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1 STATISTIQUES A UNE VARIABLE EXERCICES CORRIGES Exercice n. Les 5 élèves d'une classe ont composé et le tableau ci-dessous donne la répartition des diverses notes. Recopier et compléter ce tableau en calculant les fréquences à 0 - près, et les effectifs cumulés croissants et décroissants. Note Effectif Exercice n. Un établissement de transfusion sanguine a dressé le bilan de sa collecte de sang pendant un an Age du donneur % Correspondant Moins de 0 ans 4 % Entre 0 et 9 ans 4 % Entre 0 et 9 ans 4 % Entre 40 et 49 ans % Plus de 50 ans 6 % Représenter cette série statistique par un diagramme circulaire. Exercice n. 6 ( ) ) Calculer i + ) Ecrire en utilisant la notation : i= 0 Exercice n 4. Un élève a obtenu les notes suivantes : 4;6;;9;0;8;;0;9;;0;;8. Calculer sa moyenne Exercice n 5. Un industriel a commandé à un sous-traitant un lot de 40 pièces dont le diamètre doit mesurer 80 mm et il est convenu que le lot ne sera accepté que si les deux conditions suivantes sont simultanément réalisées : Première condition : l écart entre 80 mm et la moyenne x du lot est inférieur à 0,05 mm Deuxième condition : Au moins 60 % des pièces du lot ont un diamètre d tel que 80 0,05 d ,05 () Les mesures faites sur le lot sont les suivantes : Mesure de d à 79,75 79,80 79,85 79,90 79, ,05 80,0 80,5 80,0 0,05 mm près Effectif ) Calculer la moyenne x des mesures faites ) Quel est le pourcentage de pièces dont le diamètre d vérifie la double inégalité ()? ) Le lot est-il accepté ou refusé par l industriel? Justifier la réponse Exercice n 6. Un relevé des durées des communications téléphoniques effectués dans un central téléphonique a fourni les informations consignées dans le tableau suivant (l'unité de durée est la minute) Intervalle de durée [0;[ [;4[ [4;6[ [6;8[ [8;0[ [0;[ Effectif ) Calculer la durée moyenne d'un appel ) On regroupe les classes par deux, ce qui revient à considérer les classes [0;4[, [4,8[ et [8;[.Calculer la durée moyenne d'un appel pour cette nouvelle série ) Quelle conclusion pouvez-vous formuler? Exercice n 7. Après correction des copies, la moyenne à l épreuve de mathématiques au baccalauréat est x = 8, 4. ) Si le ministre de l Education Nationale décide d augmenter la note de chaque copie de,6 point, quelle sera la nouvelle moyenne nationale? ) Si le ministre de l Education Nationale décide d augmenter la note de chaque copie de 0%, quelle sera la nouvelle moyenne nationale? Page /0

2 Exercice n 8. On considère les deux séries statistiques définies par les tableaux T et T ci-dessous : Tableau T Valeurs Effectifs Tableau T Valeurs Effectifs ) Calculer la moyenne de la série statistique correspondant à T Déduire de ce résultat la moyenne de la série correspondant à T ) Lors de l'étude sur la résistance d'un type de fil, on a réalisé cent expériences de rupture et on a noté à chaque fois la charge limite provoquant la rupture. Les résultats sont consigné dans le tableau suivant: Charges(en g) [700;740[ [740;780[ [780;80[ [80;860[ [860;900[ Effectifs Utilisez un des deux résultats précédents pour obtenir rapidement la moyenne de la charge de rupture Exercice n 9. Dans un sous-groupe de 40 personnes la taille moyenne est de 70 cm. Dans un deuxième sous-groupe de 0 personnes la taille moyenne est de 80 cm. Dans un troisième sous-groupe de 50 personnes la taille moyenne est de 75 cm. ) Déterminer la taille moyenne du groupe constitué par les trois sous-groupes précédents. ) Quelle serait la taille moyenne si les trois sous-groupes étaient constitués du même nombre de personnes? Exercice n 0. La température est relevée chaque heure pendant 4 jours dans une forêt. Les 97 résultats obtenus ont été triés et sont rassemblés dans le tableau suivant : Température 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 Nombre de fois où cette température a été relevée ) Déterminer la médianem, les quartiles Q et Q de celle série statistique. ) On appelle premier décile (noté D ) la plus petite valeur de la température telle qu au moins 0% des valeurs sont inférieures ou égales à D. On appelle neuvième décile (noté D 9 ) la plus petite valeur telle qu au moins 90% des valeurs lui sont inférieures ou égales. Justifier que D = 5 et calculer D 9. Exercice n. Une entreprise de services à domicile en plomberie et électricité a établi le relevé suivant de ses interventions journalières pour une période de 5 jours ouvrables. Nombre d'interventions Nombre de jours Déterminer la médiane et les quartiles Q et Q Exercice n. Le tableau ci-dessous donne la répartition des salaires mensuels, en euros, des employés d une entreprise : Salaire [800 ;900[ [900 ;000[ [000 ;050[ [050 ;50[ [50 ;00[ Effectif ) Calculer le salaire moyen dans cette entreprise. Que penser d un tel résultat? ) Dans cette entreprise, combien d employés gagnent au plus 050 euros? Dresser le polygone des effectifs cumulés croissants et lire une valeur approchée de la médiane et de Q et Q ) Calculer de manière précise la médiane et les quartiles Q et Q 4) Construire le diagramme en boîte de la série statistique Exercice n. Sur chacun des diagrammes ci-dessous, lire l'étendue, la médiane, les quartiles et les intervalles interquartiles. Page /0

3 Exercice n 4. Comparaison de températures Le tableau suivant donne les températures moyennes par mois à Paris et à Pékin en degrés Celsius. Mois J F M A M J J A S O N D Pékin Paris ) Calculer la moyenne, l'étendue, la variance et l'écart-type des températures mensuelles pour chacune de ces villes. ) Comparer et analyser les résultats obtenus. Exercice n 5. Lors d'un examen écrit, un correcteur a obtenu les notes suivantes (sur 0), sur 80 copies corrigées :,,,7,6,,,7,4,9,5,0,,8,4,5,8,0,4,9,7,7,9,,0,4,8,6,9,0,,9,,8,0,5,7,,,,,,9,,9,8,0,4,0,,9,7,7,6,0,6,,0,8,8,,7,6,8,,,4,9,,7,8,8,6,4,9,0,7,0,0, ) Calculer la moyenne x et l'écart type σ de la série ) Un échantillon de notes est dit "normal" si environ 0 % des notes sont en dehors de l'intervalle x σ ; x+ σ et 5 % en dehors de l'intervalle x σ ; x+ σ. L'échantillon obtenu est-il normal? Exercice n 6. Trois groupes de fonctionnaires ont fait l objet d une notation. Les fonctionnaires de chaque groupe ont été notés par un noteur. Les résultats sont donnés dans les tableaux ci-dessous (la note maximale théorique est 40). Les fonctionnaires sont désignés A,B,C.W. Groupe Premier noteur A B C D E F G Groupe Deuxième noteur H J K L M N P Groupe Troisième noteur Q R S T V W ) Calculer la moyenne m et l écart type s de la distribution statistique des sept notes attribuées par le premier noteur. Les détails des calculs ne sont pas demandés. L écart type sera arrondi au millième. ) Indiquer de même (le détail des calculs n est pas demandé) : la moyenne m et l écart type s de la distribution des sept notes attribuées par le deuxième notateur. la moyenne m et l écart type s de la distribution des six notes attribuées par le troisième notateur. la moyenne m et l écart type s de la distribution des 0 notes. ) En vue d une promotion, qui bénéficiera à 8 des 0 fonctionnaires concernés, on procède à une harmonisation des n mi notes selon la formule : n = m + s s, dans laquelle n désigne la note initialement attribuée à un fonctionnaire, i n sa note harmonisée, et i l indice du groupe auquel ce fonctionnaire appartient. 4) Présenter dans un tableau la distribution des notes harmonisées et donner les noms des promus. Exercice n 7. Dans une urne, il y a 0 boules numérotées de 0 à 9, indiscernables au toucher. Les boules numérotées de 0 à sont vertes. Les autres sont rouges. On décide de réaliser l'expérience suivante : On tire une boule, on note sa couleur et son numéro, puis on la remet dans l'urne. ) On désire établir la fréquence d'apparition de chaque numéro. Proposer une exploitation précise (rédigée!) du tirage aléatoire suivant, obtenu en appuyant 4 fois successivement sur la touche RANDOM de la calculatrice, pour simuler des tirages successifs dans l'urne: ) Dresser un tableau où vous ferez apparaître les différents résultats possibles accompagnés de leurs fréquences d'apparition ) Quelle combinaison d'instructions peut-on utiliser pour obtenir de la part de la calculatrice une liste de nombres entiers appartenant à l'intervalle [0;9]? Page /0

4 STATISTIQUES A UNE VARIABLE - CORRECTION Exercice n Note TOTAL Effectif Fréquences 5 0,09 5 0, , , , , Effectifs Cumulés croissants Effectifs Cumulés décroissants + = = 4 4+ = 6 4- = 6+ = 8 - = = 4 9- = = = 8+4 = -4 = 7 +5 = = 7+ = 0-5 = 8 0+ = 8- = 5 + = 5 5- = Exercice n On dresse un tableau de proportionnalité entre chaque fréquence et l angle du secteur angulaire correspondant Age du donneur % Correspondant Angle Moins de 0 ans 4 % 4 60 = 4,4 00 Entre 0 et 9 ans 4 % 4 60 = 50,4 00 Entre 0 et 9 ans 4 % 4 60 = 86,4 00 Entre 40 et 49 ans % 60 = 5, 00 Plus de 50 ans 6 % 6 60 = 9,6 00 TOTAL 00% 60 Exercice n 6 ) ( i ) i= 0 + = = 49 ( ) ) = i + 8 i= Exercice n La moyenne de l élève est égale à x = = Exercice n 5 79, , ,5 + 80, 98,9 ) La moyenne x des mesures faites vaut : x = = = 79, ) Le nombre de pièces dont le diamètre d vérifie la double inégalité () est égal à 6+4+5=5, soit un pourcentage égal à ,5% 40 = ) L écart entre la moyenne x et 80 mm étant égal à 80 79,975 = 0,075 < 0,05, et plus de 60 % des pièces ayant un diamètre d vérifiant la double inégalité (), le lot sera accepté Exercice n 6 ) Pour calculer la moyenne de cette série statistique, on prend en compte le milieu des classes, à savoir : Intervalle de durée [0;[ [;4[ [4;6[ [6;8[ [8;0[ [0;[ Milieu des classes Effectif La durée moyenne d un appel vaut donc x = = = 5,88 minutes, soit 5 minutes et ,88 60 = 5,8 secondes. La durée moyenne d un appel vaut donc 5 minutes, 5 secondes et 8 dixièmes Page 4/0

5 ) La nouvelle série statistique est donc Intervalle de durée [0;4[ [4;8[ [8;[ Effectif 4+6=0 5+5=40 7+=0 Pour calculer la moyenne de cette série statistique, on prend en compte le milieu des classes, à savoir Intervalle de durée [0;4[ [4;8[ [8;[ Milieu des classes 6 0 Effectif La durée moyenne d un appel calculée à partir de cette série vaut donc x = = = 6 minutes ) Selon la manière de regrouper les communications téléphoniques (donc seulement la présentation de la série statistique!), les résultats peuvent être différents Exercice n 7 Après correction des copies, la moyenne à l épreuve de mathématiques au baccalauréat est x = 8, 4. ) Si les valeurs de la série statistique sont toutes augmentées d une même valeur, sans modifier les effectifs, alors la moyenne subit la même transformation. La nouvelle moyenne de l épreuve sera donc égale à 8,4+,6=0 ) Augmenter une quantité de 0% revient à la multiplier par, Si les valeurs de la série statistique sont toutes multipliées par une même valeur, sans modifier les effectifs, alors la moyenne subit la même transformation. La nouvelle moyenne de l épreuve sera donc égale à, 8,4 = 9,4 Exercice n 8 ( 80) 5 + ( 40) ) La moyenne de la série statistique correspondant à T est égale à x = = = 6, On remarque que les valeurs de la série statistique du tableau T sont égales à celles du tableau T augmentées de 00, les effectifs correspondants étant identiques. La moyenne de la série correspondant à T est donc égale à celle de de la série correspondant à T augmentée de 00, donc x = x + 00 = 06,4 ) Pour calculer la moyenne de la charge de rupture, il faut considérer les milieux de chaque classe, donc la série statistique : Charges(en g) [700;740[ [740;780[ [780;80[ [80;860[ [860;900[ Milieu Effectifs On reconnaît les valeurs de la série statistique correspondant à T augmentées de 700. La moyenne de la charge de rupture vaut donc x = 06, = 806,4 grammes Exercice n 9 ) Pour calculer la moyenne du groupe constitué par ces trois sous groupes, il faut tenir compte des effectifs de chacun de ces sous-groupes. La moyenne du groupe des =00 personnes vaut donc = 750 = 7,50 cm ) Si les trois sous-groupes étaient constitués du même nombre de personnes, il suffirait de conséder la moyenne arithmétique des trois valeurs 70,80 et 75. En effet, si on note x l effectif commun des trois sous-groupes, alors la x/ 70 + x/ 80 + x/ moyenne générale vaudra = = 75 cm x/ Exercice n 0 ) Puisque le nombre d observations est impair (97 = 48 + ), la médiane M sera égale à la 49 ème mesure de température, c est-à-dire, en observant le tableau, à 6,5 (la 49 ème observation fait partie des 5 mesures égales à 6,5 ) Le quartile Q est la plus petite valeur du caractère pour laquelle 5 % des valeurs de la série statistique lui sont 5 inférieures ou égales. Puisque 5% de l effectif total représentent 97 = 4,5, le quartile Q correspondra à la 00 5 ème mesure, c est-à-dire 6 De même, le quartile Q est la plus petite valeur du caractère pour laquelle 75 % des valeurs de la série statistique lui sont inférieures ou égales. Puisque 75% de l effectif total représentent 7 ème mesure, c est-à-dire 8 Page 5/ = 7, 75, le quartile Q correspondra à la 00

6 ) Le décile D est la plus petite valeur du caractère pour laquelle 0 % des valeurs de la série statistique lui sont 0 inférieures ou égales. Puisque 0% de l effectif total représentent 97 = 9,7, le décile D correspondra à la 0 ème 00 mesure, c est-à-dire 5 De même, le décile D 9 est la plus petite valeur du caractère pour laquelle 90 % des valeurs de la série statistique lui sont 90 inférieures ou égales. Puisque 90% de l effectif total représentent 97 = 87,, le décile D 9 correspondra à la 88 ème 00 mesure, c est-à-dire 9 Exercice n Puisque 5 est un nombre pair, la médiane de cette série statistique correspondra à la moyenne du nombre d interventions des 6 ème et 7 ème jours. On doit dresser le tableau des effectifs cumulés croissants : Nombre d'interventions Nombre de jours Effectifs cumulés croissants + = +4 =7 7+4 = +5 =6 6+7 = +8 = +7 =8 8+6 = = =5 5+ =5 On lit sur le tableau que le nombre d interventions correspondant aux 6 ème et 7 ème jours sont égales à 0, donc la médiane de cette série statistique vaut 0 Selon le même procédé, le quartile Q est égal à la moyenne du nombre d interventions des ème et 4 ème jours, à savoir 8. Ainsi Q = 8 Enfin, le quartile Q est égal à la moyenne du nombre d interventions des 9 ème et 40 ème jours, à savoir. Ainsi Q = ère étape : saisie des données statistiques (Menu STAT + EDIT) ème étape : Calculs statistiques effectués par la calculatrice D où les résultats : Exercice n ) Pour calculer le salaire moyen de l entreprise, il faut considérer le milieu de chaque classe : Salaire Effectif Le calcul de la moyenne est donc : somme des produits entre les valeurs et leurs effectifs 5 ni xi i= n x+ n x +... n5 x x = 5 = = n+ n +... n ni effectif total effectif total i = Page 6/0 somme des effectifs = = 99 00

7 Le salaire moyen dans cette entreprise est donc de 99. Il n est pas forcément très représentatif de cette entreprise, car plus de la moitié des employés y gagnent plus de 000 euros! ) Pour répondre à cette question, il faut dresser le tableau des effectifs cumulés croissants : Salaire [800 ;900[ [900 ;000[ [000 ;050[ [050 ;50[ [50 ;00[ Effectifs cumulés croissants = = = =00 Ainsi, 65 employés gagnent au plus 050 euros, au sein de cette entreprise A partir de ce tableau, on dresse le polygone des effectifs cumulés croissants effectifs cumulés croissants Effectifs cumulés croissants salaires A partir de ce polygone, on cherche le salaire médian, c est-à-dire celui qui va partager la série statistique en deux parties d égale amplitude. Il s agit donc du salaire correspondant à un effectif cumulé de 00 salariés (moitié de l effectif). On se place ainsi que l axe des ordonnées à l effectif cumulé 00, et on lit l antécédent de 00. Ce sera la médiane. On procède de même avec les quartiles Q et Q, qui correspondent respectivement à un effectif cumulé de = On lit graphiquement que Médiane 00, Q 95 et Q = 50 et de 4 Page 7/0

8 ) Calcul précis de la moyenne et des quartiles Q et Q Pour calculer la médiane, on va réaliser une interpolation linéaire entre les points A(000 ;9) et B(050 ;65) yb ya 65 9 L équation de la droite (AB) est de la forme y = mx+ p avec m = = =, 48 donc y =, 48x+ p. x x Pour trouver la valeur de p, on utilise les coordonnées de A (oub!) : y =,48x + p donc p= ya,48 xa = 9, = 89. L équation de (AB) est donc y =,48x 89. On trouve la médiane en calculant l antécédent de la moitié de l effectif (c est à dire 00/=00) par la fonction affine f : x,48 x 89, c est- 489 à-dire en résolvant l équation,48x 89 =00 x= 006,08. Ainsi Me 006, 48 Puisque le quartile Q semble lui aussi appartenir à l intervalle [ 000;050 [, on utilise la même droite, et on résout 59 l équation,48x 89 = 50 x= 09,86. Ainsi Q 040, 48 De la même manière, pour déterminer le quartiles Q, on doit déterminer l équation de la droite reliant les points (900 ;4) et (000 ;9). Cette droite a pour équation 449 0,49x 99 = 50 x= 96, fournit Q 96 0,49 4) Le diagramme en boîte de la série est donné par : B A y = 0, 49x 99, et la résolution de l équation A A Exercice n Pour le premier diagramme, Max=00, min=5, donc étendue=00-5=95, Q = 0, Mediane=45, Q = 65. L intervalle interquartile vaut donc Q Q = 65 0 = 5. Pour le deuxième diagramme, Max=80, min=0, donc étendue=80-0=70, Q = 5, Mediane=45, Q = 55. L intervalle interquartile vaut donc Q Q = 55 5 = 0. Pour le troisième diagramme, Max=95, min=0, donc étendue=95-0=75, Q = 5, Mediane=45, Q = 65. L intervalle interquartile vaut donc Q Q = 65 5 = 0. Exercice n 4 Comparaison de températures ) Ville de Pekin : L étendue des températures de la ville de Pekin vaut Max-min=-(-5)=6 La moyenne des températures de la ville de Pekin est égale à : x = = = 5 La variance des températures vaut donc V L écart-type des températures vaut donc σ = V = 94,5,95 Avec la calculatrice : ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) = = = 94,5 Page 8/0

9 Ville de Paris : L étendue des températures de la ville de Paris vaut Max-min=9-()=6 La moyenne des températures de la ville de Paris est égale à : x = = =,5 La variance des températures vaut donc V L écart-type des températures vaut donc σ = V =,5 5,68 ( ) + ( ) + + ( ) + ( ),5 4,5... 7,5 6,5 87 = = =,5 ) Les calculs précédents permettent d établir quelques remarques : En moyenne il fait plus chaud à Pekin qu à Paris L étendue des températures est plus forte à Pekin qu à Paris Le climat est plus «modéré» à Paris qu à Pekin car les températures sont moins «étirées» autour de la moyenne Exercice n 5 ) Afin de calculer la moyenne x et l'écart type σ de la série, il faut réorganiser cette série en effectifs : Note Total Effectif On calcule alors : x = = = 9, Puis la variance : ( ) ( ) ( ) 4 9, , ,75 69,95 V = = = 7, donc l écart-type σ = 7,74975,78 ) L intervalle x σ; x+ σ = [ 9, 75, 78;9, 75 +, 78] = [ 6,945;,505] contient 58 notes, soit un pourcentage égal à = 7,5%. Environ 7,5 % des notes sont donc en dehors de cet intervalle. 80 x σ; x σ + = 9,75,78;9,75 +,78 = 4,65;5,85 contient 76 notes, soit un pourcentage L intervalle [ ] [ ] égal à = 95%. Environ 5 % des notes sont donc en dehors de cet intervalle. 80 L échantillon de notes est donc "normal" Exercice n 6 ) et ) Les calculs fournissent : m = 5, s =, 604 ainsi que m = 5, s =,507 et m = 4, s =,44 La moyenne générale m vaut 4,7 et l écart-type de la distribution des 0 notes vaut s =,977 n 5 ) Pour les fonctionnaires du groupe, n = 4,7 +,977, 604 n 5 Pour les fonctionnaires du groupe, n = 4,7 +,977,507 n 4,7 Pour les fonctionnaires du groupe, n = 4,7 +,977, 44 ) Les nouvelles notes sont : Fonctionnaire A B C D E F G Note harmonisé 8,97 5,9 5,9,467,467,467,5 Fonctionnaire H J K L M N P Note harmonisé 7,066 6,77 5,489 5,489 4,7, 0,757 Fonctionnaire Q R S T V W Note harmonisé 7,496 6,098 6,098 4,4 4,4,904 Les fonctionnaires promus sont donc A,B,V,H,J,Q,R,S Page 9/0

10 Exercice n 7 ) et ) ère exploitation : Pour chaque décimal renvoyé, si il est strictement inférieur à 0,5 on associe PILE, si il est supérieur ou égal à 0,5 on associe FACE. Cette simulation appliquée à la capture ci-dessus donnerait Face PILE FACE Fréquence 0, 5 = donc 0% 4 = 0,8 donc 80% 5 ème exploitation : On exploite chacune des décimales du nombre renvoyé avec la convention : Si la décimale est strictement inférieure à 5, on associe PILE Si la décimale est supérieure ou égale à 5, on associe FACE Cette simulation appliquée à la capture ci-dessus donnerait Face PILE FACE Fréquence 0,47 49 donc environ 47 % 6 0,5 donc environ 5 % 49 ème exploitation : On exploite chacune des décimales du nombre renvoyé avec la convention : Si la décimale est paire, on associe PILE Si la décimale est impaire, on associe FACE Cette simulation appliquée à la capture ci-dessus donnerait Face PILE FACE Fréquence 6 0,5 49 donc environ 5 % 0,47 donc environ 47 % 49 ) L instruction INT (0 RAND) permet d obtenir une liste d entiers appartenant à l intervalle [0 ;9] Page 0/0

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