Suites arithmétiques et suites géométriques Bilan et croissances

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1 Sites arithmétiqes et sites géométriqes Bila et croissaces I Bila sr les sites arithmétiqes et géométriqes ) Tablea de formles Défiitio Relatio etre dex termes coséctifs Calcl d terme 4 ) Ue qestio de otatio Les parethèses sot obligatoires por oter e site O parle de la site Exemples d tilisatio : «La site est arithmétiqe de raiso» «La site est géométriqe de raiso» Site arithmétiqe : c est e site de ombres 0,, 2, où chac (saf le premier) s obtiet e ajotat a précédet ombre fixe r appelé la raiso Site géométriqe : c est e site de ombres 0,, 2, où chac (saf le premier) s obtiet e mltipliat le précédet par ombre fixe q appelé la raiso r même q même r 0 même r 0 q même q II Ses de variatio des sites arithmétiqes et géométriqes ) Cas d e site arithmétiqe Le ses de variatio de la site déped d sige de la raiso Règle Ue site arithmétiqe est croissate lorsqe sa raiso est positive o lle Ue site arithmétiqe est décroissate lorsqe sa raiso est égative o lle Por e site arithmétiqe, si lorsqe l o calcle la différece etre dex termes coséctifs et qe por chaqe différece le résltat est le même site arithmétiqe Por e site géométriqe, si lorsqe l o calcle le qotiet de dex termes coséctifs et qe por chaqe qotiet le résltat est le même site géométriqe 2 ) Utilisatios cocrètes des sites arithmétiqes et géométriqes Les sites arithmétiqes et géométriqes servet à modéliser de ombreses sitatios : itérêts bacaires, phéomèes d évoltio, etc Les sites arithmétiqes servet à modéliser des sitatios où l o étdie e grader dot la variatio absole est costate (cas des itérêts simples) Les sites géométriqes servet à modéliser des sitatios où l o étdie e grader dot la variatio relative est costate (cas des itérêts composées) : la grader dimie o agmete tot le temps d même porcetage 3 ) Origie des oms arithmétiqe et géométriqe avec les moyees 2 ) Cas d e site géométriqe O cosidère e site géométriqe telle qe 0 0 et q 0 (il e sera tojors aisi por os cette aée) Règle Si q, alors la site est croissate Si 0 q, alors la site est décroissate III Croissace - décroissace ) Croissace décroissace liéaire Lorsqe l évoltio d e grader pet être modélisée par e site arithmétiqe, o parle de croissace o de décroissace liéaire (sivat le sige de la raiso) La variatio est dite «liéaire» car tos les poits qi représetet la site sot aligés sr e même droite (qi e passe pas forcémet par l origie d repère) Das e site arithmétiqe, chaqe terme (saf le premier) est la moyee arithmétiqe de cex qi l ecadret Das e site géométriqe, chaqe terme (saf le premier) est la moyee géométriqe de cex qi l ecadret

2 2 ) Croissace décroissace expoetielle Lorsqe l évoltio d e grader pet être modélisée par e site géométriqe, o parle de croissace o de décroissace expoetielle La variatio est dite «expoetielle» car le terme gééral s exprime à l aide d exposat ( 0 q ) Il s agit d évoltios rapides 3 ) Commetaire Ces dex types de croissace sot très importats Ils servet à modéliser de ombrex phéomèes, essetiellemet des sites et des séries chroologiqes (voir mael pages 80 et 8) Das de ombrex domaies (géographie, écoomie, statistiqes, biologie etc), o cherche à modéliser de ombrex phéomèes par des sites (otio de «modélisatio», de «modèle mathématiqe») Ils existet d atres types de croissaces o de décroissaces qe os étdieros pas cette aée IV Itérêts bacaires : itérêts composés, itérêts simples ) Défiitios U capital prodit des itérêts simples si les itérêts sot iqemet calclés sr ce capital U capital prodit des itérêts composés si à la fi de chaqe période, les itérêts géérés sot ajotés a capital por prodire de oveax itérêts O dit assi qe les itérêts sot capitalisés 3 ) Lie avec les sites L évoltio d capital placé à itérêt simple pet être modélisé par e site arithmétiqe croissate Das ce cas, la valer acqise par le capital sit e croissace liéaire L évoltio d capital placé à itérêt composé pet être modélisé par e site géométriqe croissate (de t raiso où t désige le tax de placemet) 00 Das ce cas, la valer acqise par le capital sit e croissace expoetielle 4 ) Vocablaire Les placemets d'e drée ifériere à a ot gééralemet des itérêts simples Le tax ael est désigé comme le tax omial o le tax facial Les itérêts des placemets de pls d' a sot des itérêts composés Le tax ael est appelé tax actariel o tax éqivalet V Por aller pls loi O s itéresse tojors à des phéomèes chroologiqes ) Croissaces décroissaces liéaires 2 ) Exemples Modèle discret Modèle coti Exemple Placemet d' capital de 00 à tax ael de % d'itérêts simples Chaqe aée les itérêts serot de : 00 Les itérêts sot fixes a cors d temps 00 La ère aée la valer acqise par le capital est égale à 0 La 2 e aée la valer acqise par le capital est égale à 0 Etc Exemple 2 Placemet d' capital de 00 à tax ael de % d'itérêts composés Les itérêts serot de : la ère aée Pis : 0,2 00 la 2e Etc Sitatio modélisée par e site arithmétiqe Sitatio modélisée par e foctio affie* * Exemple : la taille d e plate est doée e foctio d temps par f (t) = 2 ) Croissaces décroissaces expoetielles Modèle discret Modèle coti Sitatio modélisée par e site géométriqe * * Pas por os cette aée (tilise e foctio qi est pas coe e ère S) La ère aée la valer acqise par le capital est égale à 0 La 2 e aée la valer acqise par le capital est égale à 0,2 0,2 Etc

3 Exercices bilas sr les sites arithmétiqes et géométriqes À la aissace de ler fils e 2007, des parets bloqet e somme d arget afi de povoir fiacer d évetelles étdes à sa majorité La baqe B ler propose placemet à itérêts simples à % par a La baqe C ler propose placemet à itérêts composés à 4, % par a Ils décidet de simler placemet de 000 das chace des dex baqes O ote B la somme dispoible l aée (2007+) site a placemet das la baqe B et C la somme dispoible l aée (2007+) site a placemet das la baqe C ) a) Exprimer B + e foctio de B Qelle est la atre de la site (B )? Préciser sa raiso b) Exprimer C + e foctio de C Qelle est la atre de la site (C )? Préciser sa raiso 2 ) Recopier et compléter le tablea ci-dessos Arrodir les résltats a cetième das la coloe de la baqe C (à partir d momet où c est écessaire) Aée Baqe B Baqe C ) a) Calcler por chaqe placemet le tax d évoltio exprimé e porcetage, arrodi a cetième, d capital à la fi des dix-hit aées b) Qel est le placemet le pls avatagex? c) A la site à ce costat, les parets déposet sr le placemet le pls avatagex, a lie de 000 Qelle sera la somme dispoible à la majorité de ler fils (c est-à-dire por ses 8 as)? 2 Drat l aée 2004, le ombre de familles qi ot loé emplacemet a «campig de la plage» est 00 Le directer prévoit por l aveir e agmetatio aelle de fréqetatio de % O désige par : 0 le ombre de familles reçes par le campig e 2004 ( 0 00 ), le ombre de familles reçes par le campig e 200, 2 le ombre de familles reçes par le campig e 2006, le ombre de familles reçes par le campig e ) Calcler et 2 Arrodir à l ité les dex résltats 2 ) Exprimer + e foctio de Qelle est la atre de la site ( )? Préciser sa raiso 3 ) E spposat qe la tedace se porsive, combie de familles le directer pet-il espérer por l aée 20? 3 U «petit épargat» place 00 le er août 2002 À cette époqe, le tax de placemet à itérêts composés est de 3 % l a ) a) Par qel ombre doit-o mltiplier 00 afi d obteir la somme qe cet épargat arait p récpérer a après? b) Les sommes récpérables chaqe aée, les er août, formet e site de ombres Est-elle géométriqe o arithmétiqe? Qelle est sa raiso? c) Cet épargat espérait récpérer a août 202 la somme aisi placée avec ses itérêts Qelle somme A povait-il espérer récpérer à cette date (arrodir le résltat à l ité)? Qel arait été alors le motat des itérêts e ero? 2 ) Mais le er août 2003, le goveremet a décidé de baisser ce tax d itérêts à 2,2 % a) Calcler la somme qe cet épargat porra récpérer le er août 2004 b) E spposat qe ce tax d itérêts composés de 2,2 % reste ichagé jsq a er août 202, qelle somme B porra-t-il récpérer aisi à cette date? 3 ) a) Qelle sera a er août 202 la différece A B e ero? b) Qe représete e porcetage cette différece par rapport a motat de l itérêt espéré calclé à la qestio ) c)? 4 Mosier Gillame, artisa meisier, désire acqérir la machie e 200 A er javier 200, il a placé la somme de 6000 eros, à itérêts composés a tax ael de 6,7 % O ote le capital, exprimé e eros, dispoible a er javier de l aée ) Calcler, 2 et 3 (arrodir à l ité près) 2 ) Démotrer q il e disposera pas a er javier 200 de la somme écessaire à l acqisitio de la machie si le prix de celle-ci est estimé à eros Qelle somme li maqera-t-il? (arrodir à 00 eros près) 3 ) Détermier la somme, exprimée e eros, q il arait dû placer a er javier 200 por disposer d capital écessaire à l achat de la machie a er javier 200 (arrodir la somme à 0 eros près) Le er javier 2002, Reé a placé 000 eros à itérêts composés, a tax ael de 3 % O ote C le capital e eros de Reé a er javier de l'aée ) Exprimer C e foctio de C E dédire la atre de la site C Exprimer C e foctio de 2 ) A er javier 200, Reé ara besoi d'e somme de 7000 eros So capital sera-t-il sffisat por sbveir à cette dépese? Qestio facltative : À qel tax miimal arait-il dû placer so capital le er javier 2002 por disposer d'a mois 7000 eros a er javier 200? Arrodir le résltat a dixième

4 6 Le bt de cet exercice est de comparer les tarifs mesels de locatio de dex appartemets de même type, ommés X et Y, das dex villes de Frace Partie A Étde d tarif de locatio de l'appartemet X O ote le tarif mesel de locatio, e eros, de l'appartemet X e 0 + Aisi 0 est le tarif mesel de locatio de l'appartemet X e 0 (attetio, il s agit d tarif de locatio drat tos les mois de l aée 0) O défiit aisi la site ( ) des tarifs mesels de locatio, e eros, de l'appartemet X E 0, le tarif de locatio est de 43 eros et chaqe aée il est agmeté de 2 ) Exprimer e foctio de E dédire la atre de la site et préciser sa raiso 2 ) Exprimer e foctio de 3 ) Calcler le tarif mesel de locatio, e eros, de l'appartemet X e ) E qelle aée le tarif mesel de locatio de l appartemet X deviet-il pls avatagex qe celi de l appartemet Y? 7 La période de désitégratio d' élémet radioactif est le temps a bot dqel la masse d' échatillo de cet élémet est divisé par 2 ) U échatillo cotiet g de radim Qelle sera la masse de radim das 0 00 as sachat qe la période de désitégratio d radim est de 00 as? 2 ) La période de désitégratio de l'iode 3 est de 8jors Qelle était, il y a 000 jors, la masse de l'iode 3 das échatillo qi e referme ajord'hi gramme? Das les parties B et C, les résltats serot arrodis a dixième Partie B Étde d tarif de locatio de l'appartemet Y O ote v le tarif mesel de locatio, e eros, de l'appartemet Y e 0 + E 0, le tarif mesel de locatio est de 400 eros et chaqe aée il est agmeté de 2,7 % ) Exprimer v e foctio de v E dédire la atre de la site v et préciser sa raiso 2 ) Exprimer v e foctio de 3 ) Calcler le tarif mesel de locatio, e eros, de l'appartemet Y e 2006 Partie C Comparaiso des dex tarifs de locatio des appartemets X et Y ) Recopier et compléter le tablea ci-dessos v

5 Correctio ) Les parethèses sot obligatoires por oter e site B 000 B 00 soit B B 20 La site (B ) est e site arithmétiqe de raiso r = 20 4, C C soit C, 04 C 00 La site (C ) est e site géométriqe de raiso q =,04 3 ) a) VA VD Baqe B : % V 000 D VA VD Baqe C : ,84 % V 000 D b) Le placemet le pls avatagex est la baqe C c) 2 ) Por remplir la coloe de la baqe B, ce est pas très difficile, o ajote tojors 20 (20 = itérêt ael) a résltat précédet Por remplir la coloe de la baqe C, o mltiplie chaqe fois le résltat précédet par,04 O arrodit les résltats a cetième à partir d momet où c est tile comme le demade l éocé Baqe B A bot de 8 as Baqe C Aée Baqe B Baqe C , (formle B B0 r ) (formle C C0 q ) 3 3 ) a) O doit mltiplier 00 par,03 00 b) Le placemet est à itérêts composés D après le cors, la site est géométriqe de raiso,03 0 c) 0 00, Il pet espérer récpérer Le motat des itérêts est de 6 2 ) a) De 2002 à 2003, il récpère eviro 4 De 2003 à 2004, 4, ,2 b) ) a) A B b) ,4 206 %

6 4 ) Calclos , , , ,, ) 4 463,067 Il maqera ) Soit a la somme exprimée e eros q il fat placer le er javier 200 por povoir acheter la machie e a, doc a 730 (valer arrodie à la dizaie) 4,067 ) Exprimos C e foctio de C 3 Le coefficiet mltiplicater associé à e agmetatio de 3 % est égal à,03 00 C,03 C La site C est e site géométriqe de premier terme C0 000 et de raiso,03 Exprimos C e foctio de C C 0 q C , 2 ) Calclos le capital dispoible a er javier 200 c est-à-dire C C 000,03 C 624 (arrodi à l ité) Le capital dispoible a er javier 200 sera d eviro 6334 Il e disposera doc pas des 7000 dot il a besoi Qestio facltative : 6 Tarifs mesels Partie A ) tarif de l aée ( + ) = tarif de l aée O e dédit qe la site est arithmétiqe de raiso 2 2 ) Exprimos e foctio de 0 r ) Calclos le tarif mesel de locatio, e eros, de l'appartemet X e 2006 O calcle Partie B Étde d tarif de locatio de l'appartemet Y 2,7 ) Le coefficiet mltiplicater associé à e agmetatio de 2,7 % est égal à, Chaqe aée le tarif mesel de locatio est agmeté de 2,7 % doc est mltiplié par,027 O pet doc écrire v,027 v O e dédit qe la site v est e site géométriqe de premier terme v0 400 et de raiso q,027 2 ) Exprimos v e foctio de v v q 0 v 400,027 3 ) Calclos le tarif mesel de locatio, e eros, de l'appartemet Y e 2006 v ,027 v6 63 (valer arrodie à l ité) E 2006, le tarif mesel de locatio de l appartemet Y s élèvera à , ,3 Reé arait dû placer so capital à tax miimal de % por disposer d a mois 7000 eros le er javier

7 Partie C Comparaiso des dex tarifs de locatio des appartemets X et Y ) v , , , , , , , , 80,8 6 2 ) E qelle aée le tarif mesel de locatio de l appartemet X deviet-il pls avatagex qe celi de l appartemet Y? 7 ) Il s'agit d'e site géo de raiso 2 as le radim se sera désitégré 7 fois : 0 = g = 2, g 3 = 0,62 4 = 0,32 = 0,62 6 = 0, = 0, pisqe la masse est divisée par 2 tos les 00 as Das 0 00 Coclsio : Das 0 00 as l'échatillo de radim pèsera 0, g 2 ) Il s agit d e site géo de raiso 2 pisqe la masse est divisée par 2 tos les 8 jors 000 = 2 désitégratios 8 m = 2 2 = 20 g

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