USAGE DES COMPLEXES DANS LES CIRCUITS ÉLECTRIQUES

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1 Avant propos : usage des nombres complexes est incontournable en ce qui concerne l étude des circuits électriques aussi bien du point de vue énergétique (2 hemins de l énergie, bilan de puissance, puissance complexe) que du point de vue informationnel ( 3 hemins de l information, impédance complexe, filtrage, tracés de Bode). 1 appels mathématiques 1.1 Définitions : On utilise symboliquement la lettre i tel que i ² = -1. es électriciens utilisent la lettre j afin d'éviter la confusion avec un courant. Soit le nombre complexe Z = a + j b écrit sous forme cartésienne, on appelle : - a sa partie réelle, soit e [ Z ] - b sa partie imaginaire, soit m [ Z ]. Si a = 0, Z est un imaginaire pur, si b = 0, Z est un réel pur. On appelle conjugué de Z noté Z*, le nombre complexe avec partie imaginaire de signe opposé, soit : Z * = a - jb On a alors : Z + Z* = 2a ; Z. Z* = a² + b² es deux expressions donnent des réels. Pour la représentation géométrique des nombres complexes, on définit le plan complexe tel que : - 'abscisse représente l'axe réel noté e, soit pour le complexe Z, sa partie réelle a = e [ Z ]. - 'ordonnée représente l'axe imaginaire noté m, soit pour Z sa partie imaginaire b = m [ Z ]. a représentation géométrique de Z = a + jb dans le plan complexe est donnée ci-contre : Plan complexe ou plan Z m b ρ ϕ Z On remarque : a = ρ. cos ϕ et b = ρ. sin ϕ a e Avec : ρ = Z, module de Z, tel que ρ² = a² + b² et: ϕ = arg [Z], argument de Z, tel ϕ = arctan ( b / a ) On parle également de phase pour l'argument de Z. De cette représentation, on déduit l'écriture polaire d'un nombre complexe : Z = ρ. ( cos ϕ + j sin ϕ ) 'étude des séries convergentes appliquée aux nombres complexes (cf math), permet d'établir la formule d'euler : exp ( j ϕ ) = cos ϕ + j sin ϕ n nombre complexe peut alors s'écrire sous la forme exponentielle : Z = ρ. exp j ϕ page 1 sur 6

2 1.2 Algèbre complexe : On utilisera selon le cas, la forme cartésienne ou la forme exponentielle de ces nombres. es opérations seront traitées sur les deux nombres complexes : Z 1 = a 1 + j b 1 = ρ 1. exp (j θ 1) Z 2 = a 2 + j b 2 = ρ 2. exp (j θ 2 ) Addition et soustraction : (utilisation de la forme cartésienne). Z 1 + Z 2 = (a 1 + a 2 ) + j ( b 1 + b 2) Z 1 - Z 2 = (a 1 - a 2 ) + j ( b 1 - b 2) Multiplication et division : (utilisation de la forme polaire). Z 1. Z 2 = ρ 1. ρ 2 exp j (θ 1 + θ 2) Z 1 / Z 2 = (ρ 1 / ρ 2 ). exp j (θ 1 - θ 2) nverse : (utilisation de la forme polaire) ( Z 1 ) -1 = (1/ ρ 1 ). exp -j θ 1 Puissances d'un nombre complexe, formule de Moivre : D'après le résultat obtenu sur le produit, on déduit pour la puissance n-ième d'un nombre complexe Z : Z n = ρ n. exp ( jnθ) = ρ n. ( cos nθ + j sin nθ ) dite formule de Moivre : Dérivation et intégration par rapport à l'argument θ : Soit Z =ρ. exp j θ, sa dérivée par rapport à θ est dz / dθ = ρ j exp jθ. Or j = exp j (π / 2 + k 2π). l vient dz / dθ = ρ. exp j (θ + π/2). a dérivation correspond à une rotation de + π /2 dans le plan complexe. Soit Z = ρ. exp j θ, et son intégrale par rapport à θ soit ρ. exp j θ dθ = ρ j -1 exp j θ =ρ. exp j (θ - π/2) 'intégration correspond à une rotation de - π /2 dans le plan complexe. 2 tilisation des nombres complexes en régime sinusoïdal : 2.1 Justification : a fonction sinusoïdale joue un rôle de première importance en électricité pour les raisons suivantes. - a production d'énergie électrique se fait sous forme de tensions sinusoïdales dans les alternateurs, ce qui permet une distribution facile et économique à l'aide de transformateurs. es grandeurs relatives à ces réseaux sont donc sinusoïdales. - Dans le cas d'un signal périodique de forme quelconque, on utilise son développement en série de Fourier. a fonction périodique est alors la somme d'un terme constant et de termes sinusoïdaux, ce qui permet de faire l'étude fréquentielle de chaque composante sinusoïdale de la série, sous forme complexe. De façon générale l'analyse du signal (électrique, acoustique, vibrations mécaniques... ), utilise les grandeurs sinusoïdales et leurs compositions (somme, produit...). page 2 sur 6

3 2.2 Notation et représentation dans le plan complexe des grandeurs sinusoïdales fonctions du temps : Soit les grandeurs instantanées aux bornes d un dipole 2 2 a tension sinusoïdale u (t) =.sin ω t e courant sinusoïdal i (t) = sin (ωt - ϕ) Dans un réseau linéaire en régime sinusoïdal établi, tous les courants et tensions varient avec la même pulsation ω, et seules les valeurs efficaces ( et ici) sont significatives pour les grandeurs énergétiques (puissances). a tension est prise à l origine des phases. On écrit simplement la transformation : 2 g 2 g u (t) = sin ω t = et i (t) = sin (ω t - ϕ ) = exp (- j ϕ ) m eprésentation dans le plan complexe avec ϕ positif (charge inductive) ϕ e 2.3 Dérivation et intégration dans le plan complexe des fonctions sinusoïdales du temps : > Dériver une grandeur sinusoïdale par rapport au temps revient dans le plan complexe à : une multiplication par jω, Ou multiplier par ω cette grandeur et lui faire effectuer une rotation de + π / 2 > ntégrer une grandeur sinusoïdale par rapport au temps revient dans le plan complexe à : une division par jω, ou diviser par ω cette grandeur et lui faire effectuer une rotation de - π / 2 Exemples : 2 Si la tension appliquée à une capacité est u(t) = sin ω t, l'expression du courant i (t) est déterminée par la relation i (t) =. du / dt soit en complexe = j.. Pour une inductance, u(t) = di / dt, le courant est obtenu par une intégration vis à vis du temps. soit en complexe = j. 2.4 mpédance et admittance complexe : ' impédance Z d'un dipôle est le rapport : 'admittance Y d'un dipôle est le rapport : Z = / ( on utilise en général les grandeurs efficaces) Y = / = 1 / Z Pour = et = exp (- j ϕ) on détermine Z = ( / ). exp j (ϕ ) Z = / est le module de Z et ϕ son argument De Y = ( / ). exp j (-ϕ ) = Y exp -j (ϕ), on déduit le module Y = / = 1 / Z et l'argument - ϕ page 3 sur 6

4 2.5 Définition de la résistance et de la réactance : a résistance est la partie réelle d'une impédance complexe, soit = e ( Z ). a réactance X est la partie imaginaire d'une impédance complexe, soit X = m ( Z ) On écrit alors Z = Z exp ( j ϕ ) = + j X on en déduit Z² = ² + X² et ϕ = arctan (X / ) On a représenté ci-contre l'impédance Z et l'admittance Y dans le plan complexe. 2.6 onductance G, et susceptance B d'une admittance Y : 'admittance Y peut s'écrire sous la forme : Y = G + j B - G est la conductance soit G = e ( Y ) = ( / ) cos ϕ = 1 / - B est la susceptance soit B = m ( Y ) = - ( / ) sin ϕ = -1 / X On trouve leur représentation dans le plan complexe sur la figure précédente. m X B ϕ G ϕ Y Z 'emploi des impédances est adapté aux montages séries, celui des admittances aux montages parallèles. 2.7 as des éléments,, : Pour déterminer toutes les composantes complexes de ces dipôles, on part des relations instantanées suivantes que l'on applique en régime sinusoïdal sous forme complexe, où dériver et intégrer par rapport au temps revient à respectivement multiplier par jω ou diviser par jω. 'ensemble des résultats est résumé dans le tableau de la page 6. 3 Associations d'éléménts, phénomènes de résonance : 3.1 En série : e courant est identique dans tous les éléments, et les tensions,, différent en module et en phase. On peut écrire la relation complexe : = + + En développant : =. [ + jω + 1 / jω ] 'impédance équivalente du dipôle est Z= = + j(. 1 Sa partie imaginaire s'annule pour w = Pour w = wo: 1.. ) = o pulsation de résonance propre le courant est maximum et réel, il vaut max = a tension aux bornes de est : c = max. o =. o = e coefficient de surtension ou facteur de qualité Q est le rapport : Q = c = 1. o = 1 =. o page 4 sur 6

5 3.2 En parallèle : a tension est identique pour tous les éléments, et les courants,,, différent en module et en phase. On peut écrire en complexe : = + + et en développant, = + j. +.j. 'admittance équivalente est Y= = 1 + j(. 1 de résonance propre o = 1.. 'admittance étant alors minimale, l'impédance Z = 1/ Y est maximale. e facteur de qualité est Q = e courant passe par un minimum min = /. min =. o =. ), sa partie imaginaire s'annule pour la pulsation c min =.. o e circuit est désigné sous le terme de T BOHON. 4 Puissance apparente complexe : Soit un dipôle et les grandeurs et complexes à ses bornes : = = exp (- j ϕ) e développement du produit complexe S =. *, avec * conjugué de, donne : S =. exp (j ϕ) =. cos ϕ + j sin ϕ = P + j Q On déduit alors : a puissance active P = e [. *] a puissance éactive Q = m [. *] page 5 sur 6

6 A) Pour les montages des figures 1 et 2 : A.1) Exprimer l impédance complexe équivalente Zeq du montage sous forme littérale cartésienne, puis faire les applications numériques. Donner ensuite le module et l argument (forme polaire). A2) Faire la même chose pour le courant. A.3) eprésenter et dans le plan complexe. =10ohms Fig. 1 = 0,1H = 230 V = 20ohms = 100µF Fig. 2 = 230 V a tension est prise à l'origine des phases B) Pour le montage de la figure 3, rechercher sous forme littérale cartésienne et polaire, puis faire les applications numériques pour : B.1) admittance complexe Yeq puis de l impédance complexe équivalente Zeq du montage. B.2) es courants 1, 2, o.. B.3) eprésenter et 1, 2, o. dans le plan complexe. = 0,1 H o = 20 ohm s 1 = 10 ohm s 2 1 e 1 = 1µF s = 230 V = 100 µf Fig.4 Fig.3 ) Pour le montage de la figure 4, exprimer sous forme littérale le rapport des deux tensions ou fonction de transfert en tension, notée H= e s H= K, en fonction des éléments. Présenter H sous la forme : et identifier K et ω c. 1+j wc w D) Modèle d un élément piézo-électrique (Quartz horloger) On considère le modèle suivant pour le quartz (fig.5). 1 1 r fo /2 /2 /2 Fig.5 O Fig.6 fo/2 fo/4 fo/8 Pour un quartz horloger, base de temps des montres et horloges d'usage courant, on a numériquement : 1= 7860 Henry ; 1= 3 femtofarad = 3.E-15 F; r = ohms; o = 1,5 picofarad = 1,5.E -12 F D1) Déterminer sous forme littérale l'impédance équivalente Ze du quartz sous la forme : Ze= A. 1+jB 1+j et identifier les coefficients A, B,. D.2) On néglige maintenant la résistance r. 2.1 Présenter Ze sous la forme normalisée : Ze= K jw % 1+(j w ws ) 2 1+(j w wp ) Préciser les expressions de ws et wp sous forme littérale 2.3 Déterminer numériquement les fréquences fs et fp correspondants à ws et wp. D.3) Pour obtenir une base de temps en seconde, on divise successivement la fréquence du quartz par 2 sur n étages.(fig. 6). Quel est le nombre d'étages n à utiliser? page 6 sur 6

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