Physique des Ondes : Propagation d ondes électrocinétiques dans un câble coaxial

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1 Travaux pratiques Série 2 Physique des Ondes : Propagation d ondes électrocinétiques dans un câble coaxial Objectifs du TP : Mesurer la vitesse de propagation d un signal dans un câble coaxial. Observer l influence des conditions aux limites sur les signaux réfléchis en bout de câble. Mesurer l impédance caractéristique du câble et saisir l impact pratique de cette grandeur. Tester la pertinence du modèle électrocinétique bifilaire du câble. Matériel à disposition : 1 GBF, 1 oscilloscope, 1 multimètre, 1 câble coaxial à étudier, 1 câble coaxial «classique», connecteurs BNC, 2 bouchons de 50 Ω, 1 boîte à décades de résistances, fils Introduction Les câbles coaxiaux sont utilisés comme moyen de transmission d informations. Ils sont conçus pour transmettre des signaux sans trop d atténuation et pour assurer une protection contre les perturbations extérieures. On les utilise notamment pour les câbles d antenne de télévision, pour transmettre des signaux audio-numériques, ainsi que pour des interconnexions dans les réseaux informatiques. Un câble coaxial est formé de deux très bons conducteurs, de même longueur, l un entourant l autre. L un est un conducteur massif de rayon R 1, appelé l âme du conducteur. L autre est un conducteur cylindrique creux de rayon intérieur R 2 et de rayon extérieur R 3, appelé la gaine du conducteur. L espace inter-conducteur comporte un isolant. En pratique, la gaine est reliée à la masse tandis que l âme «véhicule» le signal utile. Figure 1 : Schéma simplifié TP 5 Physique des ondes Page 1 sur 8

2 On adopte ici un modèle bifilaire du câble coaxial, dans le cadre duquel la portion de câble coaxial de longueur dz est équivalente au quadripôle de la figure 2, où L et C désignent respectivement l inductance linéique et la capacité linéique du câble coaxial. V z, t correspond alors au potentiel électrique de la section d abscisse z de l âme du câble à l instant t, et iz, t à l intensité du courant qui traverse cette même section. Figure 2 : Modèle bifilaire d une portion de câble Expliciter le système d équations aux dérivées partielles vérifié par les fonctions, V z t et iz, t. En déduire les deux équations aux dérivées partielles, découplées, vérifiées par la fonction V z, t d une part, puis par la fonction iz, t d autre part. Commenter. A. Travail préliminaire : Analyse de la fiche technique du câble # Présentation générale Le câble étudié dans ce TP, appelé câble A par la suite, est un câble de grande longueur ( est voisine de 100 m), de type RG 58C/U. Le document ci-dessous est un extrait de la fiche technique de ce câble : Quelles sont les valeurs de R 1 et R 2 pour le câble A? Quelle est la nature du matériau isolant placé entre l âme et la gaine du câble A? TP 5 Physique des ondes Page 2 sur 8

3 # Détermination des paramètres du modèle bifilaire Le document ci-dessous est un autre extrait de la fiche technique de ce câble : Quelle est la valeur de la capacité linéique C du câble A indiquée par le constructeur? Un modèle électromagnétique simple du câble permet d aboutir à l expression théorique suivante de la capacité linéique 2 0r C ln R R où 0 désigne la permittivité diélectrique du vide ( 0 8,8.10 F.m ) r désigne la permittivité diélectrique relative de l isolant placé entre les deux conducteurs Sachant que la permittivité diélectrique relative du polyéthylène vaut 2,25 pour une fréquence égale à 1 khz, contrôler la pertinence de ce modèle et en déduire une estimation de l incertitude sur la valeur de C. Ce même modèle permet également d aboutir à l expression théorique de l inductance linéique du câble A 0 L 2 ln R R où 0 désigne la perméabilité magnétique du vide ( H.m ) En déduire la valeur théorique de la célérité c des signaux dans le câble A. Cette valeur est-elle compatible avec les informations fournies par la fiche technique? TP 5 Physique des ondes Page 3 sur 8

4 B. Mesure de la longueur du câble Il s agit ici de mesurer la longueur du câble A grâce à la mesure de sa capacité totale en régime statique. On utilise pour cela les multimètres numériques présentant la fonction capacimètre. Le principe de la mesure d une capacité par ce type de multimètre est décrit dans le document suivant (adaptation de : : On charge le condensateur dont on souhaite mesurer la capacité avec un courant constant I et on arrête la charge quand la tension aux bornes du condensateur atteint la tension U V. Pour un condensateur idéal, si la durée de la charge est t, la charge finale vaut réf réf Q I t Vréf et donc It. La mesure de se ramène donc à une mesure de temps. Pour un condensateur réel, il faudrait en V toute rigueur tenir compte du courant de fuite. Pour effectuer la mesure, il faut utiliser un dispositif qui réalise dans l ordre les opérations suivantes : décharge du condensateur dans une petite résistance ; connexion du condensateur au générateur de courant constant et à un comparateur de tension et début du comptage du temps ; quand la tension atteint la valeur de référence choisie, arrêt du comptage du temps et de la charge. Les appareils commerciaux affichent directement la valeur de la capacité. Les plus évolués effectuent automatiquement le choix de la gamme de mesure (i.e. de la valeur du courant constant de charge). La précision de la mesure est de quelques %. Lorsque l on branche le capacimètre fonctionnant sur le principe précédent entre l âme et la gaine du câble A, justifier que celui-ci se comporte comme un condensateur de capacité CA, tot C. Donner la valeur expérimentale de pour la câble A mis à disposition dans ce TP. C. Mesure de la célérité des signaux dans le câble En plus du câble A, on dispose du matériel suivant : Un générateur de fonctions pouvant fournir des impulsions (on le notera alors GI) ou des signaux classiques, notamment sinusoïdaux (on le notera alors GBF). Son impédance interne est Rg 50. Un câble coaxial classique pour les prises de tension à l oscilloscope, de longueur 1 m environ, d impédance caractéristique égale à 50 Ω, appelé câble C. TP 5 Physique des ondes Page 4 sur 8

5 1. Première méthode : Mesure du temps de parcours d une impulsion # Réglage du générateur d impulsions Effectuer le montage ci-dessous. GI câble C oscilloscope voie 1 voie 2 té bouchon de 50 Ω Remarque : Le rôle de bouchon de 50 Ω sera justifié ultérieurement dans ce TP. Régler le générateur pour qu il délivre des impulsions rectangulaires en sélectionnant la fonction Pulse, puis effectuer les réglages suivants : Period = 0,01 s, HiLevel = 2 V, LoLevel = 0 V, PulseWidth = 100 ns, EdgeTime = 5 ns. Visualiser le signal à l oscilloscope et vérifier ses caractéristiques. # Réalisation de la mesure Remplacer le bouchon de 50 Ω par une des extrémités du câble A, l autre extrémité restant ouverte. Représenter l allure de l oscillogramme obtenu en voie 1 de l oscilloscope et interpréter la présence de deux impulsions sur une période. Brancher la sortie du câble A sur la voie 2 de l oscilloscope. Observer et interpréter. En déduire une première valeur expérimentale c 1 de la vitesse de propagation des signaux. 2. Deuxième méthode : Mesure du temps de parcours d une OPPH # Présentation du montage Le générateur est désormais utilisé en mode sinusoïdal et délivre un signal de fréquence f. oscilloscope GBF câble C voie 1 voie 2 bouchon de 50 Ω 0 câble A z TP 5 Physique des ondes Page 5 sur 8

6 On admet que le bouchon de 50 Ω placé en sortie du câble permet de simuler un câble semi-infini dans le domaine z 0. # Réalisation des mesures Visualiser les signaux obtenus. A quoi est dû le déphasage observé entre ces signaux? Mesurer pour chaque fréquence f figurant dans le tableau ci-dessous le retard temporel en sortie du câble par rapport au signal en entrée. En déduire la célérité c 2 associée. t du signal f (en khz) t (en ns) c 2 (en m.s -1 ) Tracer le graphe donnant c 2 en fonction de la fréquence f. Commenter. 3. Troisième méthode : Mesure des fréquences propres du câble On reprend le montage précédent, dans lequel on remplace le bouchon de 50 Ω en sortie du câble par un court-circuit. Faire varier la fréquence f du GBF à partir de 500 khz. Qu observe-t-on à l entrée du câble coaxial? Interpréter soigneusement ces observations. Relever les fréquences de résonance du câble. En déduire une nouvelle valeur c 3 de la célérité des signaux dans le câble. Enlever le court-circuit en sortie du câble et laisser cette extrémité en circuit ouvert. Reprendre les observations précédentes. Interpréter. D. Mesure de l impédance caractéristique du câble coaxial 1. Un soupçon de théorie # Définition de l impédance caractéristique Z c Supposons que l on génère dans le câble une onde de tension progressive dans le sens des z croissants, de la forme V z, t F z ct (où F est une fonction définie sur, dérivable au moins deux fois). Montrer que iz, t peut alors s écrire sous la forme : TP 5 Physique des ondes Page 6 sur 8

7 1 V z, t iz, t F z ct Z Z c c où Z c est l impédance caractéristique du câble, que l on exprimera en fonction de L et de C. A partir des éléments de la partie A, déterminer la valeur attendue de Z c pour le câble A. Quelle est la relation entre décroissants? i z, t et, V z t dans le cas où l onde est progressive dans le sens des z # Réflexion d un signal à l extrémité du câble Un générateur d impulsions, branché à l entrée du câble en z 0, délivre, comme onde incidente, une impulsion unique. On admet que ce signal peut être modélisé par la fonction F, de sorte que inc,, V z t F z ct. Lorsque cette impulsion incidente parvient en z, elle se réfléchit ; on note ainsi Vréfl du câble. z t le signal réfléchi. On admet de plus qu il n y a pas de réflexions multiples entre les deux extrémités Expliciter les conditions aux limites que doivent vérifier les signaux, les trois cas suivants : V z t et/ou iz, t, en z, dans lorsque l extrémité z est en court-circuit ; lorsque l extrémité z est en circuit ouvert ; lorsque l extrémité z est reliée à une résistance R. On définit le coefficient de réflexion en tension en z par z est reliée à une résistance R, montrer que : Vréfl Vinc, t, t. Dans le cas où l extrémité R Z R Z c c Que se passe-t-il lorsque R 0? R? R Zc? 2. Approche expérimentale # Réalisation de la mesure de Z c On utilise comme montage de base celui de la partie C.1. Proposer un protocole permettant de mesurer Déterminer la valeur expérimentale de Z c. Z c. TP 5 Physique des ondes Page 7 sur 8

8 # Un peu d interprétation Quel est l intérêt d avoir une impédance de sortie Rg 50 pour les générateurs utilisés en travaux pratiques? Justifier le rôle des bouchons de 50 Ω dans les manipulations précédentes. Pourquoi les signaux réfléchis ne sont-ils pas à nouveau réfléchis dans le sens des z croissants lorsqu ils parviennent en z 0? E. Pertes dans le câble coaxial # Approche expérimentale Parmi les observations effectuées précédemment, quelles sont celles qui remettent en cause le modèle du câble présenté en figure 2? Proposer, puis mettre en œuvre, un protocole permettant de confirmer (ou d infirmer) les taux d atténuation annoncés dans la fiche technique du câble A. Commenter les résultats obtenus. # Amélioration du modèle Dans la réalité, les signaux s atténuent à cause de la résistance des conducteurs en cuivre, et de la conductance de l isolant (l isolant n étant jamais exactement parfait). Pour tenir compte de ces éléments, on considère que l élément de câble z, z dz possède, en plus de son inductance et de sa capacitance, une résistance rdz due au caractère imparfait des conducteurs (prenant en compte à la fois la résistance de l âme et celle de la gaine) et une conductance gdz, entre l âme et la gaine (donc en parallèle du condensateur de capacité Cdz ), due au caractère imparfait de l isolant. Proposer un schéma électrique équivalent à la portion de câble z, z dz. A partir des données de la partie A, estimer les valeurs de r (résistance linéique du câble A) et de g (conductance linéique du câble A). Montrer que l équation d onde vérifiée par le signal V z, t s écrit désormais 2 2 V V V 2 z 2 t t z, t LC z, t gl rc z, t rgv z, t Comparer les ordres de grandeur des différents termes de l équation précédente, puis en proposée une «version simplifiée». Caractériser la dispersion et l atténuation des signaux dans le câble prévues par ce modèle. Remarque : Il faudra attendre que le chapitre sur la dispersion et l absorption des ondes ait été traité en cours pour pouvoir répondre à cette dernière question Encore un peu de patience! TP 5 Physique des ondes Page 8 sur 8

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