Modélisation Physique et Numérique : TD02

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1 Modélisation Physique et Numérique : TD0 Introduction Vos rapports doivent être envoyer, de préférence en format pdf, par à vilotte@ipgp.ussieu.fr ou pfavre@ipgp.ussieu.fr. Les groupes ne doivent pas excéder trois personnes. Si au cours de ce proet vous rencontrez des problèmes, vous pouvez nous contacter par ou passer nous voir. Ce proet est inspiré d un article de Wohletz et al. [J. Geophys. Res., 89, , 1984] que vous êtes engagés à consulter. Modèle hydrodynamique minimal d une éruption volcanique explosive L éruption de Mont St. Helène, en Mai 1980, a été initiée par une phase explosive de type blast caractéristique d un relachement brutal de la pression de confinement de la zone riche en volatiles au toit de la chambre magmatique. Cette phase initiale d écoulement instationnaire, est caractérisée par une émission d ondes acoustiques entre la chambre magmatique et l atmosphère, suivie d une phase de décompression progressive du toit de la chambre, et d un écoulement plus continu de vapeur et de cendres. Initialement, la chambre magmatique, fortement pressurisée, peut être considérée comme isolée de l atmosphère par un couvercle rocheux. Sous l hypothèse d une rupture quasi-instantannée du toit rocheux, la chambre est brutalement mise en contact avec une atmosphère stratifiée. La phase volatile, initialement pressurisée, se détend brusquement et initie l éruption. Cette phase explosive peut alors être assimilée à l écoulement instationnaire produit lors d une expérience de tube de choc. La configuration typique de cette expérience est schématisée sur la figure 1. Une chambre de gaz, fortement préssurisée, est initialement séparée d une chambre de pression plus faible par un diaphragme. Lorsque le diaphragme est brusquement retiré, un écoulement instationnaire très rapide est déclenché et une onde de choc se propage dans la région de faible pression. En arrière du choc, une ligne de contact matérialise la position actuelle de la frontière initiale. Au travers de la ligne de contact, la pression et la vitesse sont continues alors que la densité est discontinue. En arrière de la ligne de contact, une onde de raréfaction, en expansion, est caractérisée par un front se propageant au sein de la zone de forte pression et qui tend à équilibrer dynamiquement les deux chambres. Au travers de l onde de raréfaction, la pression, la densité et la vitesse changent continuement pour se racorder aux conditions de la zone de forte pression. L évolution est entièrement contrôlée par les relations de comportement du gaz dans les deux chambres et par la différence initiale de pression. L échelle de temps de l expérience est celle celle mise par l onde de raréfaction pour se propager au sein de la chambre magmatique et à se réfléchir usqu à la surface.

2 FIG. 1 Schéma de l expérience du tube de choc interprétée comme l analogue d une explosion volcanique dans la direction verticale. Les configurations 1D du tube de choc, avant et après l explosion, sont illustrées. On notera l onde de choc, la ligne de contact et l onde de raréfaction. Les zones de faible et forte pression sont respectivement dénotées 1 et ; la région 3 correspond à la région de l atmosphère comprimée par le choc alors que la région 4 correspond à la région raréfiée de la chambre. (d après Wohletz et al., 1984)

3 Modélisation physique Cet écoulement instationnaire est gouverné, au premier ordre, par les lois de conservation d un fluide parfait compressible, que l on peut écrire sous la forme d un système d équations aux dérivées partielles, c.f. cours : t ρ ρ v + ρκ ρ v ρ v v σ ρ vκ v σ + q = 0 f (1) v f + r où ρ, ρ v, ρκ sont respectivement la densité, la quantité de mouvement et l énergie totale spécifique, κ = e + v, avec e l energie interne spéficifique. En l absence de dissipation visqueuse, le tenseur de contrainte σ est purement sphérique σ = pi et se réduit à la pression thermodynamique p. Pour un fluide parfait, p = (γ 1)ρe, avec γ = C p /C v, le coefficient isentropique. Dans le du tube de choc, on peut considérer l écoulement unidimensionnel vertical. En l absence de termes sources, et pour une évolution isentropique, le système se réduit à : ρ ρu + ρu ρu + p [ ] = 0 () t x p + γ 1 ρu où u = v x, et peut s écrire sous la forme avec ou encore q = ρ ρu p + γ 1 ρu u q t + F(q) x γ p + γ 1 ρu ; F = [ = 0 (3) ρu ρu + p γ p + γ 1 ρu ] (4) u q t + A(q) q x = 0 (5) avec A, la matrice acobienne de dimension 3 3 avec A i = F i / q 1. Expliciter la matrice acobienne A et analyser ses valeurs propres. Donner une interprétation physique de votre résultat.. On notera Λ, la matrice diagonale des valeurs propres, et S = S(q) la matrice des vecteurs propres à gauche SA = ΛS montrer que ce système peut se mettre sous la forme caractéristique suivante : S q t + ΛS q x = 0 Qu en déduisez-vous et comment interprétez-vous Λ?

4 3. Montrer que la vitesse du son de ce système est donnée par c = γp/ρ. En l absence de terme visqueux, et du fait de la non linéarité, ce système développe rapidement des chocs. Initialement les régions de faible et forte pression, dénotées par la suite respectivement 1 et, sont caractérisées par les conditions suivantes : u(x, 0) = u 1, ρ(x, 0) = ρ 1, p(x, 0) = p 1, pour x > x 0 (6a) u(x, 0) = u, ρ(x, 0) = ρ, p(x, 0) = p, pour x x 0 (6b) où x 0 dénote la position du diaphragme. On notera également c 1 et c les vitesses du son des milieux 1 et. L écoulement vertical du gaz peut être déterminé à partir des lois de conservation (3) et des conditions au travers du choc et du front de raréfaction, c.f. cours. Ces conditions sont classiques pour un système unidimensionnel. En reprenant les notations de la figure 1, avec (1) l atmosphère, () la région du magma initialement riche en volatile, (3) la zone compressée de l atmosphère, (4) la zone déplétée du magma, on obtient les conditions suivantes au travers de l onde de choc, au travers de l onde de raréfaction, u 4 c = u 3 c 1 = (1 µ 1)(y 1) [(1 + µ 1 )(y + µ 1 )] 1/ (γ 1) [ 1 ( p4 p ) (γ 1)/γ ] avec y = p 3 /p 1, l intensité du choc et µ = (γ 1)/(γ+1) l inverse de la limite de compressibilité adiabatique. Au travers de la surface de contact, i.e. le front de cendres et de vapeur, la vitesse et la pression sont continues : u 3 = u 4 et p 3 = p 4 et c 1 (1 µ 1 )(y 1) c [(1 + µ 1 )(y + µ 1 )] = 1/ (γ 1) [ 1 ( ) ] (γ 1)/γ p1 y p Cette équation transcendentale relie directement l intensité du choc y = p 3 /p 1 au rapport de pression initiale p /p 1, entre la chambre et l atmosphère, via les propriétés des deux milieux avant éruption. Lorsque l intensité du choc est connue, les conditions de saut au travers du choc, et sa vitesse de propagation, sont données par : (7) u 3 c 1 = (1 µ 1)(y 1) [(1 + µ 1 )(y + µ 1 )] 1/ ; β c 1 = [ ] 1/ (y + µ1 ) ; ρ 3 = (1 + µ 1 ) ρ 1 (µ + y) (1 + µy) ; T 3 T 1 = y(1 + µ) (µ + y) (8) où u 3 est la vitesse de l air comprimé, i.e. la vitesse du matériel en éruption, β la vitesse du choc dans l air, avec M = β/c 1 le nombre de Mach du choc, ρ 3 et T 3 sont respectivement la densité et la température de l air comprimé.

5 Il est intéressant de fixer l ordre de grandeur de quelques paramètres. Wohletz et al. (1984) donnent les paramètres suivant pour une chambre magmatique dont le toit est situé à environ 3 à 4km de profondeur, un mélange magma/vapeur à 800, et une phase volatile séparée de pourcentage massique 8.7% Paramètres Physiques Vapeur Atmosphère T, K c, ms γ p, MPa µ Onde de choc : intensité et vitesse de propagation Connaissant les paramètres thermodynamiques des deux milieux initialement en contact, ainsi que la pression relative initiale p /p 1, on peut résoudre l équation (7) et déterminer ainsi les conditions du choc initial. Le programme SHOCKTUBE résout cette équation par une méthode simple de type Newton. 1. A partir de ce programme étudier, pour les paramètres du tableau, l evolution en fonction du rapport de pression initial de : (1) l intensité du choc, () la vitesse du choc, (3) la vitesse et la température de la zone comprimée. Vous explorerez des pressions initiales comprises entre 5 et 500 MPa.. Commenter et interpréter physiquement vos résultats. Adimensionalistion Avant d aborder le résolution du problème du tube de choc, on étudiera la construction de schémas numériques permettant la résolution de la propagation de l onde de choc. On supposera connue la position initiale de l onde de choc, x 0 [x a, x b ], ainsi que les conditions post choc, i.e. l intensité. On peut alors adimensionnaliser le problème à partir des conditions en aval du choc (domaine 1). En notant c 1, la vitesse du son de l atmosphère en aval du choc, on peut définir : ρ = ρ ρ 1 ū = u c 1, p = p p 1, x = x L, t = c 1 t L (9) où L est l échelle de longueur caractéristique du problème. Les équations d évolution s écrivent alors :

6 t ρ ρū p + γ(γ 1) ρū + x [ ū ρū ρū + p p + γ 1 ρū ] = 0 (10) On considèrera par la suite un domaine spatial normalisé, x a = 0 et x b = 1, ainsi que des conditions aux limites compatibles avec les conditions initiales : ū a = u 3, c 1 ρ a = ρ 3, ρ 1 p a = p 3, p 1 pour x = x a (11a) ū b = 0, ρ b = 1, p b = 1, pour x = x b (11b) où u 3,ρ 3, p 3 sont les conditions d entrée en amont du choc, données par les équations (8), une fois l intensité du choc p 3 /p 1 connue. Les conditions initiales du problème peuvent alors s écrire : ū( x, 0) = ū 3, ρ( x, 0) = ρ 3, p( x, 0) = p 3 pour x < x 0 (1a) ū( x, 0) = 1, ρ( x, 0) = 1, p( x, 0) = 1 pour x > x 0 (1b) Pour la suite, nous supprimerons les et supposerons implicitement les variables adimensionnalisées. Après un temps t, la solution exacte du problème est donnée par : u ex (x, t) = u 3, ρ ex (x, t) = ρ 3, p ex (x, t) = p 3, pour x a x < x 0 + βt (13a) u ex (x, t) = u 1, ρ ex (x, t) = ρ 1, p ex (x, t) = p 1, pour x 0 + βt < x x b (13b) Le système d équations (10) s écrit donc sous la forme : avec q = ρ ρu p/γ(γ 1) + ρ u Schémas explicites en temps q t + F x = 0 (14) ρu ρu + p/γ ; F = [ p/(γ 1) + ρ u] u (15) On se propose pour résoudre numériquement la propagation du choc de construire un schéma de Lax-Wendroff. Pour cela, on considère le développement en temps suivant : où q n = q(t n ) avec t n = n t. 1. Montrer tout d abord la relation avec A F/ q. q n+1 = q n + t q t n+ t q t + O( t3 ) (16) q t n= ( A F ) n x x

7 . Montrer et ustifier que l on peut construire le schéma numérique, dit de Lax-Wendroff, suivant : q n+1 = q n t ( F n x +1 F 1) n + t ( ) ( ) [A ] (17) n x + F n 1 +1 F n A n F n 1 F n 1 où A n = A(q n ) avec q n = (qn + qn +1 ). En reprenant, les valeurs propres, {λ k, k = 1,, 3}, de A, montrer la condition suffisante de stabilité max λ k t k x 1 et expliciter le critère de stabilité en fonction de la vitesse locale u et de la vitesse du son c du milieu. L évaluation du Jacobien A aux pas de grille 1/ et + 1/, ne rend pas ce schéma très économique. On a avantage à le reformuler sous la forme d un schéma prédicteur-correcteur : q + 1 q n+1 = 1 (qn + q n +1) t x (Fn +1 F n ) (18a) = q n t x (F F ) (18b) avec F = F(q ). Ce schéma introduit une solution intermédiaire q +1/, formellement au pas de temps t n+1/, qui permet de construire directement F +1/. 1. Dans le cas linéaire, montrer que ce schéma est équivalent au schéma de Lax-Wendroff.. Estimer l ordre de ce schéma. 3. Justifier l intérêt pratique de cette formulation de type prédicteur-correcteur. Un autre schéma explicite simple pour les écoulements parfaits supersoniques, est le schéma predicteur-correcteur de MacCormak. Ce schéma peut se construire de la manière suivante q n+1 q = qn t x (Fn +1 Fn ) = 1 (qn + q ) t x [F F 1 ] 1. Analyser ce schéma et estimer l ordre du schéma.. Dans le cas linéaire, montrer que ce schéma se réduit à celui de Lax-Wendroff. (19a) (19b) Ces deux schémas sont implémentés dans le programme CHOC. On considérera le le domaine spatial Ω = [x a, x b ], x a = 0 et x b = 1, uniformément discrétisé avec un pas x = 0.01, soit n = 101 points. Le choc est situé initialement en x = Afin de comparer les schémas de MacCormak et de Lax-Wendroff, on utilisera un pas de temps δt = et 300 itérations en temps. 1. Pour γ = 1.4, étudier les cas d un choc modéré, p3/p1 =.5, et d un choc plus fort, p3/p1 = 5..

8 . Comparer vos résultats avec la solution exacte du problème, calculée également par le programme CHOC, et analyser vos résultats. 3. Faire varier le pas de temps afin d explorer la condition de stabilité des deux schémas et discuter vos résultats. Corrections dissipatives Afin d amortir les oscillations observées, on peut introduire une viscosité artificielle. Cette dissipation visqueuse doit être efficace quelque soit l intensité du choc. Une formulation quadratique possible est la suivante q t + F x [ ν x α(q) q ] = 0 (0) x x avec α(q) = q/ x, et ν une constante de viscosité. Dans la pratique cette viscosité artificielle est introduite à la fin de chaque itération. En notant maintenant q la solution obtenue à la fin de l étape de correction des schémas de McCormak et de Lax-Wendroff, l introduction d une viscosité artificielle implique une phase de correction supplémentaire : avec q n+1 = q + ν t [ α i+1/ (q) (q i+1 q i ) α i 1/ (q) (q i q i 1 ) ] (1) α i+1/ (q) = q i+1 q i x Malheureusement, l utilisation d une viscosité artificielle impose une restriction de la condition de stabilité. On peut en effet montrer, en gelant le terme q/ x dans (0), qu une condition suffisante de stabilité est maintenant ( ū +β) t x 1 + ν ν ν doit donc être aussi petit que possible afin de préserver la stabilité et la précision du schéma. 1. Reprendre l analyse précédente avec le programme CHOC en activant l option de viscosité. Dans le cas d un choc faible, on pourra faire varier 0 < ν 1. Dans le cas d un choc fort, explorer l influence de ν en faisant attention aux conditions de stabilité.. Commenter vos résultats et comparer l effet de la viscosité artificielle pour un choc fort et un choc faible. 3. Faites varier le pas en temps et explorer l effet de ν sur la stabilité et la précision des schémas. 4. Une forme alternative pour le terme visqueux consiste à remplacer dans (0), le coefficient α(q) par α(q) = u/ x. Modifier le programme CHOC pour implémenter cette nouvelle correction visqueuse et comparer avec les résultats précédents. Dans le cas de chocs forts, typique des conditions géophysiques, les schémas de type Lax- Wendroff introduisent des erreurs de dispersion qui se traduisent par des oscillations au niveau

9 du front. Ces oscillations peuvent ne pas conserver la positivité de certaines grandeurs physiques. Si lintroduction d une viscosité artificielle réduit l amplitude de ces oscillations, elle induit également une diffusion qui tend à lisser le front. Des méthodes plus sophistiquées sont auourd hui utilisées pour capturer le choc et limiter la diffusion. On considérera ici une méthode rustique simple proposée par Boris et Book. Cette méthode consiste à introduire une première étape de diffusion corrigée dans un deuxième temps par une étape d antidiffusion afin de restorer le front de l onde de choc. Dans cette méthode dite FCT, l antidiffusion doit être limitée afin d éviter l apparition de nouveaux extrêma dans la solution. De manière à faciliter l explication de cette méthode, on considèrera le schéma de McCormak. 1. Prédicteur calcul du flux diffusif propagation de la solution. Correcteur propagation f d +1/ (q) = ν +1/(q n +1 qn ) q = qn t x (F +1(q n ) F (q n )) q = 1 ( q n + q) t x [F (q n ) F 1 (q n )] diffusion calcul du flux antidiffusif q = q + f d +1/ fd 1/ f ad +1/ (q) = µ +1/(q +1 q ) antidiffusion q n+1 = q ( ) f+1/ ad f 1/ ad Afin de limiter le flux antidiffusif, on le corrige de la manière suivante

10 1. incrément diffusif d +1/ = q +1 q. Limitation du flux antidiffusif calcul de la direction du flux antidiffusif S = fad +1/ f ad +1/ correction du flux antidiffusif f+1/ cad = S max[ 0, min ( S d 1/, fad +1/, )] S d +3/ remplacer f ad par f cad dans la phase de correction antidiffusive. On peut alors optimiser les coefficients de diffusion et d antidiffusion de la manière suivante : ( ) ( ) t t ν i+1/ = η 0 + η 1 u +1/ ; µ +1/ = η 0 + η u +1/ () x x 1. Donner une interprétation physique qualitative de cet algorithme.. La méthode est implémentée dans le code CHOC. Comparer les résultats obtenus par cette méthode avec ceux de la méthode de viscosité artificielle. Faire la comparaison pour un choc fort et un choc modéré. Dans un deuxième temps, vous chercherez avec le programme CHOC les solutions pour un choc modéré (p 3 /p 1 =.5), et fort (p 3 /p 1 = 5.00) en utilisant le schéma FCT avec les paramètres suivant η 0 = 0.15 ; η 1 = 0 ; η = 0 η 0 = ; η 1 = 0 ; η = 0 η 0 = 1/3 ; η 1 = 1/3 ; η = 1/6 η 0 = 1/6 ; η 1 = 1/3 ; η = 1/3 Comparer les profils de choc obtenus, qu en déduisez vous? Etudier numériquement la stabilité du schéma FCT. Solution du tube de choc Ces algorithmes mis au point, on reprend l analyse de la phase explosive via l analogie avec la solution du tube de choc. Pour ce faire, on considère à nouveau le problème adimensionnalisé (9)-(10). Si le problème est touours adimensionnalisé par rapport à la région en aval du choc,

11 i.e. l atmosphère, les conditions initiales du problème ne sont plus données par les conditions post-choc (13a) mais par les conditions initiales (c.f. figure 1) : ū( x, 0) = 0, ρ( x, 0) = ρ, p( x, 0) = p pour x < x 0 (3a) ρ 1 p 1 ū( x, 0) = 0, ρ( x, 0) = 1, p( x, 0) = 1 pour x > x 0 (3b) où p /p 1 est le rapport initial de pression des deux chambres séparées par un diaphragme en position x 0 à l instant t 0. L intensité du choc, la surface de contact et l onde de raréfaction sont donc à retrouver par le calcul en utilisant le code CHOC. 1. Étudier tout d abord le problème pour les paramètres initiaux suivants : ρ = 8.0, rapport initiale de pression p /p 1 = On utilisera un pas de temps t = 0.001, et un nombre total de pas en temps de 00. On choisira un schéma de Lax-Wendroff avec une viscosité artificielle ν = 0.1. Visualiser la solution et commenter vos résultats par rapport à la figure 1.. Faites varier le pas de temps et la viscosité artificielle : commenter votre analyse. 3. Reprendre l analyse avec maintenant un schéma de Lax-Wendroff et un algorithme FCT. Comparer ces résultats avec ceux obtenus par la méthode de viscosité artificielle. Commenter physiquement vos résultats. 4. Reprendre votre simulation, pour les paramètres géophysiques donnés dans le tableau. Faites varier le rapport de pression initiale, entre 10 et 100 MPa. Commenter vos résultats et suggérer des améliorations algorithmiques. 5. Visualiser ces résultats dans un diagramme temps-espace et analyser les ondes observées en se référant à la figure 1. L onde de choc et sa vitesse de propagation sont-elles correctement prédites?