COURS VECTEURS LES VECTEURS. Date En Classe Date A préparer ou à rendre 26 janvier 2007 Distribution Polycopié et 30 janvier 2007 I

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1 Objectifs du cours : I : translation : savoir la définir savoir effectuer la translation d une figure II : égalité de vecteurs : III : IV : VI : VII : VIII : IX : Planning : LES VETEURS Date En lasse Date préparer ou à rendre 26 janvier 2007 Distribution Polycopié et 30 janvier 2007 I explications 30 janvier 2007 I La translation 31 janvier 2007 II 31 janvier 2007 II et III 02 février 2007 IV 02 février 2007 IV et V 06 février 2007 Finir V VI - VII 06 février 2007 orrection V, VI et VII 7 février 2007 Rendre DM 1 7 février 2007 VIII et IX 9 février 2007 Réviser pour test 30 minutes 9 février 2007 Problèmes + Test 13 février 2007 Problèmes à avancer 13 février 2007 Problèmes 14 février 2007 Problèmes à avancer 14 février 2007 Problèmes 16 février 2007 Réviser pour test 30 minutes 16 février 2007 Problèmes + Test 06 mars 2007 Problèmes 06 mars 2007 Problèmes 07 mars 2007 Rendre DM 2 07 mars 2007 Sujet Type 09 mars 2007 Réviser contrôle 09 mars 2007 ontrôle Gaëlle DJIZ Page 1 sur 21

2 Historique : Vecteur et Vecteur! Le mot «vecteur» vient du verbe latin vehere, «conduire» ou «transporter». u 18 siècle, il signifiait «conducteur de véhicule». e sens est repris en médecine, puisque ce mot désigne un insecte (mouche, moustique, ) transmettant un agent infectieux d un sujet à un autre. Dans le langage technologique et, plus particulièrement, militaire, le mot vecteur désigne un véhicule capable de transporter une charge nucléaire (bombardier, sous-marin, ). Les physiciens représentent les flux et les forces par des flèches, et associent des «vecteurs» à ces représentations pratiques. S ils devaient représenter les forces mis en jeu dans une situation telle que celle imaginée ci-dessous de façon humoristique, ils «dessineraient» des vecteurs. est un grand géomètre grec, rchimède ( avant J), inventeur du levier, que l on attribue cette célèbre phrase : «Donnez-moi un point d appui et je soulèverais le monde» e n est qu au 19 siècle que le mot «vecteur» a été utilisé par l nglais Hamilton pour désigner un être mathématique assez complexe, mais d une utilisation simple tout au moins au collège. I. La translation Déplaçons la flotte 1, 2 et 3 de la manière définie ci-dessous : direction = verticale sens = bas longueur = 3cm 3cm 1 3cm 2 3 Le déplacement qui envoie 1, 2 et 3 sur 1, 2 et 3 est appelé la translation de vecteur Un vecteur est défini par : - une direction (ici : la verticale) - un sens (ici : le bas) - une longueur (ici : 3cm) 1 2 3cm 3 3cm Gaëlle DJIZ Page 2 sur 21

3 Pour le vecteur, est le l origine et est l extrémité. On dit que les points 1, 2 et 3 sont les images respectives des points 1, 2 et 3 par la translation de vecteur. Une translation est un déplacement définit par un vecteur. Origine : Le mot vecteur a été introduit en 1925 et la notation en l origine des vecteurs, un italien, Giusto ellavitis ( ) qui les désignait comme segments équipollents. Exercices d application : Déplacer par translation de vecteur chacune des figures suivantes : Gaëlle DJIZ Page 3 sur 21

4 ctivité : onhomme et dromadaires Utilisation des vecteurs et des translations : Notion de translation définie à partir d un vecteur. 1) Sur le quadrillage, déplacer le bonhomme heureux selon les translations de vecteurs : F, E puis. Et le bonhomme triste selon les translations de vecteurs ST et UV. KL, 2) Sur le quadrillage, déplacer le dromadaire heureux selon les translations de vecteurs : IJ, puis D. Et le dromadaire triste selon les translations de vecteurs : QR, MN, MP puis MO. K L N M I J G H GH,, F O P D R Q F E T S V U Gaëlle DJIZ Page 4 sur 21

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6 II. Egalité de vecteurs D D Dire que : = D revient à dire que : D est l image de par la translation de vecteur. Deux vecteurs égaux ont même direction, même sens et même longueur. Dans l exemple ci-dessus, on peut poser : u = = D. On dit que et D sont des représentants du vecteur u. onséquences : Propriété du parallélogramme: Si = D, alors D est un parallélogramme. (éventuellement aplati) D D Propriété réciproque: Si D est un parallélogramme, alors = D et = D. D Propriété du milieu: = revient à dire que est le milieu de []. Méthode: partir du parallélogramme D, construire les points E, F, G et H tels que : DE = F = D H G = H = G D F E Gaëlle DJIZ Page 6 sur 21

7 Exemples à compléter : Tracer un rectangle D, construire les points E, F, G et H tels que : DE = 2 F = 3D G = 1,5 H = 0,5 Tracer un carré EFGH de côté 6 cm, construire les points E, F, G et H tels que : DE = 0,5 F = 2 D G = 3 H = 0,25 Gaëlle DJIZ Page 7 sur 21

8 Gaëlle DJIZ Page 8 sur 21

9 Gaëlle DJIZ Page 9 sur 21

10 III. Somme de vecteurs t 1 est la translation de vecteur. t 2 est la translation de vecteur. t est la translation de vecteur. ppliquer la translation t 1 puis la translation t 2 revient-il à appliquer la translation t? Oui! M 1 t 1 t 2 M M 1 M 2 revient à : t M M 2 M M 2 La composée de deux translations est une translation. IV. alcul vectoriel 1) Une relation vectorielle fondamentale La relation de hasles : = + Michel hasles (Fr, ) : La relation n est pas de lui, mais nommée ainsi en hommage à ses travaux sur les vecteurs. Homme naïf, il fut ruiné en achetant de fausses lettres (Jeanne d arc à sa mère, Vercingétorix à ésar, )! Méthode: Simplifier les écritures : a) M + MN b) MP + M c) OP + KO + NK a) = M + MN b) MP + M c) OP + KO + NK N..... Exercices à compléter : Simplifier les écritures : a) M+ MN b) MP + M c) P + K + NK Gaëlle DJIZ Page 10 sur 21

11 2) Vecteur nul et vecteur opposé + = (Relation de hasles) Le vecteur est appelé vecteur nul, il est noté O + = (Relation de hasles) + = O donc = O - donc = - On dit que et sont opposés. = O et = - Méthode: Simplifier les écritures : a) MN + NM b) MO + PM + OP c) KN ON + OK d) FP - GP a) = = MN + NM b) MO + PM + OP c) KN ON + OK d) FP - GP MM =. =. =... 0 = =.. =. =. =. = 3) onstructions de points définis à partir d une somme de vecteurs Méthode: Soit un triangle. onstruire le point F tel que F = + F On construit à partir de (origine de F) le vecteur + en mettant «bout à bout» les vecteurs et. On a ainsi construit le vecteur F et donc le point F. Exercice à compléter : Soit un triangle, onstruire le point F tel que : F = F Gaëlle DJIZ Page 11 sur 21

12 4) utre propriété caractéristique du parallélogramme D D est un parallélogramme revient à dire que + = D. + V. omposée de deux symétries centrales s 1 est la symétrie de centre I s 2 est la symétrie de centre J 1 I 2 IJ ppliquer la symétrie s 1 puis la symétrie s 2 revient-il à appliquer une autre transformation? Oui! J s 1 s I et J sont les milieux respectifs de [ 1 ] et [ 1 2 ]. D après le théorème des milieux : 2 = 2 IJ et ( 2 ) // (IJ), donc 2 est l image de par la translation t de vecteur 2 IJ. 2 s 1 s revient à : t 2 ppliquer la symétrie de centre suivi de la symétrie de centre revient à appliquer la translation de vecteur 2. DM 1 : P 210 N de votre livre Gaëlle DJIZ Page 12 sur 21

13 ctivité : ourse d orientation Il s agit de rejoindre l arrivée par constructions successives de points définis par une expression vectorielle qu il faudra parfois écrire plus simplement en utilisant les règles de calcul vectoriel. Vous êtes en. Pour rejoindre l arrivée, suivez le programme de construction : 1) onstruire le point tel que = PE. 2) onstruire le point image du point par la translation de vecteur PL. 3) onstruire le point D tel que D = PK + PS. 4) onstruire le point F tel que DF = PS + PM. 5) onstruire le point G tel que FG = PG + GE. 6) onstruire le point I tel que GI = PN - KP. 7) onstruire le point J tel que IJ = PI + PE + IH. 8) onstruire le point Q image du point J par la translation de vecteur PS. 9) onstruire le point R tel que QR = PL + PO + PS. 10) onstruire le point T image du point R par la translation de vecteur PO suivie de la translation de vecteur PM. 11) onstruire le point U tel que TU = PH + PN. 12) onstruire le point V tel que UV = 2PH. 13) onstruire le point W tel que VW = PV + PW + VS + WL. 14) onstruire le point X tel que WX = XM - XP. 15) onstruire le point Y tel que YX = 2LP. 16) onstruire le point Z tel que YZ = PE + PK + PE. 17) onstruire le point tel que Z = NP + LP. 18) onstruire le point tel que = PM + PO + PL. 19) onstruire le point tel que = PO + PM. 20) onstruire le point D tel que D = PH + PO + PS. 21) onstruire le point E image de D par la translation de vecteur 3PE. 22) onstruire le point F tel que E F = PK - LP. L arrivée se trouve en F. Gaëlle DJIZ Page 13 sur 21

14 N H K O P E OURSE D ORIENTTION M L S Gaëlle DJIZ Page 14 sur 21

15 Historique d un repère Pour situer une rue sur le plan d une ville, pour utiliser un tableur sur un ordinateur et dans de nombreuses circonstances de la vie quotidienne ou professionnelle, nous utilisons par habitude, un système de repérage dont la création date du 17 si ècle. La légende rapporte que le mathématicien et philosophe français René Descartes ( ) a eu cette idée en observant un insecte se déplacer sur les petits carreaux de sa fenêtre. insi, naquirent «les coordonnées cartésiennes» et les «repères cartésiens». Mais il ne faudrait pas en rester à cette anecdote. Descartes créa la géométrie analytique : méthode qui permet de transformer les problèmes de géométrie en équations. insi, inventa-t-il les notations x² pour le carré et x³ pour le cube. VI. Les repères du plan Il existe trois types de repère (O, I, J) 1 I 1 I 1 I J J J O 1 O 1 O 1 Repère orthonormé Repère orthogonal Repère quelconque Expliquer les différences! Gaëlle DJIZ Page 15 sur 21

16 VII. oordonnées d un vecteur 1) Lecture graphique des coordonnées d un vecteur D F E +3 Pour aller de vers, on effectue une translation de 3 carreaux vers la droite (+3) et une translation de 2 carreaux vers le haut (+2). Les coordonnées de sont (3 ; 2). De même, D = (-1 ; 5) et EF = (3 ; 2) 2) alcul des coordonnées d un vecteur Reprenons les vecteurs représentés ci-dessus : = (5 2 ; 3 1) = (3 ; 2) D = (-2 (-1) ; 3 (-2)) = (-1 ; 5) EF = (4 1 ; -2 (-4)) = (3 ; 2) 0 J Si (x ; y ) et (x ; y ) alors = (x - x ; y - y ) ien que et EF aient des représentants différents dans le repère, ils ont les même coordonnées. En effet, et EF sont des vecteurs égaux. Propriété : Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées. 3) Déterminer les coordonnées d un point par la donnée d une égalité de vecteurs Méthode: (2 ; 3) et (5 ; 6) alculer les coordonnées du point tel que =. Soit (x ; y) les coordonnées de. = (x - 2 ; y - 3) = (3 ; 3) = donc x 2 = 3 y 3 = 3 soit x = 5 y = 6 donc (5 ; 6) Gaëlle DJIZ Page 16 sur 21

17 Exemples à compléter : (-2 ; 3) et (3 ; -4) alculer les coordonnées du point tel que =. (5 ; -5) et (2 ; -9) alculer les coordonnées du point tel que =. (4 ; 7) et (-1 ; -4) alculer les coordonnées du point tel que =. VIII. oordonnées d un milieu y y M M y 0 x x M x M est le milieu de [] donc M = M avec M = (x M - x ; y M - y ) M = (x - x M ; y - y M ) soit : x M - x = x - x M y M - y = y - y M soit encore : 2x M = x + x 2y M = y + y soit enfin x M = (x + x ) : 2 y M = (y + y ) : 2 Si (x ; y ) et (x ; y ) alors les coordonnées du milieu M de [] sont : x + x ( y + y ; ) 2 2 Gaëlle DJIZ Page 17 sur 21

18 Exemple : 0 alculer les coordonnées de M, N et P milieux respectifs de [], [] et []. 2 + ( 2) ( 1) M ( ; ) = (0 ; 2) N ( ; ) = (2,5 ; 1) ( 1) P ( ; ) = (0,5 ; 0) 2 2 compléter : alculer les milieux de [MN], [MP]et [NP]. IX. Distance entre deux points y Pour déterminer la longueur, on construit un triangle H dont [] est l hypoténuse et dont les côtés de l angle droit sont parallèles x 0 x aux axes du repère. y H Théorème de Pythagore : 2 = H 2 + H 2 2 = (x - x ) 2 + (y - y ) 2 Soit = (x - x ) 2 + (y - y ) 2 Propriété : Si (x ; y ) et (x ; y ) alors = (x - x ) 2 + (y - y ) 2 La formule n est pas à connaître mais il faut savoir appliquer la méthode. Gaëlle DJIZ Page 18 sur 21

19 Exemple : H Théorème de Pythagore : 2 = H 2 + H 2 2 = Soit = 85 Exercice à compléter : H et sont deux points du plan muni d'un repère orthonormé dont les coordonnées sont respectivement (2,3) et (6,4). Quelle est la longueur du segment [H] au dixième près? Exercice à compléter : et D sont les deux points du plan représentés dans le repère ci-dessous: Quelle est la longueur du segment [D] au centième près? DM 2 : P 226 N et P 229 N 52 de votre livre Gaëlle DJIZ Page 19 sur 21

20 IX. Problèmes Gaëlle DJIZ Page 20 sur 21

21 X. Exercices de contrôle Gaëlle DJIZ Page 21 sur 21

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