CONVERSION DE PUISSANCE

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1 Spé y Devoir n 5 CONVERSION DE PUISSANCE Parie I EUDE D UN CAPEUR DE POSIION ANGULAIRE A / ÉUDE D'UN CIRCUI MAGNÉIQUE Considérons le disposiif schémaisé sur la figure, composé de deux bobines (R) e (S), couplées par un circui magnéique. Les bobines comporen respecivemen n R e n S spires, de secion idenique S. Le circui magnéique se compose d'un cylindre cenral en fer, d'une couronne exérieure en fer e d'un enrefer annulaire comporan de l'air. D'un poin de vue magnéique, l'air es assimilable au vide. On appelle H fer e H air les exciaions magnéiques dans le fer e dans l'air, B fer e B air les champs magnéiques dans le fer e dans l'air. On raisonnera oujours sur la ligne de champ moyenne qui a une longueur l fer dans le fer e l air dans l'air. Dans les quesions 1 à 5, on suppose que la bobine (R) es parcourue par un couran d'inensié i R e que la bobine (S) n'es parcourue par aucun couran. I-A1. Par applicaion du héorème d'ampère sur un conour à préciser, déerminer la relaion exisan enre H fer, H air, l fer, l air, n R e i R. I-A2. En écrivan la conservaion du flux sur un pei cylindre de base Σ e de longueur L (comme le monre la figure ciconre), donner une relaion simple enre B fer e B air. I-A3. Le fer es assimilé à un maériau de perméabilié relaive µ r. l air, n R, i r, µ r e µ 0. a) Déerminer l'expression de B fer en foncion de l fer, b) Simplifier cee expression dans le cas du fer supposé parfai, de perméabilié relaive µ r infinie. c) Quel inérê a--on, pour un champ magnéique donné, à réduire auan que possible la longueur l air de l'enrefer? L'inducance propre d'une bobine es le coefficien de proporionnalié enre le flux propre de cee bobine (c'es à dire le flux du champ créé par le couran circulan dans cee bobine, à ravers elle-même) e le couran circulan dans cee bobine, ce qui s'écri, pour la bobine (R) : Φ propre = L R i R. I-A4. Déerminer l'expression de l'inducance propre L R de la bobine (R ) en foncion de l fer, l air, n R, S, µ r e µ 0. La muuelle inducance M RS enre les bobines (R) e (S) peu se définir comme le coefficien de proporionnalié enre le flux Φ RS, à ravers la bobine (S), du champ magnéique créé par le spé y page 1/5 devoir n 5

2 couran circulan dans la bobine (R), e le couran i R circulan dans la bobine (R). M RS es donc elle que : Φ RS = M RS i R. I-A5. Éablir l'expression de la muuelle inducance M RS en foncion de l fer, l air, n R, n S, S, µ r e µ 0. Pour les quesions 6, on suppose que la bobine (S) es parcourue par un couran d'inensié i S e que la bobine (R) n'es parcourue par aucun couran. I-A6-a. Par une éude analogue à celle précédemmen menée, éablir l'expression de l'inducance propre L S de la bobine (S) en foncion de l fer, l air, n S, S, µ r e µ 0. b) Déerminer de même l'expression de la muuelle inducance M SR enre les bobines (S) e (R). M SR es définie comme le coefficien de proporionnalié enre le flux Φ SR, à ravers la bobine (R), du champ magnéique créé par le couran i S circulan dans la bobine (S), e le couran circulan dans la bobine (S), ce qui se radui par : Φ SR = M SR i S. I-A7-a. Comparer M SR e M RS. b) Déerminer une relaion enre la muuelle inducance (désormais noée M) e les inducances propres L S e L R. I-A8. Calculer les valeurs de L R, L S e M avec les données numériques suivanes : l fer = 15 cm, l air = 2 mm, µ 0 = 4π 10-7 SI, µ r = 10 5, S = 2,5 cm 2, n R = 50 e n S = 80. Le raisonnemen ne pore plus sur la ligne de champ moyenne, mais sur l'ensemble des lignes de champ, de sore qu'il exise des lignes de champ appelées lignes de champ de fuie, comme le monre la figure ci-conre. I-A9. Qu'en déduisez-vous quan à la relaion enre M, L S e L R? B / ÉUDE D'UN RÉSOLVEUR Un résolveur es un capeur de posiion qui perme de déerminer la posiion angulaire θ d'un arbre en roaion. Il s'apparene à un ransformaeur ournan don la parie mobile, appelée roor, es consiuée d'une bobine (R) e don la parie saique, appelée saor, es consiuée de deux bobines (S1) e (S2) ideniques, disposées selon deux direcions orhogonales. Ces bobines son couplées par un circui magnéique). La parie cenrale, aachée à l'arbre de roaion ourne à la même viesse angulaire Ω que lui. La parie exérieure, liée au référeniel du laboraoire es fixe. Le résolveur peu êre schémaisé par la figure ci-dessous. La muuelle inducance enre les bobines (R) e (S1) lorsque θ = 0 es noée M ; c'es aussi la muuelle inducance enre les bobines (R) e (S2) lorsque θ = π/2, c'es à dire lorsque le roor a ourné d'un quar de our. Un sysème de bagues e de balais perme d'alimener la bobine ournane (R). Les deux bobines fixes (S1) e (S2) son reliées à des récepeurs d'impédances infinies. La bobine (R) es alimenée par un couran coninu d'inensié I R0 e le roor ourne à la viesse angulaire Ω = d θ, d supposée consane e posiive. Les bobines (S1) e (S2) ne spé y page 2/5 devoir n 5

3 son parcourues par aucun couran. I-B1-a. Déerminer les flux d'inducion Φ S1 e Φ S2 dans les bobines (S1) e (S2) en foncion de M, θ e I R0. On respecera la convenion d'orienaion des surfaces des bobines, définie par les veceurs r n 1 e r n 2 (voir la figure ci-dessus). b) En déduire l'expression des ensions induies V S1 () e V S2 () aux bornes des bobines (S1) e (S2). Dessiner l'allure de ces deux ensions, en supposan qu'à l'insan = 0, θ = 0. c) Expliquez pourquoi le résolveur compore deux bobines (S1) e (S2), pour mesurer des posiions angulaires comprises enre 0 e 2π. La bobine (R) es désormais alimenée par un couran sinusoïdal i R () = I Rm cos(ω). Les bobines (S1) e (S2) ne son parcourues par aucun couran. Le roor ourne à une viesse angulaire Ω = d θ quelconque (évenuellemen nulle si la machine es à l'arrê). d I-B2-a. En respecan oujours la convenion d'orienaion définie sur la figure 5, déerminer l'expression des flux d'inducion Φ S1 e Φ S2 dans les bobines (S1) e (S2) en foncion de M, θ, Ω, I Rm e. b) En déduire l'expression des ensions induies V S1 () e V S2 () aux bornes des bobines (S1) e (S2). Simplifier ces expressions dans le cas où Ω << ω. c) Le roor ourne à une viesse angulaire Ω consane e non nulle. Dessiner l'allure des ensions V S1 () e V S2 (), en considéran qu'à l'insan = 0, θ = 0. d) Pourquoi es-il préférable d'alimener la bobine (R) par du couran sinusoïdal haue fréquence pluô que par du couran coninu? Parie II EUDE D UNE MACHINE A COURAN CONINU L arbre en roaion du résolveur es celui d une machine à couran coninu don les caracérisiques son les suivanes : induceur à aimans permanens ; indui : résisance R = 4,0 Ω ; consane de f.é.m. e de couple Φ 0 = 0,30 V.s.rad 1 ; inensié nominale : I n = 4,0 A. Les froemens ainsi que les peres dans le fer seron négligés. On noera en oure : C le momen du couple élecromagnéique, Ω la viesse angulaire de roaion, n la fréquence de roaion en r.s 1, e la f.é.m. : e = Φ 0 Ω, u la ension aux bornes de la machine. II.1. Éablir l'expression du momen du couple élecromagnéique. II.2 Pour le couran nominal d'inensié I n, calculer les valeurs numériques de la ension d alimenaion U e du momen du couple élecromagnéique pour les fréquences de roaion suivanes : n = 0 e n = 50 r.s 1. II.3. On applique sur l'arbre de la machine un couple résisan de momen C R = 0,80 N.m.. a) Déerminer la relaion expriman Ω en foncion de U, R, Φ 0 e C R en régime permanen. b) A parir de quelle valeur de l'inensié I le moeur peu-il démarrer? Quelle es la ension U correspondane? i M u spé y page 3/5 devoir n 5

4 II.4. Quelle ension U maximale doi-on s'imposer au démarrage pour que l'inensié I D de démarrage demeure inférieure à 1,25 I n? Parie III EUDE D UN CONVERISSEUR La machine es alimenée par le converisseur don le schéma es représené ci-dessous. Les ordres d'ouverures e de fermeures des inerrupeurs (H 1, H 2, H 3 e H 4 ) son élaborés à parir d'une ension de conrôle V C. H 1, H 2, H 3 e H 4 son des H 1 H 2 inerrupeurs unidirecionnels en couran commandés à l'ouverure e la fermeure ; à l'éa fermé, ils ne i présenen pas de chue de ension à leurs bornes. M III.1. es la période de foncionnemen; α es un coefficien compris enre 0 e 1. Pour 0 < < α H 1, e H 3 son commandés à l'éa fermé ; H 2, e H 4 son commandés à l'éa ouver. u D 4 H 3 D 3 Pour α < < α H 1, e H 3 son commandés à l'éa ouver ; H 2, e H 4 son commandés à l'éa fermé. Dans ces condiions, représener la ension u() en foncion du emps e calculer la valeur moyenne U MOY de u(). Commen varie le signe de U MOY en foncion de α? III.2.Le schéma suivan présene 4 cas de foncionnemen possible. Pour chacun de ces cas, i() évolue enre une valeur minimale e une valeur maximale. La conducion es ininerrompue. u() /2 α u() H 4 /2 α D 1 D 2 i() i() /2 α /2 α cas n 1 cas n 2 u() α /2 u() α /2 i() α /2 cas n 3 a) En uilisan le modèle de machine à couran coninu éudié à la parie II, éablir un bilan de puissance moyenne en précisan les grandeurs inervenan dans ce bilan en plus de la puissance dissipée par effe Joule, noée P J,MOY. Que peu-on dire de P J,MOY si l on suppose que le rendemen de la machine es proche de 1? b) Quel es le régime de foncionnemen de la machine à couran coninu (moeur ou générarice) e le sens de la viesse de roaion dans chacun des cas proposés? i() α /2 cas n 4 spé y page 4/5 devoir n 5

5 c) Éablir l expression de i() en régime permanen dans le cas n 1, en supposan la f.e.m. e du moeur consane. En déduire les expressions de e dans ce cas e en déduire l expression de l ondulaion I =. d) On place une bobine d auoinducance L en série avec la machine. Reprendre l éude la quesion précédene en supposan que l inensié ne s annule jamais. Que devien l expression de I si R L << 1. Quel es le rôle de la bobine? Parie IV ASSERVISSEMEN DE POSIION La machine, commandée par le converisseur, es asservie en posiion suivan le schéma : POENIOMERE DE CONSIGNE θ REF AMPLIFICAEUR + A CONVER ISSEUR RESOLVEUR U MOY M CHARGE θ DEECION DE PHASE Le poeniomère de consigne délivre une ension V REF = aθ REF ; L amplificaeur délivre la ension V C = Aε (où ε = V REF V CAPEUR es la ension d erreur délivrée par le comparaeur) ; Le converisseur, éudié dans la parie précédene, délivre une ension consane U MOY = H.V C avec H = 4; Le moeur M es celui éudié dans la parie II. On adme que l ensemble résolveur-déecion de phase perme d obenir une ension : V CAPEUR = bθ. Dans cee éude, la charge mécanique impose sur l'arbre uniquemen un couple résisan de froemen fluide de momen C R = fω, avec f = 2, N.m.s. Le momen d'inere oal ramené sur l'arbre de la machine es J = 3, kg.m 2. IV.1. On adopera le modèle ci-conre pour l'ensemble converisseur-machine : I a) Éablir l'équaion différenielle vérifiée H.V C par la viesse angulaire Ω() en foncion de f, Φ 0, R, H e V C. CONVERISSEUR b) En déduire que l équaion différenielle 2 d θ dθ vérifiée par θ() peu s écrire τem GV 2 C d + d =. IV.2. On noe θ(p) e V C (p) les ransformées de Laplace de θ() e V C (). a) En considéran les condiions iniiales nulles θ(0) = 0 e V C (0) = 0, exprimer la p foncion de ransfer (p) du sysème converisseur-arbre de la machine:( p) = θ ( ) V ( p ). C ( p) b) Exprimer la foncion de ransfer S (p) du sysème global:s ( p) = θ en précisan la naure de l opéraion réalisée par le sysème θref( p) bouclé. R Φ 0 Ω Ω spé y page 5/5 devoir n 5

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