applications. Equation Dérivées et applications. Equation I) Dérivée d une fonction strictement monotone 1) Exemples graphiques Soit une fonction dérivable sur un intervalle I. Pour tout I, (x) est le coefficient directeur de

Plus en détail

Le théorème du point xe. Applications

Le théorème du point xe. Applications 49 Le théorème du point xe. Applications 1 Comme dans le titre de cette leçon, le mot théorème est au singulier, on va s'occuper du théorème du point xe de Picard qui a de nombreuses applications. Le cas

Plus en détail

Partie I : Manipulation d inégalités. n k. k=0. (1 + a) n 1 + na. 27. Indication : On pourra utiliser les fonctions f(x) = (x+b+c)3.

Partie I : Manipulation d inégalités. n k. k=0. (1 + a) n 1 + na. 27. Indication : On pourra utiliser les fonctions f(x) = (x+b+c)3. Mathématiques Devoirs de Vacances MPSI/PCSI août 5 Partie I : Manipulation d inégalités Eercice Soit m un réel Déterminer l'ensemble E des réels tels que e + e l'ensemble E des réels tels que (m + + m

Plus en détail

7 FONCTIONS USUELLES. 1 Parité d une fonction. 2 Fonctions affines

7 FONCTIONS USUELLES. 1 Parité d une fonction. 2 Fonctions affines Cours 7 FONCTIONS USUELLES Parité d une fonction Définition Soit f une fonction définie sur un ensemble D. On dit que f est paire si : { D est symétrique par rapport à 0 Pour tout x D, f ( x) = f (x) On

Plus en détail

La fonction carré Cours

La fonction carré Cours La fonction carré Cours CHAPITRE 1 : Définition CHAPITRE 2 : Sens de variation CHAPITRE 3 : Parité et symétrie CHAPITRE 4 : Représentation graphique CHAPITRE 5 : Equation du type CHAPITRE 6 : Inéquation

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Cours d Analyse Réelle 4M003

Cours d Analyse Réelle 4M003 Cours d Analyse Réelle 4M003 Jean SAINT RAYMOND Université Pierre et Marie Curie Avant-propos Ce texte a été rédigé pour servir de support écrit à un cours de Master 1 de l Université Pierre-et-Marie Curie.

Plus en détail

Devoir maison n 5. MP Lycée Clemenceau. A rendre le 7 janvier 2014. Centrale

Devoir maison n 5. MP Lycée Clemenceau. A rendre le 7 janvier 2014. Centrale Devoir maison n 5 MP Lycée Clemenceau A rendre le 7 janvier 214 Centrale - Dans le problème, λ désigne toujours une application continue de IR + dans IR +, croissante et non majorée. - Dans le problème,

Plus en détail

Arithmétique et Tests de Primalité

Arithmétique et Tests de Primalité Arithmétique et Tests de Primalité Pierre Rouchon Centre Automatique et Systèmes Mines ParisTech pierre.rouchon@mines-paristech.fr Novembre 2012 P.Rouchon (Mines ParisTech) Arithmétique et Tests de Primalité

Plus en détail

1 Espaces vectoriels normés

1 Espaces vectoriels normés Université Paris 7 Denis Diderot Année 2005/2006 Licence 2 MIAS MI4 1 Espaces vectoriels normés 1.1 Définitions Soit E un espace vectoriel sur R. Topologie des espaces vectoriels de dimension finie Définition

Plus en détail

Institut de Biologie Fondamentale et Appliquée. M A T H E M A T I Q U E S pour SV 105

Institut de Biologie Fondamentale et Appliquée. M A T H E M A T I Q U E S pour SV 105 U N I V E R S I T E de C A E N Institut de Biologie Fondamentale et Appliquée M A T H E M A T I Q U E S pour SV 05 0 - Présentation - Bibliographie. - Trigonométrie - Fonctions réciproques - Nombres complees

Plus en détail

.:: Module Mathématiques I : Algèbre ::.

.:: Module Mathématiques I : Algèbre ::. Université Mohammed V - Agdal Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014 Rabat, Maroc.:: Module Mathématiques I : Algèbre ::. Filière : Sciences de

Plus en détail

Les espaces L p. Chapitre 6. 6.1 Définitions et premières propriétés. 6.1.1 Les espaces L p, avec 1 p < +

Les espaces L p. Chapitre 6. 6.1 Définitions et premières propriétés. 6.1.1 Les espaces L p, avec 1 p < + Chapitre 6 Les espaces L p 6.1 Définitions et premières propriétés 6.1.1 Les espaces L p, avec 1 p < + Soient (E, T,m) un espace mesuré, 1 p < + et f M = M(E, T) (c est-à-dire f : E R, mesurable). On remarque

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 Relations binaires Relations d équivalence Exercice 1 [ 02643 ] [Correction] Soit R une relation binaire sur un ensemble E à la fois réflexive

Plus en détail

Chapitre 5 Le logarithme néperien

Chapitre 5 Le logarithme néperien A) La fonction ln(x) Chapitre 5 Le logarithme néperien ) Définition Nous avons vu que nous ne savions pas exprimer la primitive de la fonction inverse avec des fonctions connues. Alors inventons cette

Plus en détail

Chapitre 7. Les fonctions de références

Chapitre 7. Les fonctions de références Chapitre 7 Les fonctions de références I Rappels sur les fonctions I1 Domaine de définition I2 Les variations I3 Parité II Les fonctions de référence II1 Fonctions affines II2 Fonction carré II3 Fonction

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

en dimension finie Table des matières

en dimension finie Table des matières Maths PCSI Cours Algèbre linéaire en dimension finie Table des matières 1 Rappels d algèbre linéaire 2 1.1 Applications linéaires......................................... 2 1.2 Familles libres, génératrices

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES PURES

LICENCE DE MATHÉMATIQUES PURES LICENCE DE MATHÉMATIQUES PURES Topologie Générale Philippe Charpentier Université Bordeaux I Année universitaire 2000-01 PHILIPPE CHARPENTIER UNIVERSITÉ BORDEAUX I LABORATOIRE DE MATHÉMATIQUES PURES 351,

Plus en détail

Relations d ordre et relations d équivalence

Relations d ordre et relations d équivalence CHAPITRE 1 Relations d ordre et relations d équivalence 1.1 Définition Une relation sur un ensemble E est un sous-ensemble R de l ensemble E E, produit cartésien de E par lui-même. Par exemple, si E =

Plus en détail

Chapitre 01 : Intégrales généralisées. Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle

Chapitre 01 : Intégrales généralisées. Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle Chapitre 01 : Intégrales généralisées Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle fermé borné de Dans ce chapitre, on va étudier le cas d

Plus en détail

11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases

11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases 11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases 11.1. Espaces vectoriels, algèbres 11.1.1. Structure d espace vectoriel et d algèbre 11.1.2. Combinaisons linéaires 11.1.3. Espaces vectoriels et algèbres

Plus en détail

Baccalauréat Série S Métropole, juin 2014

Baccalauréat Série S Métropole, juin 2014 Baccalauréat Série S Métropole, juin 4 Sujet et Corrigé Stéphane PASQUET Disponible sur http://www.mathweb.fr juin 4 Exercice (5 points) - Commun à tous les candidats Partie A Dans le plan muni d un repère

Plus en détail

Feuille 1. L3 Maths Appliquées lagache@biologie.ens.fr 27 Janvier 2009. A le chambre des députés d un pays composé de 100 départements, chaque

Feuille 1. L3 Maths Appliquées lagache@biologie.ens.fr 27 Janvier 2009. A le chambre des députés d un pays composé de 100 départements, chaque Feuille 1 L3 Maths Appliquées lagache@biologie.ens.fr 27 Janvier 2009 1 Combinatoire 1.1 Exercice 1 A le chambre des députés d un pays composé de 100 départements, chaque département est représenté par

Plus en détail

Indication Prendre une combinaison linéaire nulle et l évaluer par ϕ n 1.

Indication Prendre une combinaison linéaire nulle et l évaluer par ϕ n 1. 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R 2 (2x + y, x y) R 2, f 2 : (x, y, z) R 3 (xy, x, y) R 3 f 3 : (x, y, z) R 3 (2x +

Plus en détail

et Transversalité par Pierre Vogel

et Transversalité par Pierre Vogel Université Paris 7 Denis Diderot Institut de Mathématiques de Jussieu Géométrie des Variétés et Transversalité par Pierre Vogel Introduction Ce cours est destiné à l étude des variétés différentiables

Plus en détail

Variations des fonctions

Variations des fonctions CH2-1er S Variations des fonctions Rédacteur : Yann BANC Le mot du prof : Ce chapitre vous permet de revoir les fonctions usuelles et de découvrir de nouvelles fonctions usuelles : valeur absolue et racine

Plus en détail

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 009 L Maths (a) Rappelons d abord le résultat suivant : Théorème 0.. Densité de Q dans R. QUESTIONS DE COURS. Preuve. Il nous faut nous montrer que tout réel est

Plus en détail

3D Compléments de cours. Guy GREISEN

3D Compléments de cours. Guy GREISEN 3D Compléments de cours Guy GREISEN 14 septembre 2009 3D 3 Table des matières 1 SECOND DEGRÉ 6 1.1 Introduction................................................ 6 1.2 Formule générale.............................................

Plus en détail

2 Fonctions affines : définitions et propriétés fondamentales

2 Fonctions affines : définitions et propriétés fondamentales Chapitre 3 : Fonctions affines Dans tout ce chapitre, le plan est muni d un repère. 1 Rappels sur les équations de droite Une droite qui n est pas verticale a une unique équation du type y = ax + b, qu

Plus en détail

2010/2011. Espaces vectoriels

2010/2011. Espaces vectoriels Université Paris-Est Marne-la-Vallée 010/011 M1 enseignement CD/Préparation au CAPES Espaces vectoriels Dans toute la suite on considèrera des espaces vectoriels sur un corps commutatif K de caractéristique

Plus en détail

Quelques Remarques sur les Opérateurs et les q-algèbres de Banach

Quelques Remarques sur les Opérateurs et les q-algèbres de Banach E extracta mathematicae Vol. 19, Núm. 2, 233 241 (2004) Quelques Remarques sur les Opérateurs et les q-algèbres de Banach R. El Harti Département de Mathématiques, Faculté des Sciences et Techniques Université

Plus en détail