EEIGM 1 ère Année. Discipline Mécanique. Résistance des Matériaux. TD 1 : Exercices d application sur la notion de torseur.

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1 EEIGM 1 ère nnée Discipline Mécanique Résistance des Matériaux TD 1 : Exercices d application sur la notion de torseur Zoubir YDI 1

2 Exercice 1 Soit O;i, j,k un repère orthonormé direct. On note x,, z les coordonnées du point P et on considère le champ de vecteurs HP suivant : [ ] " " cos + zsin HP x " x cos x " x sin + cos Question 1 : Montrer que le champ de vecteurs HP est équiprojectif. Conclure. où x,,", et sont des constantes. Question 2 : Déterminer les coordonnées vectorielles coordonnées x,, R " et M ", au point de réduction de Corrigé 1. Vérifier l équiprojectivité du champ de vecteurs HP revient à vérifier la relation suivante : [ H P 2 " H P 1 ].P 1 P 2 P 1, P 2 P 1 P 2 OP 2 " OP 1 x 2 " x 1 2 " 1 z 2 " z 1 " H P 1 H P 2 [ ] " 2 " 1 cos + z 2 " z 1 sin x 2 " x 1 cos x 2 " x 1 sin [ H P 2 " H P 1 ].P 1 P 2 " x 2 " x 1 2 " 1 cos " x 2 " x 1 z 2 " z 1 sin + x 2 " x 1 2 " 1 cos + x 2 " x 1 z 2 " z 1 sin [ H P 2 " H P 1 ].P 1 P 2 le champ de vecteurs est donc équiprojectif, c est un torseur, c est aussi un champ de moment et il est antismétrique on a l équivalence entre les quatre qualificatifs. 2. Coordonnées vectorielles du torseur HP est un champ de moment : "R / H P 2 H P 1 + P 2 P 1 R H P 2 " H P 1 P 2 P 1 R La résultante R peut être déterminée directement : On pose R 1 R R 2, on obtient : R 3 2

3 " R 3 2 " 1 " R 1 z 2 " z 1 " R 2 x 2 " x 1 R 2 z 2 " z 1 R 3 x 2 " x 1 R 1 2 " 1 " z 2 " z 1 sin " 2 " 1 cos x 2 " x 1 cos x 2 " x 1 sin "P 1 "P 2 ce qui donne : R R 1 R 2 " sin R 3 cos d où les coordonnées vectorielles du torseur au point de réduction : " R " * Remarque interprétation sans démonstration : Le torseur τ peut être interprété comme le torseur cinématique des vitesses d un solide indéformable en mouvement avec : Un vecteur rotation rad.s -1 instantanée, Un vecteur vitesse m.s -1 au point sin cos M ", H +, & cos - 3

4 Exercice 2 Une porte blindée est articulée sur le mur au point O par l intermédiaire de deux gonds renforcés aux points et B. Le poids P de la porte est de 2N voir figure 1. Question 1 : Ecrire les torseurs de liaison aux point, B et G, sachant que l action exercée en B par le mur est contenue dans le plan horizontalement passant par le point B. Question 2 : ppliquer le principe fondamental de la statique. Question 3 : En déduire les réactions de liaison en et en B. k G P C B i j Corrigé Figure 1 : schéma de la porte. 1. Torseur associé au poids de la porte appliqué en G : " G G Pk R " G & M " G,G Torseur de liaison en liaison rotule : R " " & M ", X Y Z 4

5 Torseur de liaison en B liaison linéaire annulaire : " B B R " B Y B & M " B,B X B 2. Principe fondamental de la statique On exprime d abord tous les torseurs en un même point de réduction, soit le point : " G G Pk R " G & M " G,G Pk M " G,G + G * R " G R " G M " & G, X B R " " B B Y B " B M " B & B,B & et " R " M " &, Le principe fondamental de la statique se traduit par : R " B X B Y B M " B, B * R " B X Y Z {" efforts extérieurs } { } ttention : Pour pouvoir additionner des torseurs, ils doivent tous êtres exprimés au même centre de réduction. Il sera parfois nécessaire de réaliser, au préalable, un changement de centre réduction. Les vecteurs doivent être exprimés dans la même base. Les unités doivent être compatibles entre elles. La somme des torseurs associés aux efforts extérieurs conduit à : " + " B + " G { } + R " B + R " G 1 + M " B, + M " G, 2 R " & M ", 1 " X + X B Y + Y B Z P 2 M ", M ",B B B R " B + M ",G G G R " G 5

6 " -h X B Y B -b - a c " -h/2 -P ce qui donne : "Pc + hy B "Pb " Pa " hx B soit finalement : X B "P b + a "875N h Y B Pc h 5N X "X B 875N Y "Y B "5N Z P 2N 6

7 Exercice 3 Une enseigne lumineuse d une librairie a une liaison rotule avec le mur au point figure 2. Elle est soutenue au point D par deux câbles BD et CD de même longueur. Le poids P de l enseigne est égal à 5N. Question 1 : Ecrire les torseurs de liaison aux points, G, D, définissant les actions sur l enseigne. Question 2 : ppliquer le principe fondamental de la statique. Question 3 : En déduire la tension dans les câbles. Figure 2 : Schéma de l enseigne. Corrigé 1. Torseur associé au poids de l enseigne : " G G Pk R " G & M " G,G Torseur associé à l action de la rotule sur l enseigne : Torseur associé à l action des câbles sur l enseigne : où T est la tension des câbles " " D D R " & M ", & R " D X Y Z 2T cos cos * +, 2T cos sin M " D,D 7

8 2. Principe fondamental de la statique On exprime d abord tous les torseurs en un même point de réduction, soit le point : " G G Pk R " G & M " G,G Pk M " G,G + G * R " G R " G M " & G, " D D & R " D 2T cos cos * +, 2T cos sin M " D,D * M " D, R " D 2T cos cos 2T cos sin M " D,D + D& R " D +, - " R " & M ", X Y Z Le principe fondamental de la statique s écrit : Soit {" efforts extérieurs } { } " + " D + " G { } + R " D + R " G 1 + M " D, + M " G, 2 R " & M ", 1 M ", M 42 " G,G 43 + G R " G X " 2T cos cos & Y Z + 2T cos sin P 2 + M ",D D D R " D a " -e -P a +b -2Tcoscos " 2Tcossin ce qui conduit à : ap " 2T a + bcossin d où la tension T dans les câbles : T ap 2 a + b cos"sin 8

9 Les équations 1 permettent de déterminer X et Z : X a cos" a + b sin" P a cot an"p a + b Z b a + b P L application numérique conduit à : T 344N sachant que cosα.874 et sinβ,555 9

10 Liaisons mécaniques normalisées Nature de liaison Encastrement Pivot d axe,x Liaison linéaire annulaire de centre et de direction x Liaison sphérique rotule de centre Liaison ponctuelle Représentation plane Représentation spatiale Degrés de liberté " t x & translations t t z r x rotations r r z " & " & r x " t x & r x r r z " & r x r r z " & t t z r x r r z Torseur de liaison R x R " R R z M x M ", M & M z R x R " R R z M x M ", M & M z R x R " R R z M ", M & M z R " R R z M ", & R x R " R R z M ", & R x R " M ", & Zone de contact 1

11 Remarques : 1. Un degrés de liberté égal à zéro est un degrés de liberté supprimé. 2. Un degrés de liberté de translation supprimée correspond à une inconnue en force dans le torseur de liaison. Un degrés de liberté de rotation supprimée correspond à une inconnue en moment dans le torseur de liaison. 3. Exemple : La liaison linéaire annulaire a quatre degrés de liberté : une translation et trois rotations. Elle introduit donc 2 inconnues de liaison 2 forces. Cette liaison est semblable à la liaison rotule, mais lobjet entourant la sphère mobile na plus la smétrie sphérique mais devient un demi-clindre creux ce qui permet de déplacer la sphère en translation. 11