matrices Terminale scientifique

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1 Spécialité mathématiques e termiale S. Documet de travail académie de Versailles Suites et matrices Termiale scietifique mathématiques spécialité Retrée 0 Page sur 6

2 Spécialité mathématiques e termiale S. Documet de travail académie de Versailles Page sur 6

3 Spécialité mathématiques e termiale S. Documet de travail académie de Versailles U eseigemet qui pred appui sur la résolutio de problèmes Le programme de l eseigemet de spécialité de la termiale scietifique ramèe l algèbre liéaire au lycée. Mais l algèbre liéaire du lycée des aées 980 s appuyait sur les vecteurs du pla et de l espace, et l itroductio des espaces vectoriels. L etrée proposée aujourd hui est matricielle : il s agit de faire jouer u rôle à des tableaux de ombres, lorsqu ils sot particulièremet adaptés à l écriture et à la résolutio de certais problèmes. La première partie du préset documet présete doc des problèmes. Les matrices et les puissaces de matrices qui peuvet y être itroduites ot pas besoi d u cadre plus gééral que celui das lequel elles apparaisset. Le vocabulaire ouveau est itroduit e situatio. Les défiitios et les théorèmes auxquels il est écessaire de faire référece e sot pas écessairemet sortis du cotexte du problème. Ue petite mise e ordre est proposée das la secode partie. Des défiitios coveables et des théorèmes bie rédigés sot e effet idispesables au jaloemet des avacées mathématiques. Les professeurs dot le pechat serait d aller de la théorie à la pratique, du cours aux exercices, des théorèmes aux applicatios, sot ivités à e pas démarrer bille e tête par les coteus exposés das cette secode partie, mais à essayer la démarche proposée. Outre qu elle répod à ue istructio officielle, cette démarche semble plus susceptible d accrocher des élèves qu il s agit de coquérir et de covaicre de l itérêt pour eux de la poursuite d études scietifiques : les théorèmes, c est ce qu o écrit quad la recherche est, au mois partiellemet, achevée. Cette base permet ue présetatio d autres coteus du programme, e se situat de ouveau das le cotexte de problèmes. La troisième partie développe plus complètemet certais thèmes metioés comme exemples das le programme, et ouvre des perspectives pour aborder d autres sujets. O y trouvera otammet des coectios possibles avec la partie «arithmétique» du programme. Des lies vers des ressources sot régulièremet proposés. Il s agit das certais cas d outils permettat de se libérer de quelques phases de calcul dot la coduite et l achèvemet éloigeraiet trop les élèves du problème traité. O doit pouvoir isister le temps qu il faut sur certais poits de calcul dot la maîtrise est u réel objectif de l eseigemet, quitte à s e remettre à d autres momets aux outils dot o dispose aujourd hui pour pouvoir cocetrer l attetio des élèves sur le problème à résoudre et les raisoemets écessaires pour y parveir. Ce documet a été réalisé par u groupe d ispecteurs et professeurs de l académie de Versailles, das le respect des istructios doées par Madame Brigitte BAJOU, Doyee du groupe de mathématiques de l Ispectio géérale de l éducatio atioale, qui a e particulier veillé à l expositio des sujets traités das l esprit «résolutio de problèmes». Page 3 sur 6 U documet ressource préseté das cet esprit

4 Spécialité mathématiques e termiale S. Documet de travail académie de Versailles Sommaire Partie I : Quelques problèmes faisat apparaitre des suites et des matrices A. U problème à deux compartimets page 6 B. Représetatio d u graphe page 7 C. Étude, gestio et prévisio écoomiques page 9 D. Marches aléatoires page E. Pertiece d ue page web page 3 F. Traitemet de l image page 6 Partie II : Défiitios et premiers calculs avec des matrices A. Matrices Actio sur les vecteurs page B. Les matrices sot-elles iversibles? page C. Puissaces de matrices carrées d ordre ou 3 page 4 D. Traitemet matriciel des suites de Fiboacci page 8 E. Retour sur les marches aléatoires page 3 F. Résolutio des systèmes liéaires page 3 Partie III : L outil matrice à l œuvre Complémets et exemples. Matrices e arithmétique A. Cryptographie : le chiffremet de Hill page 36 B. Approximatio des ombres réels page 38. Matrices et probabilités A. La fougère de Barsley page 43 B. Triagles rectagles pseudo isocèles page 44 C. Le problème du collectioeur page 47 D. Le modèle d ures de T. & P. Ehrefest page Suites liées par ue relatio o liéaire Le modèle proie-prédateur de V. Volterra page 56 Page 4 sur 6

5 Spécialité mathématiques e termiale S. Documet de travail académie de Versailles Partie I Quelques problèmes faisat apparaître des suites et des matrices Das cette partie, le vocabulaire spécifique aux matrices et les opératios sur les matrices e sot pas supposés cous. Lorsque la écessité s e fait setir, des matrices sot itroduites, sur lesquelles o peut faire des opératios (le produit de Cayley otammet, qui est simplemet celui que propose la calculatrice scietifique). La partie II proposera ue étude plus systématique, mais la recommadatio du programme est de commecer par des résolutios de problèmes et o par ue itroductio ex ihilo des matrices et ecore mois de l algèbre liéaire. Page 5 sur 6

6 Spécialité mathématiques e termiale S. Documet de travail académie de Versailles a. Le problème A. U problème à deux compartimets O coserve das ue eceite ue populatio d êtres uicellulaires qui peuvet se trouver das deux états physiologiques désigés par A et B. O désige par a et b les effectifs exprimés e milliers d idividus des deux populatios à l istat. Des observatios meées sur ue assez logue période permettet d estimer que : a 0,95a 0, b b 0, 05a 0,8b (95% des uicellulaires se trouvat à l istat das l état A ot pas chagé d état à l istat +, o plus que 80% de ceux se trouvat à l istat das l état B). L effectif total s élève à idividus.. La populatio à l istat 0 satisfait a Faire le calcul des effectifs a et b pour 50 ue cojecture sur le comportemet des suites a et b?. Peut-o faire. Effectuer de ouveaux essais e preat d autres valeurs iitiales (mais u effectif total idetique).quel est le comportemet de la suite de terme gééral a 400? Coclure. b. Commetaires sur le problème Ce problème a été proposé das le cadre d ue épreuve pratique de mathématiques. Les élèves utilisaiet u tableur pour cojecturer la ature des suites a et b. À l étape 36, si o fait abstractio des erreurs de calcul dues au logiciel, le système est stable : il y a êtres das l état A et das l état B. Pour répodre à la questio suivate, il suffit de faire etrer das les calculs le fait que la populatio totale est coservée, autremet dit que, pour tout : a b 500. a 0,95a 0, b Le système a les mêmes solutios que b 0, 05a 0,8b a 0, 75a 00, dot les solutios (ce sot des couples b 500 a de suites) s obtieet explicitemet e faisat apparaître la suite (géométrique) de terme gééral 400 a. c. D autres faços d écrire le problème O peut schématiser la relatio par : a 0,95 0, a, doat aisi ue sigificatio b 0, 05 0,8 b au symbole utilisé ici pour représeter l actio d u tableau carré (ue matrice carrée d ordre ) sur u couple de réels (u vecteur-coloe). Page 6 sur 6 a idice b idice ,5 8,75 385,9375 4, ,4535 0, , , , , , , , , , , ,888 0, ,596 0, ,9446 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

7 Spécialité mathématiques e termiale S. Documet de travail académie de Versailles Le produit des matrices utilisable sur la calculatrice foctioe comme cela, et o pourrait écrire que, pour tout a 0,95 0, a0 etier aturel o ul, b. Cette puissace -ième de matrice peut-elle s exprimer 0, 05 0,8 b0 explicitemet? Cette questio est pas abordée ici. Notos que des simplificatios sot certaiemet evisageables, comme le laisset peser les résultats obteus sur la suite. Si o pose : b 00, o obtiet la relatio : 0, B. Représetatio d u graphe. Notio de coexité a. Parcourir u graphe Chacu coaît l histoire du parcours impossible emprutat ue et ue seule fois les sept pots de la ville de Koeigsberg (aujourd hui Kaliigrad), pots reliat les rives du fleuve qui traverse la ville, la Pregel, aux deux îles que celle-ci forme, et les deux îles etre elles. O dit que Léoard Euler ( ) résolut le problème. Il est certai que l expériece de l humaité l avait résolu e pratique avat lui, mais le géie d Euler fut de fabriquer des mathématiques avec cela, c est-à-dire de doer des défiitios doat aissace à des théorèmes. Le problème des pots de Koeigsberg cosiste à savoir si u certai Les pots de Koeigsberg graphe est eulérie (o peut e parcourir toutes les arêtes sas passer deux fois sur la même). O pourrait aussi se demader si u graphe est hamiltoie (il existe u parcours passat par tous les sommets) et, pour commecer, si u graphe est coexe. Voici quelques défiitios : U graphe (o orieté) à sommets est ue suite fiie de poits disticts M,M,,M, appelés sommets, et d arêtes, dot les extrémités sot des sommets. O cosidérera, ici, qu il existe pas de boucle, c'est-à-dire d arête ayat pour extrémités le même sommet, et qu il existe pas o plus de poit isolé, c'est-à-dire relié à persoe. Le ombre d arêtes dot ue extrémité est u sommet doé est appelé degré de ce sommet. Das l exemple des pots de Koeigsberg le sommet A est de degré 3. Ue chaîe de logueur p reliat M à M est ue suite de sommets p p S, S,..., S, S telle que M, M, et que, pour tout k compris etre et, il existe ue arête reliat à. Das le graphe ci-cotre, M,M,M est ue chaîe de logueur reliat M à M, M,M,M,M e est ue de logueur 3, M,M,M,M,M ue de logueur 4, etc. Das le graphe associé au problème des Pots de Koeigsberg, il existe pas de chaîe de logueur reliat B à D. Il existe pas de chaîe de logueur reliat M à luimême, mais il e existe ue de logueur : M,M,M. D ailleurs, quad le graphe e cotiet pas de poit isolé (ce qui est ue hypothèse de travail), il existe toujours ue chaîe reliat u poit et so double. U graphe est coexe quad, deux poits quelcoques état doés, il existe ue chaîe qui les relie. Peut-o repasser toutes les arêtes de l «eveloppe» sas lever le crayo? Page 7 sur 6

8 Spécialité mathématiques e termiale S. Documet de travail académie de Versailles b. Matrice d adjacece d u graphe O peut représeter le graphe précédet das u tableau das lequel, à l itersectio de la lige i et de la coloe j, o écrit 0 si aucue arête e relie M i et M j, et si ue arête les relie (das le cas du graphe associé au problème des pots de Koeigsberg, il arrive que deux arêtes reliet les deux mêmes sommets. Ce est évidemmet pas u hadicap pour l étude de la coexité, mais cela oblige à modifier les écritures si o cherche ue chaîe eulériee). M M M 3 M 4 M 5 M 6 M M 0 0 M M M Page 8 sur 6 Le réel qui figure das la lige i et la coloe j de ce tableau est oté ij. Il représete le ombre de chaîes de logueur joigat M i et M j. Notos que écessairemet ij jipour toute chaîe de logueur joigat M i et M j, il existe k tel que cette chaîe soit k 6 M,M i k,m j. Le ombre ij ik kj k, somme M des produits terme à terme des élémets d ue lige par ceux d ue coloe, est la somme de six termes dot chacu est le produit de deux ombres choisis parmi 0 et ; à chacu des termes o uls de cette somme est associé ue chaîe de logueur joigat M i et M j et u seul. Leur somme est doc le ombre de chaîes de logueur joigat M i et M j, et c est ij. O retrouve le produit matriciel des calculatrices, qui était apparu das le problème précédet. La matrice doe, à l itersectio de la lige i et de la coloe j, le ombre de chaîes de logueur joigat M i et M j. Les puissaces successives de la matrice d adjacece du graphe doet les ombres de chaîes de logueur allat d u sommet du graphe à u autre. Cette derière affirmatio écessite ue démostratio (par récurrece). c. Lire sur sa matrice la coexité d u graphe Le calcul précédet a pour résultat ue matrice dot aucu coefficiet est ul : chaque fois qu o se doe deux sommets, il existe ue chaîe de logueur qui les relie. Le graphe de l «eveloppe» est coexe. Cela pouvait se voir, bie sûr, mais il faut imagier des graphes possédat u grad ombre de sommets. Ce qui précède motre surtout qu u graphe peut être doé par sa matrice. E cosultat les puissaces successives de la matrice d adjacece, o peut savoir s il y a des chaîes de logueur, 3, reliat tel sommet à tel autre. Jusqu où calculer? Cosidéros u graphe à sommets ( ). Si ue chaîe de logueur e passe pas par tous les sommets du graphe, alors elle passe au mois deux fois par le même et o peut réduire la «boucle» qu elle formait. Cet argumet motre qu il suffit de pousser la recherche jusqu à la puissace -ième. D où le résultat : u graphe associé à ue matrice d adjacece A d ordre est coexe si et seulemet si, pour tout couple i, jd etiers compris etre et, il existe u etier p compris etre et tel que le coefficiet de la lige i et de la coloe j de la matrice A p soit o ul.

9 Spécialité mathématiques e termiale S. Documet de travail académie de Versailles C. Étude, gestio et prévisio écoomiques a. Des tableaux de ombres pour la gestio Voici les productios (e milliers) de deux usies de cycles apparteat à ue même eseige pour le premier semestre de l aée 00 : Premier semestre 00 Article VTT adultes Vélos efats VTC BMX Vélos de course Usie,99 3,0 5,58,53,95 Usie 4,6 4,98,6 0,5 0,78 Si o veut faire etrer les doées de ce tableau das u echaîemet de calcul, o les regroupe das le tableau de ombres suivat : A,99 3, 0 5,58,53,95, appelés matrice. 4, 6 4,98,6 0,5 0, 78 Cette matrice a liges et 5 coloes. O dit que cette matrice est de taille 5. Elle cotiet 0 élémets, appelés «coefficiets de la matrice». Pour repérer u coefficiet d'ue matrice, o idique so idice de lige puis so idice de coloe, les liges se comptat du haut vers le bas et les coloes de la gauche vers la droite. La dispositio géérale des coefficiets de la matrice A est doc la suivate : a a a a a A a a a a a a 3 désige le terme de la 3 ème lige et de la ème coloe. a 3 =,6. La productio de l usie pour le premier semestre 0 peut être représetée par la matrice :,99 3,0 5,58,53,95 appelée«matrice lige de taille 5». La productio des VTT adultes,99 das les deux usies est représetée par la matrice, appelée «matrice coloe de taille». 4,6 Les productios (e milliers) des deux usies de cycles pour le secod semestre de l aée 00 sot les suivates : Secod semestre 00 Article VTT adultes Vélos efats VTC BMX Vélos de course Usie,79 5,84 4,38,9,59 Usie 3,78 4,4,40 0,5 0,66 Page 9 sur 6

10 Spécialité mathématiques e termiale S. Documet de travail académie de Versailles Ces doées sot représetées par la matrice B, 79 5,84 4,38, 9,59. 3, 78 4,4, 40 0,57 0, 66 La matrice C représetat la productio auelle pour ces deux usies est obteue e ajoutat termes à termes les coefficiets des deux matrices A et B. La matrice C est, par défiitio, la somme des matrices A et B. O ote : C A B. Si l o appelle c ij l élémet de la i-ième lige et j-ième coloe, o a, pour tout i égal à 4, 78 9, 04 9,96,8 3,54 ou et j compris etre et 5 : cij aij bij. C 8, 40 9, 4,56, 08, 44. O a alors pour tout i égal à ou et j compris etre et 5 : bij cij bij. Par défiitio, la matrice B est la différece des matrices A et C : B C A. Ces opératios sot réalisables sur des matrices de même taille. La matrice D qui représete la productio moyee par mois das ces deux usies est obteue e divisat chacu des coefficiets c ij par. Aisi b. Élaboratio d u idice de prix,065,4 0,83 0,35 0,95 D 0,7 0,76 0,38 0,09 0, Ue associatio de cosommateurs compare les prix de trois magasis. Elle imagie alors ue famille achetat ue certaie quatité de ciq produits et utilise le procédé suivat : La matrice de taille 5 3 ci-cotre idique les prix des ciq produits das les trois magasis. O fait opérer cette matrice sur le «paier de la méagère» représeté par le vecteur coloe de droite e multipliat chaque terme de chaque lige par le terme de même rag du vecteur, et e faisat la somme des résultats obteus. Les prix des trois paiers sot lus das le vecteur coloe de gauche.. O ote D C ,, 4, 7,8 3, 3,8 3 30, 0,9 5,,9 3, 4 3 Les prix à l uité d u même article sot idiqués das la même coloe. Le vecteur coloe metioe les quatités souhaitées U vecteur coloe est ue matrice à ue seule coloe. U vecteur lige est ue matrice à ue seule lige. Pour le calcul automatique, o peut les cosidérer comme tels, et les appeler matrice coloe ou matrice lige. Das l exemple précédet, o peut rassembler les prix moyes pratiqués sur chaque article das les trois magasis, e faisat agir la matrice des prix sur le vecteur lige E effet : 5 3 4,0,9 54,7 5,,8,9 33,3, 4 3,8 4, 4, 7,8 3, 3, ,9 5,,9 3, 4 c. Gestio des admissios et sorties das u hôpital E simplifiat, o estime que les patiets admis das u certai service d u hôpital peuvet se trouver das l u des 4 états suivats :. Sois réguliers,. Chirurgie, 3. Sois itesifs, 4. Cogé. La matrice suivate idique les probabilités (obteues par modélisatio des fréqueces observées sur ue logue période) de passage d u des états à u autre das u itervalle de 4 heures. Page 0 sur 6

11 Spécialité mathématiques e termiale S. Documet de travail académie de Versailles Tableau de circulatio des malades etre les services :. Sois réguliers. Chirurgie 3. Sois itesifs 4. Cogé. Sois réguliers 0,6 0, 0 0,. Chirurgie 0, 0 0,8 0, 3. Sois itesifs 0,5 0 0,33 0,7 4. Cogé Cette matrice s utilise de la faço suivate : si, u certai jour, la distributio des patiets suivat les quatre états possibles s écrit X ;5;6;3, le ledemai, cette distributio s écrit ' 0,7;, 4;6;3,9 X. Ce résultat (das lequel o e doit pas se formaliser de trouver des dixièmes d êtres humais) peut être obteu par u calcul direct (les persoes e sois réguliers se partaget selo les proportios idiquées, les 5 persoes e chirurgie passet e sois réguliers, etc.) ou par le calcul mis e forme de l actio de la matrice M sur le vecteur lige X. X ' XA Supposos qu au jour 0, 0 patiets soiet admis e sois réguliers et qu il y ait aucu patiet e cours de traitemet. Supposos égalemet que 0 patiets soiet admis chaque jour. Le processus se déroule de la maière suivate : M X 0,0,0,0 0,0,0,0 0,0,0,0 X XM X0M X0M X0 Les calculs cofiés à u tableur motret que la situatio ted à se stabiliser. Jour sois sois réguliers chirurgie itesifs cogé ,8 3,,6 3, ,96 3, , , ,6 4,99 5, , , , , , ,6003 5, , , , , , , , , , , , , , , , , , Jour sois sois réguliers chirurgie itesifs cogé 9 37, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , O pourrait cotiuer le calcul littéral précédet, pour aboutir à : Pour tout etier supérieur ou égal à, X X0 M M... M M I, où I désige la matrice idetité d ordre 4 (ses coefficiets sot 0 sauf sur la diagoale pricipale où ils sot tous égaux à ). après, il faudrait savoir commet trouver la limite (si o peut doer u ses à ce mot, et s il y a ue limite) de cette somme. O voit qu e ajoutat u peu de sophisticatio, ce modèle peut effectivemet être utilisé e gestio. Page sur 6

12 Spécialité mathématiques e termiale S. Documet de travail académie de Versailles D. Marches aléatoires Das cette partie, o s itéresse au comportemet à log terme d ue marche aléatoire. Il s agit de calculer les probabilités pour le héros d ue marche aléatoire das u réseau de se trouver après pas e tel ou tel sommet (ou œud) du réseau. a. Marche aléatoire sur u segmet Le persoage se déplace d u sommet à l autre du graphe ci-cotre. S il est e A ou e B, il e peut aller qu e M, s il est e M, il peut aller e A ou e B avec des probabilités que ous cosidéros comme A M B idetiques. O représete la situatio par ue matrice qui idique 0 0 A o les arêtes existates comme les matrices d adjacece, mais les probabilités de passage d u M 0 sommet à u autre. À la différece des matrices B d adjacece, les matrices de trasitio e sot pas 0 0 systématiquemet symétriques. La matrice ci-cotre représete la marche das le réseau (A, M, B). Les coefficiets figurat sur chaque lige doet les probabilités de passage du sommet qui doe so om à la lige à celui qui doe so om à la coloe. La diagoale e cotiet de ce fait que des 0. Das le produit de la matrice de trasitio par elle-même, o calcule par exemple la somme des produits terme à terme de la première lige par la première coloe : pour aller de A à A e deux pas, le persoage va de A à A puis de A à A (les probabilités sot 0 et 0), ou de A à M puis de M à A (probabilités et ½), ou de A à B puis de B à A (probabilités 0 et 0). Les coefficiets qui y figuret sot les probabilités pour que le persoage situé au sommet qui doe so om à la coloe se soit trouvé deux coups auparavat au sommet qui doe so om à la lige. Le carré de la matrice est, et so cube est elle-même 0. O peut iterpréter ces résultats : par exemple, partat de A, le persoage est sûremet e M après u ombre impair de pas, e B ou e A avec des probabilités après u ombre pair de pas. b. Marche aléatoire aux sommets d u tétraèdre À la différece de la situatio précédete, das la marche aux sommets d u triagle comme das la marche aux sommets d u tétraèdre, o peut passer, à chaque étape, de tout sommet doé à tout autre sommet doé Das l hypothèse d équiprobabilité, la matrice de trasitio s écrit : M Page sur 6

13 _Æ Æ Spécialité mathématiques e termiale S. Documet de travail académie de Versailles O peut démotrer par récurrece que, pour tout N, la puissace -ième de la matrice M s écrit : M u v v v v u v v v v u v v v v v où les termes gééraux des suites u et v sot : u, 4 3 et v. 4 3 La lecture de ces matrices de trasitio est aturellemet la même qu au paragraphe précédet : le coefficiet doe la probabilité qu ue chaîe de logueur permette de passer du sommet i au sommet j. Il y a pas d ambiguïté das ce cas, la matrice est symétrique (les puissaces d ue matrice symétrique sot symétriques). Les différeces s estompet rapidemet : s il est pas possible de passer d u sommet à lui-même e u pas, les probabilités d aller d u sommet quelcoque à u sommet quelcoque sot très voisies dès que est grad. La limite commue des deux suites u et v est 4 m ij c. Shall I retur? Ayat quitté u sommet du tétraèdre, au bout de combie de pas aléatoires le persoage peut-il compter y reveir? Soit X la variable aléatoire doat, pour chaque marche, ce ombre de pas. O a : PX 0, PX, PX E effet, pour que le persoage soit e A, par exemple, après pas sas y avoir été das aucue de ses positios précédetes, il est écessaire qu à chacu de ses déplacemets précédets il soit passé d u sommet qui était pas A à u autre qui était pas A o plus, choisissat dot l u de deux sommets sur trois possibles. O peut vérifier par récurrece que PX, pour tout supérieur ou égal à (o peut vérifier que la limite de la 3 3 somme de ces probabilités est ). La variable X suit doc ue loi hypergéométrique. Ressources : E. Pertiece d ue page web a. De la recherche das ue bibliothèque à la recherche das u graphe U moteur de recherche doit fourir à ses utilisateurs ue liste de pages où apparaisset des mots-clés doés par celui-ci. O peut avoir l idée de classer les milliards de pages dispoibles das u ordre permettat le tri à partir des mots-clés fouris. Cela demade des moyes de stockage cosidérables et la réorgaisatio cotiuelle (e temps réel, comme o dit) de ces archives. Il faut assurer aux milliers de requêtes simultaées des réposes rapides, mais aussi des réposes fiables. Page 3 sur 6

14 Spécialité mathématiques e termiale S. Documet de travail académie de Versailles L ordre alphabétique est probablemet pas le meilleur pour assurer u service rapide et de qualité : les pages référecées pour le cliet doivet doer ue idée aussi juste que possible de l iformatio dispoible au momet de la requête, et faire apparaître e premières citatios celles qui y répodet le mieux, les plus pertietes. Mais le web est pas ue bibliothèque. Les pages web comportet des lies qui permettet d accéder directemet de l ue à d autres. O peut doc cosidérer le web comme u graphe, et s appuyer sur l existece de ces lies pour costruire les algorithmes de recherche à partir de mots-clés. b. Des orgaisatios apparetes das u graphe Le graphe de gauche, qui e comporte pourtat que sommets, est pas très lisible. Les sommets les plus «fréquetés» y sot pas facilemet idetifiables. Ue ouvelle représetatio de ce graphe, plus «buissoate» à défaut d être arborescete, met mieux e évidece l importace des sommets, 6 et 0, vers lesquels «poitet» u ombre élevé d autres sommets. c. U modèle de pertiece O part du pricipe que plus ue page est pertiete, plus il y a de pages qui poitet vers elle. Sa pertiece est reforcée par la pertiece des pages qui poitet vers elle, elle est dimiuée par la dispersio évetuelle des lies issus de ces derières. Appelos i le ombre qui mesure la pertiece de la page i. E appliquat u modèle grossier de proportioalité à la pertiece des pages j qui poitet vers la page i et d iverse proportioalité au ombre de lies l j issus de chacue de ces pages, o peut écrire :. (*) i jil j Si o essaie de faire le calcul avec le graphe précédet, o butte sur le fait que la pertiece d ue page est défiie par celle d autres pages. Par exemple, 7 6, 0, etc. O pourrait essayer d écrire u système 3 liéaire, mais certaies pages e poitet vers aucue autre, bie que d autres poitet vers elles. O réécrit la formule (*) avec des coefficiets otés a ij, le coefficiet aijvalat lj i aij j, si le graphe a sommets. j Page 4 sur 6 j si la page j poite vers la page i, 0 sio :

15 Spécialité mathématiques e termiale S. Documet de travail académie de Versailles Sous cette forme, o recoaît u système liéaire dot les icoues sot les pertieces des pages. «Il y a plus qu à» résoudre ce système. Nous verros des méthodes pour cela, sauf que das le cas du web il y a des milliards d icoues. d. Pertiece et probabilités La formule ci-dessus peut être traduite d ue autre maière : o iterprète les coefficiets a ij du système précédet comme la probabilité, pour u «surfeur» qui se trouverait à la page j de suivre le lie qui l amèera à la page i. Cette probabilité est défiie de la maière suivate : si p lies sot issus de la page j, la probabilité pour que le surfeur du web passe de la page j à ue des pages vers lesquelles elle poite est p, la probabilité pour qu il se dirige vers ue autre est 0. Das l exemple ci-dessous, le graphe représete les lies existat etre quatre pages web : Les pages état classées das l ordre alphabétique, la matrice de trasitio associée à ce graphe est : M Il peut arriver que certaies pages e comportet aucu lie. Lorsqu o arrive sur l ue d etre elles, il est impossible de la quitter. La lige de la matrice correspodat à cette page e comporte que des 0. Pour éviter ce problème, o remplace ces pages isolées par des pages comportat u lie vers chacue des autres. Aisi, e arrivat sur ue d etre elles, o peut la quitter e choisissat aléatoiremet l ue des autres pages associées au graphe. La avigatio sur u esemble de pages peut être modélisée aisi, e cosidérat que les iterautes sot uiformémet répartis sur l esemble des pages et e itérat le processus jusqu à ce que la répartitio atteige u état stable. Das l exemple précédet, o peut motrer que les puissaces de la matrice M ot pour limite la matrice L ci-cotre. E coséquece, o attribue aux pages A, B, C et D les idices de pertiece respectifs 3 4,, et L Page 5 sur 6

16 Spécialité mathématiques e termiale S. Documet de travail académie de Versailles _Æ Æ e. Facteur d amortissemet Le modèle précédet présete quelques icovéiets : Si le graphe est pas coexe, alors la distributio de probabilité de l état iitial coduit à u état stable das lequel certaies composates coexes e sot pas explorées ; Das le cas de graphes orietés (ce qui est gééralemet le cas pour des lies etre pages), tout sommet d u sous-graphe duquel o peut sortir sas pouvoir y reveir a ue probabilité ulle. Ces problèmes sot résolus e itroduisat u facteur d amortissemet, c est-à-dire e remplaçat la matrice M d par la matrice N dm U, où d est u réel strictemet compris etre 0 et et U la matrice carrée d ordre dot tous les coefficiets sot égaux à. O modélise de cette faço la possibilité de partir d ue page choisie au hasard sas passer par u lie Par exemple, la matrice M ci-dessus est remplacée, e preat d, par N O démotre que les puissaces de la matrice N coduiset à ue matrice limite et à des idices qui sot ,, et, à comparer aux idices sas amortissemet trouvés précédemmet : Page A B C D Sas amortissemet 0,3 0,08 0,3 0,38 Avec amortissemet 0,4 0, 0,3 0,35 Ressources : F. Traitemet de l image a. Numériser des images imager les ombres O a extrait l image ci-cotre d ue photographie d Ala Turig disputat ue course de 3 miles e 946. Cette photographie a été reproduite sur u site web cosacré à l u des «iveteurs» de l iformatique. Elle a doc été «umérisée», c est-à-dire trasformée e ue suite de 0 et de. Le rectagle est décomposé e u certai ombre de petits carrés, et à chacu de ces carrés a été attribué u ombre qui représete ue uace de gris. La fiesse de la décompositio (le ombre de carrés) est la défiitio de l image. La défiitio de cette image particulière est pas boe : o devie les pixels (mot fabriqué avec les débuts des mots aglais picture elemet). Page 6 sur 6

17 Spécialité mathématiques e termiale S. Documet de travail académie de Versailles b. Opératios sur les images Toute image utilisat que le oir et le blac peut doc être représetée par u tableau coteat autat de cases que l image cotiet de pixels, chacue de ces cases état occupée par 0 ou. L image est doc représetée par ue matrice das tous les élémets sot 0 ou. Réciproquemet, si o peut dire, les codes QR (iitiales de quick respose) sot des images susceptibles d être iterprétées comme des matrices et pouvat coteir jusqu à 7089 caractères umériques ou 496 caractères alphaumériques (alors que les codes barres e peuvet représeter qu ue douzaie de caractères) A B O trasforme la matrice A associée à l image de gauche e remplaçat par 0 et 0 par, o obtiet la matrice B, associée à l image de droite, qui est le égatif de l image de gauche. O peut égalemet coder des images e uaces de gris e attribuat à chaque pixel u ombre compris etre 0 et, proche de si la case est gris focé, proche de 0 si elle est gris clair. O peut égalemet défiir l image égatif de l image de départ e lui associat la matrice dot les élémets sot les complémets à des élémets de la matrice de départ. Les deux images ci-cotre sot le égatif l ue de l autre. D autres critères peuvet être eregistrés das les élémets de la matrice associée à ue image, la lumiosité par exemple. Ue multiplicatio de tous les élémets de la matrice représetat la lumiosité par u même facteur modifie la lumiosité de l esemble. Si deux images ot le même format et la même défiitio, il est possible de leur faire correspodre leur somme, associée à la somme des matrices qui les défiisset, e coveat qu u coefficiet supérieur à doe u pixel de couleur oire. O peut aussi leur faire correspodre leur différece, avec cette fois la covetio que tout pixel associé à u ombre égatif est blac. Ressources : c. Commet modifier la forme d ue image? O se propose de trasformer l image de droite e sa symétrique par rapport à l axe vertical, l image de gauche. Pour cela, il suffit de représeter le symétrique de tout pixel de l image de droite. Chaque pixel état d ue seule couleur, l image obteue est bie la symétrique de l image de départ. Ce e serait pas le cas si o trasportait des petits carrés o uiformémet colorés pour recostituer ue image. Page 7 sur 6

18 Spécialité mathématiques e termiale S. Documet de travail académie de Versailles d. Des matrices pour réaliser des trasformatios E effet, le déplacemet et la recostitutio d ue image élémet par élémet e doe pas écessairemet ue image symétrique, comme le motre l image ci-cotre, das laquelle o a procédé carré par carré. Il e faudrait pas croire que, das ue symétrie, les pixels sot eux aussi «retourés». C est le cetre du pixel u poit, au ses mathématique du terme qui est trasporté, et le pixel est recostitué autour. À tout poit du pla, de coordoées x ydoées das u repère (que ous choisiros orthoormal pour que l actio sur les figures soit mieux visible), o peut associer u autre poit, de coordoées x' y' défiies par a b l actio d ue matrice carrée c d sur x y. Ce qui s écrit : x ' a bx y ' c dy, ou ecore x ' ax by. y ' cx dy Si, par exemple, a, b 0, c et d 0, les coordoées x et y d u poit quelcoque sot trasformées e x et y, qui sot les coordoées de so symétrique par rapport à l axe vertical. Le tableau suivat fourit, sur l image d ue œuvre de Reé Magritte, des exemples d actios d ue matrice sur ue image. Exercice : Trouver les coefficiets correspodats. Réflexio d axe (Oy) Symétrie cetrale Réductio (multiplicatio des dimesios par 0,5) Affiité orthogoale de base l axe (Oy) de rapport 0,5 Page 8 sur 6

19 Spécialité mathématiques e termiale S. Documet de travail académie de Versailles Trasvectio Similitude Retrouver u programme Scilab de ION Page 9 sur 6

20 Spécialité mathématiques e termiale S. Documet de travail académie de Versailles Page 0 sur 6

21 Spécialité mathématiques e termiale S. Documet de travail académie de Versailles Partie II Défiitios et premiers calculs avec des matrices Das cette partie, le vocabulaire spécifique aux matrices et les opératios sur les matrices sot itroduits. La présetatio de quelques résultats peut aider à la compréhesio ou à la formalisatio des exemples abordés das la partie I, mais le programme marque le souhait de voir les lycées travailler à la résolutio de problèmes avat tout exposé sur les matrices. Ces résultats serot mis esuite e œuvre. O s autorisera, e revache, das la partie III, la référece directe à quelques résultats théoriques. Page sur 6

22 Spécialité mathématiques e termiale S. Documet de travail académie de Versailles A. Matrices. Actio sur les vecteurs. a. Quelques défiitios, quelques otatios Deux etiers aturels m et état doés o uls, o appelle matrice de taille m tout tableau rectagulaire de mélémets, disposés sur m liges et coloes. Das les situatios abordées ici, les élémets e questio sot des ombres réels. La matrice a a... a A a a... a a a... a m, m, m, m m m peut aussi être otée A a ij, la otatio a ij désige le terme (l élémet, le coefficiet) situé à l itersectio de la i-ième lige et de la j-ième coloe. C est le terme gééral de la matrice A. Lorsque m o dit que la matrice est carrée (carrée d ordre si écessaire). Les élémets a, a, a33,..., a,, asot les élémets de la diagoale pricipale de la matrice. La matrice idetité d ordre est la matrice carrée d ordre dot tous les coefficiets sot uls à l exceptio de ceux situés sur la diagoale pricipale qui sot égaux à. Elle est souvet otée I. L égalité e peut iterveir qu etre deux matrices A et B de même taille : elle sigifie que, pour tout idice i et pour tout idice j, aij bij. Ue matrice dot tout les coefficiets sot uls est dite matrice ulle (mais deux matrices ulles qui ot pas la même taille e sot pas égales). Ressources : b. Additio, produit par u scalaire O peut faire la somme de deux tableaux de ombres ayat même ombre de liges et de coloes e procédat par additio place par place. C est ce procédé qui est reteu pour défiir l additio de matrices de même taille. Dire que les matrices A, B et C, de taille m, sot telles que C A B, c est dire que : Pour tout i compris etre et m, pour tout j compris etre et, cij aij bij. O peut de même multiplier tous les élémets d u tableau de ombres par u même ombre (pour appliquer ue taxe, par exemple). C est ce procédé qui est utilisé pour multiplier ue matrice A par u scalaire (u ombre réel). O ote A la matrice obteue. O a doc A a ij. O pourra das ce ses parler de matrices proportioelles. Ressources : Page sur 6

23 Spécialité mathématiques e termiale S. Documet de travail académie de Versailles c. Actio sur u vecteur coloe ou sur u vecteur lige Ue matrice de taille m agit sur u vecteur coloe (ou ue matrice coloe) de taille par le produit recotré e I.C., qui s apparete à la réalisatio de m produits scalaires de vecteurs e dimesio. Le vecteur objet est écrit à droite de la matrice. Le résultat est u vecteur coloe de taille m. O peut égalemet être ameé à cosidérer l actio d ue matrice de taille m sur u vecteur lige (ue matrice lige) de taille m écrit à sa gauche. Le résultat est u vecteur lige de taille c. Produit de matrices Ce sot les méthodes de calcul du paragraphe précédet qui fodet la défiitio du produit de Cayley (858) des matrices : «le produit AB de la matrice B par la matrice A est la matrice dot les vecteurs liges sot les résultats de l actio de A sur les vecteurs coloes de B». Cette défiitio suppose aturellemet que les tailles des matrices soiet compatibles. Soit A ue matrice de taille m et B ue matrice de taille p. Le produit de A par B est la matrice, otée AB, dot, pour tout i compris etre et m et pour tout j compris etre et p, l élémet c ij est la somme des produits terme à terme des élémets de la i-ième lige de A par les élémets de la j-ième coloe de B. c a b. ij ik kj k Remarque : cette défiitio maifeste so utilité et sa compatibilité avec la faço dot a été défii le produit d u vecteur coloe par ue matrice lorsqu il s agit de faire subir deux opératios successives, représetées par deux matrices, à u même vecteur coloe. Supposos par exemple que ous ayos à faire, das le pla, deux chagemets de variables successifs. Les variables x et x sot successivemet remplacées par y et y, puis par z et z. Les relatios etre ces variables sot doées par : y a bx y c d x et z e f y z. g h y Le calcul «à la mai», par substitutio, cofirme qu il est compatible avec le produit tel que ous l avos défii. Ressources : Page 3 sur 6

24 Spécialité mathématiques e termiale S. Documet de travail académie de Versailles d. Propriétés du produit des matrices carrées d ordre Nous ous itéressos à préset au produit des matrices carrées d ordre. Ce produit est pas commutatif, ce qui sigifie que, das le cas = par exemple, il existe ue matrice A et ue matrice B telles que AB BA. Voici u exemple : et Certaies matrices e sot pas régulières pour ce produit. O a, par exemple, et : le produit de deux matrices distictes par ue même matrice doe deux matrices idetiques. O est doc pas fodé à simplifier, par exemple e factorisat. E revache les propriétés d associativité (effectuer BC puis multiplier à gauche par A reviet au même qu effectuer AB puis multiplier à droite par C) et de distributivité par rapport à l additio (le produit de A par la somme de B et C est la somme des produits de A par B et C) fot de l esemble des matrices carrées d ordre u cadre assez cofortable pour les calculs. B. Les matrices sot-elles iversibles? Nous avos vu que le produit des matrices carrées d ordre est pas commutatif. Le problème de la recherche d u iverse pour ue matrice doée M s exprime doc de la maière suivate : existe-t-il ue matrice N telle que : NM M N I? Maifestemet, la répose est pas uiforme. Nous avos vu que les matrices e sot pas régulières : il existe des matrices A, B et C telle que A B A C, bie que B soit disticte de C. E vertu de la distributivité évoquée plus haut, il viet ABC O ; il y a doc des diviseurs de O das l esemble des matrices carrées d ordre. Il vaut doc mieux poursuivre l étude sous la forme suivate : a. Coditio pour qu ue matrice carrée d ordre soit iversible a a x y O se doe ue matrice A et o cherche s il existe ue matrice B telle que a a z t AB BA I. La première égalité s écrit : a a x y 0 a a ou ecore axaz ayat 0. z t 0 axaz ayat 0 O obtiet deux systèmes d équatios du premier degré à deux icoues : ax az et ax az 0 ay at. ay at 0 Les secods membres des équatios de chacu de ces deux systèmes ous idiquet que la coditio écessaire pour qu ils admettet des solutios (et e l occurrece, ce sera u couple de solutios uique) s écrit aa aa 0. (D) Page 4 sur 6

25 Spécialité mathématiques e termiale S. Documet de travail académie de Versailles La quatité aa aa est appelée détermiat de la matrice. O vérifie que si le détermiat est o ul, et si a a o pose aa aa aa aa B, les produits AB et BA sot tous les deux égaux à I. La coditio a a aa aa aa aa (D) est doc ue coditio écessaire et suffisate d iversibilité. Ressource : C. Puissaces de matrices carrées d ordre ou 3 Les problèmes recotrés das la première partie ous ot ameés à calculer des puissaces de matrices (c est-àdire à faire agir u certai ombre de fois cosécutivemet la même matrice). O peut faire les calculs avec ue calculatrice pour des matrices de petite taille et des puissaces raisoables, o peut faire les calculs à l aide d u logiciel pour des puissaces explicites, à l aide d u logiciel de calcul formel pour obteir des formules «closes», doat l expressio des coefficiets e foctio de l exposat, mais il est a priori plus difficile d obteir ce que ous avos appelé des limites. a. Quelques matrices particulières. Les matrices triagulaires ot des puissaces triagulaires. a d f Cosidéros par exemple la matrice T 0 b e. Ue telle matrice est dite triagulaire supérieure, car ses 0 0 c a ad bd af decf coefficiets situés sous la diagoale pricipale sot uls. O obtiet : T 0 b beec. O 0 0 c pourrait poursuivre par ue démostratio par récurrece pour achever de prouver ce résultat. Notos que les 0 d f matrices strictemet triagulaires comme U 0 0 e ot leurs puissaces ulles à compter de la troisième ed 3 au plus. E effet : U et U O 3. Les matrices dot les puissaces sot ulles à partir de l ue d etre elles sot dites ilpotetes. Ue applicatio des matrices triagulaires est présetée au II. F. Page 5 sur 6

26 Spécialité mathématiques e termiale S. Documet de travail académie de Versailles. Les matrices diagoales (dot tous les coefficiets o situés sur la diagoale pricipale sot uls) ot des puissaces diagoales, dot les coefficiets sot les puissaces des coefficiets iitiaux. 3. D ue faço géérale, les matrices «creuses», celles dot beaucoup de coefficiets sot uls, sot recherchées, car cette particularité permet de gager du temps de calcul machie. Ce gai de temps est aussi dû à la possibilité de réaliser des produits de matrices «par blocs» Cosidéros les matrices A et B. Les liges horizotales ou A A B B B3 verticales tracées fot apparaître des matrices, pour A : A A A et pour B : B. A3 A B B B Par exemple, A 0 5, B 7. Les produits evisagés ayat tous u ses (il y a compatibilité etre les tailles des matrices à multiplier à chaque étape, o souhaite écrire que : A A AB AB AB AB AB3 AB3 B B B3 AB A A AB AB AB AB AB3 AB3 B B B 3 A3 A 3 A3B A3 B A3B A3B A3B3 A3B 3 Et, costatat que les sommes de produits de matrices sot elles aussi réalisables, que : AB AB Beaucoup de systèmes de calcul umérique travaillet, e itere, sur des listes ordoées ou sur des tableaux. Si ces tableaux cotieet beaucoup de 0, les calculs serot plus faciles et sas doute plus justes, mais pas forcémet mois logs si o a pas pris e compte l abodace de ces 0. Das les situatios de problèmes «à compartimets», par exemple, il est fréquet qu à partir d u état o e puisse passer qu à u état voisi. La matrice de trasitio cotiet beaucoup de 0. Le cas des matrices carrées diagoales e blocs est u de ces cas favorables. Il suffit, pour faire le produit de deux telles matrices de même taille, de les partitioer de telle sorte que les matrices de la diagoale pricipale soiet carrées et que les autres matrices soiet ulles. Par exemple, pour la matrice A ci-cotre, le calcul de A se résume au calcul des carrés de trois matrices carrées d ordre ou A Page 6 sur A

27 Spécialité mathématiques e termiale S. Documet de travail académie de Versailles Mais il y a aturellemet des situatios, très ombreuses, das lesquelles les premières puissaces d ue matrice e laisset pas cojecturer la forme de sa puissace -ième. O peut avoir recours à la diagoalisatio. Ressources : c. Diagoalisatio évetuelle d ue matrice carrée d ordre Nous adoptos la défiitio suivate : o dit qu ue matrice carrée A est diagoalisable s il existe deux matrices 0 carrées P et Q iverses l ue de l autre et des réels et β tels que A Q P. 0 Compte-teu de ce qui a été dit sur les matrices diagoales, o voit que, si la matrice A peut s écrire : A QD P, où D est diagoale et où P et Q sot iverses l ue de l autre, alors, pour tout etier aturel o ul : ce qui facilite cosidérablemet les calculs/ A Q D P, Ue coditio écessaire pour que cette coditio soit réalisée est qu il existe des vecteurs coloes V et W o uls tels que les vecteurs coloes AV et AW soiet proportioels à V et W. d b Δ Δ 0 a b E effet, écrivos A sous la forme : A c a 0. c d Δ Δ Das cette écriture, les coefficiets sot supposés cous, et le détermiat Δ de la matrice P est o ul. d b Δ Δ Cosidéros les vecteurs V et W. Ces vecteurs coloes sot o uls (car Δ est pas ul). Le c a Δ Δ calcul motre que AV V et AW W. La coditio est doc bie réalisée. Toutes les matrices carrées d ordre sot-elles diagoalisables? Si o écrit la matrice A sous la forme : a a A, dire que le produit du vecteur coloe V par A est proportioel à V, c est dire qu il existe u a a a a x x réel λ et u couple de réels o tous les deux uls tels que a a. y y Cette derière coditio s écrit aussi : il existe des réels λ, x et y tels que a xa y 0. ax a y 0 Page 7 sur 6

28 Spécialité mathématiques e termiale S. Documet de travail académie de Versailles Mais, si le détermiat du système d équatios liéaires e x et y écrit ci-dessus est pas ul, il a que le couple ul comme coditio, ce qui e satisfait pas l hypothèse. Notre hypothèse exige doc que ce détermiat soit ul, à a a a a. savoir : 0 L existece des vecteurs coloes V et W exige doc que l équatio du secod degré e λ ci-dessus admette des 0 solutios. Ce est pas toujours le cas. Cosidéros par exemple la matrice J. Pour elle, l équatio 0 caractéristique s écrit 0 Remarque : Das ce qui précède, ous avos découvert ue coditio écessaire pour qu ue matrice carrée d ordre soit diagoalisable. Nous avos esuite doé des raisos expliquat que cette coditio pouvait e pas toujours être réalisée, et efi ous avos doé u exemple explicite de matrice pour laquelle elle est effectivemet pas réalisée. Il est doc pas vrai que toute matrice carrée d ordre soit diagoalisable. Ce qui précède idique qu avec des matrices à coefficiets complexes, les choses iraiet peut-être mieux, mais ous sortirios du cadre. Les réels et β du début du paragraphe précédet s appellet les valeurs propres de la matrice A. La suite du paragraphe prouve qu ue matrice carrée d ordre e possède au plus. Si le produit d u vecteur coloe V par ue matrice doée doe u vecteur coloe proportioel à V, o dit que le vecteur V est u vecteur propre de la matrice. D. Traitemet matriciel des suites de Fiboacci O s itéresse ici à «la» suite de Fiboacci, défiie par : u0, u, et, pour tout etier : u u u. a. Recherche d ue formule «close» pour le terme gééral O peut écrire, avec des otatios à préset mieux maîtrisées : u u u. 0 u La matrice F 0 peut être écrite comme le produit QDP, Spirale de Fiboacci das le métro de Naples où 5 D 0 0, P et 5 5 Q. Comme das le paragraphe précédet, le produit PQ et le produit QP sot égaux et égaux à I. U raisoemet par u u récurrece doe, pour tout : u, 0 u0 Page 8 sur 6

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