SUPERVISION NEURO-FLOUE A APPRENTISSAGE GENETIQUE D UN PID ROBUSTE

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1 SCIENCES & Technologe B N 23, jun (25), pp SUPERVISION NEURO-FLOUE A APPRENTISSAGE GENETIQUE D UN PID ROBUSTE Reçu le 29/4/24 - Accepté le /5/25 Résumé Dans cet artcle on présente de nouveaux outls pour la supervson et l optmsaton ntellgente des systèmes hautement non lnéares à base de la logque floue. Les paramètres domnants caractérsant la base des connassances floues (facteurs d échelle des varables d entrée/sorte, fonctons d appartenance et règles d nférence) sont optmsés par l emplo des algorthmes génétques (AG). Le conventonnel PID dans sa forme amélorée, où les coeffcents de dfférentes actons K P, K I et K D sont non lnéarement varables. Un système d nférence floue à structure neuronale à apprentssage génétque joue le rôle de supervseur qu permet de donner des fonctons optmales à ces coeffcents. La structure du réseau supervseur est spécfée par une combnason entre le rasonnement flou mxte de Takag-Sugeno et de amdan. Le codage optmal mxte, bnare-enter, est utlsé pour la constructon des chromosomes défnssant l ensemble des paramètres nécessares pour la concepton du supervseur désré. Ce nouveau supervseur se dstngue lu même par un gan de dénormalsaton (facteur d échelle de sorte) qu vare lnéarement avec les entrées floues. Sous certanes condtons, l devent smlare à un PID conventonnel à coeffcents non-lnéarement varables. Les résultats de smulaton sur la commande à temps optmal d un modèle de référence prédétermné pour le système de pendule nversé montrent ben l'effcacté et la robustesse de la méthode utlsée. ots clés: PID flou, algorthme génétque, réseau de neurones. Abstract Ths artcle presents the applcaton of a new generaton of fuzzy logc supervsor (FLS) to the hghly nonlnear systems. The domnant parameters characterzng the base of fuzzy knowledge: scalng factors of the Input/Output (I/O) varables, membershp functons and the rule consequences are optmzed by usng the Genetc Algorthms (GA). The conventonal PID n ts mproved form, where the coeffcents of dfferent actons K P, K I and K D are nonlnear varables. A fuzzy nference system wth multlayer neural network structure wth genetc tranng plays the role of supervsor who allows gvng optmal functons to these coeffcents. The fuzzy structure s specfed by a combnaton of the mxed Takag-Sugeno s and amdan s fuzzy Reasonng TS-FR. The mxed nteger-bnary optmal codng s utlzed to construct the chromosomes, whch defne the same of necessary prevalng parameters for the concepton of the desred supervsor. Ths new fuzzy supervsor stands out by a non standard gan (output scalng factor) whch vares lnearly wth the fuzzy nputs. It becomes smlar to the conventonal PID controller wth non-lnearly varable coeffcents. Computer smulaton ndcates that the desgned fuzzy supervsor s satsfactory n PID control of a nonlnear system Inverted Pendulum. Keywords: Fuzzy PID, genetc algorthms, neural networks A. SOUKKOU * A. KHELLAF ** S. LEULI *** * Département d'electronque Unversté de Jjel Algére. ** Insttut d'electronque, Unversté Ferhat Abbas-Sétf Algére. *** Insttut d'electrotechnque, Unversté de Skkda Algére. ملخص يهدف هدا العمل ا لى عرض بعض الطرق الجديدة والذكية للتحكم الا وتوماتيكي للا نظمة الديناميكية اللاخطية وهدا باستعمال المنطق الغامض. الخصاي ص -المثالية- التي تميز قاعدة المعلومات لنظام التحكم الغامض (المعاملات السلمية للمدخلات/المخرجات دوال الانتماء و قواعد التحكم) يمكن الحصول عليها باستعمال الخوارزميات الجينية. الطريقة التقليدية في التحكم الا وتوماتيكي للا نظمة باستعمال المحكم PID يمكن تحسين ا داي ه ودلك بجعل معاملاته متغيرة وغير خطية هده الا خيرة يمكن ا يجادها باستعمال نظام غامض يا خذ هيي ة شبكة عصبونية وجينية الاستيعاب والفهم. وبالرجوع ا لى بنية هدا النظام الغامض نجدها عبارة عن مزاوجة مابين طريقة Takag- Sugeno و amdan في تشكيلها. الخوارزمية الجينية المطبقة في هدا العمل تتميز بخاصية التشفير المزدوج المثالي للكروموزومات التي تحتوي على قاعدة المعلومات التي تستعمل في صياغة هدا النظام. نتاي ج المحاكاة تبرز كفاءة هذه الطريقة في التحكم الا وتوماتيكي. كلمات مفتاحية: PID غامض الخوارزميات الجينية الشبكات العصبونية. L a commande des procédés ndustrels complexes, se heurtes de pluseurs dffcultés: ) Présence de non lnéartés, ) Les ncerttudes et, ) La complexté au nveau de la modélsaton et d élaboraton des los de commande convenables. Ce qu exge de nouvelles méthodes de contrôle plus sophstqué ayant de grandes capactés d apprentssage et de prse de décson dans des mleux ncertans et perturbés. algré sa popularté dans l ndustre et sa faclté d'mplantaton, l'nconvénent du contrôleur PID (Proportonal-Integral-Dervatve) est le chox des coeffcents de dfférentes actons K P, K I et K D. Yougho Lee [] présente un bref hstorque sur les dfférentes méthodes de calcule des coeffcents (gans) K P, K I et K D. Il a auss proposé une nouvelle méthode de calcul basée sur le développement en sére de c Laurn. En conséquence, beaucoup de technques du réglage des paramètres basées sur dfférentes approches : Unversté entour Constantne, Algére, 25.

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3 A. SOUKKOU, A. KHELLAF, S. LEULI Procédés emprques, tel que méthodes Zegler-Nchols [2]. éthodes analytques, par exemple, le leu géométrque des racnes. Des méthodes d optmsaton, tel que Can-Cone ou méthodes Lopez [3]. Ces technques permettent d obtenr les coeffcents (gans) de dfférentes actons en se basant sur la mnmsaton d un crtère de performances désrées (IAE, ITAE ). Les proprétés d'approxmaton et de tratement parallèle des systèmes à base de la logque floue [4] peuvent fournr des solutons plus effcaces aux problèmes de contrôle des systèmes complexes. L avantage d un tel système flou est que seules les connassances du comportement de procédé à commander sont suffsantes pour la synthèse de la lo de commande. En termes plus spécfques, la logque floue vse à modélser les modes mprécs du rasonnement qu jouent un rôle très mportant dans la capacté humane de prendre des décsons ratonnelles dans un envronnement ncertan et mprécs. L nconvénent majeur de l approche tradtonnelle pour la concepton des systèmes flous résde au nveau de l obtenton des connassances auprès d un expert human. Pour paler ce problème, la recherche s est orentée vers l élaboraton des technques optmales et systématques pour la concepton de ces systèmes. Deux approches de conceptons les plus rencontrées dans la lttérature: Approche connexonnste. Approche drecte. L approche connexonnste consste à combner la théore des réseaux de neurones avec celle de la logque floue afn de concevor ce qu on appelle un réseau neuronal flou (FNN: Fuzzy Neural Network). Deux manères pour construre un FNN [5]:. Sot en construsant un système d nférence floue (SIF) sous forme d un réseau de neurones multcouches dans lequel les pods du réseau correspondent aux paramètres du système flou (approche structurelle). 2. Sot en construsant un réseau neuronal qu peut ncorporer le processus de rasonnement approxmatf (approche fonctonnelle). La rétropropagaton est l algorthme le plus utlsé pour l apprentssage et l ajustement des pods synaptques du réseau caractérsant la base de connassances floues. L nconvénent majeur de cette méthode est le temps de calcul et le problème de convergence. Dans l approche drecte le problème de concepton et résolu par l applcaton des méthodes d optmsaton pour l ajustement des paramètres du SIF,, e, sa base de connassances. Les algorthmes génétques (AG), algorthmes tératfs nsprés des los d'évoluton des espèces et de la génétque naturelle, développés par J. Holland au début des années 7 [6], sont devenus des concurrents très pussants dans le domane de l'optmsaton des paramètres nécessares à la concepton des systèmes flous optmaux. Ans l'objectf est de combner ces deux méthodes afn d'exploter les rchesses de chacune pour obtenr des systèmes auss smples et effcaces que possbles. L objectf de ce traval est de développer un contrôleur PID dans une forme amélorée, où les coeffcents de dfférentes actons K P, K I et K D sont non lnéarement varables. Un supervseur flou à structure neuronale à apprentssage génétque permet de donner des fonctons optmales à ces coeffcents. Ce manuscrt est dvsé en deux partes prncpales : Une descrpton de prncpe de fonctonnement des outls de concepton : les SIF et les AG. Descrpton de la méthodologe de concepton de supervseur flou suve par les résultats de smulaton. LES ALGORITHES GENETIQUES Les AG commencent avec une populaton de créatures artfcelles (chaînes de caractères) analogues aux chromosomes en nature qu évoluent par applcaton de pluseurs opérateurs (modélsant le test de la surve naturelle) vers la soluton optmale ou du mons vers une soluton proche de celle-c. Une soluton (un chromosome) résout ce problème, s elle satsfat une foncton de performances donnée au préalable. L'ensemble des solutons est appelé espace des solutons. L'objectf de la procédure de recherche est de localser une soluton optmale. Une descrpton abstrate de l'ag de base peut se tradure par la fgure. En se basant sur le prncpe de fonctonnement des AG, on peut dentfer quelques dfférences avec les méthodes classques d'optmsaton. Ces dfférences sont [7]: Les AG possèdent une représentaton codée et cherchent une représentaton dans l'espace des solutons et non pas drectement dans le domane orgnal. Les AG utlsent une populaton de solutons à la place d'une seule soluton. Les AG utlsent des règles de transton probablstes et non détermnstes (pseudo- aléatores) comme outls pour guder l'exploraton à travers les régons de l'espace de recherche. Les AG n'utlsent que les valeurs de la foncton à optmser, pas sa dérvée ou une autre connassance auxlare. écansmes d'un AG standard A partr d'une populaton ntale de chromosomes (chaînes de caractères) créée aléatorement, l'ag génère de nouveaux chromosomes pour construre une nouvelle génératon, en effectuant les opératons génétques: Sélecton et reproducton. La sélecton Cette opératon permet aux chromosomes codant de bonnes structures de se reprodure le plus souvent que ceux qu'ls ne le sont pas [7]. La plus utlsée est celle de la sélecton proportonnelle (sélecton par roue de fortune basée). 96

4 Supervson Neuro-Floue a Apprentssage Génétque d un PID Robuste Evaluaton des ndvdus de la populaton crtère d arrêt? Ou elleure ndvdu Non Génératon d une populaton ntale. Confguraton paramétrque de l AG Nouvelle génératon Recombnason Sélecton Crosement utaton Soluton optmale Fgure. Le processus d exécuton de l'ag. La reproducton Cette opératon permet la constructon d'une nouvelle génératon, en applquant les opérateurs génétques à savor le crosement et la mutaton. Crosement L opérateur de crosement consste à échanger des gènes entre deux ndvdus (parents) pour obtenr des descendants qu prennent les caractérstques de leurs parents. Le ste de crosement est chos aléatorement. La fgure 2 schématse clarement les dfférents types de crosements. Parents Les opérateurs génétques à savor la sélecton, la mutaton et le crosement sont généralement suffsants pour accomplr la tâche d'optmsaton. L'AG dans ce cas sera consdéré comme une bote nor d'optmsaton de fonctons ne nécesstant aucune connassance sur le domane. Cependant, l'améloraton de l'ag standard et éventuellement la connassance du domane peuvent être ntrodutes et explotées pour amélorer les performances de l'ag. Avant mutaton Ste de mutaton --- Après mutaton ---- Crosement en un pont. Crosement en deux ponts. Crosement multponts. Descendants Codage bnare Fgure 3. utaton. Fgure 2. Crosement. utaton L opérateur de mutaton consste à altérer un ou pluseurs gènes choss aléatorement dans un chromosome. Cette altératon va prendre des formes dfférentes selon le type de gènes : Une smple nverson pour un codage booléen (fgure 3). Un trage aléatore dans un ensemble dscret de valeurs de gènes (codage enter). L ajout d un brut gaussen pour un codage réel. Noton du codage La premère étape dans le fonctonnement de l'algorthme génétque est le codage de l'ensemble des paramètres à optmser en une chaîne de caractères de longueur fne. Pour une foncton (modèle d'un système) multvarable f(k, k 2,..., k n ), le codage se déroule de la façon suvante: Coder chaque varable k ( =,..., n) selon le chox de sa longueur. Construre les chaînes en concaténant les dfférents codes, c est à dre juxtaposer ces derners l un après l autre. 97

5 A. SOUKKOU, A. KHELLAF, S. LEULI Exemple: chane= (code )(code 2) L (code n). () Pluseurs types du codage sont utlsés [7]: Codage bnare, enter, réel et Codage Gray. Noton du décodage L opératon du décodage est l'nverse du codage. Chaque chaîne dot être décodée pour pouvor calculer la valeur de la foncton d'apttude qu lu est assocée. Parm les types du décodage possbles, le décodage bnare est le plus utlsé: (...2 ). AX IN k = UIN + decmal U U (2) l 2 Avec U AX, U IN sont les bornes supéreure et nféreure du domane de varaton de la varable k, respectvement. decmal( 2 ) sa valeur décmale converte du bnare et l est la longueur de la chaîne correspondante au code de la varable k. Le chox de la longueur dépend essentellement de la précson voulue sur la varable k qu est donnée par: UAX UIN Π= (3) l 2 Quand le domane de varaton des chaînes est nconnu, ans que dans le cas où la longueur de la chaîne dépasse 32 bts (selon la norme IEEE), l est consellé d'utlser le décodage réel, comme sut: ( sgn)( exp )( mant) x= 2 (4) Où (sgn) est le sgne, (exp): l'exposant (sur 8 bts, après un décodage de 8 bts en base, le résultat est retranché à 27, ce qu donne l'exposant) et (ant): est la mantsse (sur 23 bts). SYSTEE D INFERENCE FLOUE La structure de base d un SIF est schématsée par la fgure 4. Un SIF peut être décrt par un ensemble de règles lngustques de la forme : SI (condton(s)) ALORS (acton(s)). Ces règles permettent de convertr la stratége de contrôle d un expert human en une stratége de contrôle automatque ben adaptée au monde réel. Un SIF est composé de quatre blocs : Une base de connassances. Une nterface de fuzzfcaton en entrée. L engn d nférence ou la logque de prse de décson. Une nterface de défuzzfcaton en sorte. La base de connassances floue, consttue le noyau du SIF. Elle content les défntons des fonctons d appartenance des varables d Entrées/Sortes (gaussenne, trapézoïdale, etc.) ans que les règles d nférence. La fuzzfcaton permet d assurer la converson des grandeurs physques d entrées du SIF en varables lngustques qu peuvent être tratées par les nférences. L engn d nférence permet de défnr la stratége de contrôle en utlsant les mplcatons floues qu lent les dfférentes varables de chaque règle. Parm le mécansmes d nférence les plus utlsés: AX-IN, AX-PROD et SO-PROD. L opératon de défuzzfcaton consste à convertr le résultat de combnasons des règles en une forme numérque ben adaptée au mleu du processus à gérer. Pluseurs méthodes de défuzzfcaton sont proposées dans la lttérature [8]. La plus utlsée est celle du centre de gravté. Entrées Fuzzfcaton Base de connassances floue Engn d nférence floue Défuzzfcaton Fgure 4. Structure de base d un SIF. Sorte Le problème de concepton d un SIF revent à la détermnaton de sa structure et aux chox de ces paramètres (phase d acquston). La concepton d un SIF nécesste le chox des paramètres suvants: Défnton des varables d Entrées/Sortes (E/S) du système. Chox de la partton floue, c est à dre, assocaton d un ensemble de termes lngustques caractérsés par des fonctons d appartenance défnes sur des unvers de dscours approprés pour chaque varable d E/S. La forme des fonctons d appartenance de l espace d E/S (gaussenne, trapézoïdale,...etc.). Les facteurs d échelle (normalsaton / dénormalsaton) La base des règles. Le chox de la méthode d nférence et de la stratége de défuzzfcaton. Les systèmes flous ont connus un succès consdérable dans la commande et l dentfcaton des procédés ndustrels complexes, du fat de leurs caractères approxmatf et qualtatf nsprés de la pensé humane. Cependant, leurs performances sont lées à deux facteurs mportants:. La dsponblté de l expertse (le savor-fare). 2. La valdté des technques d acquston de connassances et la justesse des données acquses. 98

6 Supervson Neuro-Floue a Apprentssage Génétque d un PID Robuste L nconvénent majeur de l approche tradtonnelle pour la concepton des SIF résde au nveau de l obtenton des connassances auprès d un expert human. Pour paler ce problème, la recherche s est orentée vers l élaboraton des technques optmales et systématques pour la concepton de ces systèmes. CONCEPTION DE SUPERVISEUR FLOU Les modèles les plus rencontrés dans la lttérature des SIF, sont: Les modèles de amdan. Les modèles de Sugeno. La dfférence, entre ces deux rasonnements, résde dans la forme d'évaluaton des conséquences des règles floues. Dans la méthode de amdan [9-], chaque règle est représentée par une conjoncton (IN) et l'agrégaton des règles par une dsjoncton (AX). Dans ce modèle, les conséquences sont ndépendantes des entrées du SIF. Le len entre les condtons et les actons est réalsé, unquement, par des opérateurs. Takag-Sugeno et Kang [] ont proposé un modèle pour développer une approche systématque pour générer les règles floues à partr de l ensemble de données d E/S. Une règle de ce type a la forme suvante: R : SI (x est A ) ET... ET (x m est A m ) ALORS Y =F (x, x 2,..., x m ) (4) Les A m caractérsent les sous ensembles flous des entrées et les x représentent les varables d entrées. Généralement F (-) possède une forme polynomale de x, x 2,... et x m. F ( x x ) = a + a x +... a x,..., m + (5) m m Cette forme est appelée le modèle de Sugeno d'ordre un. Dans certans cas, F (-) dot être constante (Sugeno d'ordre zéro). La détermnaton des coeffcents des conséquences dot être fate par l emplo des méthodes d dentfcaton paramétrques [2]. Les méthodes de défuzzfcaton adaptées à cette forme de règles sont basées sur l approche : Défuzzfer Sans Combner (DSC). La plus utlsée est celle des moyennes pondérées "weghted-average defuzzfcaton", donnée par: ( ) µ F x,..., x = y= µ = Où est le nombre des règles et µ est le degré d'actvaton de la ème règle calculé sot par la conjoncton IN ou le produt arthmétque: m µ = µ ( x ) j= j Or µ = IN( µ ( x),,..., µ ( xm)) (7) La smplcté et le temps d'exécuton rédut présentent deux avantages de l approche de Sugeno. Pluseurs chercheurs [3-4] ont essayé de développer de nouvelles m (6) méthodes permettant de rédure le nombre de paramètres des conséquences qu alourdssent l approche de Sugeno. Hao Yng [5] a proposé une méthode analytque de tratement de ce type de SIF. Les polynômes de sortes sont proportonnels l un de l autre. En ntrodusant certanes modfcatons au nveau des formes des règles, on obtent: ( x est A) ET... ET ( xm est Am) ALORS F( ) R : SI S = R x,...,xm (8) Avec, F ( x x ) = a + a x +... a x,..., m + (9) m m En utlsant la méthode de défuzzfcaton des moyennes pondérées, on obtent la sorte numérque S pour un ensemble de varables d'entrées x, x 2,... et x m : µ = = F µ R = S = =. F,..., µ µ = ( x x ) m () Les R sont les centres de gravté des ensembles flous de sorte assocés à chaque règle. Les floues de base sont construtes de telle sorte que µ. L expresson () devent: avec, = ( x, µ ) F( x) S = G. () G µ R = µ = (2) µ ( x, ) = La relaton a +a x a m x m présente une assocaton d'un ensemble de contrôleurs lnéares, y comprs le PID (Proportonal-Dervatve-Integral) comme cas partculer (avec a = ). Les tros entrées utlsées par le PID dans sa forme dscrète à l'nstant d'échantllonnage n sont données par: x x ( n) = yr( n) y( n) ; 2( n) = x( n) x( n ) ( n) = ( n) ( n ) 3 x2 x2 x ; Où y r (n) et y(n) sont le sgnal de référence et l'état actuel du système à commander à l'nstant d'échantllonnage n, respectvement. Selon les données du problème à trater, la varable de sorte peut être l'acton drecte ou sa varaton. Il est parfos judceux de formuler les règles d'nférence de sorte que le sgnal de sorte ntervent comme ncrément du sgnal d acton entre les nstants n et n-: S ( n) S( n ) + S( n) = (3) Avec ben sûr évtement des régons de saturaton: S mn ( n) S S (4) Dans le reste de traval, on note S(n) et S(n), l'acton drecte et sa varaton à l'nstant d'échantllonnage n, respectvement. max 99

7 A. SOUKKOU, A. KHELLAF, S. LEULI S La forme de sorte du SIF sera donnée par: ( n) = G( x, µ ) F( x) = G( x, µ )( K OP x ( n) + K OD x2 ( n) ) = ( G( ) ) ( n) + ( G( ) ) ( n) (5) K x K OP OD 2 La lo de commande par PD dans sa forme dscrète est donnée par: S ( n) = KP x ( n) + KD x ( n) (6) PD 2 Où K P et K D sont les gans (coeffcents) de proportonnalté et de dérvaton, respectvement. Cec rend le SIF équvalent à un PD avec des gans K P et K D varables et non lnéares, pusque la sorte d'un SIF est généralement non lnéare par rapport à ces entrées. K P G( ) K ; KD G( ) K OP Dans le cas de la varaton de l acton, la sorte du SIF sera donc: OD () n = G()( n) + ( n) ( )) S a + (7) x( a2x2 a3x3 n Par analoge avec un PI et un PID dans la forme dscrète, la varaton de sorte est: SPI ( n) = KP x n) + KI x ( ) (8) 2( n ( n) = KP n) + KI ( n) KD ( ) S (9) PID x2( x + x3 n La relaton (7) peut s'écrre comme sut: ( n) = ( )) ( n) + ( G( )) ( n) + ( G( )) ( ) S ( ag x a2 x2 a3 x3 n (2) Cette dernère est smlare à celle de l'expresson (9), seulement les gans constants K P, KI et KD sont remplacés par des facteurs non lnéares: (a 2.G(-)), (a.g(-)) et (a 3.G(-)), respectvement. Généralement, la commande des systèmes complexes mal défns par un PID présente une tâche délcate. La soluton du problème revent à chosr ou à développer une méthode effcace pour la détermnaton des gans de dfférentes actons, ou la combnason du PID avec d'autres méthodes plus sophstquées ben adaptées à la complexté et à la nature des procédés ndustrels. Le supervseur ans développé représente une façon de cette hybrdaton, dont le but est de profter d'une part de la précson du modèle mathématque du PID, d'autre part, de la souplesse des éléments manpulés par la logque floue. STRUCTURE DU RESEAU SUPERVISEUR La structure d'un réseau de neurones adaptée à la forme des règles de l expresson (8) est schématsée par la fgure 5. Elle présente un SIF à deux entrées x, x 2, une sorte S, tros sous ensembles flous pour chacune et neuf règles. Il s'agt donc d'un contrôleur du type 333 selon Hamafar [6] et Jm Woo Km [7-8]. S F(x) de l expresson (9) est constante, F(x)=a, le supervseur explote effcacement le rasonnement approxmatf de Sugeno d'ordre zéro. Dans le cas où F(x) dépend des entrées du SIF (Sugeno d'ordre un modfé), celle-c n'est qu'une hybrdaton FLOU-PID où les x paramètres du système (base de connassances floues) sont njectés sur un réseau de neurones multcouches. Le réseau utlsé possède 6 couches : Une couche de normalsaton des grandeurs d entrées. Une couche d'entrée réalse le transfert drect des sgnaux d'entrées. Une couche de fuzzfcaton réalse la converson des données numérques en une forme symbolque ben adaptée au rasonnement approxmatf. La foncton d'actvaton assocée à chaque neurone de cette couche est la foncton trangulare (fgure 5). La sorte de chacun est caractérsée par l expresson (2). ( x x ) ( ), x [, ], = x x,2,..., n x x Tr = ( x x) ( ), x [ ] = x, x+,,2,..., n (2) + x x, x < x orx > xn Les pods entre la couche d'entrée et celle de fuzzfcaton représentent les largeurs des sous ensembles flous assocés à chaque varable lngustque. Une couche d'nférence où chaque neurone calcule le degré d'actvaton de chaque règle (utlsant un opérateur de produt arthmétque). La sorte d'un neurone de la couche d'nférence est donnée par: ( µ ) µ ( )) O = (22) ( x x2 Les pods entre la couche d'nférence et celle de fuzzfcaton sont fxés à. Une couche de défuzzfcaton permettant de générer la sorte numérque. La méthode utlsée est celle des moyennes pondérées. Les pods entre cette couche et celle d'nférence représentent les conséquences des règles, qu sont les centres des réparttons floues (sngleton) de sorte de chaque règle. Une couche de dénormalsaton permet de d'amplfer ou d atténuer le sgnal d acton. Les paramètres ou pods du réseau de neurones, ans que les coeffcents K OP, K OI, K OD assocés au gan de dénormalsaton et les facteurs d échelle en entrée K X et K X2 sont optmsés par l'ag. STRUCTURE DE LA COANDE La structure de commande de la fgure 7 content quatre blocs: Un bloc d'optmsaton smulé par l'ag. Un bloc de supervson représentant le SIF. Le système de commande (PID). Le système à commander (procédé). L organgramme de la fgure 8 exprme clarement l'nteracton entre ces blocs.

8 Supervson Neuro-Floue a Apprentssage Génétque d un PID Robuste NB x K X - ZE x x 2 PB NB D SS x 2 K X2 - ZE Couche de défuzzfcaton PB Normalsaton Couche d entrée Couche de fuzzfcaton Couche d nférence Fgure 5. Structure du réseau supervseur. Pods synaptques du réseau supervseur. x L x x + x n Fgure 6. Fonctons d appartenance trangulares. Données provenant du procédé. esure de Performances AG Base de connassances Couche d optmsaton AG Réseau supervseur. (SIF) Contrôleur PID. Procédé SIF Couche de supervson Non Fn du temps de smulaton? y ref Contrôleur PID F Procédé y Couche d acton Ou Evaluaton du crtère de performances. Fgure 7. Structure de contrôle et d apprentssage. Fgure 8. Interacton entre les dfférents blocs de la structure de commande.

9 A. SOUKKOU, A. KHELLAF, S. LEULI Remarques: La mse en échelle (Normalsaton / dénormalsaton) des grandeurs d E/S permet d adapter le tratement des sgnaux d E/S. Par conventon, la plage de varaton des varables d E/S est comprse entre et +. Ces facteurs d échelles sont adaptés, sot emprquement, sot par l emplo des méthodes de contrôle adaptatf. Les varables d'e/s du SIF sont utlsées avec normalsaton, c'est à dre, utlsant le domane de dscours normalsé [-, +]. Les fonctons d'appartenance utlsées sont de type trangulares symétrques équdstantes avec un chevauchement de 25%. CODAGE DES PARAETRES La dfférence entre les AG utlsés dans la lttérature résde nveau du codage (bnare, enter ou réel) et les opérateurs génétques adaptés à chaque mode du codage [9]. Le codage mxte bnare-enter multparamétré et concaténé où pluseurs paramètres sont codés et juxtaposés l un après l autre, pour construre le chromosome de l AG, est utlsé dans cette concepton. Les paramètres à optmser sont: Les largeurs des sous ensembles flous assocés aux espaces d'e/s qu sont codées en bnare. Les règles ou centres des sous ensembles flous de sorte sont codées en enter. Chaque centre (sngleton) est codé par un numéro allant de jusqu'au nombre maxmal N des sous-ensembles flous de l'espace de sorte. Les coeffcents K X, K X2, K OP et K OD sont les facteurs d échelle des varables d E/S codés en bnare. Chaque chromosome peut représenter une soluton du problème, c'est à dre, une base de connassances floues optmale. Sa structure est représentée par la fgure 9. L ZE X, L ZEX2 et L ZES sont les codes des largeurs des unvers de dscours ou des sous ensembles flous (ZE) des entrées x, x 2 et de la sorte S, respectvement. Les R sont les codes des conclusons caractérsant les centres des sous ensembles flous de sorte, K X, K X2, K OP et K OD sont les codes des coeffcents des facteurs d échelle des varables d E/S. ETHODE D'OPTIISATION Les grandeurs ajustables sont les largeurs des sousensembles flous, les règles et les facteurs d échelle des varables d E/S. On commence par l'optmsaton de L ZE, c'est à dre, détermner les bornes de varatons supéreure (UB) et nféreure (LB) de ZE. Après l opératon de décodage, on aura: L (... ) ZE= LB+ decmal UB LB 2 (23) l 2 Où l représente la longueur ou la talle du code de ZE. Les largeurs des autres sous-ensembles flous sont obtenues par un décalage avec un chevauchement de 25%. De même pour les autres paramètres codés en bnare. ECANISE DE L'AG La sélecton par roue de fortune pour la reproducton, l opérateur de crosement en deux ponts et la mutaton sont les étapes essentelles de l AG utlsé dans ce traval. S la mutaton, a leu dans la parte codée en bnare, l'opérateur de mutaton a le même prncpe que celu de la mutaton standard. S la mutaton a leu dans la parte des enters, au leu de changer un en ou un en, on change l'allèle (l'enter) par une valeur aléatore de à N dfférente de sa valeur courante. N représente le nombre des sous ensembles flous de sorte. La fgure schématse clarement le processus de mutaton. Enfn, pour mettre une lmtaton à la dvergence génétque, une des stratéges d'éltsme a été ntrodute. Cette dernère, basée sur la technque de sélecton à l'état permanent "steady-state selecton" permet de construre une nouvelle génératon plus performante que la précédente. De plus, et pour accélérer le processus de convergence, les probabltés de crosement (Pc) et de mutaton (Pm) sont dynamques et évoluent d une génératon à l autre [2] (Ngen : le numéro de génératon). La fgure ndque clarement le processus de l évoluton des opérateurs génétques, crosement et mutaton. = Ngen Pc exp (24) axgen = exp.5* Ngen Pm.8 (25) axgen Le crtère d'arrêt de l'ag est fxé par un nombre ben détermné de génératons (axgen). La valdté de la méthodologe de supervson proposée, est testée, sur le système du pendule nversé consdéré comme un système, non lnéare, mono-entrée/mult-sortes (SIO). SIULATION La fgure 2 montre le dagramme schématque du système de pendule nversé, ans que sa structure. Les dynamques du système sont caractérsées par: x& = x2 g sn x x& 2= ( ) + cos( x ) ( ) U l x2 m p 2 sn x mc + mp 2( ) m x l 4 p cos 3 mc + m p (26) Où, l: dem longueur du segment, g: accélératon gravtatonnelle, m c : masse du charot, m p : masse du segment, x =θ l angle du segment par rapport à l axe vertcal et x 2 =θ & la vtesse angulare du segment. Les valeurs numérques utlsées dans la smulaton sont: l =.5m, m c = kg, m p =.kg, g = 9.8m/s 2. L'objectf du contrôle est de générer une séquence d'actons F (en Newton) pour stablser le pendule dans sa poston d'équlbre (vertcale) correspondante à un angle et 2

10 Supervson Neuro-Floue a Apprentssage Génétque d un PID Robuste une vtesse angulare nulles. Le véhcule se déplace lbrement à drote ou à gauche avec l'hypothèse que les frottements sont néglgeables. Ce système est smulé par la méthode de Runge-Kutta avec une pérode d échantllonnage égale à ms. Le but de l AG est de générer une base de connassances optmale du supervseur flou en mnmsant une foncton coût donnée. Dans cette applcaton la foncton objectve responsable de classement des chromosomes dans la populaton est: 3 4 ( ( k) F( k) ) 4 F t= + θ + (27) k= Le supervseur ans développé pour cette applcaton se caractérse par: Deux SIF à deux bases de connassances dfférentes, une pour le gan de l acton de proportonnalté K PPD et l autre pour l acton de dérvaton K DPD, comme montre la fgure 3. Chaque SIF est caractérsé par : 5 sous ensembles flous pour l angle, 5 sous ensembles flous pour la vtesse angulare, 5 sous ensembles flous pour la commande (force). Ce qu donne au total 25 2 règles. Chaque chaîne de la populaton contendra 2 gènes ( bts pour chacune des largeurs des unvers de dscours, 25 2 enters pour les règles et bts pour chaque coeffcent des gans). L ZEX LZEX2 x x 2 NB ZE PB NB NB ZE PB Règle2 : SI (x est ZE) ET (x 2 est NB) ALORS (U = R 2 F(x, x2). R 2 NB K X - K X2 - L ZEX L ZEX2 L ZES R R... 2 R N- R N K OP K OD Facteurs d échelle en entrée Largeurs des unvers de dscours Parte conclusons des règles Paramètres des conséquences Fgure 9. Structure de chromosome. Avant mutaton Après 3 mutaton Codage bnare Codage enter Fgure. utaton. 3

11 A. SOUKKOU, A. KHELLAF, S. LEULI Probablty rate Pc Les condtons ntales utlsées dans cette smulaton sont: θ = 2 et & θ = / sec, avec la contrante: U 25[ N]. La fgure 4 ndque l'évoluton de la foncton objectve de génératon en génératon Generaton Pm Best objectve Fgure. Evoluton des probabltés Pm et Pc Generaton Fgure 4. Evoluton de la foncton objectve. Les paramètres de l AG sont présentés dans le tableau. Tableau. Paramètres de l AG. Paramètre Valeur Le tableau 2 représente les bases de règles générées après 2 génératons. La fgure 5 montre, ben, la convergence de la trajectore vers l état d équlbre (, /s) à partr du l état ntal (2, / s). La talle de la populaton. Les largeurs L ZEX, L ZEX2 et L ZEU Les paramètres K X et K X2 Les paramètres K OP et K OD Le nombre maxmal de génératon. 4 [-.5,.5] [, 8] [, 5] 2 Tableau 2. Tables des règles. Base de règles SIF : SIF 2 : θ 2l,m p F x m c Fgure 2. Structure de pendule nversé La robustesse du contrôleur est justfée par sa capacté de ben réagr lorsqu'on s'écarte des condtons normales d'utlsaton. Pour cela, ce derner a été testé pour pluseurs condtons ntales, comme le montre la fgure 6. Les condtons ntales testées sont les suvantes : ( +, s )( + 2, s)( + 3, s)( + 4, s) ( + 5, s )( + 6, s)( + 7, s)( + 8, s) x x 2 x x 2 SIF relatf à K PPD SIF relatf à K DPD x x 2 x x 2 Fgure 3. Structure de supervseur. K PPD =H (x, x 2 ) K DPD =H 2 (x, x 2 ) CONCLUSION Dans ce traval, le contrôleur PD à supervson floue proposé a prouvé son effcacté. Sa robustesse est justfée par sa capacté de réagr dans un sens postf (réalsaton du but vsé par la commande) vs à vs au changement des condtons de fonctonnement. La mse en œuvre de régulateur PID souffre de problèmes de réglage des gans de dfférentes actons afn d obtenr de bonne performances. L explotaton d une supervson basée sur la logque floue à optmsaton génétque en vue de l adaptaton des paramètres de synthèse d un régulateur de type PID permet d offrr une alternatve fort ntéressante dont l objectf est de satsfare les crtères de performances désrées. La combnason des technques conventonnelles de l automatque avec les technques dtes ntellgentes permet de trer proft, d une part des performances offertes par les algorthmes conventonnelles, et d autre part de la 4

12 Supervson Neuro-Floue a Apprentssage Génétque d un PID Robuste souplesse des éléments manpulés par les technques modernes qu se tradut par leurs progressvtés dans la prse de décsons. On remarque que le contrôleur arrve toujours à réalser l'objectf System state Angle(deg) Angular velocty(deg/sec) Angle(deg) Tm e(sec) (a) -25 Force(N) Tme(sec) (a) Angular velocty(deg/sec) Tm e(sec) (b) -2 Angular velocty(deg/sec) Tme(sec) (b) Angle(deg) (c) Fgure 5. Réacton du pendule : (a) Etat du système. (b) Commande générée. (c) Plan de phase. Angular velocty(deg/sec) Angle(deg) (c) Fgure 6. Réponses aux dfférentes condtons ntales. (a) Angles. (b) Vtesses angulares. (c) plan de phase. REFERENCES [] Yongho Lee and Sunwon Park, "PID controllers tunnng for desred closed-loop responses for SI/SO systems", Ache journal, Vol. 44, N o. 4, January 998, 6-5. [2] Aström, K.J. and T. Hägglund, PID Controllers: Theory, Desgn, and Tunng, Instrument Socety of Amerca,

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