Statistiques industrielles Management de la production et de la qualité

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1 Statistiques industrielles Management de la production et de la qualité Université de Caen Basse-Normandie 12 novembre 2015 UCBN MSP 12 novembre / 46

2 Première partie I Capabilités des processus et des systèmes de mesures Capabilité des systèmes de mesure UCBN MSP 12 novembre / 46

3 Capabilité des systèmes de mesure s de variabilités Etude reproductibilité répétabilité par l analyse de la variance Chapitre UCBN MSP 12 novembre / 46

4 Capabilité des systèmes de mesure s de variabilités Etude reproductibilité répétabilité par l analyse de la variance Paragraphe UCBN MSP 12 novembre / 46

5 Définition () On mesure plusieurs fois la même pièce, exactement les même conditions, les écarts de mesures sont uniquement dus aux causes communes du processus de mesure. On nomme cette variabilité la répétabilité. Cette variabilité est décrite par l écart type des mesures. Elle est nommée σ instrument. Le modèle de la mesure y est y = µ + ɛ instrument avec µ la vraie mesure de la pièce, et ɛ instrument N (0, σ instrument ) On estime σ instrument par l écart type d échantillonnage s y σ instrument = s y UCBN MSP 12 novembre / 46

6 Capabilité du processus de contrôle On appelle Capabilité du processus de contrôle Cpc = USL LSL 6σ instrument qualité action Cpc < 2.5 pas adaptée rejet de l instrument de mesure 2.5 Cpc < 3 réserver l utilisation à des cas rares 3 Cpc < 4 juste adapté 4 Cpc adapté Améliorer la Cpc, l instrument de mesure, la formation des opérateurs. Table : Proposition de classification de l instrument de mesure UCBN MSP 12 novembre / 46

7 On mesure 100 fois un diamètre avec le même outil de mesure et exactement dans les mêmes conditions. Ces mesures sont disponibles à msp-rr-repetabilite-ex1.csv. Construire un histogramme des mesures et calculer une estimation de σ instrument. Etudiez l influence de la précision (nombre de chiffres après la vrigule). Density Histogram of X$mesure mesure UCBN MSP 12 novembre / 46

8 Hypothèses On désire quantifier la variabilité totale due aux variabilités : entre les pièces du système de mesure Le modèle est y(piece, repetition, sample) = µ+ɛ part (piece)+ɛ instrument (sample) ou ɛ part, ɛ instrument suivent des lois normales de moyenne nulle et d écart type σ part et σ instrument. Ces deux aléas sont supposés indépendant. Il n y a pas de lien entre les la variabilié des pièces et la variabilité de l instrument de mesure. La variance totale est donc la somme des deux variances : var(y) = σ 2 part + σ 2 instrument UCBN MSP 12 novembre / 46

9 Nombre de répétition grand 10 pièces sont mesurées 7 fois dans les même conditions par un seul opérateur. part X1 X2 X3 X4 X5 X6 X Table : Premières lignes de msp-rr-repetabilite-ex2.csv 1. Réaliser un graphique boite à moustache des mesures par pièces. 2. A l aide du graphique donner des ordres de grandeurs de la variabilité des mesures et de la variabilité entre pièces. UCBN MSP 12 novembre / 46

10 , entre pièces Figure : Boites à moustaches UCBN MSP 12 novembre / 46

11 Estimation des variabilités sont de l ordre de répetabilité La hauteur des boites à moustaches (troisième ème quartile-premier quartile) 0.2, Le premier et le troisième quartile sont à 1.3 fois l écart type z.75, z.25. On estime l écart type du système de mesure par σ insrument pièces On estime la variabilité entre pièce par la demi hauteur des observations entre moyenne et limite. Les valeurs sont entre 0.7 et 0.3, la moyenne est de 0.5, une estimation de la variabilité entre les pièces est de σ part UCBN MSP 12 novembre / 46

12 La variance totale se décompose en Variabilité totale var(y) = σpiece 2 + σinstrument 2 = = (98% + 2%) La variabilité totale est donc principalement due à la variabilité entre pièces, la variabilité du système de mesure n étant responsable que de deux pourcent de la variabilité totale. UCBN MSP 12 novembre / 46

13 Nombre de répétitions petit 20 pièces sont mesurées deux fois par le mème opérateur dans les mêmes conditions. On désire avoir une idée de la variabilité du système de mesure et de la variabilité due aux pièces. part X1 X2 1 piece piece piece piece piece piece Table : Premières lignes de msp-rr-repetabilite-ex3.csv UCBN MSP 12 novembre / 46

14 Variabilité mesure Calculer les étendues R par pièce, cette étendue mesure la variabilité de mesure. Elle ne tient pas compte d un effet moyen de la pièce Si µ 1 est la mesure exacte de la pièce 1, alors les deux mesures de la pièces 1 sont y 1 = µ 1 + ɛ instrument (sample = 1) y 2 = µ 1 + ɛ instrument (sample = 2) y 2 y 1 = ɛ instrument (sample = 2) ɛ instrument (sample = 1) Calculer l étendue moyenne R en déduire R σ instrument = d 2 (n=2) Les tolérances sont [5, 60], estimer la capabilité Cpc du processus de mesure. UCBN MSP 12 novembre / 46

15 MSP Cartes R et xbar xbar Chart for X[, variables] R Chart for X[, variables] Group summary statistics UCL CL LCL Group summary statistics UCL CL LCL Number of groups = 20 Center = 22.3 StdDev = Group LCL = UCL = Number beyond limits = 10 Number violating runs = 0 Number of groups = 20 Center = 1 StdDev = Group LCL = 0 UCL = Number beyond limits = 0 Number violating runs = 0 UCBN MSP 12 novembre / 46

16 Variabilité entre pièces part mesure Figure : Graphe mesures Les mesures sont comprises entre 22 et 30, un ordre de grandeur de l écart type entre pièces est σ part = 2. UCBN MSP 12 novembre / 46

17 Calcul plus précis Comme les erreurs de mesures et la variabilité des tailles des pièces sont indépendantes, la variance totale se décompose en σ 2 total = σ 2 part + σ 2 instrument variance totale on peut estimer la variance totale par la variance d échantillonnage de toutes les mesures σ total = s 3.17 variance mesure σ instrument 0.88 On en déduit que σpart 2 = σ total 2 σ2 instrument On a donc la décomposition σ 2 part = σ 2 part + σ 2 instrument = (96% + 4%) La variabilité totale est principalement expliquée par la variabilité entre pièces. UCBN MSP 12 novembre / 46

18 Capabilité des systèmes de mesure s de variabilités Etude reproductibilité répétabilité par l analyse de la variance Paragraphe UCBN MSP 12 novembre / 46

19 On veut décomposer la variabilité totale en différentes variabilités : mesure La variabilité due au système de mesures (gage variability). Elle peut être très complexe. On la la décompose en La variabilité due à l instrument de mesure répétabilité, est quantifiée par un écart type σ instrument La variabilité induite par l opérateur, on la qualifie de reproductibilité. Elle est quantifiée par un écart type σ reproductibilite pièces C est la variabilité entre pièces, elle est quantifiée par un écart type σ part. UCBN MSP 12 novembre / 46

20 entre pièces totale de l instrument de mesure du système de mesures strictement op. due aux opérateurs interaction op. pièce UCBN MSP 12 novembre / 46

21 Les paramètres Construction du plan d expériences p est le nombre de pièces utilisées pour l étude RR p 10 o est le nombre d opérateurs o 3. n est le nombre de répétitions des mesures par opérateur et par pièce n 2, 3 UCBN MSP 12 novembre / 46

22 Opérateur 1 Opérateur 2 Opérateur 3 part M1 M2 M3 M1 M2 M3 M1 M2 M Table : d impédance p 373 [?] msp-rr-impedance.csv UCBN MSP 12 novembre / 46

23 Mesure d impédances 1. Lire le fichier de données msp-rr-impedance.csv. 2. Empiler les colonnes I1.M1-I3.M3. 3. Créer la colonne part en utilisant Calc/Générer des suites de nombres/ Ensemble simles de nombres, à l aide de la suite des nombres de 1 à 10. Cette suite étant répétée 9 fois. 4. Créer la colonne operateur. 5. Créer la colonne repetition. 6. Construire un diagramme de type boite à moustaches par pièces et par opérateur. UCBN MSP 12 novembre / 46

24 Recherche de mesures abérantes La variabilité totale ne dépend ni de la pièce mesurée, ni de l opérateur. La dispersion de la distribution observée des données doit être constante. Les boites à moustaches doivent être de hauteur constante. les cartes de contrôles aux étendues ou écarts types ne doivent pas faire apparaitre de points particuliers. UCBN MSP 12 novembre / 46

25 X MSP Boites à moustaches Inspecteur 1 Inspecteur 2 Inspecteur 3 Figure : Boites à moustaches Aucune valeur abérante n apparait sur ces boites moustaches. UCBN MSP 12 novembre / 46

26 MSP Carte R Inspecteur 1 Inspecteur 2 Inspecteur 3 Group summary statistics UCL CL LCL Group summary statistics UCL CL LCL Group summary statistics UCL CL LCL Group Group Group Number of groups = 10 Center = 1.1 StdDev = LCL = 0 UCL = Number beyond limits = 0 Number violating runs = 0 Number of groups = 10 Center = 0.8 StdDev = LCL = 0 UCL = Number beyond limits = 0 Number violating runs = 0 Number of groups = 10 Center = 1.3 StdDev = LCL = 0 UCL = Number beyond limits = 0 Number violating runs = 0 Aucune mesure n est hors des limites de contrôles, on ne peut donc suspecter la présence de valeurs abérantes UCBN MSP 12 novembre / 46

27 Dans une boite, on est à pièce et inspecteur constant. Cette variabilité due à l instrument de mesure σ instrument Dans les cartes R, les écarts types par inspecteur estimés par la méthode des étendues semblent assez constant : 0.69, 0.47, Les inspecteurs semblent avoir des amplitudes de notations similaires. Ces deux méthodes de calcul d ordre de grandeurs de la variabilité due à l instrument de mesure sont concordantes. σ instrument [0.6, 0.8] UCBN MSP 12 novembre / 46

28 Moyenne des étendues La moyenne des étendues par inspecteur est σ instrument = inspecteur R 1 Inspecteur Inspecteur Inspecteur R d 2 (n = 3) UCBN MSP 12 novembre / 46

29 Reproductibilité On peut estimer la reproductibilité à l aide des moyennes des mesures par inspecteur. inspecteur X 1 Inspecteur Inspecteur Inspecteur σ operateur 0.92 d2(n = 3) UCBN MSP 12 novembre / 46

30 Capabilité des systèmes de mesure s de variabilités Etude reproductibilité répétabilité par l analyse de la variance Paragraphe UCBN MSP 12 novembre / 46

31 Moyennes X moyenne de toute les mesures. X (op) moyenne des mesures pour l opérateur op. X (part) moyenne des mesures pour la pièce part. part X (part) Table : Moyennes des mesures par pièces UCBN MSP 12 novembre / 46

32 de la somme des carrés SC T SC ope SC part SC opexpart SC R Somme de carrés Somme des carrés totale SC T = op,part,rep (X op,part,rep X ) 2 Somme des carrés due aux opérateurs SC ope = op ( X (op) X ) 2 Somme des carrés due aux pièces SC part = part ( X (part) X ) 2 Somme des carrés due aux interactions entre pièces et opérateurs. Somme des carrés résiduels, ce qui n est pas expliqué par les pièces et les opérateurs. UCBN MSP 12 novembre / 46

33 Définition (Degré de libertés) Degrés de libertés Les degrés de libertés d une variable qualitative ayant p modalités sont p 1. On appelle cette quantité en anglais degrees of freedom. part La variable part est qualitative, elle a 10 prend p = 10 valeurs possibles ou modalités :les 10 pièces. Les degrés de liberté associés à cette variable sont df = p 1 = 9. operateur Cette variable est qualitative, elle prend ici o = 3 valeurs possibles : les trois inspecteurs. Les degrés de libertés associés à cette variable sont df = o 1. UCBN MSP 12 novembre / 46

34 Définition (Interaction) Interaction Un modèle dépendant de l interaction entre la variable part et la variable operateur permet de construire un modèle le plus général possible dont la moyenne s écrit µ(part, operateur). La variable interaction est une variable qualititive elle prend toutes les valeurs {(operateur, part)} possible soit op modalités. Les degrés de libertés associés à cette variable qualtitative sont op 1 = 29. Comme on veut décomposer les effets, on va retirer les degrés de libertés des modèles dependant de part et de operator. Dans une analyse de la variance les degrés de libertés d une interaction sont op 1 (o 1) (p 1) = op + o p + 1 = (o 1)(p 1) UCBN MSP 12 novembre / 46

35 d analyse de la variance Source SC dll Carré moyens Fischer p-value part SC part p 1 CM part = SC part p1 (p 1) ope SC ope o 1 CM ope = SCope o 1 opexpart SC opexpart (o 1)(p 1) CM opexpart = SC opexpart (o 1)(p 1) residuel SC R op(n-1) CM R = SC R op(n 1) Table : d analyse de la variance F = CM part CM R F = CMope CM R F = CM opexpart CM R p2 p3 UCBN MSP 12 novembre / 46

36 mesure d impédances A l aide de la feuille du jeu de données empilées sur les mesures d impédances 1. Réaliser une étude de & Reproductibilité dans Minitab à l aide du menu Outils de la qualité/etude de l instrumentation/etude de l intrumentation croisée. 2. Retrouver tous les résultats ci-dessous. 3. Il est générallement plus facile de trouver une analyse de la variance dans les logiciels de statistiques. Utiliser le menu ANOVA/Modèle linéaire général/ajuster le modèle général. On expliquera la variable Réponse X en fonction des facteurs part, operateur. Afin d inclure l interaction entre pièces et opérateurs, on définira dans l option Modèle l interaction jusqu à l ordre 2 des variables part, operateur. Vérifiez que le tableau d analyse de la variance est identique. UCBN MSP 12 novembre / 46

37 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) part inspecteur part:inspecteur Residuals Table : d analyse de la variance impedance p value = 10 60, si il n y avait pas d effet pièce, alors on aurait moins d une chance sur d avoir un jeu de données similaire à celui de l étude. On refuse l hypothèse qu il n y pas d effet pièce. p value = 10 10, on refuse l hypothèse qu il n y ait pas d effet inspecteur. p value = 10 6, on refuse l hypothèse que l effet des variables pièces et inspecteur soit la somme des effets. Il y a des interactions siginificatives entre pièce et opérateur. UCBN MSP 12 novembre / 46

38 Estimations des variabilités σ 2 instrument = CM R σ 2 opexpart = CM opexpart CM R n σ 2 ope = CM ope CM opexpart pn σ 2 part = CM part CM opexpart on Dans notre exemple σ instrument 2 = 0.51 σ opexpart 2 = n = 3 σ ope 2 = σ part 2 = UCBN MSP 12 novembre / 46

39 repetabilité C est la variabilité induite uniquement par l instrument de mesure σ 2 instrument 0.51 reproductibilité C est la variabilité du système de mesures induite par les opérateurs et éventuellement conjointe avec les pièces. σ 2 operateur 0.56 σ 2 opexpart 0.73 σ 2 reproductibilite = σ 2 operateur + σ 2 opexpart 1.29 gage La variabilité du système de mesure est σ 2 gage = σ 2 repetabilite+σ 2 reproductibilite = 1.8 part c est la variabilité qui reflète les variations effectives entre les mesures des pièces: σ 2 part UCBN MSP 12 novembre / 46

40 de la variance VarComp %Contrib Total Gage Repeatability Reproducibility appr part:appr Part-To-Part Total Variation UCBN MSP 12 novembre / 46

41 Ecarts types StdDev 5.15*SD %StudyVar Total Gage Repeatability Reproducibility appr part:appr Part-To-Part Total Variation UCBN MSP 12 novembre / 46

42 Six Sigma Gage Study Components of Variation Var by Part Percent G. Repeat Reprod Part2Part %Contribution %Study Var var R Chart by appraiser Var by appraiser var Inspecteur 1 Inspecteur 2 Inspecteur part x Chart by appraiser var Inspecteur 1 Inspecteur 2 Inspecteur 3 Part*appraiser Interaction var Inspecteur 1 Inspecteur 2 Inspecteur var part Inspecteur 1 Inspecteur 2 Inspecteur 3 Thermal Impedance Figure : Etude reproductibilité répétabilité UCBN MSP 12 novembre / 46

43 Capabilité des systèmes de mesure s de variabilités Etude reproductibilité répétabilité par l analyse de la variance Paragraphe UCBN MSP 12 novembre / 46

44 Conseils Les modèles statistiques qu il faudrait utiliser sont des modèles mixtes avec des effets transversaux (mixed models with crossed random effects). Les estimations obtenues par la méthode de l analyse de la variance peuvent être mauvaises. Mieux vaux un ordre de grandeur correct de vos variabilités qu un calcul mal paramétré. Il faut être très attentif à vos résultats. UCBN MSP 12 novembre / 46

45 Chapitre UCBN MSP 12 novembre / 46

46 I UCBN MSP 12 novembre / 46

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