Transformations géométriques

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1 Transformations géométriques (T G ) Solution roosée (a) Translater ar un vecteur revient à ajouter l a xe de ce vecteur, donc la transformation donnée s écrit Id + i (b) Une rotation est une similitude directe de raort, donc le cours s alique : en notant z 0 l image ar la transformation considérée d un comlexe z, on aura z 0 e i z + e i iz + ( i) (c) Même chose : z 0 e i 6 z + e i 6 +i z + i (d) Une homothétie est une similitude d angle nul, donc le cours s alique : z 0 z + ( + i) z + ( + i) (e) Même chose : z 0 z + ( ) ( i) z + i (f) Le dictionnaire du cours donne directement z 0 8e i z (g) (h) (i) Le cours donne z 0 e i z + e i ( i) + i z + (i ) Le cours nous dit qu une ré exion d axe est de la forme Id + où est un comlexe de module (une ré exion est une isométrie, elle multilie les distances ar ) et d argument le double de l angle fait entre R et (et est un comlexe à déterminer) Ici, ce dernier angle vaut d où e i( ) e i i L origine étant ar ailleurs xe ar la ré exion considérée (elle aartient à son axe), on eut écrire 0 + 0, d où l on tire 0 Finalement, on obtient l exression suivante : z 0 iz Autre solution On calcule l image de deux oints a n d obtenir deux équations en et On a déjà dit que l orgine était xe, d où 0 Par ailleurs, le oint i est également xe (il est sur l axe), d où i i et i e i e i i e i i Même chose : la ré exion étudiée s écrit Id + avec de module et d argument le double de l arc-tangente de la ente de l axe de la ré exion donnée, à savoir atn En remarquant our tout réel t l identité + it + t e i atn t (faire un dessin ), on en déduit e i atn e i atn + i i Par ailleurs, le oint i est sur l axe de la ré exion de l énoncé (uisque ses coordonnées véri ent l équation donnée), donc est xe ar cette dernière, ce qui s écrit i i +, d où i ( + ) 6 i i Finalement, la ré exion considérée s écrit sous forme comlexe Id + 6 i Autre solution Le oint est xe car il est sur l axe de la ré exion (il en véri e l équation donnée), ce qui s écrit une seconde équation i i + On obtient ainsi un système + De même our le oint i (déjà dit), ce qui donne, qui se réécrit i + i ou calculer directement e i atn t cos atn t + i sin atn t + i t (cf TD our le calcule de f a où f est l une des +t +t trois fonctions trigo sin, cos, tan et où a est l une des trois réciroques asn, acs, atn),

2 i i solution i 6i i i 6i Son déterminant vaut i + 6i 6i + i ( + i) i + i 9i + 9i 6i 6i 6i ( + i) i + et 6 (i ) 6i, d où une unique (j) Notre ré exion glissée est de la forme Id + où est de module et d argument le double de l angle entre R et l axe ir +, d où e i Par ailleurs, le oint (qui est sur l axe de la ré exion étudiée) est envoyé sur + ( ), ce qui s écrit +, d où On obtient nalement l écriture comlexe Id Autre solution L image du oint i + (qui est sur l axe de la ré exion) est i + + ( ), d où uneéquation i i + + On obtient avec l autre équation trouvée récédemment un i i système dont le déterminant vaut i i Il y a donc une unique solution i i i (i) et i i i i ( i) (k) Notre ré exion glissée est de la forme Id + où est de module et d argument le double de l arc-tangente de la ente de l axe, d où e i atn( ) e i atn( ) i + i Par ailleurs, le oint (qui est sur l axe de la ré exion étudiée uisqu il en satisfait l équation donnée) 9 i i est envoyé sur + ( + i) i, ce qui s écrit + i, d où i On obtient nalement l écriture comlexe z 0 i z + i Autre solution L image du oint i +(i ), d où une équation i i + On obtient avec l autre équation trouvée récédemment un système i 8 i dont le déterminant vaut i i i + 6 Il y a donc une unique solution 8 i i 6 i i + 6 i + 6 i ( i) + i + i et i 8 i i 0 + 8i i ) ( i) (i i + 6 i i + i (l) L angle entre R et l axe R i étant nul, le cours donne (m) (qui est sur l axe de la ré exion) est i z 0 e i0 z + ( i) e i0 i z ( + i) Comme à la question (k), l angle entre l horizontale et l axe de la similitude donnée vaut l arctangente de la ente de cet axe, à savoir atn Vu le calcul de e i atn( ) e i atn( ) i 8 6i + 0 i, on en déduit que la similitude étudiée s écrit i Id + our un à déterminer Or le centre i est xe, ce qui s écrit i + i, d où i ( i) (i + ) i + i + + i + 9i

3 Finalement, la similitude étudiée s écrit i +9i Id + Autre solution Le oint est sur l axe de la similitude de l énoncé (car ses coordonnées véri ent l équation de l axe donnée), donc cette dernière agit sur comme l homothétie de centre i et de raort On en déduit une autre manière de calculer l image + de, d où l équation + + ( ) (i ) i Il en résulte (avec l équation donnée ar le centre i xé) i i un système dont le déterminant vaut i i i Il y a donc une unique solution i i + i i i) 6i ( i i + i 8 i et + i i i 0i 6 + i + i) ( i) + 9i (6 i i + i + On abrégera chacune des transformations ci-dessus ar la lettre de la question corresondante On xe un comlexe z On s intéressera ici seulement aux comosées,,, et a b et b a On a [a b] (z) a (b (z)) (iz + i) + i iz + i On reconnaît une transformation de la forme Id + avec jj, c est donc une isométrie ositive, i e un délacement, à savoir ou bien une translation (exclu car 6 ) ou bien une rotation d angle arg arg i En notant! son centre, ce dernier est xe, d où l équation! i! + i et! i i +i (Sanity check : le cours nous dit que la comosée d une translation ar une rotation non triviale est une rotation de même angle) On a [b a] (z)) b (a (z)) b (z + i) i (z + i) + i iz + + i On reconnaît encore une rotation d angle mais dont le centre! véri e cette fois l équation! i! + + i, i e! +i (La comosée a b di ère donc de la comosée b a) i +i Sanity check La comosée ab se réécrit abaa, donc est la conjuguée de la rotation b a ar a ; l angle est donc inchangé et le centre de a b est l image de celui de b a ar ce qui conjugue (ici a), à savoir +i + i +i a h et h a On a [a h] (z) a (h (z)) a ( iz) iz + i On reconnaît une transformation de la forme Id + avec jj, c est donc une isométrie négative, i e un anti-délacement, à savoir une ab ba ah ha hk kh dg gd kl lk ré exion glissée dont l axe fait avec R un angle arg( i) arg En renant deux oints tests, 0! i ar exemle! i, on voit sur un dessin que l axe de la ré exion a our équation x + y et que le vecteur vaut ( i) (Sanity check : la comosée d une ré exion ar une translation est toujours une ré exion glissée même si le vecteur de la translatin n est as dans la direction de l axe de la ré exion) On a [h a] (z) h (a (z)) h (z + i) i(z + i) iz + i Comme avant, on reconnaît un antidélacement, i e une ré exion glissée d axe faisant un angle avec R Les oints 0! i tests montrent avec un schéma que l axe a our équation x + y +! i 0 et que le vecteur vaut encore ( i) h k et k h On a h (k (z)) h i z + i i i z + i i i z + On reconnaît une transformation de la forme Id + avec jj 6, il s agit donc d une rotation d angle arg i atn Le centre! xé vaut i i i ( + i) + i (Sanity check : la comosée de deux ré exions glissées est la comosée de deux ré exions ar deux translations, a fortiori la comosée d une rotation/translation ar deux translation, soit encore une rotation/translation)

4 On a k (h (z)) k ( iz) i iz + i +i z + i, on reconnaît encore une rotation mais cette fois d angle atn i et de centre i +i i ( + i) Sanity check La comosée k h h h k h est la conjuguée de la rotation h k ar la ré exion h h, donc est une rotation de même angle et dont le centre est l image de celui de h k ar ce qui conjugue (ici h), à savoir h ( ( + i)) ( + i) d g et g d On a [d g] (z)) d (g (z)) d + i z + (i ) +i z + i reconnaît une transformation de la forme Id + avec jj +, d angle arg arg jj arg +i arg e i 6 6 directe de raort l équation des oints xes, laquelle donne! + + i i + + i i + + i + i i + ( + i) On, c est donc une similitude Son centre! est donné ar (Sanity check : le raort trouvé est le roduit des raorts de l homothétie d et de la similitude g, l angle trouvé est la somme de ceux de d et de g) On a g (d (z)) g z + ( + i) + i z + ( + i) + (i ) On reconnaît encore une similitude directe de raort et d angle 6 Le centre! est toutefois di érent car le terme constant l est :! i + i ( + i) + (i ) i + i + + i i Sanity check La comosée g d d d g d est la conjugée de la similitude d g ar l homothétie d hom +i, donc est une similitude de même raort et angle et de centre l image de celui de d g ar ce qui conjugue (ici d ), à savoir! i + ( ) ( + i) + 8 i k l et l k z ( + i) On a k (l (z)) k (z ( + i)) i i (z ( + i)) + i z + +9i, on reconnaît une similitude de raort i et d angle arg i atn Son centre! est comme d habitude donné ar l équation des oints xes! +9i 6 i i i On a l (k (z)) l z + i i z + i ( + i) +i z +8i, on reconnaît encore une similitude de raort +i mais cette fois d angle arg +i atn Son centre vaut i +8i +i (a) Comosée de deux ré exions d axes et 0 ( Soient 0 et les angles faits ar et 0 avec R Le cours donne une écriture comlexe ref e i Id + ref 0 e i0 Id + 0 our certains comlexes et 0, d où la comosée ref 0 ref h e i0 Id + 0i e i Id + e i0 e i Id e i(0 ) Id e i0

5 Si 6 [], on obtient une rotation d angle 0 y 0 L intersection des axes est xe ar chacune des deux ré exions, donc ar leur comosée, d où le centre de la rotation cherchée Si 0 [], i e si les axes et 0 sont arallèles, on obtient une translation de vecteur 0 +e i0 Sanity check : le cours ermet de réciser e i! our tout réel! sur l axe, ce qui montre dans le cas 0 que les vecteurs des deux comosées sont oosés : 0 + e i0 + + e i e i + 0 e i (! +! 0 ) + e i ( e i ) (! +! 0 ) e i (! +! 0 ) + e i (! +! 0 ) 0 (b) Comosée de deux rotations Soient et 0 les angles des rotations considérées Le cours donne des écritures comlexes rot e i Id + rot 0 Id + 0 our certains comlexes et 0, d où la comosée 0 ei0 h rot 0 0 rot e i0 Id + 0i e i Id + e i0 e i Id e i(+0 ) Id +Cste On reconnaît une rotation d angle + 0 dans le cas où ce dernier est non nul modulo ; dans le cas contraire, on obtient une translation Id +Cste (c) Comosée d une rotation ar une translation Soit l angle de la rotation et u le vecteur de la translation considérées Le cours donne des rot écritures comlexes e i Id + our un certain comlexe, d où les comosées t u Id +u t u rot e i Id + ( + u) et rot t u e i Id + e i u + On reconnaît une rotation de même angle (sauf si 0 [], ce qui équivaut à rot Id et à 0 : on retrouve alors la translation Id +u) (d) Comosée de deux homothéties Soient et 0 les raorts des homothéties considérées Le cours donne des écritures comlexes hom Id + 0 hom 0 0 Id + 0 our certains comlexes et 0, d où la comosée 0 hom 0 hom 0 Id + 0 [ Id +] 0 Id Si 0, on reconnaît une translation, sinon on reconnaît une homothétie de raort 0 Bien lus concis que la démonstration géométrique, n est-ce as? (e) Comosée d une homothétie ar une translation Soit le raort de l homothétie et u le vecteur de la translation considérées Le cours donne hom des écritures comlexes Id + our un certain comlexe, d où les comosées t u Id +u (f) t u hom Id + ( + u) et hom t u Id + (u + ) On reconnaît une homothétie de même raort (sauf si, ce qui équivaut à hom Id et à 0 : on retrouve alors la translation Id +u) Pour toutes les autres comosées, nous laissons le lecteur s insirer des exemles récédents (ainsi que du remier exercice our la lecture géométrique de la comosée écrite en comlexe) A n d utiliser le critère du cours, on va exrimer le centre de gravité d un triangle comme l image ar une similitude Soit P QR un triangle équilatéral direct dont on note G le centre de gravité et P 0 le milieu de QR On a donc G P + Q + R P + Q+R P + M, d où la longueur P G kp Gk P P + M P M P M P Q cos 6 P Q cela suose que l axe rencontre R, on suosera donc 6 0 dans ce sanity check

6 Ainsi, le centre de gravité G s obtient en aliquant sur Q une similitude de centre P, raort et angle 6 Notons A 0, B 0 et C 0 les centres de gravités des triangles équilatéraux de bases resectives [BC], [AC] et [AB] Le roblème ne déendant as de l étiquetage des sommets A; B; C, on eut toujours suoser ABC direct (quitte à échanger A et B) Alors ce qui récède ermet d a rmer A 0 sim 6 C (B), ce qui s écrit en comlexes a 0 b + ( ) c avec : ei 6 On en déduit la somme a 0 + jb 0 + j c 0 [b + ( ) c] + j [c + ( ) a] + j [a + ( ) b] a j ( ) + j + b + j ( ) + c [( ) + j] En factorisant/divisant ar j, on voit que les trois coe cients en a, b et c sont des multiles de! + (j ) + + i + i 0, de sorte que la somme a 0 + jb 0 + j c 0 est nulle, c q f d Le roblème étant invariant ar homothétie de centre O, on eut imoser OA Le roblème étant de lus invariant ar rotation autour de O, on eut imoser A Alors B est un comlexe unitaire, mettons B e i Notons t la distance AT, de sorte que T + it Alors U rot O (T ) ei ( + it), d où le milieu de [T U] (aelons-le M) M T +U ( + it) +ei Pour véri er que (AB) recoue (UT ) en M, il su t de véri er que les oints A, B et M sont alignés On regarde our cela la nullité du déterminant!! h i det AB; AM Im (B A) (M A) ; le crochet vaut e i + e i ( + it) e i e i e i e i e i + e i ( + it) e i i sin cos ( + it) cos + i sin ;! la arenthèse est de artie réelle nulle, donc le roduit ar i sin est de artie imaginaire nulle, c q f d 6

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