PLAN. 1-Les portefeuilles efficients : rentabilité et risque. II- Critiques du MEDAF et l'apt (Arbitrage Pricing Theory) :

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1 Introduction PLAN I- La présentation du MEDAF : 1-Les portefeuilles efficients : rentabilité et risque 1. La rentabilité 2-Le risque d une action 2-Le modèle MEDAF 1-Le principe 2-Le prix du risque II- Critiques du MEDAF et l'apt (Arbitrage Pricing Theory) : 1-Critiques du MEDAF 1. Le modèle zéro bêta de black (1972) 2. Modèle prenant en compte les taxes 3. Version en temps continu MERTON 4. Modèle prenant en compte l inflation 5. Modèle basé sur la consommation 6. Critique de ROLL 2-Théorie de l arbitrage APT (Arbitrage Pricing Theory) Conclusion 1

2 Introduction Cet exposé aborde directement les problèmes de sélection et gestion de portefeuille d un Point de vue théorique. Toute théorie est une vue simplifiée de la réalité et celleci n échappe pas à la règle. Toutefois, à l opposé de beaucoup d entre elles, le modèle d équilibre des actifs financiers qui va être de présenté a des implications pratiques fondamentales et semble bien expliquer les changement de cours constatés. Il faut donc voir la non seulement un cadre d analyse pour la sélection de portefeuille, mais également une quantification des variables importante de la décision d investissement sur les marchés financiers. La sélection d un portefeuille est généralement précédée par l analyse financière e d un ensemble d actions individuelles. Si la l objectif de l investisseur est de maximiser ses gains futurs ou son espérance de gains futurs, son portefeuille ne sera constitué que d une seul valeur, celle qui lui assure la rentabilité espéré maximale. Cependant, aucun investisseur ne détient simplement une valeur mais plutôt un portefeuille diversifié. Si la rentabilité espéré est grande le risque qu elle ne soit pas réalisée est généralement élevé et il semble préférable à chacun de répartir les risques sur un ensemble de «bonnes valeurs». En effet, la diversification réduit le risque total d un portefeuille. Dans ce sens, H. Markowitz, dans une analyse qui tient compte à la fois des gains espérés et des variations possibles de ces gains espérés, suggère une procédure pour la sélection de portefeuilles optimaux. Pour ce faire nous traiterons le MEDAF comme model de gestion du marché, les critiques et enfin la théorie de l arbitrage (APT) qui vient pour combler le MEDAF. 2

3 I- La présentation du MEDAF : 1-Les portefeuilles effcients : rentabilité et risque a. La rentabilité La rentabilité d une action peut être présenté Rt comme la somme des plus-values en capital et des dividendes rapportée au cours de l action au début de la période. ( P t P t-1 )+ D t R t = P t-1 la rentabilité espérée sur une action (ou son espérance mathématique) E(Rt) est simplement égale à la moyenne pondérée des rentabilités espérée sur les différents titres qui le composent. Le taux de rentabilité espéré d une action peut être différent de la performance moyenne accomplie par cette action dans le passé. Par contre si l on s attend à ce que la distribution a priori des taux de rentabilité passé soit maintenue dans le futur, la valeur espérée peut être estimé à partir du taux de rentabilité moyen réalisé lors des périodes précédentes. 1 n R = n R t t-1 En effet, tout investisseur préférera certainement des opportunités d investissement qui offrent les perspectives les plus intéressantes, toutes choses étant égale par ailleurs. Le taux de rentabilité, pris isolement, ne suffit pas pour caractériser une opportunité d investissement. Il est aussi nécessaire de considérer des déviations possibles de taux de rentabilité par rapport à leurs valeurs espérées, ce qui nous ramène au concept d incertitude ou de risque. b. Le risque d une action 3

4 Le risque d un investissement en valeurs mobilières provient de ce que les espérances de rentabilité ne sont pas toujours réalisées. Certes, ces espérances peuvent être dépassées, mais il peut arriver également que la rentabilité d un titre ou d un portefeuille soit nettement inférieure aux anticipations, voir même fortement négative. La dispersion des rentabilités autours de la rentabilité moyenne ou espérée traduit donc la rentabilité moyenne ou espérée traduit donc l incertitude ( ou le risque du placement). L écart type ou son carré la variance est faible. Au niveau de la mesure, il nous faudrait calculer le risque ex ante ; or la variance ne peut être calculée que sur les fluctuations passées des taux de rentabilité. Toutefois, Blume (1970 ), Altman, Jacquillat, Levasseur ( 1974 ) et Pogue, Solnik ( 1974 ) ont mon tré empiriquement que la volatilité des variations de cours d actions et portefeuilles est relativement stable. On peut donc utiliser une mesure du risque passé pour évaluer le risque d un placement actuel. 2-Le modèle MEDAF : a. Le principe Le modèle d équilibre des actifs financiers ou MEDAF, qui va être développé ici, se propose de déterminer les prix des valeurs mobilières qui permettent à l offre et à la demande pour chacun des titres de s équilibrer et donc de dégager l équilibre général du marché. Il convient tout d abord de rappeler que l analyse précédente ne considérait que les placements risqués. Or il est possible de placer son argent dans un actif dénué de risque au taux Rf (taux d intérêt à court terme). Le modèle d équilibre suppose que ce taux sans risque est le même pour l emprunt et le prêt. Il s agit là d une hypothèse peu réaliste pour un investisseur privé mais qui peut être relaxée dans une version plus sophistiquée de cette théorie. Un certain nombre d autres hypothèses sont 4

5 nécessaires au développement de cette théorie proposée par SHARPE (1964) et LINTNER (1965) : le marché est composé d investisseurs qui essaient d éviter le risque et de maximiser leur espérance d utilité sur la période. En particulier, pour un niveau de rentabilité espérée chaque investisseur essaye de minimiser la variance en fin de période. Cette période est la même pour tous les investisseurs ; les anticipations de rentabilité et de risque sont les mêmes pour tous les investisseurs ; les marchés de capitaux sont parfaits en ce sens que tous les actifs sont indéfiniment divisibles ; il n y a aucun frais de transactions et pas d impôts, aussi les taux d emprunts et de prêt sont égaux et les mêmes, quelque soit l investisseur. En conséquence, la frontière efficiente des portefeuilles d actifs risqués est identique pour chaque investisseur. Choisissons un portefeuille de référence P En combinant un placement dans l actif sans risque (rentabilité Rf ) et un portefeuille d actions (rentabilité espérée E(Rp ), risque p ), l investisseur anticipe une rentabilité E(R) sur l ensemble de ses placements, telle que : Et E(R) = (1-x) R f + xe(r p ) 2 = x 2 p 2 x est la proportion de la fortune investie en actions. Des deux relations que nous venons d écrire on peut déduire que : 5

6 = x p E(R ) R f = x (E(R p ) R f ) D où, en éliminant x; E( R)= R f + E ( R p ) R f p Comme on le voit il s agit là d une relation linéaire entre la rentabilité du portefeuille et son risque total. Ainsi toute combinaison d un portefeuille actions et d un placement dans l actif sans risque sera représenté par une droite dans l éspace rentabilité-risque, telle que la droite RfP de la figure suivante : P La frontière efficiente et le portefeuille de marché 6

7 Les points situés sur RfP à droite de P sont obtenus pour x> 1, c'est-à-dire en empruntant pour accroître son investissement dans le portefeuille d actions. Toute droite joignant le taux d investissement sans risque à un point situé sur ou au dessous de la frontière efficiente constitue un ensemble d opportunités d investissement. Celle qui aura la plus forte pente sera celle qui est tangente à la frontière efficiente des actifs risqués (ligne Rf M sur la figure). Ainsi, tous point de cette droite domine les autres portefeuilles de même risque. un investisseur qui désirerait prendre peu de risque allouerait une partie de ses ressources au placement sans risque et une autre partie au portefeuille M. Un investisseur plus spéculateur emprunterait au taux sans risque et investirait tous ses fonds disponibles dans le portefeuille M. Quelle va donc être la composition de ce portefeuille M? Il est facile de répondre à cette question puisque désormais le choix du risque peut être séparé de la sélection des valeurs mobilières. Le niveau de risque est obtenu en prêtant ou empruntant plus ou moins, mais tout le monde investit dans le même portefeuille d action M. il en résulte que ce portefeuille ne peut être formé que de l ensemble des valeurs cotées ; c est le portefeuille de marché. Tout investisseur détient donc une combinaison de l actif sans risque et de portefeuille du marché. Tout portefeuille ainsi constitué est, par définition, parfaitement diversifié puisqu il inclut toutes les actions dans les proportions de leurs capitalisations boursières. C est là le théorème de séparation. Revenons un instant à la figure précédente. L équation de la droite Rf M s écrit : E(R) = R f + E ( R m ) R f m La pente de cette droite E ( R m ) R f risque. m donne une mesure de la rémunération du Toutefois, cette formule ne s applique qu aux portefeuilles situés sur cette droite. 7

8 2- Le prix du risque Il est montré en annexe qu il doit exister une relation entre la rentabilité espérée sur chaque action ou chaque portefeuille et sa covariance entre le marché plus précisément, on démontre que pour une action ou un portefeuille i : E(R i ) - R f = σ im / σ 2 m ( E (R m ) R f ) Sachant que bêta est le rapport σ im / σ 2 m. Donc E(R i ) - R f = β i ( E (R m ) R f ) Si nous voulons comparer cette relation à celle uniquement valable pour les portefeuilles efficients, on peut la réécrire sous la forme: E(R i ) - R f = E (R m ) R f / σ im *β i σ im On retrouve bien la pente de la droite précédente E (Rm) Rf / σim mais le risque qui est rémunéré n est pas le risque total de l action : c est son risque systématique, tel qu il a été défini précédemment βi σim. Ainsi, tout investisseur qui sera prêt à couvrir un risque plus élevé devrait obtenir une rentabilité plus forte, mais il ne sera compensé que pour le risque systématique qu il assumera et non pour le risque diversifiable. Tous les risque de la droite Rf M sont parfaitement diversifiés et pour ceux-là le risque total se réduit au risque systématique (ou de marché). Intuitivement on pourrait dire qu il n y a pas de raison que le marché rémunère le risque non systématique puisqu on peut l éviter par une bonne diversification de son portefeuille. Beaucoup préfèrent désormais parler en termes de bêta et utilisent la formulation de détermination des rentabilités des actions E(R i ) - R f = β i ( E (R m ) R f ) Le bêta d une action est son risque systématique exprimé en unités de risque de marché. Ainsi, les rentabilités espérées sur chaque action et portefeuille sont proportionnelles à leur bêta, le coefficient de proportionnalité étant égal à la rentabilité espérée sur le marché en excès du taux d intérêt sans risque. Seul le bêta devrait ainsi déterminer le cours d une action. Cela peut être représenté par le 8

9 graphique suivant qui aurait le taux de rentabilité escompté en ordonnée et le bêta en abscisse. RE M R f β 1 Le prix de risque La droite Rf M dans le plan rentabilité - bêta s appelle la droite de marché. Tous les portefeuilles et actions figurent sur cette droite. On appelle généralement prime de risque la différence de rentabilité entre un actif risqué et un actif sans risque. E (Rm) - Rf est la prime de risque du marché. Cette théorie a un contenu intuitif évident. Il est toujours facile de choisir un portefeuille qui se situe sur la droite de marché. Il suffit de placer son argent en partie dans l actif sans risque. Par exemple un portefeuille investi pour moitié dans un fonds indiciel et pour la moitié dans un fonds de trésorerie (actif sans risque) aura un bêta de 0,5 et une rentabilité égale à la moyenne de celle sur le marché et l actif sans risque. Dès lors, n importe quel investisseur «passif» peut se situer sur la droite de marché pour le niveau de risque désiré. Dans un marché efficient, la théorie nous dit qu on ne peut pas faire mieux en termes de rentabilité / risque. C est au gérant de montrer que par des qualités de gestion particulières ou de meilleure information il peut créer des portefeuilles qui se situent au dessus de la droite de marché. En effet de conclusion peuvent se dégager du MEDAF qui a été développé dans le cadre d un marché efficient. 9

10 La première conclusion est purement normative et montre que tout investisseur rationnel devrait détenir une combinaison d actifs sans risque et du portefeuille de marché. Comme toute règle normative, celle-ci ne peut être soumise à une vérification de mesure empirique. La deuxième conclusion fondamentale est que le taux de rentabilité de chaque action en excès du taux d intérêt sans risque dépend uniquement de son bêta. Un tel résultat peut paraître surprenant, d autant qu il est fondé sur des hypothèses de rationalité du marché que le praticien n est souvent pas prêt d accepter. Il convient donc de soumettre la relation de prix du risque à l épreuve de la vérification statistique. II- Critiques du MEDAF et l'apt (Arbitrage Pricing Theory) : 1-Critiques du MEDAF La version d origine du MEDAF est donc basée sur des hypothèses qui ne peuvent absolument pas être vérifiées complètement. L irréalisme de ces hypothèses de base a conduit plusieurs auteurs à formuler des critiques en étudiant les conséquences du non respect de ces hypothèses en les reconsidérant, mais ces études n ont porté que sur une seule hypothèse à la fois. Parmi l ensemble des critiques formulées qui ont contre verser le MEDAF ainsi développé, celle qui présente plus d intérêt pour les applications pratiques sont les suivant : a.le modèle zéro bêta de black (1972) Ce modèle est le plus utilisé après la version d origine. Cette version a été développée pour mettre en cause deux hypothèses de modèle : L existence d un actif sans risque et donc la possibilité de prêter ou d emprunter à ce taux ; Et l hypothèse d un même taux pour le prêt et l emprunt. 10

11 Black a montré que la théorie du CAPM est encore valable sans l existence de l actif sans risque, et a développé une version du modèle, en le remplaçant par un portefeuille ou un actif de bêta nul. Donc au lieu de prêter ou d emprunter au taux sans risque, il est possible de prendre à la place des positions à découvert sur les actifs risqués. b.modèle prenant en compte les taxes : Le modèle de base du CAPM suppose qu il n existe pas de taxes. L investisseur est alors indifférent au fait de recevoir un revenu en dividende en gain de capital, et les investisseurs détiennent le même portefeuille d actifs risqués. Or la taxation des dividendes et des gains en capitaux est en générale différente et ceci est susceptible d influencer la composition d actifs risqués des investisseurs et donc la prise en compte des taxes peut modifier le prix d équilibre des actifs. Et c est en réponse à ce problème que BERNNAN a développé une version du MEDAF permettant de prendre en compte l impact des taxes sur le modèle. c. Version en temps continu MERTON Le modèle de MERTON est désigné sous le nom de Inter temporel Capital Asset Pricing Model (ICAPM). C est une version en temps continu de CPAM et donc réfutant la stabilité sur la période d investissement. Dans ce modèle, il est supposé qu une variable d état, par le taux d intérêt sans risque, évolue aléatoirement au cours du temps. Dans ce cas MERTON montre que les investisseurs détiennent des portefeuilles issus de trois fonds ; l actif sans risque, le portefeuille de marché et un troisième portefeuille, choisi de telle sorte que sa rentabilité soit corrélée négativement et de façon parfaite avec la rentabilité de l actif sans risque. Le troisième fonds inclus permet de se couvrir contre le risque de changement non anticipé de la valeur future de taux sans risque. d. Modèle prenant en compte l inflation 11

12 Ce modèle est un exemple simple de la généralisation du CAPM à plusieurs facteurs. On suppose ici que l inflation incertaine, ce qui constitue un facteur de risque supplémentaire, qui vient s ajouter au facteur de risque de marché du modèle de base. e. Modèle basé sur la consommation Il s agit la aussi d un modèle multi périodique, mais qui s éloigne du modèle de base par le fait que les rentabilités sont expliquées à l aide de taux de croissance de la consommation et non plus de la rentabilité du marché. La présentation de ces versions du MEDAF a permis de constater que la structure générale du modèle de base était assez respectée. Mais il faut souligner que les modèles ont été élaborés on ne modifiant qu une seule hypothèse à la fois. Que se passerait-il alors si on en modifie plusieurs à la fois ou on en intégrant d autres facteurs? C est ce à quoi vont répondre d autres modèles, tels que APT. f. Critique de ROLL Efficience et équilibre de marche En fait un modèle d équilibre ne peut exister que dans un contexte d efficience des marchés.en effet l étude de l efficience de marché permet d analyser la façon dont les prix des actifs financiers évoluent vers leur valeur d équilibre. Comment peut on alors définir l efficience du marche et quelles sont se différentes formes? Définition 1 (fama 1970) : Les marchés sont efficients si le prix des actifs reflètent l information disponibles. immédiatement toute 12

13 Définition 2 (Jensen) : dans un marché efficient une prévision dégage un profit nul, c'est-à-dire que les frais liés a la recherche d information et à sa mise en œuvre viennent annuler le bénéfice supplémentaire procuré. Il existe différents degrés dans l efficience des marches : L efficience faible : si l information ne contient que les cours passés ; L efficience semi forte : si l information contient en plus l information les information publiques L efficience forte : si toute l information, publique et privée, est contenue dans les cours présent des actifs. Les marchés vérifient plutôt la forme faible ou semi forte de l efficience, mais l hypothèse du marche parfait du MEDAF se réfère en fait a la forme forte. La démonstration du MEDAF repose sur l efficience du portefeuille du marché à l équilibre. Cette efficience est une conséquence l hypothèse selon laquelle les investisseurs font tous les mêmes prévisions concernant les actifs. En effet ils construisent tous alors la même frontière efficiente d actifs risqués et choisissent uniquement d investir dans les portefeuilles efficients de cette frontière. Le marché étant l agrégation des portefeuilles des investisseurs individuels, c'est-à-dire d un ensemble de portefeuille efficient, le portefeuille de marché est efficient. Dans l absence de cette hypothèse d anticipation homogène des investisseurs, on est plus assuré de l efficience du portefeuille de marché, et par conséquent on est plus sur de la validité du modèle d équilibre. La théorie de l efficience des marchés est donc étroitement liée à celle du MEDAF. Il n est pas possible de tester la validité de l une sans l autre. Ce problème constitue un point important de la critique de ROLL sur le modèle. L essentiel de sa critique concerne l impossibilité de mesurer le vrai portefeuille de marché. La critique 13

14 ROLL à montré que la relation du MEDAF impliquait que le portefeuille de marché était efficient au sens moyenne variance Il en a déduit que pour tester la validité de ce modèle, il fallait nécessairement montrer que le portefeuille de marché était efficient. Or, le vrai portefeuille de marché n est pas observable, il est difficile voir impossible de le déterminer, car il doit contenir tous les actifs risques même ceux qui ne sont pas négociés (actions, obligations, valeurs immobilière, matière première.). A la place de celui-ci on utilise un indice boursier, qui ce veut une approximation au portefeuille de marché ; a titre d exemple le CAC 40, TSE. ; Et par voie de La conséquence des résultats des testes empiriques sont étroitement dépendant de l indice choisi comme approximation du portefeuille de marché. Si ce portefeuille est efficient on va conclure à la validité du model. Dans le cas contraire on conclura que le model n est pas valide. Mais ces testes ne permettent pas de savoir si le vrai portefeuille de marché est réellement efficient. Par conséquent ROLL en conclut qu il n est pas possible donc de valider empériquement le MEDAF. En outre, le fait d utiliser un portefeuille qui n est pas le vrai portefeuille de marché conduit à des erreurs d estimation dans les bêtas. Et donc la nécessaire adaptation du MEDAF, qui reste néanmoins un model de référence. Ces criques ont conduit au développement d autres models par la suite, et qui vont permettre surtout un meilleur calcul du bêta. Et c est le cas du model APT. 2-Théorie de l arbitrage APT (Arbitrage Pricing Theory) : En partant de la formule générale du modèle d évaluation des actifs financiers on peut relevé un certain nombre de critique qui vont introduire un nouveau modèle concurrent : 14

15 Taux de rentabilité exigé = taux de l argent sans risque + prime de risque du marché Soit : E (Ri) = Rf + (E (Rm) Rf) L idée centrale du modèle d évaluation (ou d équilibre) des actifs financiers (CAPM), est qu il n existe qu un seul type de risque qui influe sur le rendement moyen, à long terme, des investissements, notamment en valeurs mobilières : le risque de marché, matérialisé par l évolution tendancielle du cours de la valeur par rapport à la moyenne du marché. Dans le modèle CAPM, le risque du marché est mesuré par le bêta. La validité du modèle CAPM et l importance du bêta sont un sujet controversé. Ces controverses portent aussi bien sur la définition correcte de l indice de marché, que sur l absence de confirmation empirique de la pertinence du bêta. Le modèle d évaluation par arbitrage (APT) est une théorie concurrente qui peut remédier aux problèmes d application de la méthode CAPM, tout en préservant son message essentiel. Bien que ne constituant pas une panacée que l on espérait à l origine, la méthode APT demeure une alternative viable au modèle CAPM, pour les théoriciens comme pour les hommes du terrain. L idée centrale du modèle APT d évaluation par arbitrage est qu un petit nombre de facteurs influencent systématiquement les rendements moyens à long terme des valeurs mobilières. Les partisans les plus ardents su modèle APT ne nient pas qu une multitude de facteurs concourent à déterminer le cours des actions et des obligations. Toutefois, la méthode APT permet de se concentrer sur un petit nombre de facteurs pertinents qui semblent déterminer les rendements de la plupart des actifs tâche suffisamment complexe en elle même- sans qu il soit besoin de s encombrer d une multitude d autres facteurs qui risquent d obscurcir le problème. En outre, comme dans le CAPM, les risques qui n ont pas un caractère systématique peuvent être éliminés par diversification et ne sont pas rémunérés. Suffit-il de prendre en compte seulement les deux types de risques proposés par le CAPM? L une des principales conclusions du CAPM, c est qu il existe deux types de risques. Le premier c est le risque associé au marché boursier en général, tel que mesuré par 15

16 le bêta. Le second, c est le risque spécifique à une société et qui contrairement au premier ne peut être diversifié. Prenons, à titre d exemple, un portefeuille ne comprenant que des valeurs du secteur des services publics, et un portefeuille ne comprenant que des valeurs du secteur financier. Même si les deux portefeuilles avaient le même bêta et été raisonnablement bien diversifiés, devrions nous attendre à ce que ces deux portefeuilles réagissent de la même manière à des chocs des macroéconomiques? Pas obligatoirement. Si, par exemple, la conjoncture économique ralentit, on peut s attendre à ce que les performances des valeurs du secteur financier soient relativement moins bonnes que celles des valeurs du secteur des services publics est réglementé et les sociétés peuvent répercuter sur leurs clients l impact de périodes conjoncturelles difficiles, ce qui a pour effet d en amortir quelque peu les conséquences sur le cours de la valeur. Par contre les banques risquent de se trouver aux prises avec une augmentation des créances irrécouvrables dans leurs livres, et les valeurs bancaires peuvent être plus sensibles à de mauvaises nouvelles économiques. Le même effet peut se produire en présence d autres facteurs macroéconomiques, tels production industrielle, l évolution des prix et les taux d intérêt à long terme. Puisque il est possible de détenir deux portefeuilles ayant le même bêta mais des sensibilités différentes aux risques macro-économiques, un investisseur ne peut pas s attendre à obtenir le même rendement moyen à long terme sur les deux. Le modèle APT intègre ces différences potentielles. Une grande diversité de risque économique peut être incorporée dans le modèle, si l on utilise plusieurs bêtas. Chaque bêta captera alors la sensibilité de la valeur au facteur correspondant. L APT tel que le propose S. ROSS fait l hypothèse que la prime de risque est fonction de plusieurs variables (et non plus d une seule). Le titre est alors plus ou moins sensible à ces variables macroéconomiques (V1, V2,, VN), et il subsiste un «bruit» propre à l entreprise. On a donc pour un titre j : Ri = ai + 1i V1 + 2i V2 + + ki Vk + bruit Le modèle ne donne pas une liste définie des facteurs V. dans l article fondateur de S. ROSS, l auteur retient sur la base d analyses quantitatives les critères suivants : 16

17 Variations non anticipées de l inflation ; Variations non anticipées de la production industrielle ; Variations non anticipées de la prime de risque ; Evolution de la courbe des taux. L utilisation de ce modèle requiert, dans un premier temps, l identification des variables significatives pour un titre et des primes de risque correspondantes exigées par les investisseurs, puis la mesure de la sensibilité du titre à ces facteurs. Ainsi, l industrie chimique ou papetière est plus sensible à l évolution des grandeurs macroéconomiques que les jeux de vidéo ou la distribution d eau. Conclusion 17

18 Si l on souhaite faire le lien avec le portefeuille de marché, on constate que le modèle APT a remplacé la notion (délicate à mesurer dans la pratique) de rentabilité exigée par le marché en faveur d une série de variables qui restent malheureusement à déterminer c est ce qui explique que l APT soit un outil de gestion de portefeuille et non d évaluation des actions. Reste à dire qu il existe d autres approches qu se sont apparu pour l évaluation des portefeuilles telle : La théorie du CHAOS. Les réseaux de neurones ; La géométrie fractale Bibliographie 18

19 Ouvrages : Octave Jokung BIB Nuguéna, microéconomie de l incertain,2ème édition Thierry granger, microéconomie financière, édition Sites Internet :