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- Jean-François Lefrançois
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1 L'ouvrage complet est disponible auprs des ditions de l'cole Polytechnique Cliquez ici pour accder au site des ditions
2 H 1 () H0 1 () H m () H(div) W m,p ()
3 N =1 P 1 P 2 N 2
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10 »»»»»»»»»»»»
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14 N R N N =1, 2 x t f(x, t) è(x, t) è cè c è V
15 ( ) d cè dx = fdx q nds dt V V V V ds n V q q nds= divqdx. V V c è t +divq = f x t N q i divq = q =(q 1,..., q N ) t. x i i=1 V q = kè, V k ( ) t è è è =,...,. x 1 x N è c è kè = f, t =div è = N 2 è. x 2 i=1 i
16 n t =0 è(t =0,x)=è 0 (x), è 0 è(t, x) =0 x t>0. è (t, x) n(x) è(t, x) =0 x t>0, n n è (t, x)+áè(t, x) =0 x, t>0 n á
17 c è t kè = f (x, t) R+ è(t, x) =0 è(t =0,x)=è 0 (x) (x, t) R + x è K c J/(kgK) k Jm 2 /(kg K s) c k D N F D, N, F è (f,è 0 ) (f,è 0 ) è k è è q è
18 è q k c x k T u u ru +1/2rxu t x +1/2ó2 x 2 2 u x 2 =0 (x, t) R (0,T) u(t = T,x)=max(x k, 0) x R u(0,x) t = 0 k T > 0 x t =0 ó r V (x, t) R N V c è + cv è kè = f t R+ è =0 R + è(t =0,x)=è 0 (x) Pe = cv L k,
19 L c è + cv è = f t R+ è(t, x) =0 (x, t) R + V (x) n(x) < 0 è(t =0,x)=è 0 (x) è V =R f V è t + V è x í 2 è x 2 =0 (x, t) R R+ è(t =0,x)=è 0 (x) x R í = k/c 1 + ) (x Vt y)2 è(t, x) = è 0 (y)exp ( dy. 4ğít 4ít V =0 è 0 R è t + V è x =0 (x, t) R R+ è(t =0,x)=è 0 (x) x R
20 è(t, x) =è 0 (x Vt) è 0 R í f =0 t t V V =0 f =0 è(x, t) ë>0 è( x ë, t ë ) 2 V è(x, t) è( x ë, t ë ) (x, t) R t>0 R
21 V min è 0(x) è(x, t) max è 0(x) (x, t) R R +, xr xr u t u = f R+ u =0 R + u(t =0)=u 0 =(0, 1)
22 f =0u(t, x) u x ( 1 d 1 ) 1 u 2 (t, x) dx = u 2 2 dt (t, x) x dx 0 v(x) [0, 1] v(0) = v 2 (x) dx dv dx (x) 2 dx u2 (t, x) dx f(x) 0 0 u(x) f u u 2 u t 2 u = f R+ u =0 R + u(t =0)=u 0 u t (t =0)=u 1 u x
23 N =1 u 0 u 1 f =0 =R U 1 u 1 u(t, x) = 1 2 (u 0(x + t)+u 0 (x t)) (U 1(x + t) U 1 (x t)), (x, t) (x, t) t t (x, t) u 0 u 1 [x t, x + t] u(t, x) R u 1 (x) t (x,t) xt x+t =(0, 1) f =0 u(t, x) x
24 u t x ( d 1 u 2 1 ) dt (t, x) t dx + u 2 (t, x) x dx =0. 0 f u(t, x) u (x) t f(x) { u = f u =0, f u V u(t, x) R + R N C u 2 (t, x) V (x) u i u +u Vu=0 t RN R + u(t =0)=u 0 R N u u(t, x) 0
25 u x x + v(t) ( ) v R t v = 1 v 2 2 t, R v v u x u(t, x) 2 dx = u 0 (x) 2 dx. u t ( ) 2 u (t, x) x + V (x) u(t, x) 2 dx = R R R R ( u 0 x (x) 2 + V (x) u 0 (x) 2 ) dx. R N f x x+u(x) f(x) R N u(x) { u ( + ë)(divu) =f u =0 ë >0 2 + Në > 0 u f i u i 1 i N f u R N { ui ( + ë) (divu) x i = f i u i =0 1 i N ( + ë) 0 u i N =1
26 f(x) R N u(x) p(x) p u = f divu =0 u =0 >0 N p u = f divu =0 N =1 N 2 f(x) R u(x) (u) =f u =0 u n =0 u n = u n n
27 t n t (t, x ) n j j x x >0 t >0 x
28 (t n,x j )=(nt, jx) n 0,j Z. u n j (t n,x j ) u(t, x) u(t, x x)+2u(t, x) u(t, x +x) = 2 u x 2 (t n,x j ) un j1 +2un j un j+1 (x) 2 (x) 2 2 u (t, x) x2 (x)4 4 u ( 12 x 4 (t, x)+o (x) 6) x j u t + V u x í 2 u x 2 =0 V u x (t n,x j ) V un j+1 un j1 2x u t (t n,x j ) un+1 j u n1 j 2t n j u n+1 j u n1 j + V un j+1 un j1 + í un j1 +2un j un j+1 2t 2x (x) 2 =0.
29 u n j un1 j t + V un j+1 un j1 2x u t (t n,x j ) un j un1 j t + í un j1 +2un j un j+1 (x) 2 =0. u n+1 j u n j + V un j+1 un j1 t 2x u t (t n,x j ) un+1 j u n j t + í un j1 +2un j un j+1 (x) 2 =0. (u n j ) jz (u n1 j ) jz (u n+1 j ) jz (u n j ) jz n u n j un1 j t j+1 un1 j1 + V un1 2x + í un1 u n1 j+1 (x) 2 =0. j1 +2un1 j n (u 0 j ) jz u 0 j = u 0(jx) u 0 n =1 (u 1 j ) jz
30 ít =0.1(x) 2 V =0 í =1 u 0 (x) =max(1 x 2, 0). =R n 0 (u n j ) jz R =(10, +10) x =0.05 (u n j ) 200j+200 u n j
31 t x t t x ít =2(x) 2 t t x t t x 2ít (x) 2
32 ít =0.4(x) 2 ít =0.51(x) 2 u n+1 j = ít ( (x) 2 un j ít ) (x) 2 u n j + ít (x) 2 un j+1. u n+1 j u n j1,un j,un j+1
33 u 0 m M m u 0 j M j Z, m u n j M j Z n 0. 2ít >(x) 2. u 0 0 u 0 j =(1)j ( u n j =(1) j 1 4 ít ) n (x) 2 n 1 4 ít (x) < 1 2 V =0 1 j J u n 0 = u n J+1 =0 n N m 0 M m u 0 j M 1 j J u n+1 j u n j n 0 m u n j M 1 j J t x
34 ít =0.4(x) 2 x x t ít/(x) 2 t =1 t V = 1 ít =0.4(x) 2 í í =1 í =0.01 í =0.1 í V
35 ít = 0.4(x) 2 V =1 í =1í =0.1 í =0.01
36 í í =0 í =0 t x t =0.9x V =1 í =0 í =0 u n+1 j = V t 2x un j1 + un j V t 2x un j+1. u n+1 j t u n j1 u n j u n j+1 V V > 0 V < 0 V > 0 V u x (t n,x j ) V un j+1 un j x
37 u n+1 j u n j + V un j+1 un j =0 t x V > 0 V u x (t n,x j ) V un j un j1 x u n+1 j u n j t + V un j un j1 x =0 t = 0.9x V =1 V t x. u n+1 j = V t ( x un j1 + 1 V t ) u n j x,
38 u n+1 j u n j1 u n j í u 0 j =(1)j t x
39 { dy dt = f(t, y) 0 <t<t y(t =0)=y 0 (0,T) 0 <T + t =0 t = T t t =0 t = T x t x f u A u A u A(u) =f f u u f
40 =(0, 1) (0, 2ğ)
41 x y 2 u x 2 2 u y 2 =0 u(x, 0) = u(x, 2ğ) =0 0 <x<1 u u(0,y)=0, n x (0,y)=e sin(ny) 0 <y<2ğ n u(x, y) = e n sin(ny)sh(nx) x =0 x>0 u(x, y) n t x u(x, y) a 2 u x + b 2 u 2 xy + c 2 u y + d u 2 x + e u + fu = g. y a, b, c, d, e, f b 2 4ac < 0 b 2 4ac =0 b 2 4ac > 0 ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f =0 b 2 4ac < 0 b 2 4ac =0 b 2 4ac > 0 (x, y) (t, x)
42 (x, y) (X, Y ) J = X xy y X yy x Z z Z z A 2 u X + B 2 u 2 XY + C 2 u Y + D u 2 X + E u + Fu = G, Y A = axx 2 + bx xx y + cxy 2 B =2aX xy x + b(x xy y + X yy x)+2cx yy y C = ayx 2 + by xy y + cyy 2 B 2 4AC = J 2 (b 2 4ac) X 2 Y X Y 2 X 2 Y 2 2 u =1 a =1 x 2 b = c = d = e = f =0 b 2 4ac =0 y
43
44 (0, 1) u t í 2 u x =0 2 (x, t) (0, 1) R+ u(0,x)=u 0 (x) x (0, 1). (0, 1)R + x =1/(N +1) > 0 N t >0 (t n,x j )=(nt, jx) n 0,j {0, 1,..., N +1}. u n j (t n,x j )u(t, x) u 0 j = u 0 (x j ) j {0, 1,..., N +1}. u(t, 0) = u(t, 1) = 0 t R + u n 0 = u n N+1 =0 n>0. (u n j ) 1jN R N N x j 1 j N u n j u n+1 j u n j + í un j1 +2un j un j+1 t (x) 2 =0 n 0 j {1,..., N} u n+1 j u n j + í un+1 t j1 +2un+1 j u n+1 j+1 (x) 2 =0.
45 u n+1 j u n j N 1+2c c 0 c 1+2c c c = ít (x) c 1+2c c 2, 0 c 1+2c 0 è 1 è u n+1 j u n j t + èí un+1 j1 +2un+1 j u n+1 j+1 (x) 2 +(1 è)í un j1 +2un j un j+1 (x) 2 =0. è =0 è =1 è è 0 è =1/2 u n+1 j+1 un j+1 + 5(un+1 12t +í un+1 j1 +2un+1 j u n j ) 6t + un+1 j1 un j1 12t j u n+1 j+1 2(x) 2 + í un j1 +2un j un j+1 2(x) 2 =0. è è =1/2 (x) 2 /12ít u n+1 j 3u n+1 j u n1 j 2t + í un j1 + un+1 j + u n1 j u n j+1 (x) 2 =0, 4u n j + un1 j + í un+1 2t j1 +2un+1 j u n+1 j+1 (x) 2 =0.
46 f(t, x) f(t, x) (t n,x j ) f(t n,x j ) u n+1 j u n j + í un j1 +2un j un j+1 t (x) 2 = f(t n,x j ). u n j (n,j ) (n, j) (n,j ) u u (t, 0) = 0 (t, 1) = 0. x x u n 1 u n 0 x =0 un N+1 un N x u n 0 u n N+1 N (u n j ) 1jN u n 1 u n 1 2x =0 un N+2 un N 2x x 1 x N+2 u n 1 u n N+2 N +2 (u n j ) 0jN+1 =0 =0 u(t, x +1)=u(t, x) x [0, 1],t 0. u n 0 = u n N+1 n 0 u n j = un N+1+j
47 F (u) =0 F (u) u (t, x) n, j F t,x ( {u n+m j+k } m mm +,k kk + ) =0 m,m +,k,k + F (u) =0 u(t, x) F t,x ( {u(t + mt, x + kx)}m mm +, k kk + ), (t, x) t x p ( ) q O (x) p +(t) q t x t x F t,x ({u n+m j+k })=0 u(t, x) u n+m j+k u(t + mt, x + kx) ít/(x) 2 =1/6
48 t x t x v(t, x) C 6 (t, x) v(t +t, x) v(t, x) t v(t, x x)+2v(t, x) v(t, x +x) +í (x) 2 = (v t ív xx ) + t 2 v tt í(x)2 12 ( v xxxx + O (t) 2 +(x) 4), v t,v x v v ít/(x) 2 =1/6 t (x) 2 v tt = ív txx = í 2 v xxxx ) O (t +(x) 2 L 2 L ) 2ít (x) 2 O (t +(x) 2 L 2 L ) O ((t) 2 +(x) 2 L 2 è =1/2 ) è O (t +(x) 2 L 2 è 1/2 ) 2(1 2è)ít (x) 2 O ((t) 2 +(x) 4 L 2 ( ) O ( t x )2 +(x) 2 L 2 ) O ((t) 2 +(x) 2 L 2
49 u n =(u n j ) 1jN R N x N u n p = x u n j p j=1 1/p 1 p +, p =+ u n =max 1jN u n j x N x =1/(N +1) x u n p L p (0, 1) [x j,x j+1 [ [0, 1] L p p =2, + K>0 t x u n Ku 0 n 0, u 0 t x R N x x F t,x ({u n+m j+k })=0 un+m j+k u n+1 = Au n,
50 A R N R N A 1 2c c 0 c 1 2c c c = ít (x) c 1 2c c 2, 0 c 1 2c A u n = A n u 0 A n n A A n u 0 Ku 0 n 0, u 0 R N. M = sup ur N,u0 Mu u, A A n K n 0, L L n 0 1 j N ( ) ( ) min 0, min 0jN+1 u0 j u nj max 0, max 0jN+1 u0 j u 0 u 0 u 0
51 L 2ít (x) 2 L t x è =1/2 L ít (x) 2 L 2ít (x) 2 L 2 L L 2 u(t, x+1) = u(t, x) x [0, 1] t 0 u n 0 = un N+1 n 0 u n j = un N+1+j N +1 u n j u n =(u n j ) 0jN u n (x) [0, 1] u n (x) =u n j x j1/2 <x<x j+1/2 x j+1/2 =(j +1/2)x 0 j N x 1/2 =0 x N+1+1/2 =1 u n (x) L 2 (0, 1) L 2 (0, 1) u n (x) = kz n (k)exp(2iğkx), n (k) = 1 0 un (x)exp(2iğkx) dx 1 0 u n (x) 2 dx = kz n (k) 2. u n n (k) v n (x) =u n (x +x) v n (k) = n (k)exp(2iğkx) 0 x 1 u n+1 (x) u n (x) + í un (x x)+2u n (x) u n (x +x) t (x) 2 =0.
52 ( n+1 (k) = 1 ít ) ( exp(2iğkx)+2 exp(2iğkx)) n (k). (x) 2 n+1 (k) =A(k) n (k) =A(k) n+1 0 (k) A(k) =1 4ít (x) 2 (sin(ğkx))2. k Z n (k) n A(k) 1 2ít(sin(ğkx)) 2 (x) 2. 2ít (x) 2 k Z u n 2 2 = 1 0 u n (x) 2 dx = kz n (k) 2 kz 0 (k) 2 = 1 0 u 0 (x) 2 dx = u 0 2 2, L 2 x k 0 0 (k 0 ) 0 ğk 0 x ğ/2 ğ A(k 0 ) > 1 L 2 2ít (x) 2 L 2 L 2 L 0 x 1 u n+1 (x) u n (x) t + í un+1 (x x)+2u n+1 (x) u n+1 (x +x) (x) 2 =0, ( n+1 (k) 1+ ít ) ( exp(2iğkx)+2 exp(2iğkx)) = n (k). (x) 2
53 ( n+1 (k) =A(k) n (k) =A(k) n+1 0 (k) A(k) = 1+ 4ít ) 1 (x) 2 (sin(ğkx))2. A(k) 1 k L 2 R [0, 1] R u n j n L 2 u n u n+1 L 2 u n j = A(k) n exp(2iğkx j ) x j = jx, A(k) A(k) C A(k) 1 k Z. t x L 2 è L 2 1/2 è 1 2(1 2è)ít (x) 2 0 è<1/2
54 L 2 T > 0 K(T ) > 0 t x u n K(T )u 0 0 n T/t, u 0 u t í 2 u x = cu (t, x) 2 R+ R, v(t, x) =e ct u(t, x) c>0 u A(k) 1+Ct k Z. u(t, x) u n j u 0 j = u 0(x j ) ( ) T>0, lim sup e n =0, t,x0 t nt e n e n j = un j u(t n,x j )
55 p q T>0 C T > 0 sup e n C T ((x) p +(t) q). t nt u n+1 = Au n, A N u n =( n j ) 1jN n j = u(t n,x j ) n n+1 = A n +t n lim t,x0 n =0, n 0 t n T p q n C((x) p +(t) q ) e n j = un j u(t n,x j ) e n+1 = Ae n t n e n = A n e 0 t n A nk k1. k=1 u n = A n u 0 Ku 0 A n K K n e 0 =0 e n t n ( A nk k1 tnkc (x) p +(t) q), k=1 C T = TKC
56 [0,T] N u n+1 u n u n+1 u n u n1 u n+1 u n u n1 ( ) U n u n = u n1, N A 1 A 2 ( ) U n+1 = AU n A1 A = 2 U n, Id 0 A 2N U n = A n U 1 A n = A n U 1 sup U 1 R 2N,U 1 0 U 1 K n 1. L 2 x [0, 1] u n+1 (x) u n1 (x) 2t + í un (x x)+2u n (x) u n (x +x) (x) 2 =0,
57 n+1 (k)+ 8ít (x) 2 (sin(ğkx))2 n (k) n1 (k) =0. ( ) ( n+1 (k) = n+1 (k) 8ít n = (x) (sin(ğkx)) (k) 1 0 ) n (k) =A(k) n (k), n+1 (k) =A(k) n 1 (k) A(k) k Z n (k) n (k) n A(k) n 2 = A(k) n U 2 sup K n 1, UR 2,U0 U 2 U 2 R 2 k Z u n 2 2 = kz n (k) 2 K kz ( 0 (k) (k) 2) = u u 1 2 2, L 2 k 0 A(k 0 ) n n 0 (k 0 ) 1 (k 0 ) L 2 A(k) A(k) 2 = ñ(a(k)) A(k) n 2 = A(k) n 2ñ(M) M ñ(a(k)) 1 A(k) ë 2 + 8ít (x) 2 (sin(ğkx))2 ë 1=0 1 ñ(a(k)) > 1 L 2 ( u n+1 ) ( ) j u = A(k) n 1 j exp(2iğkx j ) u n j u 0 j
58 A(k) ñ(a(k)) 1 k Z, ñ(a(k)) A(k) B B ñ(b) B n ñ(b) n, L 2 A(k) A(k) 2 = ñ(a(k)) A(k) n 2 = A(k) n 2 A(k) A(k) L 2 L 2 L 2 t x t/(x) 2 =(0, 1) (0,L) u t í 2 u x 2 í 2 u y =0 2 (x, y, t) R+ u(t =0,x,y)=u 0 (x, y) (x, y) u(t, x, y) =0 t R +, (x, y).
59 x =1/(N x +1)> 0 y = L/(N y +1)> 0 N x N y t >0 (t n,x j,y k )=(nt, jx, ky) n 0, 0 j N x +1, 0 k N y +1. u n j,k (t n,x j,y k ) u(t, x, y) y (x, y j k) k y j x n>0 u n 0,k = u n N x+1,k =0, k, u n j,0 = u n j,n y+1 =0, j. u 0 j,k = u 0(x j,y k ) j, k. u n+1 j,k un j,k t + í un j1,k +2un j,k un j+1,k (x) 2 + í un j,k1 +2un j,k un j,k+1 (y) 2 =0 n 0 j {1,..., N x } k {1,..., N y } L ít (x) 2 + ít (y) x
60 0.01 (1., 0.) u n+1 j,k un j,k t + í un+1 j1,k +2un+1 j,k un+1 j+1,k (x) 2 + í un+1 j,k1 +2un+1 j,k un+1 j,k+1 (y) 2 =0. u n+1 u n
61 u n j,k j k u n u n j,k u n =(u n 1,1,..., u n 1,N y,u n 2,1,..., u n 2,N y,..., u n N x,1,..., u n N x,n y ). j k N x N y D 1 E 1 0 E 1 D 2 E 2 M = E Nx2 D Nx1 E Nx1 0 E Nx1 D Nx D j N y 1+2(c y + c x ) c y 0 c y 1+2(c y + c x ) c y D j = c y 1+2(c y + c x ) c y 0 c y 1+2(c y + c x ) c x = ít (x) c 2 y = ít (y) E 2 j =(E j ) t N y c x c x 0 E j =. 0 c x c x M M
62 u n+1/2 j,k u n j,k + í un+1/2 j1,k t u n+1 j,k un+1/2 j,k t + í un+1/2 j1,k +2un+1/2 j,k 2(x) 2 +2un+1/2 j,k 2(x) 2 u n+1/2 j+1,k + í un j,k1 +2un j,k un j,k+1 2(y) 2 =0 u n+1/2 j+1,k + í un+1 j,k1 +2un+1 j,k un+1 j,k+1 2(y) 2 =0. L 2 u t 2í 2 u x 2 =0 u t 2í 2 u y 2 =0 /2 u n+1/2 j,k u n j,k + í un+1/2 j1,k t u n+1 j,k un+1/2 j,k t +2un+1/2 j,k 2(x) 2 + í un+1 j,k1 +2un+1 j,k un+1 j,k+1 2(y) 2 u n+1/2 j+1,k + í un j1,k +2un j,k un j+1,k 2(x) 2 =0 + í u n+1/2 j,k1 +2un+1/2 j,k u n+1/2 j,k+1 2(y) 2 =0 L 2
63 zone o l on veut de la prcision x y x y (0, 1) V > 0 u t + V u x =0 (x, t) (0, 1) R+ u(t, x +1)=u(t, x) (x, t) (0, 1) R + u(0,x)=u 0 (x) x (0, 1).
64 x =1/(N +1) > 0 N t >0 (t n,x j )=(nt, jx) n 0,j {0, 1,..., N +1} u n j (t n,x j )u(t, x) u n 0 = un N+1 n 0 u n j = un N+1+j u n =(u n j ) 0jN R N+1 u n+1 j u n j + V un j+1 un j1 =0 t 2x n 0 j {0,..., N} L 2 (t n,x j ) L 2 n (k) u n ( n+1 (k) = 1 i V t ) x sin(2ğkx) n (k) =A(k) n (k). ( ) 2 V t A(k) 2 =1+ x sin(2ğkx) 1, 2kx u n+1 j u n j t + V un+1 j+1 un+1 j1 =0. 2x L 2 u n j+1 un j1 + V un j+1 un j1 =0 2t 2x 2u n+1 j
65 L 2 V t x. t/x t x ( n+1 (k) = cos(2ğkx) i V t ) x sin(2ğkx) n (k) =A(k) n (k). A(k) 2 =cos 2 (2ğkx)+ ( ) 2 V t sin 2 (2ğkx). x A(k) 1 k V t x k A(k) > 1 (t n,x j ) u 2u(t n+1,x j ) u(t n,x j+1 ) u(t n,x j1 ) + V u(t n,x j+1 ) u(t n,x j1 ) = 2t 2x ) (u t + Vu x )(t n,x j ) (1 (x)2 (V ) t)2 2t (x) 2 u xx (t n,x j )+O ((x) 2 + (x)4. t ( O (x) 2 /t) t (x) 2 t/x e n ( (x) e n 2 ) tnkc +t. t x/t t t
66 u n+1 j u n j + V un j+1 ( un j1 V 2 t t 2x 2 ) u n j1 2u n j + un j+1 (x) 2 =0. ( u(t n+1,x j )=u(t n,x j )+(t)u t (t n,x j )+ (t)2 u tt (t n,x j )+O (t) 3). 2 u(t n+1,x j )=u(t n,x j ) (V t)u x (t n,x j )+ (V ( t)2 u xx (t n,x j )+O (t) 3). 2 u(t n+1,x j ) = u(t n,x j ) V t u(t n,x j+1 ) u(t n,x j1 ) 2x (V t)2 u(t n,x j+1 ) 2u(t n,x j )+u(t n,x j1 ) ( + 2 (x) 2 + O (t) 3 +t(x) 2). u(t n,x j ) u n j L 2 V t x L 2 V t x V t x V t/x 1, 0, 1 u n+1 j á, â, ã V t/x = áu n j1 + âu n j + ãu n j+1,
67 u n+1 j u n+1 j u n j + V un j un j1 =0 t x V > 0 u n j + V un j+1 un j =0 t x V < 0. L V t x L L 2 L 2 V t x V u ) O (t +(x) 2 ) L 2 O (t +(x) 2 ) L 2 L O (t + (x)2 t V t x ) L 2 O ((t) 2 +(x) 2 V t x ( ) L 2 L O t +x V t x
68
69 ) (x)2 (V t)2 2t (1 (x) 2 u xx u t + V u x í 2 u =0 x2 ) (x)2 (V t)2 í = (1 2t (x) 2. í x = V t í í u t + V u x V 2 (x V t) 2 u x 2 =0. x = V t x x =0.01 V =1 T =5 t =0.9x t =0.45x u t + V u x + V ) (1 (x)2 (V t)2 3 u 6 (x) 2 x 3 =0.
70 x = 0.01 t =0.9x V =1 T =5
71 u t + V u x í 2 u x 2 u 3 x =0 3 (x, t) R R+ u(t =0,x)=sin(ùx + ö) x R, V,í,,ù,ö R u(t, x) =exp(íù 2 t)sin ( ù(x (V + ù 2 )t)+ö ) u n+1 j u n1 j + V un j+1 un j1 =0. 2t 2x V t Mx M<1 u n+1 j u n j t + V un+1 j+1 un+1 j1 + V un j+1 un j1 4x 4x (0, 1) 2 u t 2 2 u x =0 2 (x, t) (0, 1) R+ u(t, x +1)=u(t, x) (x, t) (0, 1) R + u(t =0,x)=u 0 (x) x (0, 1) u t (t =0,x)=u 1(x) x (0, 1). =0.
72 u n =(u n j ) 0jN R N+1 u n 0 = u n N+1 n 0 u n j = un N+1+j u (0, 1) u u 0 0 u 1 C (0, 1) u(t, x) =Ct 1 0 u 1 (x) dx =0. è n 1 j {0,..., N} u n+1 j 2u n j + un1 (t) 2 +(1 2è) un j1 +2un j un j+1 (x) 2 j +è un+1 j1 +2un+1 +è un1 j1 +2un1 j j u n+1 j+1 (x) 2 u n1 j+1 (x) 2 =0 0 è 1/2 è =0 è 0 u 0 j = u 0(x j ) u 1 j u0 j = t xj+1/2 x j1/2 u 1 (x) dx, è 1/4 è 1/2 è L 2 0 è<1/4 t/x >1/ 1 4è t 1 x < 1 4è, n+1 (k) 2 n (k)+ n1 (k)+á(k) ( è n+1 (k)+(1 2è) n (k)+è n1 (k) ) =0,
73 ( ) 2 t á(k) =4 sin 2 (ğkx). x ( ) ( ) n+1 (k) = n+1 (k) 2(12è)á(k) n = 1+èá(k) 1 (k) n (k) =A(k) n (k), 1 0 n+1 (k) =A(k) n 1 (k) (ë 1,ë 2 ) A(k) ë 2 2 (1 2è)á(k) ë +1=0. 1+èá(k) á(k)(4 (1 4è)á(k)) = (1 + èá(k)) 2. A(k) A(k) n 2 ñ(a(k)) n ñ(a(k)) = max( ë 1, ë 2 ) A(k) ñ(a(k)) 1 t/x >1/ 1 4è k sin 2 (ğkx) 1 > 0 ë 1 ë 2 ñ(a(k)) > 1 t/x <1/ 1 4è 0 k ñ(a(k)) = 1 A(k) n t/x = 1/ 1 4è 0 è<1/4 è u n j =(1)n+j (2n 1) u n è è = 0.25 x =0.01 t =0.9x T =5 u 0 u 1
74 t>0 E(t) =E(0) E(t) = 1 0 u 2 (t, x) t dx u 2 (t, x) x dx. è E n+1 = N j=0 ( u n+1 j u n j t a x (u, v) = ) 2 + a x(u n+1,u n )+èa x(u n+1 u n,u n+1 u n ) N ( )( ) uj+1 u j vj+1 v j. x x j=0 E n+1 O(x +t) E(t n+1 ) è E n = E 0 n 0
75 v = u u t w = x ( ) ( ) ( ) v 0 1 v = (x, t) (0, 1) R t w 1 0 x w + v(t, x +1)=v(t, x),w(t, x +1)=w(t, x) (x, t) (0, 1) R + w(t =0,x)= u 0 (x) x (0, 1) x v(t =0,x)=u 1 (x) x (0, 1). u v w ( 1 2v n+1 j vj+1 n ) vn j1 2t 2w n+1 wj+1 n 1 ( )( 0 1 v n j+1 v n ) j1 wn j1 2x 1 0 wj+1 n =0, wn j1 j ( 1 v n+1 j v n ) j t w n+1 j wj n 1 ( )( 0 1 v n j+1 v n ) j1 2x 1 0 wj+1 n wn j1 + t ( ) 2 ( 0 1 v n j1 +2vj n ) vn j+1 2(x) wj1 n +2wn j =0. wn j+1 L 2 t x t/x t x L 2 t x ( ) 0 1 J = 1 0
76 J 1 1
77 { u = f u =0
78 R N f u C 1 () H 1 () u R N C() C() k 0 C k () C k () k u C 2 () C() f C() f C() C 2 N 2 C 2 f C() N =1
79 N =1 =(0, 1) d2 u dx 2 = f 0 <x<1 u(0) = u(1) = 0. f [0, 1] C 2 ([0, 1]) u(x) =x 1 0 f(s)(1 s)ds x 0 f(s)(x s)ds x [0, 1]. [0, 1] m R d2 u = f 0 <x<1 dx2 du u(0) = 0, dx (0) = m. m u(1) = 0 m u(1) m
80 R N C 1 N 1 n =(n i ) 1iN R N dx N ds N 1 C 1 w C 1 () w (x) dx = w(x)n i (x) ds, x i n i i w w w w
81 ù 0 ö i ù i+1 ù i Q + Q y N y ù i1 C 1 u v C 1 () u(x) v (x) dx = x i v(x) u x i (x) dx + u(x)v(x)n i (x) ds. w = uv C 1 u C 2 () v C 1 () u u(x)v(x) dx = u(x) v(x) dx + (x)v(x) ds, n ( u u = u u = u n x i )1iN n v u x i i
82 R N C k k 1 (ù i ) 0iI ù 0, I i=0ù i, I i=1ù i, i {1,..., I} ö i C kù i Q = { y =(y,y N ) R N1 R, y < 1, y N < 1 }, C k ö i (ù i ) = Q { y =(y,y N ) R N1 R,y N > 0 } = Q +, ö i (ù i ) = Q { y =(y,y N ) R N1 R,y N =0 }. 2ğ divó(x)ö(x) dx = ó(x) ö(x) dx + ó(x) n(x) ö(x) ds, ö C 1 () ó C 1 ()
83 N =3 R 3 ö =(ö 1,ö 2,ö 3 ) R 3 ( ö3 rotö = ö 2, ö 1 ö 3, ö 2 ö ) 1. x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 x 2 ö ø C 1 () rotö ødx ö rotødx= (ö n) øds. f u C 2 () X X = { ö C 1 () ö =0 }. u u X u(x) v(x) dx = f(x)v(x) dx v X. u C 1 () u C 2 () v v = u f
84 u v X u u(x)v(x) dx = u(x) v(x) dx + (x)v(x) ds. n v =0 v X f(x)v(x) dx = u(x) v(x) dx, u X ( ) u(x)+f(x) v(x) dx =0 v X. (u + f) u(x) =f(x) x u X u =0 u R N g(x) ö C () g(x)ö(x) dx =0, g x 0 g(x 0 ) 0 g(x 0 ) > 0 g ù x 0 g(x) > 0 x ù ö ù g(x)ö(x) dx = g(x)ö(x) dx =0, g g(x) =0 x u X a(u, v) =L(v) v X, a(u, v) = ù u(x) v(x) dx
85 L(v) = f(x)v(x) dx, a(, ) X L( ) X X X = {v C 1 (), v =0 } X H0 1 () { u = f u n =0. u C 2 () u u C 1 () u(x) v(x) dx = f(x)v(x) dx v C 1 (). C 2 () f(x)dx =0 (u) =f u =0 u n =0 X v C 2 () v v n u C 4 () u u X u(x)v(x) dx = f(x)v(x) dx v X.
86 V, u V a(u, v) =L(v) v V. a L L( ) V v L(v) V R C>0 L(v) Cv v V ; a(, ) V w a(w, v) V R v V v a(w, v) V R w V a(, ) M>0 a(w, v) Mwv w, v V ; a(, ) í>0 a(v, v) ív 2 v V. a(, ) V L( ) V a(, ) V L w V v a(w, v) V V A(w) a(w, v) =A(w),v v V. a(w, v) w A(w) v = A(w) a(w, v) A(w) 2 = a(w, A(w)) MwA(w),
87 A(w) Mw w A(w) V f f V = L V L(v) =f,v v V. u V A(u) =f. A V V u u L a(w, v) íw 2 a(w, w) =A(w),wA(w)w, íw A(w) w V, A A Im(A) =V V Im(A) V Im(A) = {0} V = {0} =(Im(A) ) = Im(A) = Im(A) A A(w n ) Im(A) b V íw n w p A(w n ) A(w p ) n p w n V w V A A(w n ) A(w) =b b Im(A) Im(A) v Im(A) a(w, v) ív 2 a(v, v) =A(v),v =0, v =0 Im(A) = {0} A A 1 w = A 1 (v) A 1 u f V A a(w, v) A V = R N Au, v = f,v v R N Au = f
88 u T V V ( ) í T (w) =w A(w) f = M 2, u V T (u) =u T (v) T (w) 2 = v w A(v w) 2 = v w 2 2A(v w),v w + 2 A(v w) 2 = v w 2 2a(v w, v w)+ 2 A(v w) 2 (1 2í + 2 M 2 )v w 2 (1 í 2 /M 2 )v w 2. a(w, v) =a(v, w) v, w V J(v) v V J(v) = 1 a(v, v) L(v). 2 u V u J(u) =min J(v). vv u V J(v) u u a J(u + v) =J(u)+ 1 2 a(v, v)+a(u, v) L(v) =J(u)+1 a(v, v) J(u). 2
89 u + v V u J V u V J(u) =min J(v). vv v V j(t) =J(u + tv) R R t t =0 j j (0) = 0 a J(v) a(u, v) = u(x) v(x) dx L(v) = f(x)v(x) dx, a(, ) L( ) V X V = { v C 1 (), v=0 }. V w, v = w(x) v(x) dx, ( v = v(x) 2 dx) 1/2. V v =0 v =0 v(x) 2 dx =0
90 v v =0 v =0 a(, ) a L ( ) 1/2 ( 1/2 f(x)v(x) dx f(x) 2 dx v(x) dx) 2 Cv, C f v L V V C 1 V V V V V H0 1 () V V R N C>0 v C 1 () v(x) 2 dx C v(x) 2 dx. x x 1 <a x 1 b<+ v C 1 () v C 1 R N x v(x) = x1 a v (t, x 2,..., x N ) dt, x 1 x1 2 v(x) 2 (x 1 a) v (t, x 2,..., x N ) x 1 dt (b a) a b a 2 v (t, x 2,..., x N ) x 1 dt.
91 v(x) 2 dx (b a) b a 2 v (t, x 2,..., x N ) x 1 dt dx, t x 1 v(x) 2 dx (b a) 2 v 2 (x) x 1 dx (b a) 2 v(x) 2 dx. V R N N =1 x 1 1 <x<n 1, u n (x) = (n/2)x 2 1+1/(2n) n 1 x n 1, x 1 n 1 <x<1. N =20 <á<1/2 u n (x) = log( x 2 + n 1 ) á/2 log(1 + n 1 ) á/2. N 3 0 <â<(n 2)/2 1 u n (x) = ( x 2 + n 1 ) 1 â/2 (1 + n 1 ). â/2 u n V V n
92
93 L 2
94 R N L 2 () f,g = f(x)g(x) dx, L 2 () ( f L 2 () = f(x) 2 dx ) 1/2 f f f g f(x) =g(x) E E f(x) =g(x) x ( \ E) Cc () D() C Cc () Cc () Cc () L2 () f L 2 () f n Cc () lim f f n L n+ 2 () =0. f L 2 () ö Cc f(x)ö(x) dx =0, f(x) =0 () f n Cc () f L 2 () 0 = lim f(x)f n (x) dx = f(x) 2 dx, n+
95 f(x) =0 L p () 1 p + 1 p< + L p () p ( 1/p f L p () = f(x) dx) p, L p () p =+ L () f C>0 f(x) C f L () =inf { C R + f(x) C }, L () L p () L q () 1 q p + L 2 () v L 2 () v L 2 () w i L 2 () i {1,..., N} ö Cc () v(x) ö (x) dx = w i (x)ö(x) dx. x i w i i v v x i w i = v x i w i v L 2 () v v L 2 () C>0 ö Cc () i {1,..., N} v(x) ö (x) dx x i Cö L 2 (), v
96 L L(ö) = v(x) ö (x) dx. x i L(ö) ö Cc () L L 2 () Cc () L 2 () L L 2 () (w i ) L 2 () L(ö) = w i (x)ö(x) dx, v L 2 () =(0, 1) x á L 2 () á>1/2 C 1 L 2 () C 1 L 2 () v L 2 () v x i 1 i N C v(x) =C ø Cc () v(x) ø (x) dx =0. x i Q =] l, +l[ N l > 0 è(t) Cc (l, +l) +l ö C c ø(x,x i )= l (Q) ( xi l è(t) è(t) dt =1. +l l ö(x,s) ds ö(x,t) ) dt,
97 x =(x,x i ) x R N1 x i R ø Cc (Q) ø (x,x i )=è(x i ) x i +l ø Q v(x)ö(x) dx = = Q Q l ö(x,s) ds ö(x,x i ). ( ) +l v(x)è(x i ) ö(x,s) ds dx dx i l ( ) +l ö(x,s) v(x,x i )è(x i ) dx i dx ds ö v(x) = +l l l v(x,s)è(s) ds, v x i Q x i v(x) Q v(x) ó R N L 2 () ó L 2 () N ó L 2 () w L 2 () ö Cc () ó(x) ö(x) dx = w(x)ö(x) dx. w ó divó ó w =divó
98 ó L 2 () N C>0 ö Cc () ó(x) ö(x) dx Cö L 2 (), ó 1 2 Ã= 1 2 C L 2 () Ã L p () 1 p + p 2 L p () v(x) ö (x) dx x i Cö 1 L p () p + 1 =1 1 <p +, p L p () L p () H 1 () R N H 1 () { H 1 () = v L 2 () i {1,..., N} v } L 2 (), x i v x i v u H 1 () ( ) u, v = u(x)v(x) +u(x) v(x) dx
99 ( u H1 () = ( u(x) 2 + u(x) 2) dx) 1/2 H 1 () H 1 () H 1 () (u n ) n1 H 1 () H 1 () (u n ) n1 ( un x i ) n1 i {1,..., N} L 2 () L 2 () u w i u n u un x i w i L 2 () u n ö C c () u n (x) ö (x) dx = x i u n x i (x)ö(x) dx. n + u(x) ö (x) dx = w i (x)ö(x) dx, x i u w i i u u x i u H 1 () (u n ) n1 u H 1 () C 1 H 1 () N 2 H 1 () B R N N =2 u(x) = log( x ) á H 1 (B) 0 <á<1/2 N 3 u(x) = x â H 1 (B) 0 <â<(n 2)/2 N =1 H 1 () =(0, 1) v H 1 (0, 1) x, y [0, 1] v(y) =v(x)+ y x v (s) ds. x [0, 1] v v(x) H 1 (0, 1) R H 1 (0, 1) v H 1 (0, 1) [0, 1]
100 v H 1 (0, 1) w(x) [0, 1] w(x) = x 0 v (s) ds. x v (s) ds x 1 x v (s) 2 ds v (s) 2 ds < w [0, 1] x w(x) w(y) = v (s) ds x x y v (s) 2 ds 1 x y v (s) 2 ds. y w w = v ö Cc (0, 1) T T = {(x, s) R 2, 0 s x 1} 1 1 ( x ) w(x)ö (x) dx = v (s) ds ö (x) dx = v (s)ö (x) ds dx ( 1 ) v (s)ö (x) ds dx = ö (x) dx v (s) ds = T 0 1 w(x)ö (x) dx v L 2 (0,1)ö L 2 (0,1). 0 0 w w 1 w (x)ö(x) dx = s y 0 w(x)ö (x) dx = T ö(s)v (s) ds, ö(s)v (s) ds, ö Cc (0, 1) w = v w v (0, 1) v(x) v(y) + y 1 y x v (s) 2 ds v(y) + v (s) 2 ds, y 1 1 v(x) v(y) dy + v (s) 2 ds 0 x v(y) 2 dy + v (s) 2 ds 2v H1 (0,1), 0 v v(x) H 1 (0, 1) 0 0
101 H 1 (0, 1) H 1 (0, 1) v H 1 (0, 1) v H 1 (0, 1) v H 1 (0, 1) H 1 () u H 1 () C 1 =R N + =R N Cc () H1 () R N + {x R N x N > 0} Cc () H1 () C C () Cc () = C () Cc () Cc () () C c C 1
102 H 1 0() H 1 () Cc () C H0 1() C c () H 1 () H0 1 () H 1 () Cc () H1 0 () H 1 () Cc () Cc () =R N =R N = Cc (RN ) H 1 (R N ) H0 1 (R N )=H 1 (R N ) R N H 1 () H0 1 () H0 1() H1 () R N C>0 v H0 1() v(x) 2 dx C v(x) 2 dx. v Cc () v H0 1() C c () H0 1 () v n Cc () lim v v n 2 n+ H 1 () = lim ( v vn 2 + (v v n ) 2) dx =0. n+
103 lim n+ v n 2 dx = v 2 dx lim n+ v n (x) 2 dx C v n 2 dx = v n (x) 2 dx. v 2 dx. n + H 1 () H0 1 () H 1 0 () R N ( v H 1 0 () = v(x) 2 dx ) 1/2 H 1 0 () H 1 () v H0 1 () ( v H 1 0 () v H 1 () = ( v 2 + v 2) dx) 1/2 v 2 H 1 () (C +1) v 2 dx =(C +1) v 2 H 1 0 (), v H 1 0 () v H 1 ()
104 N 2 H 1 () v H 1 () v v H 1 () C 1 =R N + ã 0 H 1 () C() L 2 () C() v ã 0 (v) =v. ã 0 H 1 () L 2 () ã 0 C>0 v H 1 () v L 2 () Cv H 1 (). H 1 () L 2 () = R N + R N,x N > 0} v Cc (R N + ) x =(x,x N ) v(x, 0) 2 = v(x,x N ) v x N (x,x N ) dx N, 2ab a 2 + b 2 ( + v(x, 0) 2 v(x,x N ) 2 + v 2) (x,x N ) dx N. x N x v(x, 0) 2 dx R N 1 R N + ( v(x) 2 + v 2) (x) dx, x N = {x v L2 (R N + ) v H1 (R N + ) Cc (RN + ) H1 (R N + )
105 C 1 =R N + H 1 () C 1 C 1 u v H 1 () u(x) v (x) dx = v(x) u (x) dx + u(x)v(x)n i (x) ds, x i x i n =(n i ) 1iN C 1 Cc () H 1 () (u n ) n1 (v n ) n1 Cc () H1 () u v v n u n u n dx = v n dx + u n v n n i ds. x i x i n + u n un x i v n vn x i u u x i v v x i L 2 () ã 0 ã 0 (u n ) ã 0 (v n ) ã 0 (u) ã 0 (v) L 2 () u v H 1 () H 1 0 () C 1 H 1 0 () H 1 () H0 1 () Cc () ã 0 H0 1 () H 1 ()
106 ã 0 H0 1 () ã 0 Im(ã 0 ) L 2 () L 2 () H 1/2 () C>0 v H0 1 () v(x) 2 dx C v(x) 2 dx, v n H0 1 () 1= v n (x) 2 dx > n v n (x) 2 dx. v n H0 1 () v n L 2 () v n L 2 () v n H0 1 () H0 1 () v v(x) 2 dx = lim v n (x) 2 1 dx lim n+ n+ n =0, v v v v(x) 2 dx = lim v n (x) 2 dx =1, n+ v =0 C 1
107 N D V V = {v H 1 () v =0 D }. V H 1 () H 1 () H0 1 () C > 0 v V H 1 () H 1 () C 1 (ù i ) 1iI ù i C 1 ù i ù j = i j = I i=1 ù i v ù i v i = v ùi H 1 (ù i )v v H 1 () v ö Cc ù i () v(x) ö I (x) dx = v i (x) ö (x) dx x j i=1 ù i x j I v i I = (x)ö(x) dx + v i (x)ö(x)n i j (x) ds i=1 ù i x j i=1 ù i I v i = (x)ö(x) dx, x j i=1 ù i Ã=ù i ù k ù i ù k n i j (x) = nk j (x) v ö v i (x)ö(x)n i j(x) ds + v k (x)ö(x)n k j (x) ds =0. Ã v v = v i. x j x j v H 1 () ùi Ã
108 D N (ù i) 1iI ù i y y = x r x R 2 0 <x<1 0 <y<x r r>2 v(x) =x á v H 1 () 2á + r>1 v L 2 () 2á >1 L 2 () C>0
109 v L 2 () v L2 () Cv L2 (). L 2 () C 1 H 1 () L 2 () H 1 () L 2 () =R N H 1 (R N ) L 2 (R N ) u n (x) =u(x + ne) e u H 1 (R N ) u e u n L 2 (R N ) H 1 () H0 1 () N =1 N =1 =(0, 1) (u n ) n1 H 1 (0, 1) K>0 u n H 1 (0,1) K n 1. x, y [0, 1] u n (x) CK u n (x) u n (y) CK x y.
110 (x p ) p1 [0, 1] Q [0, 1] p u n (x p ) R R u n (x 1 ) u n1 (x 1 ) R n 1 n 2 u n2 (x 2 ) R u n2 (x 1 ) n p u np (x p ) u np (x k ) 1 k p u np p u n1 u n2 p p u np u m p 1 u m (x p ) R x [0, 1] >0 (x p ) p1 [0, 1] x p x x p u m (x p ) R m m 0 m, m m 0 u m (x p ) u m (x p ) u m (x) u m (x) u m (x p ) u m (x) + u m (x p ) u m (x p ) + u m (x p ) u m (x) +2CK u m (x) R x [0, 1] u m L 2 (0, 1) =(0, 1) u n (x) =sin(2ğnx) u n L 2 () ö Cc () lim n+ 1 0 u n (x)ö(x) dx =0, u n L 2 () H 1 () u n H m () H 1 () m 0 á =(á 1,..., á N )
111 N á i 0 á = N i=1 á i v á á v v(x) = (x). x á1 1 xán N m m v L 2 () m m 1 2 v x ix j = 2 v x jx i á v m 0 H m () H m () = { v L 2 () á á m, á v L 2 () }, á v u, v = á u(x) á v(x) dx á m u H m () = u, u H m () H m () m N m H m () N =1 H 1 () C 1 m>n/2 H m () C() k 0 m N/2 >k H m () C k () k
112 m H m () v H m () á v H m á () H 1 () H m () H m () C m =R N + Cc () Hm () H m () m =2 C 1 ã 1 H 2 () C 1 () L 2 () C() v ã 1 (v) = v n, v n = u n ã 1 H 2 () L 2 () C>0 v H 2 () v n Cv H2 (). L2 () ã 1 H 1 () v H 2 () v H 1 () N v L 2 () N v n L2 () C 2 ã 0 H 2 () C() H 1 () C() v ã 0(v) = v, H 2 () H 1 () ã 0(v) =R N +
113 H 2 () C 2 C 2 u H 2 () v H 1 () u u(x)v(x) dx = u(x) v(x) dx + (x)v(x) ds. n C 2 H 2 () H 1 () ã 1 =R N C c (R N ) C R N H 1 (R N ) n N ñ æ n n 1 1 n 1 n 2n ñ n æ n ñ Cc (B) B ñ 0 ñ(x) dx =1 B n n 2n
114 ñ n(x) =n N ñ(nx) 1/n v H 1 (R N ) v n(x) =vñ n(x) = R N ñ n(x y)v(y) dy, C v n =(v) ñ n v n v n v v L 2 (R N ) v v L 2 (R N ) L 2 (R N ) v n æ Cc (R N ) 0 æ 1 æ(x) =1 x 1 æ(x) =0 x 2 æ n(x) =æ ( x n) vn n(x) =v n(x)æ n(x) n n v v L 2 (R N ) R N C 1 =R N + P H 1 () H 1 (R N ) v H 1 () Pv = v Pv L 2 (R N ) Cv L 2 () Pv H 1 (R N ) Cv H 1 () C>0 =R N + x =(x,x N) x =(x 1,..., x N1) v H 1 (R N + ) { v(x,x N) x N > 0 Pv(x) = v(x, x N) x N < 0. 1 i N 1 Pv x i (x) = { v x i (x,x N ) x N > 0 v x i (x, x N) x N < 0, { v Pv x N (x,x N) x N > 0 (x) = x N v x N (x, x N) x N < 0. v v Pv P C = 2 =R N + C 1 =R N +
115 ù 0 ù i ö i Q + y N y (ù i) 0iI (è i) 0iI Cc (R N ) è i C c (ù i), 0 è i(x) 1, Q I è i(x) =1. Pv I Pv = P i(è iv), i=0 P i ù i è 0v P 0(è 0v) è 0v i {1,..., I} ö i ù i Q w i =(è iv) ( ö 1 Q +) Q+ = Q R N +. i w i H 1 (Q + ) Q + R N + R N + \ Q + w i H 1 (R N + ) w i P w i H 1 (R N ) P R N + ù i i=0 P i(è iv) =(P w i) ö i. C 1 ö i P i P
116 H(div) L 2 () H 1 () H(div) H(div) = { ó L 2 () N divó L 2 () }, divó ó ó, ô = (ó(x) ô(x)+divó(x)divô(x)) dx ó H(div) = ó, ó H(div) C 1=R N + Cc () N H(div) H(div) H 1 () ó H(div) H 1 () ó n ã 0 H 1 () L 2 () Im(ã 0)=H 1/2 () L 2 () H 1/2 () v H 1/2 () =inf{ ö H 1 () ã 0(ö) =v } H 1/2 () H 1/2 ()
117 C 1 ã n H(div) C() H 1/2 () C() ó =(ó i) 1iN ã n(ó) = (ó n) n =(n i) 1iN ã n H(div) H 1/2 () ó H(div) ö H 1 () divóödx + ó ödx= ó n, ã 0(ö) H 1/2,H 1/2 (). C 1 divóödx + ó ödx= ó nö ds, ó ö ö H 1 () ó H(div) H 1 () H(div) Im(ã 0) H 1/2 () ã n(ó) H 1/2 () H0 1 () H(div) H 0(div) H(div) Cc () H(div) H(div) W m,p () W m,p () m 0 1 p + L p () L p () m 0 W m,p () W m,p () = {v L p () á á m, á v L p ()}, á v á m u W m,p () = á u p 1/p
118 W m,p () =R N =R N + p<n W 1,p () L q () q [1,p ] 1/p =1/p 1/N p = N W 1,p () L q () q [1, +[ p>n W 1,p () C(), W 1,p () E C u W 1,p () u E Cu W 1,p (). p =1 m = N W N,1 (R N ) R N C b (R N ) u W N,1 (R N ) u C c u(x) = u L (R N ) u W N,1 (R N ). (R N ) x =(x 1,..., x N ) x1 xn N u (y) dy 1...dy N, x 1 x N N u u L (R N ) x 1 x L 1 (R N ) u W N,1 (R N ). N Cc (R N ) W N,1 (R N ) H 1 (R N ) u W N,1 (R N ) Cc (R N ) L (R N ) C b (R N ) W N,1 (R N ) V V V L 2 () L 2 () H 1 0 () H0 1 () H 1 () L, ö H 1,H 0 1() = L(ö) H 0 1 () L H 1 () ö H0 1 ()
119 H 1 () H 1 () { } N H 1 v i () = f = v 0 + v 0,v 1,..., v N L 2 (). x i i=1 H0 1 () L H 1 () ö H0 1 () ( ) N ö L(ö) = v 0ö v i dx x i v 0,v 1,..., v N L 2 () H 1 () L 2 () v L 2 () 1 i N v x i H 1 () v,ö x H 1,H 1 i 0 () = v ö dx ö H0 1 (), x i i=1 v v x L i H 1 2 (). () v H 1 () v x i v L 2 () H0 1 () L i H 1 () L i(ö) = v ö dx. x i v L i L 2 () H 1 () v v H 1 () L 2 () L i = v x i H 1 () H 1 0 () H 1 0 () L 2 () L 2 ()
120 H 1 () H0 1 () ( H0 1 () L 2 () L ()) 2 H 1 (), R N Cc () D() C Cc () Cc () (ö n) n1 Cc () ö Cc () ö n K á á ö n K á ö D () D() D() D() D () T D () D() lim T (ö n)=t (ö) n+ (ö n) n1 C c () ö C c () T,ö = T (ö) T D () ö D() Tödx f T f T f,ö = födx. T f f D () T n D () T D () ö D() lim n+ T n,ö = T,ö.
121 T D () T x i D () T,ö = T, ö ö D(). x i x i T x i f L p () H m () D ()
122 u L 2 () i u ö dx x i Cö L 2 () ö Cc () H 1 () u, v = (u v + uv) dx Cc () H 1 () u H0 1 () u L2 () Cu L2 () H0 1() u u H 1 () L 2 () u, v H 1 () u v dx = x i v u dx + x i uv n i ds H0 1 () H 1 () H 1 () L 2 () u H 2 (),v H 1 () vudx= u vdx+ u n vds
123
124 { u = f u =0 R Nf L 2 () a(, ) L( ) V u V a(u, v) =L(v) v V. v u fvdx = uv dx = u vdx u n vds. u u =0 V v V v =0 u(x) v(x) dx = f(x)v(x) dx. u v L 2 () v L 2 () f L 2 () V = H0 1 () H 1 () u H0 1 () u vdx= fvdx v H0 1 ().
125 a(u, v) = u(x) v(x) dx L(v) = f(x)v(x) dx. a H0 1() L H1 0 () a í>0 a(v, v) = v(x) 2 dx ív 2 H0 1() v H1 0 (). H0 1 () u H0 1 () a J(v) = 1 a(v, v) L(v) 2 v H1 0 () J
126 u u H 2 () v H0 1() u vdx= vudx v =0 (u + f) vdx=0 v Cc (), u = f L 2 () u = f. C 1 H 1 0 () L 2 () u =0. u u H 2 () ó = u L 2 () N v H0 1 () ó vdx = fvdx Cv L 2 (). Cc () H0 1 () ó L 2 () v Cc () ó vdx= divóv dx. (divó + f) vdx=0 v C c (), divó = f L 2 () divó =u L 2 () div =
127 C 1 H0 1 () u =0 R N f L 2 () u H0 1 () u u = f, u H0 1 (). C 1 u u = f, u =0. u H0 1 () u H0 1 () f x x u v H0 1 () v u H0 1 () u L 2 ()
128 R N f L 2 () f L 2 () u H0 1 () L 2 () H 1 () C>0 f L 2 () u H1 () Cf L2 (). f u v = u u 2 dx = fudx. íu 2 H 1 () f L 2 ()u L 2 () f L 2 ()u H 1 (), J(v) v H0 1 () J(v) = 1 v 2 dx fvdx. 2 u H0 1 () u J(u) = min J(v). vh0 1() u H0 1 () J(v) u
129 J(v) u J(u) u { u + u = f u =0 R Nf L 2 () R N { V u u = f u =0 f L 2 () V divv =0 v H0 1 () vv vdx=0. H0 1 () J(v) = 1 ( v 2 + vv v ) dx fvdx. 2 x N =0 f f(x,x N )=f(x, x N ) + ={x N > 0} {x N =0}
130 f L 2 () f H 1 () fvdx f,v H 1,H0 1() L(v) H0 1 () u = f H 1 () Ã N 1 Ã f L 2 (Ã) f H 1 () f,v H 1,H0 1() = fvds, H0 1 () { u = f u = u 0, u 0 H 1 () u 0 u = u 0 + { = f = f +u0 =0. f H 1 () f,v H 1,H0 1() = fvdx u 0 vdx H 1 0 () { u + u = f u n = g Ã
131 R N f L 2 () g L 2 () v u f(x)v(x) dx = (u(x) +u(x)) v(x) dx = = (u(x) v(x) +u(x)v(x)) dx (u(x) v(x) +u(x)v(x)) dx u (x)v(x) ds n g(x)v(x) ds. V V = H 1 () u H 1 () (u v + uv) dx = gv ds + fvdx v H 1 ().
132 a(u, v) = (u v + uv) dx L(v) = gv ds + fvdx. a H 1 () L H 1 () a a(v, v) =v 2 H 1 () v H1 (). H 1 () u H 1 () g =0 V V = {v H 1 (), v n =0 } v H 1 () v n v L 2 () L 2 () V = {v H 2 (), v n =0 } H 2 () a V C 1 R N f L 2 () g H 1 () u H 2 () u u(x)v(x) dx = u(x) v(x) dx + (x)v(x) ds. n
133 u H 2 () v H 1 () u H 2 () u n L2 () v H 1 () ( (u u + f)vdx= g u ) vds. n v Cc () H 1 () u u + f =0 L 2 () ( g u ) vds=0 v H 1 (). n H 1 () L 2 () g u =0 n L2 () C 1 R N f L 2 () g H 1 () u H 1 () u H 2 () u + u = f, u = g. n u H 1 () u H1 () C ( f L2 () + g L2 ()), C>0 u, f g u H 1 () g L 2 () u H 1 () u + u = f ó = u L 2 () N v Cc () ó vdx uv dx + fvdx Cv L 2 ()
134 ó L 2 () divó L 2 () (divó u + f) vdx=0 v C c (), divó = u = f u L 2 () g H(div) H(div) = { ó L 2 () N divó L 2 () }. C 1 divóv dx + ó vdx= ó n, v H 1/2,H 1/2 (), v H 1 () ó H(div) H 1/2 () H 1/2 () ó v vó nds ó n H 1/2 () ó H(div) ó = u H 1/2 () g L 2 () H 1/2 () = g u n g =0 H0 1() H1 () J(v) v H 1 () J(v) = 1 ( v 2 + v 2) dx fvdx gv ds. 2 u H 1 () u J(u) = min J(v). vh 1 () u H 1 () J(v) u
135 C 1 { u = f u n + u = g f L 2 () g H 1 () v L2 () C ( v L2 () + v L2 ()) v H 1 (). u = f u n =0 N u =0 D f L 2 () ( N, D ) N D { u = f u n = g R N f L 2 () g L 2 () f g u H 2 () f(x) dx + g(x) ds =0. u u + C C R H 1 () f g
136 u C 1 R N f L 2 () g L 2 () u H 1 () u vdx= gv ds + fvdx v H 1 () V u u + C { } V = v H 1 (), v(x) dx =0 u V u vdx= gv ds + fvdx v V. V = H 1 ()/R H 1 () H 1 ()/R H 1 () C>0 v H 1 () v m(v) L 2 () Cv L 2 () m(v) = vdx. dx m(v) =0 v V v L 2 () V
137 v H1 () V v V ( (u + f)vdx= g u ) vds. n w H 1 () v = w m(w) V m(w) udx= u n ds ( (u + f)wdx= g u ) wds w H 1 (). n u f L 2 () u H 1 () ( )( ) u vdx+ udx vdx = fvdx v H 1 (). fdx=0 k(x) { div(ku) =f u =0 R N f L 2 () k(x) 1
138 R N f L 2 () k(x) 0 <k k + 0 <k k(x) k + x. u H0 1 () v divó(x)v(x) dx = ó(x) v(x) dx + ó(x) n(x) v(x) ds, ó = ku H0 1 () u H0 1 () ku vdx= fvdx v H0 1 (). ku vdx k+ u L 2 ()v L 2 (), ku udx k u 2 dx íu H 1 0 (), í>0 div(ku) =ku k u, k k
139 ( 1, 2 ) k(x) k(x) =k i > 0 x i,i=1, 2. Ã= u i = u i u i à 1 k i u i = f i, i =1, 2, u 1 =0, u 1 = u 2 Ã, k 1 u 1 n = k 2 u 2 n Ã. 2 à u H0 1 () u 1 = u 2 Ãó = ku ó i = ó i = k i u i i ó L 2 () ó n à ó 1 n = ó 2 n à u u i H 1 ( i ) i v H0 1 () ( ) u 1 u 2 u 1 vdx+ u 2 vdx+ k 1 + k 2 vds= fvdx+ fvdx. 1 2 à n 1 n n 1 = n 2 à u u 1 1 u 2
140 2 u 1 = u 2 Ã u H 1 () K R N \ K f L 2 () K u K K u = f u = C u ds =0 K n u =0 \ K K K, C (u, C) A(x) =(a ij(x)) 1i,jN A á>0 A(x)î î = N a ij(x)î iî j á î 2 î R N, i,j=1 â>0 A(x)î â î î R N. div(a ) = N i,j=1 { div(au) =f, u =0. ( ) a ij(x), x i x j A(x) A(x) A =
141 A s +A a A s =(A+A t )/2 A a =(AA t )/2 div(au) =div(a s u)+v u V j(x) = V N 1 2 i=1 (a ji a ij) (x), x i u H0 1 () f L 2 () ( ) u = A(x)u n = n A N i,j=1 a ij(x) u x j n i =0, u n A u ó = Au ó n =0 f L 2 () g L 2 () { div(au)+u = f, u n A = g. R N f L 2 () u H0 1() { u = f u =0. N =1 f 0 u 0
142 f 0 u 0 L () u R u v = u =min(u, 0) H0 1 () u = u + + u fu dx = u u dx = 1 u<0 u udx= u 2 dx 0. u 0 f 0 u H0 1() u =0 u 0 v H 1 0 () v + =max(v, 0) H 1 0 () v + =1 v>0 v, 1 v>0 (x) v(x) > 0 H 1 H 1 v v>0 v<0 v =0 v v H0 1 () G(t) R R C 1 G(0) = 0 G (t) R G(v) H0 1 () (G(v)) = G (v)v H0 1 () v n Cc () v H 1 () v n v n v v ( ) G(v n) G(v) sup G (t) v n v, tr
143 G(v n) G(v) L 2 () 1 i N G(vn) G (v) v x i x i G (v n) G (v) ( ) v + sup G v n (t) v. x i x i x i tr G (v n) G (v) v x i 2(sup G (t) ) v x i L 2 () L 2 () L 2 () G(v n) H0 1 () w H0 1 () w = G(v) L 2 () w x i = G (v) v x i L 2 () t max(t, 0) G n(t) v + H0 1 () G(t) C 1 (R) G(t) =0 t 1 2, 0 G (t) t 1, G (t) =1 1 t. G n(t) =G(nt)/n n 1 G n(v) H0 1 () Gn(v) x i = G n(v) v x i G n(v) v + sup G n(t) t + 1 n, G n(v) v + L 2 () 1 i N Gn(v) v 1 v>0 x i x i = G n(v) 1 v>0 v v 10<v<1/n, x i x i tr 1 0<v<1/n Gn(v) v x i 1 v>0 x i L 2 () G n(v) v + H0 1 () v + =1 v>0v v v + L 2 () H 1 () u =0 u 1 (0) m 0 R N C m+2 f H m () u H 1 0 () H m+2 () f u H m () H m+2 () C>0 u H m+2 () Cf Hm ().
144 H m () R N C m+2 f H m () m>n/2 u H0 1 () C 2 () R N C f C () u H0 1() C () u u u N =1 C m+1 C m+2 f H m () =R N f L 2 (R N ) u + u = f R N. f L 2 (R N ) u H 1 (R N ) u(x) u 2 dx R N u H 1 (R N ) (u v + uv) dx = fvdx v H 1 (R N ). R N R N u H 1 (R N )
145 f L 2 (R N ) u H 1 (R N ) H 2 (R N ) f H m (R N ) m 0 u H m+2 (R N ) h R N h 0 v(x + h) v(x) D h v(x) = h H 1 (R N ) v H 1 (R N ) (D h v)=d h (v) v, ö L 2 (R N ) R N (D h v)ödx= R N v(d h ö) dx. D h v v = D h (D h u) R N ( (Dh u) 2 + D h u 2) dx = R N fd h (D h u) dx. D h u 2 H 1 (R N ) f L 2 (R N )D h (D h u) L 2 (R N ). D h (D h u) L 2 (R N ) (D h u) L 2 (R N ) D h u H 1 (R N ). D h u H 1 (R N ) f L 2 (R ) N 1 i N u D h f x L 2 i L 2 (R N (R N ), ) u x i H 1 (R N ) u H 2 (R N ) f H 1 (R N ) u x i H 1 (R N ) u i + u i = f R N. x i u x i H 2 (R N ) u H 3 (R N ) ö x i ö Cc (R N ) ( u ö + u ö ) dx = f ö dx. x R N i x i x R N i
146 u H 2 (R N ) f H 1 (R N ) ( u ö + u ) f ö dx = ödx x i x i x i R N R N ö H 1 (R N ) u x i = u i H 1 (R N ) f H m (R N ) u H m+2 (R N ) m m =1 v L 2 (R N ) h R N h 0 D h v(x) = v H 1 (R N ) v(x + h) v(x) h L 2 (R N ). D h v L 2 (R N ) v L 2 (R N ). v L 2 (R N ) C h 0 D h v L 2 (R N ) C, v H 1 (R N ) e v L 2 (R N ) C e R N v C c x 1 D h v 2 L 2 (R N ) 0 D h v(x) = 1 D h v(x) 2 0 h v(x + th) dt, h 1 R N v(x + th) 2 dx dt 0 v(x + th) 2 dt. 1 0 (R N ) v 2 L 2 (R N ) dt = v2 L 2 (R N ). H 1 (R N ) v L 2 (R N ) ö Cc (R N ) D h vö dx Cö L 2 (R N ). R N R N (D h v)ödx= R N v(d h ö) dx,
147 ö h = te e R N e 0 lim D h ö(x) =e ö(x). t0 1 i N ö Cc (R N ) v ö dx x R N i Cö L 2 (R N ), v H 1 (R N ) =R N (ù i) 0iI (è i) 0iI è i C c (ù i), 0 è i(x) 1, I è i(x) =1. ù 0 ù 0 ù i i 1 u H0 1 () u = I èiu èiu i=0 è 0u u è 0u H 1 (R N ) (è 0u)+è 0u = f 0 R N, f 0 = è 0(f u) 2è 0 u uè 0 L 2 (R N ) è 0u H 2 (R N ) f 0 f H m () è 0u H m+2 () è iu i 1 =R N + =R N + H 1 () i=0
148 Ã 2 Ã 0 È Ã 1 Ã 2 È Ã0 Ã 1 È ğ N =2 ={(r, è) 0 r<r 0 <è<è} 0 <R<+ 0 < È 2ğ x 1 = r cos è x 2 = r sin è Ã 0 r = R Ã 1 è =0 Ã 2 è =È Ã 1 Ã 2 È <ğ È >ğ È=2ğ k 1 u =0 u =cos ( ) kğè È Ã 0 u n =0 Ã 1 Ã 2 u =0 u =sin ( ) kğè È Ã 0 u =0 Ã 1 Ã 2 H m () u
149 H 1 () ( ( ) r È kğè u(r, è) = cos. R)kğ È H 1 () ( r ) kğ ( ) È kğè u(r, è) = sin. R È k =1 ğ<è u k 2 ğ È u è Ã 0 Ã 0 Ã 1 Ã 2 È ğ Ã 0 È >ğ È >ğ È ğ u u È=2ğ k =1
150 Ã 1 Ã 2 u =sin( kğè 2È ) Ã 0 kğ =È u k =1 ğ =È u 0 H 1 () ( ) u 0 (r, è) = r2 kğè R 2 cos È u = u 0 + v v v =u 0 v =0 Ã 0 v n =0 Ã 1 Ã 2. Ã 0 Ã 1 Ã 2 è è =0 È u 0 L 2 () H 1 () H 1 () ö(r, è) = 2 ö r ö r r ö r 2 è 2. ( 2 ) ( r ) kğ È r R ( ) 2 kğ 1 ( r ) kğ È È r 2, R r = r H 1 () (e r,e è ) ö(r, è) = ö r e r + 1 ö r è e è ( r ) kğ ( ( ) ( ) ) È u = 1 kğ kğè kğè cos e r sin e è R È È È 0 <kğ<è kğ > È kğ =È u = x 1
151 R N f(x) R N u R N e(u) e(u) = 1 ( u +(u) t) = 1 ( ui + u ) j, 2 2 x j x i 1i,jN ó e(u) ó =2e(u)+ë tr(e(u)) Id, ë >0 2 + Në > 0. divó = f ó N divó = ó ij. x j j=1 1iN tr(e(u)) = divu 1 i N N ( ( ui + u ) ) j + ë(divu)ä ij = f i x j x j x i j=1 f i u i 1 i N f u R N { div (2e(u)+ë tr(e(u)) Id) = f u =0.
152 R N f L 2 () N u H 1 0 ()N v i N j=1 ( ui + u ) j vi dx + ëdivu v i dx = f i v i dx. x j x i x j x i i 1 N v =(v 1,..., v N ) N ( ui + u ) j vi = 1 x j x i x j 2 i,j=1 N ( ui + u )( j vi + v ) j =2e(u) e(v). x j x i x j x i i,j=1 H0 1 () N u H0 1()N 2e(u) e(v) dx + ë divu divvdx= f vdx v H0 1 () N. 2 e(v) 2 dx + ë divv 2 dx í e(v) 2 dx, í =min(2, (2 + Në)) > 0 A B = N i,j=1 a ijb ij A A = A d + A h A d = A 1 N tra Id Ah = 1 tra Id, N A d A h =0 A 2 = A d 2 + A h 2 2 A 2 + ë(tra) 2 =2 A d 2 +(2 + Në) A h 2 í A 2 í =min(2, (2+Në)) A = e(u) í>0
153 >0 (2+Në) > 0 C>0 e(v) 2 dx C v 2 dx v H0 1 () N C>0 v H0 1()N v 2 dx C v 2 dx. 2 e(v) 2 dx + ë divv 2 dx Cv 2 H 1 (). R N v H 1 0 () N v L 2 () 2e(v) L 2 (). v Cc ()N 2 e(v) 2 dx = v 2 dx + v (v) t dx = v 2 dx + divv 2 dx. Cc () H0 1 () L 2 () N H 1 0 () N f u
154 ón = g, g g g =0 div (2e(u)+ë tr(e(u)) Id) = f u =0 D ón = g N, ( N, D ) N D C 1 R N C>0 v H 1 () N ( 1/2 v H1 () C v 2 L 2 () + e(v)2 L ()). 2 v v H0 1()N e(u) L 2 () u H 1 () N u L 2 () u R N R R = { v(x) =b + Mx b R N,M = M t }. v H 1 () N e(v) =0 v R
155 C 1 R N f L 2 () N g L 2 ( N ) N V = { v H 1 () N v =0 D }. u V f g V D H 1 () N u V 2e(u) e(v) dx + ë divu divvdx= f vdx+ g vds v V. N C>0 v V v H 1 () Ce(v) L 2 (). e(v) L2 () V e(v) L 2 () =0 v =0 e(v) L 2 () =0 v v(x) =b + Mx M = M t M 0 x b + Mx =0 R 3 R 2 v(x) =0 D M =0 b =0 v n V v n H 1 () =1>ne(v n ) L 2 (). e(v n ) L 2 () N 2 v n H 1 () N v n L 2 () N v n v p 2 H 1 () Cv n v p 2 L 2 () + e(v n ) e(v p )2 L 2 (), v n H 1 () N v e(v ) L 2 () = 0
156 v =0 v n H 1 () =1 (f,g) u L 2 () N L 2 () N H 1 () N v = u Cu 2 H 1 () f L 2 ()u L2 () + g L2 ( N )u L2 (). C ( f L 2 () + g L 2 ( N )) uh 1 () f =0 u =0 u = e 1 V v ó L 2 () 2 N divó = f ón = g N v V J(v) = 1 ( 2 e(v) 2 + ë divv 2) dx f vdx g vds. 2 N
157 J(v) 1 ( 2 e(v) 2 + ë divv 2) dx 2 f vdx g vds. N u V u V J(v) R N f (Mx+ b) dx + g (Mx+ b) ds =0 b R N, M = M t R NN H 1 () N { u ( + ë)(divu) =f u =0. e(u) x R N f L 2 () N H 1 0 ()N >0 2 + ë>0 ë ë div(u) (( + ë)divu) =f.
158 L>0 ù ù R N1 ë =ù (0,L) x x =(x,x N ) 0 <x N <L x ù div (2e(u)+ë tr(e(u)) Id) = 0 ón = g ù (0,L) u =0 ù {0,L} (ón) n =0 ù {0,L} v =(v 1,..., v N ) v =(v,v N ) v R N1 v N R g g =(g 1,..., g N1 )=0 g N x u =(0,..., 0,u N ) u N (x ) { u N =0 ù un n = g N ù x R N1 u =0 (ón) e N = g N ù (0,L). (u) =f u =0 u n =0 f L 2 () u H0 2 u () x i H0 1 () N u 2 dx = 2 2 u x i x j dx. i,j=1
159 w L 2 () f L 2 () v Cc () wvdx= fvdx, (èw) H 2 () è C c R N f(x) R N u p p u = f divu =0 u =0 >0 (u )u + p u = f divu =0 u =0. u (u )u u C 1 R N f L 2 () N u H0 1()N p L 2 ()/R v i i 1 N v =(v 1,..., v N ) u vdx pdivvdx= f vdx, ()
160 u v = N i=1 u i v i divu =0 H0 1 () N V = { v H0 1 ()N divv =0 }, H0 1()N u V u vdx= f vdx v V, H0 1()N V H0 1 () N u H 2 () N (u + f) vdx=0 v V, (u+f) =0 V L 2 () N ö v V ö vdx= ödivvdx=0, V V L(v) = u vdx f vdx, H0 1 () N V p L 2 () L(v) = p divvdx v H0 1 () N. ó = u p Id L 2 () 2 N ó vdx = f vdx Cv L 2 (),
161 ó L 2 () Ndivó = f p u = f. u V divu L 2 () divu =0. u =0 C 1 R N L H0 1()N L V p L 2 () L(v) = p divvdx v H0 1 ()N. p u pn = g, n g L 2 () N g
162 V J(v) v V J(v) = 1 v 2 dx f vdx. 2 u V u J(u) =min vv J(v) u V J(v) u =ù (0,L) L>0 ù R N1 x x =(x,x N ) 0 <x N <L x ù p u =0 divu =0 u =0 ù (0,L) pn u n = p 0n ù {0} pn u n = p Ln ù {L} p 0 p L p(x) =p 0 + xn L (p L p 0 )u =(0,..., 0,u N ) u N { u N = (plp0) u N =0 L ù ù x R N1
163 V V h V h V h V h V u h V h u V
164 N 2 N =1 V a(u, v) L(v) u V a(u, v) =L(v) v V, V V h u h V h a(u h,v h )=L(v h ) v h V h. V V h a(u, v) V L(v) V a(u, v) u h V h V h
165 (ö j ) 1jNh V h u h = N h j=1 u jö j U h =(u 1,..., u Nh ) R N h uh N h U h R N h a u j ö j,ö i = L(ö i ) 1 i N h, j=1 1 i, j N h K h U h = b h, (K h ) ij = a(ö j,ö i ), (b h ) i = L(ö i ). a(u, v) K h U h R N h N h 2 K h U h U h í u j ö j C U h 2 C>0, j=1 R N h a(u, v) Kh K h V V h u u h u V u h V h í>0 M>0 a(u, v) a(u, u) íu 2 u V, a(u, v) Muv u, v V u u h V h u V h u u h u u h M í inf u v h. v h V h
166 V h V w h = u h v h a(u u h,w h )=0 w h V h. íu u h 2 a(u u h,u u h )=a(u u h,u v h ) Mu u h u v h, a(u, v) M u u h inf u v h. í v h V h u h V h h>0 h 0 V V V r h V V h lim v r h(v) =0 v V. h0 lim u u h =0. h0 >0 V v V u v h 0 > 0 v V v r h (v) h h 0. u u h Cu r h (v) C (u v + v r h (v)) 2C,
167 V h V h r h V V h V K h U h = b h V h V (e i ) i1 V V V h =1/n V h (e 1,..., e n ) r h V h V V u h u u h K h U h = b h U h R n u h (e 1,..., e n ) K h V h H 1 (),H 1 0 (),H 2 (),...
168 h V h V h h 0 V h V K h N =1 =]0, 1[ (x j ) 0jn+1 x 0 =0<x 1 <... < x n <x n+1 =1. x j x j = jh h = 1 n +1, 0 j n +1. x j { u = f ]0, 1[ u(0) = u(1) = 0, H 1 0 () f L2 () P k k P 1 P 1 V h = { v C([0, 1]) v [xj,x j+1] P 1 0 j n },
169 N =1 V 0h = {v V h v(0) = v(1) = 0}. P 1 V h V 0h x 0 =0 x x x j x n x n+1 =1 1 2 =]0, 1[ P 1 V h V 0h ö ö(x) = ö j { 1 x x 1, 0 x > 1. 0 j n +1 ( ) x xj ö j (x) =ö. h V h H 1 (0, 1) n+2 v h V h (x j ) 0jn+1 n+1 v h (x) = v h (x j )ö j (x) x [0, 1]. j=0 v h
170 V 0h H0 1 (0, 1) n v h V 0h (x j ) 1jn n v h (x) = v h (x j )ö j (x) x [0, 1]. j=1 C 1 H 1 () V h V 0h H 1 (0, 1) ö j (x i )=ä ij ä ij i = j (ö j ) V h V h P 1 V h P 1 V h [0, 1] V h V h P 1 u h V 0h 1 0 u h(x)v h(x) dx = 1 0 f(x)v h (x) dx v h V 0h. u h (ö j ) 1jn v h = ö i n u h (x j ) j= ö j (x)ö i (x) dx = f(x)ö i (x) dx. ( ) 1 U h =(u h (x j )) 1jn b h = 0 f(x)ö i(x) dx ( 1 ) K h = ö j(x)ö i(x) dx 0 0 1i,jn 1in,
171 N =1 V 0h R n K h U h = b h. ö j ö j ö i K h h 1 1 j = i 1 0 ö j (x)ö i (x) dx = K h K h = h 1 2h 1 j = i h 1 j = i b h (b h ) i = xi+1 x i1 f(x)ö i (x) dx 1 i n.. b h f b h 1 xi+1 ( ) xi+1 + x i ø(x) dx ø, x i+1 x i 2 1 x i+1 x i 1 x i+1 x i xi+1 x i x i xi+1 x i ø(x) dx 1 2 (ø(x i+1)+ø(x i )), ( 1 ø(x) dx 6 ø(x i+1)+ 1 6 ø(x i)+ 2 ( )) 3 ø xi+1 + x i. 2 ø b h
172 f V h ø O(h 2 )O(h 2 )O(h 3 ) K h U h = b h K h K h hk h 1/c P 1 { u + au = f ]0, 1[ u (0) = á, u (1) = â. H 1 () f L 2 () á, â R a L () a(x) a 0 > 0 u h V h 1 0 (u h(x)v h(x)+a(x)u h (x)v h (x)) dx = 1 0 f(x)v h (x) dx áv h (0) + âv h (1), v h V h u h (ö j ) 0jn+1 V h R n+2 K h U h = b h, U h =(u h (x j )) 0jn+1 ( 1 K h = 0 ( ö j (x)ö i (x)+a(x)ö j(x)ö i (x) ) ) dx, 0i,jn+1 (b h ) i = 1 0 f(x)ö i(x) dx 1 i n, (b h ) 0 = 1 0 f(x)ö 0(x) dx á, (b h ) n+1 = 1 0 f(x)ö n+1(x) dx + â. a(x) K h b h
173 N =1 P 1 { u = f ]0, 1[ u(0) = á, u(1) = â, a(x) =0 P f(x) dx = á â, K h b h (n +2) x j = j/(n +1) 0 j n +1 k>0 f j P 1 r h P 1 r h H 1 (0, 1) V h v H 1 (0, 1) n+1 (r h v)(x) = v(x j )ö j (x). j=0
174 H 1 (0, 1) r h v v v x j H 1 (0, 1) H 1 (0, 1) r v h v x 0 =0 x 2 x n+1 =1 P 1 H 1 (0, 1) P 1 r h P 1 v H 1 (0, 1) lim v r hv H h0 1 (0,1) =0. v H 2 (0, 1) C h v r h v H 1 (0,1) Chv L 2 (0,1). P 1 u H 1 0 (0, 1) u h V 0h P 1 lim u u h H1 (0,1) =0. h0 u H 2 (0, 1) f L 2 (0, 1) C h u u h H 1 (0,1) Chu L 2 (0,1) = Chf L 2 (0,1).
175 N =1 f H 1 (0, 1) P 1 h P 1 K h b h P 1 K h b h x j [0, 1] x j+1 x j = h h h =max 0jn (x j+1 x j ) u u h H 1 (0,1) C inf u v h H v h V 1 (0,1) Cu r h u H 1 (0,1), h C h v H 2 (0, 1) v r h v L 2 (0,1) Ch 2 v L 2 (0,1), v (r h v) L 2 (0,1) Chv L 2 (0,1).
176 v C ([0, 1]) r h v x ]x j,x j+1 [ ( v(x) r h v(x) = v(x) v(x j )+ v(x ) j+1) v(x j ) (x x j ) x j+1 x j = x v (t) dt x x j x j x j+1 x j xj+1 x j v (t) dt = (x x j )v (x j + è x ) (x x j )v (x j + è j ) xj+è x = (x x j ) v (t) dt, x j+è j 0 è x x x j 0 è j h ( ) 2 xj+1 xj+1 v(x) r h v(x) 2 h 2 v (t) dt h 3 v (t) 2 dt. x j x j x [x j,x j+1 ] xj+1 x j v(x) r h v(x) 2 dx h 4 xj+1 x j v (t) 2 dt, j v H 2 (0, 1) v C ([0, 1]) x ]x j,x j+1 [ v (x) (r h v) (x) = v (x) v(x j+1) v(x j ) h = 1 h = 1 h xj+1 x j xj+1 x x j ( ) v (x) v (t) dt t v (y) dy. j v H 2 (0, 1) C h v H 1 (0, 1) r h v H1 (0,1) Cv H1 (0,1), v H 1 (0, 1) v r h v L2 (0,1) Chv L2 (0,1). lim h0 v (r h v) L 2 (0,1) =0.
177 N =1 v H 1 (0, 1) r h v L 2 (0,1) max r hv(x) max v(x) Cv H 1 (0,1), x[0,1] x[0,1] r h v v v xj+1 (r h v) (x) 2 dx = (v(x j+1) v(x j )) 2 x j h ( ) 2 = 1 xj+1 v (x) dx h x j xj+1 x j v (x) 2 dx, j v(x) r h v(x) 2 xj+1 x j v (t) dt. x j >0 C ([0, 1]) H 1 (0, 1) v H 1 (0, 1) ö C ([0, 1]) v ö L 2 (0,1). r h (r h v) (r h ö) L2 (0,1) Cv ö L2 (0,1) C. ö ö h ö (r h ö) L 2 (0,1). v (r h v) L2 (0,1) v ö L 2 + ö (r h ö) L 2 + (r h v) (r h ö) L 2 C,
178 P 2 P 2 V h = { v C([0, 1]) v [xj,x j+1] P 2 0 j n }, V 0h = {v V h v(0) = v(1) = 0}. P 2 V h V 0h 1 0 ø j ø j+1/2 x x x j x x j-1 j-1/2 j+1/2 j+1 P 2 [x j,x j+1 ] x j+1/2 = x j + h/2 0 j n (1 + x)(1 + 2x) 1 x 0, ö(x) = (1 x)(1 2x) 0 x 1, 0 x > 1, { 1 4x 2 x 1/2, ø(x) = 0 x > 1/2. 0 j n +1 ( ) ( ) x xj x xj+1/2 ø j (x) =ö, 0 j n +1, ø j+1/2 (x) =ø, 0 j n. h h
179 N =1 V h H 1 (0, 1) 2n +3 v h V h (x j ) 0jn+1 (x j+1/2 ) 0jn n+1 v h (x) = v h (x j )ø j (x)+ j=0 n v h (x j+1/2 )ø j+1/2 (x) x [0, 1]. j=0 V 0h H0 1 (0, 1) 2n +1 v h V 0h (x j ) 1jn (x j+1/2 ) 0jn v h (x) = n v h (x j )ö j (x)+ j=1 n v h (x j+1/2 )ø j+1/2 (x) x [0, 1]. j=0 V h P 2 V h V h V 0h H 1 (0, 1) ø j (x i )=ä ij ø j+1/2 (x i+1/2 )=ä ij ø j (x i+1/2 )=0 ø j+1/2 (x i )=0 P 2 R 2n+1 K h U h = b h. (x 1/2,x 1,x 3/2,x 2,..., x n+1/2 ) (x k/2 ) 1k2n+1 (ø 1/2,ø 1,ø 3/2,ø 2,..., ø n+1/2 ) V 0h (ø k/2 ) 1k2n+1 U h R 2n+1 u h u h (x) = (U h ) k/2 ø k/2 (x) (U h ) k/2 = u h (x k/2 ), 2n+1 k=1 ( 1 ) K h = ø k/2 (x)ø l/2 (x) dx 0 1k,l2n+1 ( 1 ),b h = f(x)ø k/2 (x) dx 0 1k2n+1 ø k/2 K h K h.
180 16/3 8/3 0 8/3 14/3 8/3 1/ /3 16/3 8/3 0 K h = h 1 1/3 8/3 14/3 8/3 1/3. 0 8/3 16/3 8/ /3 8/3 14/3 8/3 0 8/3 16/3 P 1 b h P 1 u H 1 0 (0, 1) u h V 0h P 2 lim h0 u u h H 1 (0,1) =0. u H 3 (0, 1) f H 1 (0, 1) C h u u h H 1 (0,1) Ch 2 u L 2 (0,1). P 2 h 2 P 1 h 2n +1 n P 1 P 1 u H 3 (0, 1) P 2 P 1
181 N =1 f 0 ]0, 1[ u h P 1 u h 0 [0, 1] u h u h (x) = n u h (x j )ö j (x), j=1 ö j P 1 V 0h U h = (u h (x j )) 1jn K h U h = b h. ö j U h =(U j h ) 1jn u h [0, 1] Uh 0 = U n+1 h =0 h +2U j h U j+1 h = hb j h 1 j n. U j1 U j0 h =min j U j h U h j 0 j 0 =0 U j h U h 0 =0 j j 0 1 U j0 h <U0 h =0 U n+1 h =0 j 0 n b j h = 1 0 fø j dx 0 f j 0 ( ) ( ) U j0 h U j01 h + U j0 h U j0+1 h 0, U j0 h P 1 { ((1 + x)u ) +(1+cos(ğx)) u = f 0 <x<1 u(0) = u(1) = 0 f(x) =ğ cos(ğx) +sin(ğx)(1 + cos(ğx) +ğ 2 (1 + x)) u(x) =sin(ğx) u u h H 1 (0,1) u V h r h (uu h ) H 1 (0,1)
182 V h r h (u u h )=r h u u h V h H 1 (0, 1) V h r h (u u h ) H1 (0,1) h h P 1 h 2 P 2 h h 2 h 3 h h 2 P 1 h 3 P 2 V h Ï + Ï + Ï Ï Ï Ï Ï Ï Ï 2 10 H 1 h P 1 P 2 h h 2 h h 3 H 1 (0, 1) L 2 (0, 1)
183 N =1 { u =6x 2+ä 1/2 0 <x<1 u(0) = u(1) = 0 ä 1/2 x =1/2 u(x) = 1/2 x 1/2 + x 2 (1 x) r h (u u h ) H 1 (0,1) h P 1 P 2 h h P1 P 2 h h h 2 P 2 P Ï + Ï + Ï + Ï + Ï + Ï + Ï + Ï + Ï H 1 h P 1 P 2 h h h h
184 P 1 P 2 P k k N P 3 P 3 V h = { v C 1 ([0, 1]) v [xj,x j+1] P 3 0 j n }. V h C 1 ([0, 1]) C([0, 1]) 1 0 x ö j ø j j-1 x j j+1 P 3 V h (1 + x) 2 (1 2x) 1 x 0, ö(x) = (1 x) 2 (1 + 2x) 0 x 1, 0 x > 1, x(1 + x) 2 1 x 0, ø(x) = x(1 x) 2 0 x 1, 0 x > 1. 0 j n +1 ( ) ( ) x xj x xj ö j (x) =ö 0 j n +1,ø j (x) =ø 0 j n +1. h h x
185 N =1 V h H 1 (0, 1) 2(n +2) v h V h (x j ) 0jn+1 x [0, 1] n+1 n+1 v h (x) = v h (x j )ö j (x)+ (v h ) (x j )ø j (x). j=0 V h C 1 H 1 (0, 1) (ö j,ø j ) V h ö j (x i )=ä ij ø j (x i )=0 ö j (x i)=0 ø j (x i)=ä ij V h V h V h N =1 { u = f ]0, 1[ u(0) = u(1) = u (0) = u (1) = 0, u H 2 0 (0, 1) f L2 (0, 1) V h H 1 (0, 1) H 2 (0, 1) j=0 V 0h = {v V h v(0) = v(1) = v (0) = v (1) = 0}. V h V 0h H 2 (0, 1) H0 2 (0, 1) 2(n +2) 2n v h V 0h (x j ) 1jn x [0, 1] v h (x) = n v h (x j )ö j (x)+ j=1 n (v h ) (x j )ø j (x). v h V h C 1 [0, 1] C 2 v h C1 H 1 (0, 1) v h H 2 (0, 1) P 3 u h V 0h 1 0 j=1 1 u h (x)v h (x) dx = f(x)v h (x) dx v h V 0h. 0
186 u h (ö j,ø j ) 1jn U h =(u h (x j ),u h (x j)) 1jn R 2n K h U h = b h. K h N 2 N 2 N = 2, 3 N =2 N =3 { u = f u =0, H0 1 () f L 2 () N =2 R N R N N =2 N =3 N N K R N (N +1) (a j ) 1jN+1 R N K 2 3 N K (a j ) 1jN+1 R N (a i,j ) 1iN a j
187 N 2 K a 1,1 a 1,2... a 1,N+1 a 2,1 a 2,2... a 2,N+1 A = a N,1 a N,2... a N,N N (N 1) N =2 R N T h N (K i ) 1in K i = n i=1 K i K i K j N m 0 m N 1 K i K j N =2 N =3 T h N K i h N K i
188 K i K j K i K j T h R 2 n t T h n c n s n 0s n t + n s = n c +1 3n t + n s =2n c + n 0s N K K N (a j ) 1jN+1 (ë j ) 1jN+1 x R N N+1 j=1 ë j =1, N+1 j=1 a i,j ë j = x i 1 i N, A ë j x K = { x R N ë j (x) 0 1 j N +1 }, (N +1) K K ë j (x) =0 1 j N +1 K
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