Dans les calculs on utilise toujours un taux t décimal et non en pourcentage. Exemple: t = 8,5% doit s'écrire dans les calculs t = 8,5

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1 3 intérêts Dans ce chapitre, vous allez étudier les méthodes utilisées pour calculer le montant des intérêts et la valeur acquise par un capital, dans le cas des intérêts simples ( durée de placement inférieure à un an) et dans le cas des intérêts composés ( durée de placement supérieure à un an ). 1 - Notation et convention Par convention une année commerciale dure 1 an ou 2 semestres ou 4 trimestres ou 12 mois ou 24 quinzaines ou 360 jours. une année véritable dure 365 ou 366 jours, mais une année commerciale 360 jours seulement. Notation: C est le capital placé, I l'intérêt, n le nombre de périodes de placement, t le taux de placement périodique et V la valeur acquise par ce capital à la fin du placement. A défaut d'indication précise, le taux t est toujours un de placement Exemple: t =6% signifie que 100 rapporteront 6 après un an de placement. Dans les calculs on utilise toujours un taux t décimal et non en pourcentage. Exemple: t = 8,5% doit s'écrire dans les calculs t = 8,5 100 = 0,085 Si la durée n de placement n'est pas en année alors le taux périodique proportionnel est résumé dans le tableau suivant: durée n en semestre trimestre mois quinzaine jours taux périodique t 2 2 les intérêts simples Joseph DUCHMOL place pendant 7 mois un capital de 2500 au taux de 3,6 %. Calculer la valeur du taux mensuel, la valeur de l'intérêt, la valeur acquise au bout de 7 mois. La période est ici donnée en (entourer la bonne réponse ): Années Semestres Trimestres Mois Jours n =. t =..% 3 Intérêts Page 1 sur 6

2 Calcul de l'intérêt I Calcul de la valeur acquise V Le même JD place cette fois 900 du 16 mars au 24 juillet au taux de 3,5 %. Calculer la durée de placement en jours, la valeur décimale du taux journalier, l'intérêt et la valeur acquise. Remarque : cette fois on compte le nombre réel de jours de placement, sachant que les mois de: janvier, mars, mai, juillet, août, octobre, décembre ont 31 jours, février a 28( ou 29 jours si on précise que l'année est bissextile) et avril, juin, septembre, novembre ont 30 jours; Calcul de la durée n Calcul de t Calcul de I Calcul de V Que faut-il retenir? L'intérêt I est donné par I = C t n La valeur acquise V est donnée par V = C + I 3 Intérêts Page 2 sur 6

3 3 Intérêts composés JD toujours lui place cette fois un capital de 1400 pendant 5 mois sur un compte dont les intérêts sont calculés tous les mois au taux mensuel de 0,6 % et ajoutés au capital pour le calcul des intérêts du mois suivant. On veut calculer la valeur acquise par ce capital au bout de 5 mois. Pour cela : Compléter le tableau suivant ( en arrondissant à chaque fois au centime d'euros près) : Mois Capital en début Valeur acquise en fin Intérêts ( ) de mois ( ) de mois ( ) ,40 V 1 = 1408, , V 5 = 1442, Calculer, puis comparer avec la valeur acquise en fin de mois : ,006 = ,006 2 = ,006 3 = ,006 4 = ,006 5 = Conclusion : Comment 1,006 a-t-il été construit: 1,006 = A quel chapitre de cours déjà traité les calculs précédents font-ils référence? Entourer la bonne réponse : Suites arithmétiques Fonctions Suites géométriques Système d'équations Statistiques 3 Intérêts Page 3 sur 6

4 Ce qu'il faut retenir Si C 0 est le capital de départ, au début de la première période, alors la valeur acquise V n après n périodes et à la fin de cette n ième période est : V n = C 0 ( 1 + t ) n Les intérêts sont acquis sont : I = V n C 0 t est le taux décimal et non en pourcentage Exemple 4 Taux équivalent Vous souhaitez placer C 0 pendant 3 ans. Vous avez deux possibilités de placement: Placement 1: Capitalisation annuelle au t a = 6% Placement 2 : Capitalisation mensuelle au taux mensuel de t m qui est inconnu. Il serait utile de calculer t m pour que les deux placements soient équivalents et donc que les valeurs acquises dans les deux cas soient égales. Ecrire la valeur acquise du placement 1 mais sans la calculer. Ecrire la valeur acquise du placement 2. Ecrire l'égalité des deux valeurs acquises et simplifier si possible Pour calculer t m il faut utiliser un outil mathématique. Trouver le dans la liste ci-dessous Racine carrée Logarithme décimal La puissance deux ( x ) n 1/ n = x 3 Intérêts Page 4 sur 6

5 Déterminer la valeur de t m Ce qu'il faut retenir Soit t le, k le nombre de période dans une année et t k le taux périodique équivalent. t et t k sont équivalent si pour le même capital et pour la même durée de placement, ils conduisent à la même valeur acquise. 1 k 1 + t k = ( 1 + t) Exemple Un compte Epargne est un placement à 3,5%. Les intérêts sont calculés et capitalisés par quinzaine. Calculer le taux quinzaine t q équivalent au. On peut écrire ( 1 + t q ) = ( 1+ t ) 1/24 ( 1 + t q ) = (1 + 0,035) 1/24 ( 1 + t q ) = 1,00143 t q = 0,00143 t q = 0,143 % 1/24 car il y a 24 quinzaines dans l'année 5 Exercices Intérêts simples N 1 Vous placez un capital de 2000 à 6,5 % pendant un an. Calculer l'intérêt et la valeur acquise. N 2 Un capital placé à 5,25 % pendant 11 mois a rapporté un intérêt de 168,44. Calculer le capital de départ. N 3 La valeur acquise d'un capital de placé pendant 40 jours est Calculer le d'intérêt. N 4 Un capital est placé le 5 mars au de 8%; la valeur acquise le 25 mai est 763,50? Calculer la durée de placement et le capital placé. N 5 Quatre capitaux C 1, C 2, C 3, C 4 forment une suite arithmétique. La différence entre le premier et le dernier est de 900. Calculer la raison de cette suite. Les quatre capitaux sont placé à 8% pendant 5 mois et produisent 220 d'intérêts. Calculer les quatre capitaux. 3 Intérêts Page 5 sur 6

6 Intérêts composés N 6 On place pendant 8 ans au de 4% avec capitalisation annuelle des intérêts. Calculer la valeur acquise et le montant des intérêts. N 7 On veut obtenir une valeur acquise de pour autofinancer un investissement. Calculer le capital qu'il faut placer si la capitalisation des intérêts est trimestrielle au taux trimestriel de 0,9%. Arrondir le résultat au centime d'euro près. N 8 Un banque propose le placement suivant : en onze ans la valeur acquise représente le double du capital placé. Sachant que la capitalisation est annuelle, calculer le taux d'intérêt. N 9 On place 8400 pendant trois ans au de 9%. Calculer la valeur acquise par ce placement dans les cas de capitalisation: annuelle, semestrielle, mensuelle, quotidienne. Taux équivalent N 10 Calculer les taux mensuels, trimestriels, semestriels équivalents au de 6,32 %. Taux moyen N 11 On considère les deux placements suivants: 1080 placé à 5,5 % pendant 6 mois à intérêts simples placé à 6 % pendant 5 mois à intérêts simples. On appelle taux moyen le taux unique t' auquel il faudrait appliquer les deux capitaux précédents pour obtenir le même intérêt total obtenu avec les taux différents appliqués à chacun d'eux. Calculer l'intérêt total de ces deux placements puis le taux moyen t'. 3 Intérêts Page 6 sur 6