ONDES. Partie I. , on négligera les effets de bord. L espace entre les conducteurs sera assimilé au vide sauf explicitation contraire.

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1 Spé ψ 1-13 Devoi n 6 ONDES Des données et un fomulaie sont donnés à la fin du sujet Les câbles coaxiaux sont utilisés comme moyen de tansmission d infomations. Ils sont conçus pou tansmette des signaux sans top d atténuation et pou assue une potection conte les petubations extéieues. On les utilise notamment pou les câbles d antenne de télévision, pou tansmette des signaux audio-numéiques, ainsi que pou les inteconnexions dans les éseaux infomatiques. Un signal qui se popage dans un câble coaxial peut subi plusieus modifications. Il peut ête défomé (milieu dispesif), atténué (milieu dissipatif). Il peut aussi subi des éflexions au niveau des connexions. Ce sujet abode la modélisation du câble coaxial et les phénomènes de éflexion d ondes losque le câble est connecté su une chage. Un câble coaxial est fomé de deux tès bons conducteus de même longueu l, l un entouant l aute. L un est un conducteu massif de ayon R 1, appelé l âme du conducteu. L aute est un conducteu cylindique ceux de ayon intéieu R et de ayon extéieu R 3, appelé la gaine du conducteu. L espace inte-conducteu compote un isolant. On a : R 1 =,5 mm, R = 1,5 mm, l = 1 m. Patie I ONDE ELECTROMAGNETIQUE ET PEDANCE DU CABLE COAXIAL : Dans la mesue où les champs électomagnétiques ne pénètent pas dans les conducteus pafaits, on assimilea le câble coaxial à deux sufaces pafaitement conductices, cylindiques, coaxiales. Le conducteu (1) a un ayon R 1, le conducteu () a un ayon R (figue 1). Ces deux conducteus ont même longueu l. u que l R, on négligea les effets de bod. L espace ente les conducteus sea assimilé au vide sauf explicitation contaie. R R 1 z On note ( u, uθ, u z ) la base en coodonnées cylindiques. I-1) Détemination de l onde électomagnétique : On se place ici dans le cade généal de la théoie de l électomagnétisme. On considèe le câble comme infini suivant l axe des z. Une onde électomagnétique se popage à l intéieu du câble dans la égion R 1 < < R, assimilable à du vide. Elle est définie pa son champ électique E (, z, = cos( ωt kz) e où α est une constante positive. α α On lui associe le champ électique complexe E (, z, = exp( i ( ωt kz) ) e. On a E, z, t = Re E, z, t où Re signifie patie éelle. ( ) ( ) ( ) figue 1 Spé ψ 1-13 page 1/8 Devoi n 6

2 De même, il existe un champ magnétique B (, z, B (, z, avec B (, z, = Re B (, z,. ( ) auquel on associe le champ complexe : a) L onde est-elle plane? Est-elle pogessive? Si oui, pécise sa diection de popagation. b) On note E l amplitude maximale du champ électique dans le câble coaxial. Pécise E, z, t en fonction de E,, z, k, ω, t et R 1. l unité de E et expime ( ) c) Rappele les quate équations de Maxwell dans le vide et pécise en quelques mots le contenu physique de chacune d elles. d) À pati des équations de Maxwell, etouve l équation de popagation véifiée pa le champ électique. En déduie la elation de dispesion liant k et ω. Le milieu est-il dispesif? e) Détemine en fonction de E,, z, k, ω, t et R 1, l expession du champ magnétique com- B, z, t associé à cette onde, à une composante pemanente pès (indépendant du temps). plexe ( ) Justifie pouquoi on peut considée cette composante comme nulle. I-) Puissance tanspotée. a) On désigne pa π le vecteu de Poynting associé à cette onde électomagnétique. Détemine l expession de π en fonction de E,, z, k, ω, t, R 1 et µ. b) Détemine l expession de la puissance moyenne tanspotée P pa la câble en fonction de E, R 1, R, c et µ. Application numéique : en déduie l amplitude E du champ électique sachant que la puissance moyenne tanspotée est de 1 W. I-3) Étude de l inteface = R 1. a) Rappele l équation de passage du champ électique à la tavesée d une suface chagée. Pa application de cette elation de passage, et en emaquant que le champ électique est nul à l intéieu du conducteu (1), en déduie l expession de la densité sufacique de chage su le conducteu (1), en fonction de E, ε, k, ω, z et t. b) Rappele l équation de passage du champ magnétique à la tavesée d une nappe de couant. Pa application de cette elation de passage, et en emaquant que le champ magnétique est nul dans le conducteu (1), en déduie que le conducteu intéieu est pacouu pa une densité sufaci- que de couant J S1 qu on expimea en fonction de E, µ, c, ω, k, t et z. On emaquea que contenu dans le plan tangent au conducteu puisqu il s agit d un couant sufacique. J S1 est I-4) Détemination de l impédance caactéistique du câble coaxial : a) En un point de cote z donnée, pa un calcul de ciculation, détemine la difféence de potentiel u(z, = 1 (z, (z, ente l âme et la gaine, en fonction de E, R 1, R, k, z, ω et t. A, z, t B, z, t est On admetta éventuellement que le potentiel vecteu ( ) dont déive ( ) poté pa le vecteu u z. b) Pou z donné, détemine le couant i(z, véhiculé pa l âme du câble coaxial, en fonction de E, R 1, k, z, ω, t, µ et c. c) On définit l impédance caactéistique du câble pa de µ, c, R 1 et R, puis de µ, ε, R 1 et R. (, ) (, ) Spé ψ 1-13 page /8 Devoi n 6 C u z t =. Expime c en fonction i z t d) Compte tenu de l isolant sépaant l âme de la gaine, de pemittivité elative ε = 3,1, on a, en patique :

3 1 µ R π ε ε C = ln R1 Αpplication numéique : détemine la valeu de c.. Patie II PROPAGATION ET REFLEXION DES ONDES DANS LE CABLE COAXIAL : La gaine est maintenant eliée à la masse ( = ), et l âme, potée au potentiel 1 (z, = (z,, est pacouue pa un couant i(z,. On adopte le modèle bifilaie local de la potion de câble coaxial de longueu dz de la figue où λ et γ désignent espectivement l inductance linéique et la capacité linéique du câble coaxial. i(z, i(z + dz, λdz v(z, γdz v(z + dz, II-1) Équations de popagation a) À quelle(s) condition(s) su les matéiaux peuton modélise ainsi la potion de câble coaxial? b) Explicitez le système d équations aux déivées patielles véifié pa les fonctions (z, et i(z,. c) En déduie les deux équations aux déivées patielles, découplées, véifiées pa la fonction (z, d une pat, puis pa la fonction i(z, d aute pat. Expime la céléité associée, en fonction de λ et γ. Quelle est la fome la plus généale de la fonction (z,? II-) Phénomène de éflexion en bout de câble : On s intéesse au cas d ondes sinusoïdales de pulsation ω. On posea z, t z, t z, t z, t cos t kz z, t = cos ω t + kz + ψ. ( ) = ( ) + ( ) avec ( ) = ( ω + ϕ ) et ( ) ( ) I R I À ces ondes éelles, on associe les ondes complexes ( z, = I ( z, + R ( z, avec I ( z, = exp i( ωt kz ) et (, ) exp ( ) R z t = i ωt + kz où i e ϕ i e ψ =. R = et Le câble est elié à généateu basses féquences, qui délive en z =, une tension sinusoïdale, de sote que l onde totale en z = est sinusoïdale. Le choix de l oigine des temps nous pemet, t cos t, t = exp iω t. de pose ( ) = ( ω ) à laquelle on associe la fome complexe ( ) ( ) a) Le câble est en cout-cicuit, ou efemé su une ésistance nulle (R = ) à l extémité située en z =l. Explicite la condition limite ( l, véifiée pa la fonction (, ) En déduie le système de deux équations à deux inconnues véifié pa Puis expime et en fonction de O, k et l. b) On définit le coefficient de éflexion pa cout-cicuit (R = ). = R I ( l, ( l, figue z t en z =l. et.. Détemine dans le cas du c) Le câble est en cicuit ouvet, ou efemé pa une ésistance infinie (R = + ) à son extémité située en z = l. Explicite, tès bièvement, su une gandeu physique bien appopiée, la condition limite en z =l. On admetta dans ce cas que = 1. Spé ψ 1-13 page 3/8 Devoi n 6

4 d) Le câble est maintenant chagé à son extémité en z =l, pa une ésistance R. En admettant que le coefficient de éflexion est éel, justifie qu il existe au moins une valeu citique de R notée R C pou laquelle il n y a pas d onde éfléchie. Comment qualifie-t-on ce fonctionnement? Dans la suite du poblème, on admetta que R C = C déteminé à la question I-4-d. Patie III ÉTUDE EXPERENTALE : Un généateu basses féquences, banché à l entée du câble en z =, délive, comme onde incidente, une tension péiodique «caé», ente les niveaux et. L aute extémité du câble est efemée su une ésistance R. En plus des phénomènes de popagation et de éflexion éventuelle de l onde, il y a un lége phénomène d atténuation. On supposea que la valeu de la ésistance R n a aucune influence tant su la duée de popagation que su l amotissement dû au chemin pacouu. On admet de plus qu il n y a pas de éflexions multiples. À l aide d un oscilloscope, on obseve en z = la supeposition de l onde incidente délivée pa le généateu et de l onde éfléchie (figue 3). Les oscillogammes de la figue 4 ont été éalisés pou difféentes valeus de R. III-1)) Donne une valeu appochée de l impédance intene du généateu basses féquences que vous avez utilisé en tavaux patiques. III-) Cas d un cout-cicuit R =. L extémité z =l est en cout-cicuit : R =. a) On schématise l onde incidente, à l entée du câble en z =, pa la figue ci-conte : En penant en compte les phénomènes de éflexion, d amotissement et de popagation, et sachant que le etad dû à la popagation est inféieu à T/4, où T est la péiode de l onde incidente, schématise la fome des ondes éfléchie et totale notées R (, et TOT (, au point z =. I (, figue 3 b) En utilisant l oscillogamme coespondant à R =, détemine une valeu appochée de la vitesse de popagation le long du câble. Celle-ci est-elle en accod avec la valeu de ε indiquée pécédemment? c) On définit le coefficient d amotissement, noté K, au cous de la popagation globale, comme le appot du module de l amplitude de l onde éfléchie une fois evenue en z = su le module de l amplitude de l onde incidente émise en z =. détemine une valeu appochée de K. t III-3) Cas généal R : a) À pati des autes oscillogammes de la figue 4, détemine les valeus des coefficients de éflexion pou les difféentes valeus de R, à savoi : Ω, 4 Ω, 6 Ω et 8 Ω. b) Pou quelle valeu paticulièe R C de R, n y a-t-il pas d onde éfléchie? Ceci est-il en accod avec les ésultats obtenus dans les paties pécédentes? Pouquoi n y a-t-il pas de éflexion multiples? Spé ψ 1-13 page 4/8 Devoi n 6

5 figue 4 Spé ψ 1-13 page 5/8 Devoi n 6

6 Patie I PROPAGATION D UN SOLITON Avetissement : la finalité de la pésente patie dépassant le cade du égime hamonique, la notation complexe ne deva plus ête utilisée. I-1) Modèle à constantes localisées On considèe (figue 5) une ligne électique en échelle, composée de maillons identiques, de longueu ξ, composés de condensateus de capacité C et d auto inductance L. Si l on note ( la tension à l instant t au point d abscisse x, on peut die qu il y a popagation d une onde électique avec la vitesse v = ξ/τ dans le sens de l axe des abscisses si : la tension à l instant t au point d abscisse z ξ est en avance d un temps τ = ξ/v et s écit (t + τ) ; la tension à l instant t au point d abscisse z + ξ est en etad d un temps τ = ξ/v et s écit (t τ) ; d dt. a) Expime la difféence de potentiel (t + τ) ( en fonction de L et de I ( t + τ) d dt. b) Expime ( (t τ) en fonction de L et de I ( t ) (t + τ) ( (t τ) I(t + τ) I( c) Expime, à pati de la loi des nœuds, le développement (t + τ) + (t τ) ( en d fonction de L et de J ( t ) dt puis explicite J( en fonction de C et de (. Conclue en temes de potentiels. Ne pas développe le calcul de la déivée de J( afin de conseve la généalité de l écitue losque la capacité C devient dépendante de (, comme pésenté à la question 3. z ξ PROPAGATION L L J( C C z figue 5 z + ξ x I-) Étude en égime linéaie : cas d un signal hamonique a) À pati des ésultats obtenus ci-dessus, taduie la loi des nœuds en temes de potentiels. t = Acos ω t en soit une Détemine alos une condition su la pulsation pou que la fome ( ) ( ) solution Rappels : cos ( α + β ) + cos ( α β ) = cos ( α) cos( β ) et 1 cos( ) sin ( / ) ϕ = ϕ. b) La popagation se fait-elle avec ou sans dispesion? Est-il possible de econnaîte un type de filtage paticulie (passe-bas, passe-haut ou passe-bande)? c) En posant L = λ ξ et C = γ ξ, etouve la vitesse de phase v obtenue dans l hypothèse du modèle à constantes épaties où ξ tend ves zéo ; plus exactement si ξ << v/ω, soit encoe si ωτ << 1. d) On voudait dans cette hypothèse, éalise une ligne de longueu égale à 1m, capable de cée, en bout de ligne, un etad de 1 µs, avec des maillons de 1 cm, chacun compotant un condensateu de capacité égale à 5 pf. Quelle doit ête la valeu de l auto-inductance L d un maillon? I-3) Étude en égime non linéaie cas paticulie de soliton L objet de la pésente question est de défini, dans le cas de capacités Γ dépendant de la tension qui leu est appliquée (figue 6) une éventuelle solution assuant la popagation sans défoma- Spé ψ 1-13 page 6/8 Devoi n 6

7 tion d une impulsion (figue 7) ayant pou équation ( ( t ) = / ch / θ. Le paamète θ est homogène à un temps, sa valeu pécise estant à défini. PROPAGATION E P + (t + τ) E P + ( E + (t τ) I(t + τ) I( L L J( C C x ξ x figue 6 x + ξ x Avetissement : Le couant tansvesal J( s expime sous la fome J ( chage déposée su l amatue du condensateu potée au potentiel (. Dans la mesue où cette chage évolue en fonction d un potentiel dépendant du temps, on peut en conclue que dq d d J ( =. Ainsi, écie J ( = Γ pésuppose que la capacité du condensateu soit définie pa Γ =. Il impote donc d dt dt dq d de ne pas confonde cette capacité dite «dynamique» Γ avec la capacité définie pa la elation C = Q /. Cette confusion n est dq = où Q est la dt pemise que dans le cas où C est indépendante de la tension. t/ Concètement, il existe des diodes appelées «vaicap» qui, figue 7 polaisées en invese, pa une tension continue E P supeposée à ( su la ligne électique considéée, se compotent comme des capacités de valeu Γ dépendant de la tension (, d où la fome de leu symbole (figue 6). dq C Celles-ci sont telles que Γ = = où = ( epésente la tension à l instant t, α d 1+ C l écat ente la tension suppotée pa la diode (E P + ) et la tension de polaisation (E P ) étant supposé petit. soit numéique- Typiquement : C = 5 pf, C =,66 ; E P = et α =,33. C Alos, si demeue petit devant C, on peut admette que Γ = α 1+ C C ment Γ =. 1+,5 ( ) S t t t dt. a) Explicite la pimitive = ( + τ ) + ( τ) ( ) Les calculs sont allégés si l on écit : cette impulsion ( t ) = ( t θ ) d dt θ 1 tanh / sa déivée = tanh ( t / θ) 1 tanh ( t / θ) ( /1 t Spé ψ 1-13 page 7/8 Devoi n 6

8 t dt = θ tanh t / θ + Cte. sa pimitive ( ) ( ) Réduie l expession de S sachant que ( α + β ) + ( α β) ( α ) = ( α) ( β) tanh tanh tanh tanh tanh En evenant à la question 1-c, elie S à L et J(, puis à L, Γ et (. Conclue en expimant le poduit tanh ( τ / θ) R =. 1 tanh t / θ tanh τ / θ ( ) ( ) P ( α) ( ) ( ) tanh 1 1 tanh tanh α β = LΓ / θ en fonction du appot b) Explicite la capacité Γ. L expime en elation avec la tension ( apès avoi substitué au teme tanh (t/θ) la fonction convenable de (/, caactéistique de l impulsion considéée. Dans cette nouvelle expession de Γ, élimine tanh (τ/θ) au pofit de son équivalent sinh ( τ / θ) C Γ = pou détemine 1 sinh / 1+,5 + ( τ θ ). Pocéde enfin pa identification avec la fomule ( ) C en fonction de L, θ et τ ainsi que sinh (τ/θ) en fonction de. c) Des deux ésultats pécédents, extaie l expession de θ en fonction du appot /(LC ). d) On choisit L = mh. On souhaite tansmette sans défomation un signal de hauteu =,1. Quelle valeu doit-on attibue au paamète θ? Calcule la lageu tempoelle t de la patie du signal supéieue à /1 (figue 7). Los de l émission d un tain d impulsions, si l on souhaite espace chaque impulsion (bi d un temps égal à t, quel débit, expimé en kbits/seconde, obtiendait-on? $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ CONSTANTES PHYSIQUES : µ = 4π 1 7 H m 1 1 ε 1 = F m c = m s π 1 ot ( ot ( A) ) = gad ( div( A) ) A u, uθ, u Dans la base cylindique ( z ) FOULAIRE (,, ) 1 (,, ) (,, ) f θ z f θ z f θ z gad ( f ) = u + uθ + u θ z ( A (,, z) ) A (,, z) A (,, z) 1 θ 1 θ θ θ div( A) = + + θ z 1 A ( Aθ ) A A 1 ( Aθ ) A ot ( A) = u + uθ + u θ z z θ 1 f 1 f f f = + + θ z 1 Aθ 1 A A = A A + u + Aθ A u A θ θ + u θ θ Spé ψ 1-13 page 8/8 Devoi n 6 z