Les dérivés climatiques et naturels : de nouvelles opportunités pour les investisseurs

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1 Les dérivés climaiques e naurels : de nouvelles opporuniés pour les invesisseurs Juille 21 Jean-Claude AUGROS Professeur Universié Claude Bernard LYON I Insiu de Science Financière e d Assurances (ISFA) Michel QUERUEL Doceur en Sciences de gesion Responsable de la Srucuraion de Risques Alernaifs CDC IXIS Capial Markes Jean Claude Augros, diplômé de l enseignemen supérieur agronomique (Ingénieur E.N.S.I.A.), doceur d Ea e agrégé des faculés de sciences de gesion, es professeur de finance à l Universié Claude Bernard (Lyon 1) où il a dirigé successivemen l U.F.R. de Mahémaiques Appliquées, de Gesion e d Economie puis l Insiu de Science Financière e d Assurances (I.S.F.A.). Il es égalemen direceur D.E.A. e de la formaion docorale en sciences acuarielle e financière de l I.S.F.A. Il es enfin membre d honneur de l associaion des acuaires diplômés de l ISFA. Michel Quéruel, iulaire d une maîrise de mahémaiques, DESS d ingénierie mahémaique de l I.S.F.A. e doceur en sciences de gesion, es responsable de la srucuraion de risques alernaifs à CDC IXIS Capial Markes. Il a éé lauréa, en 1997, prix de hèse de l Associaion Française de Finance.

2 Les dérivés climaiques e naurels : de nouvelles opporuniés pour les invesisseurs Face à l accroissemen de la volailié des marchés financiers, observé au cours de la dernière décennie, les invesisseurs on commencé à prêer un inérê grandissan au concep de gesion alernaive, c es-à-dire d une gesion don les performances ne son pas direcemen liées à l évoluion des marchés radiionnels d acions, de dees, de change ou de maières premières. Tandis que la gesion classique repose sur un simple pari à la hausse des suppors d invesissemen radiionnels, les sraégies de gesion alernaive prennen en compe, par l inermédiaire de echniques ou d insrumens spécifiques, un nombre de variables de valorisaion beaucoup plus large elles que la volailié, la endance baissière, la qualié crédi, la liquidié, l écoulemen emps ou encore la probabilié de réalisaion d un événemen spécifique comme une fusion-acquisiion ou une opéraion de resrucuraion capial. Ces sraégies de gesion alernaive, imporées des pays anglo-saxons e plus connues sous des appellaions à caracère exoique elles que : judgemenal/discreionary rading, sysem rading, rend following, merger/risk arbirage, long/shor equiy, specialis credi, disressed securiies, even driven, corporae resrucuring, spin offs, carve-ous, on ouefois monré leur limie lors de l effondremen aux Eas Unis des Commodiies Trading Advisory (CTA) e des fon muli CTA dû, noammen, à la chue de l euro e à celle des valeurs echnologiques. Tou en s efforçan d améliorer la renabilié de leurs invesissemens par la muliplicaion des echniques de gesion, les invesisseurs on égalemen cherché, plus récemmen, à diversifier leurs sources de risques. Cee voloné des enreprises, e ou pariculièremen celle des compagnies d assurances, de gérer de manière élargie le risque de leurs acifs e/ou de leurs passifs es à l origine de l émergence d une nouvelle classe d acifs, les dérivés climaiques e d assurances (C&A). Tandis que les premiers permeen aux enreprises de se couvrir conre les conséquences négaives des aléas climaiques, comme celles es, noammen, aux variaions anormales de la empéraure, les secon permeen aux compagnies d assurances de ransférer sur les marchés financiers cerains risques naurels s à des évènemens exrêmes. Ces nouveaux prois dérivés on donné lieu, dès l année 1999, à la créaion de nouveaux fon d invesissemen promis à un imporan développemen. Ce aricle a pour objecif de mere en évidence l inérê des dérivés climaiques e d assurances dans le cadre d une sraégie d invesissemen. Après une présenaion succince des C&A, les perspecives de développemen de ce nouveau segmen de marché son examinées. Il es ensuie monré commen ces acifs permeen d améliorer la diversificaion d un porefeuille d invesissemen. Enfin, une dernière parie expose les echniques de gesion des fon spécialisés en dérivés C&A. 1. Les dérivés C&A : une nouvelle classe d acifs originaux Les dérivés climaiques e d assurances reprennen la forme des dérivés financiers radiionnels els que les opions, les swaps, les obligaions La nouveaué de ces nouveaux prois réside dans la naure suppor qui peu êre soi un événemen naurel, comme un remblemen de erre, soi la mesure d une variable climaique, comme la empéraure, le volume des précipiaions ou la viesse ven, 1

3 Une obligaion «caasrophe» présene ous les aribus d une obligaion radiionnelle : valeur nominale, aux nominal fixe ou, plus généralemen, variable Comme le souscripeur d une obligaion classique, celui d une obligaion «caasrophe» reçoi donc un coupon régulier an qu un sinisre majeur, don les caracérisiques on éé prédéerminées, ne se proi pas. Dès que le sinisre inervien, l émeeur, en principe une compagnie d assurance ou un réassureur, inerromp le paiemen coupon. Par ailleurs, le conra d émission peu égalemen prévoir que, dans ce cas, l émeeur n a pas à rembourser le capial, en oalié ou en parie seulemen. L économie réalisée par l émeeur vien alors compenser les peres subies lors sinisre. Les dérivés climaiques, qui prennen généralemen la forme d opions, son pluô souscris pour couvrir le risque de pere d acivié ou de résula suscepible d êre subi par les enreprises fai de cerains phénomènes climaiques. L opéraion la plus courane concerne un disribueur d énergie don les venes de gaz peuven êre affecées par un hiver rop clémen. L acha d une opion, un call par exemple, sur la empéraure moyenne de la saison consiue pour lui un excellen insrumen de couverure, le payoff qu il es suscepible d encaisser à l échéance de l opion, si le clima lui es défavorable, venan compenser ses peres d exploiaion. Ce payoff es déerminé à parir de la différence enre la empéraure moyenne consaée ex pos e la empéraure «d exercice» fixée dans le conra. Pour obenir la valeur payoff en uniés monéaires, il convien de muliplier le payoff exprimé en uniés de empéraure par la valeur «ick» fixé par les usages e exprimé dans cee unié monéaire 1. La naure même des sous-jacens différencie les dérivés C&A des dérivés habiuellemen négociés sur les marchés financiers. En effe, ceux-ci ne son pas négociables. Personne ne peu acheer ou vendre l ensoleillemen ou l enneigemen. Personne ne peu non plus empêcher ou déclencher, grâce à de l argen, un événemen naurel el qu un remblemen de erre. On ne peu pas davanage acheer la garanie d un éé chaud ou d un hiver rigoureux. Cee remarque élémenaire es essenielle car, comme nous le verrons ulérieuremen, l évaluaion de ce ces acifs en dépend. Si ce cadre d évaluaion, où l arbirage es impossible, es habiuel pour les assureurs, il l es beaucoup moins pour les financiers habiués à arbirer sans cesse enre des acifs e leurs dérivés. Il mérie donc d êre souligné lorsque l on s inéresse à ces acifs poin de vue des invesisseurs. A la différence des risques financiers les plus courans, comme le risque des acions, ou ceux de change ou de aux d inérê, les risques climaiques ou ceux liés à une caasrophe naurelle son des risques physiques géographiquemen localisés dans des régions différenes. Cee dispersion géographique des risques ne perme pas oujours de regrouper les inérês d une même caégorie e ainsi de compenser des inérês divergens comme on peu le faire avec un risque financier classique. Ceci explique en parie pourquoi jusqu à présen, le proje de créaion d un marché organisé n a pas reçu de la par des aceurs marché un souien suffisan. Le marché demeure pour l insan un marché de gré à gré pour une aure raison qui ien à la spécificié des opéraions de couverure réalisées par les enreprises. Si les marchés de gré à gré offren l avanage de permere l élaboraion d opéraions sur mesure adapées aux besoins des enreprises, ils présenen naurellemen l inconvénien d exposer les acheeurs de conras au risque de défaillance de leur conreparie. 1 Le proi le plus couran, habiuellemen désigné sous l appellaion de «call», es en réalié un call spread ou call «cappé». En d aures ermes, il s agi de l associaion de l acha d un call de prix d exercice K 1 e de la vene d un call de prix d exercice K 2 (avec K 1 < K 2 ). Les aures prois phares des dérivés climaiques, désignés sous l appellaion de «swap» ou de «collar» consisen en réalié en l acha d un call simulanémen à la vene d un pu de prix d exercice égal (cas swap) ou différen (cas d un collar). L inérê d un swap ou d un collar es d avoir à payer une prime nulle ou réie. Enfin, un srangle, consisan en l acha simulané d un call e d un pu perme, lorsque, par exemple, le sous-jacen es la empéraure, la couverure simulanée conre une saison rop chaude ou une saison rop froide. 2

4 2. Les dérivés C&A : un segmen de marché en plein essor Les dérivés climaiques e ceux d assurances procédan sensiblemen même concep, il es couran d associer ces deux caégories de prois. Leur développemen respecif répond ouefois à des besoins différens de leurs uilisaeurs. Les dérivés climaiques, s adresse à oues les enreprises don l acivié peu êre affecée par une variaion inaene des condiions climaiques. La première opéraion sur ces prois a éé iniiée par Enron en En négocian le premier proi dérivé don le sous-jacen éai la empéraure, cee compagnie d énergie américaine a ainsi souhaié couvrir son résula conre un hiver rop clémen. La dérégulaion marché américain de l énergie a foremen incié les compagnies d énergie américaine, dans un soucis de renabilié e de compéiivié accrue, à gérer dynamiquemen leurs risques climaiques. Ces compagnies, naurellemen exposées à ce ype de risques, on ainsi Evoluion nombre d'opéraions largemen conribué au développemen marché des dérivés climaiques. Celui ci s es rapidemen développé comme le monre le graphique ci conre. Les compagnies d énergie consiuen encore à l heure acuelle l esseniel des aceurs marché américain en erme de volume de ransacions. En oure, par la mise 5 en place d eniés de rading, elles Fin 97 Fin 98 Fin 99 2 paricipen aujourd hui acivemen à l accroissemen de la liquidié Source Risk 9/2 marché. Le développemen marché des dérivés climaiques es promis à un développemen considérable dans la mesure où l on esime qu à ce jour 2 à 25% PNB, an américain qu européen, son exposés aux aléas climaiques. Les enreprises concernées von des compagnies d énergie aux saions de ski, en passan par celles de l habillemen e de l alimenaion, chacun de ces seceurs pouvan êre exposé à un ou plusieurs risques comme en émoigne le ableau ci dessous. Enreprises Agriculure Agro-Alimenaire, commerce de déail Assurance Bâimens e ravaux publics Energie Texile, habillemen Tourisme, loisir Transpor Principales exposiions Soleil, pluie, gel Soleil, Tempéraure Sécheresse, pluie Gel, pluie Tempéraure Tempéraure Ensoleillemen, pluie, neige, Neige, gel, pluie, De même qu à parir des années 8 les enreprises se son aachées à gérer les risques de aux e de change, celles ci adopen aujourd hui une gesion plus globale de l ensemble de leurs risques, ceraines choisissan désormais de couvrir égalemen les risques climaiques. Par effe de conagion, on peu supposer qu elles seron de plus en plus nombreuses à se 3

5 couvrir, ce qui laisse supposer une vériable explosion des marchés d insrumens de couverure de ces risques. Le développemen marché des dérivés d assurances, en général, e des obligaions caasrophes, en pariculier, répond à une préoccupaion de gesion des risques propres aux compagnies d assurance e de réassurance. Si, radiionnellemen, ce son bien les assureurs qui accepen de prendre en charge ces risques, progressivemen les compagnies on resseni la nécessié de se dessaisir d une parie d enre eux, jugean que le niveau qu elles éaien conraines de supporer dépassai largemen leur capacié financière. Les raisons de ce phénomène son muliples. Il s explique d abord par l augmenaion de la richesse mondiale e l accroissemen marché de l assurance. Le coû des biens assurés a ainsi éé muliplié par 3 en 2 ans. Parallèlemen, de nouveaux pays se son ouvers à leur our à l assurance e le specre des prois assurés n a cessé de s élargir. Face à l insuffisance nooire de leur capacié financière, les assureurs on d abord choisi de se ourner vers les réassureurs radiionnels. Cee démarche monre aujourd hui ses limies fai de l exisence d un nombre limié de compagnies de réassurance e de leur capacié financière égalemen insuffisane. En effe, la capacié mondiale de la réassurance se limie, aujourd hui, à environ 25 milliar de dollars. De plus la naure similaire des exposiions des différens réassureurs coni à l exisence d un risque sysémique don les effes pourraien êre sensibles en cas de défaillance d une compagnie de réassurance. Le risque de conreparie es donc réel. En comparaison avec la aille considérable des marchés financiers (2 milliar de dollars pour le seul marché des obligaions coée, celui de la réassurance apparaî donc relaivemen faible. Le ransfer des risques de l assurance vers les marchés financiers rouve ainsi une par de légiimié, la diversificaion e le rendemen aracif que ces prois peuven procurer jusifian, par ailleurs, l inérê des invesisseurs pour ces prois. La première opéraion de irisaion d un risque caasrophique a éé iniiée en 1994 par USAA, une grande compagnie d assurances américaine, e depuis le marché n a cessé de progresser comme le révèle le graphique ci-conre. Les dernières caasrophes e noammen les empêes de décembre 1999, on rappelé à nombre d assureurs, la réalié de leurs exposiions. Les émissions concernen à ce jour des risques de remblemen de erre, de empêe, d ouragan (hurricane) e de yphon. en millions USD Monan annuel des émissions de "Ca Bon" Source Goldman Sachs Ce marché en plein développemen a besoin, parallèlemen aux agences de noaions (Moodys, S&P, Fich, ), d une série d aceurs indépendans spécialises de la mesure des risques caasrophes. Ces sociéés son aujourd hui au nombre de rois (RMS, Eqeca, AIR). Fores des compéences qu elles on acquises anérieuremen dans la mesure des risques insriels, celles-ci on éen leur domaine d acivié à ce marché naissan. Les analyses qu elles réalisen son indispensables à l efficacié marché. Elle permeen aux agences de 4

6 noaions de s appuyer sur une analyse echnique objecive e aux invesisseurs une mesure indépendane risque. L appor de ces sociéés perme de réire l asymérie d informaion exisan enre les assureurs e les invesisseurs. La noaion des obligaions perme ensuie aux invesisseurs de comparer ce risque à celui des obligaions «corporae» de raing équivalen e, ainsi, de mieux appréhender le couple renabilié-risque de ce nouveau véhicule d invesissemen. 3. Une nouvelle voie de diversificaion, un rendemen aracif De oue évidence, le rendemen de cee nouvelle classe d acifs n es pas corrélé avec celui des acifs habiuellemen négociés sur les marchés financiers. Deux raisons expliquen cee absence de corrélaion. La première ien à la naure physique risque sous-jacen. En effe, une baisse des marchés d acions ne risque pas de provoquer un remblemen de erre La seconde es e à la naure même proi financier. En effe, celui ci prend généralemen la forme d une opion ou d une obligaion à aux variable. Aussi la sensibilié de ces acifs aux aux d inérê es donc relaivemen faible. Les aures indicaeurs de marché n influen pas davanage sur leur prix. Sans que l on puisse encore faire éa d une rès grande expérience dans le domaine des obligaions caasrophes e alors que, jusqu à ce jour, aucune émission n a éé appelée suie à un sinisre majeur, il es cependan possible, au ravers de quelques siuaions de marché, de vérifier l indépendance de cee classe d acifs par rappor aux aures comparimens marché financier. La figure ci-dessous, comparan la renabilié d un panier d obligaions caasrophes (a) avec celle des placemens radiionnels au cours 3 ème rimesre 1998, illusre bien ce phénomène. On peu ainsi vérifier que, ran cee période, le porefeuille d obligaions caasrophes n a pas éé affecé par les baisses des différens marchés e a rapporé le coupon couru aen. Evoluion des différens indices de marché au cours roisième rimesre 1998 S&P 5 Nasdaq Comp % -11.5% Small Cap Socks (Russell 2) European Equiies Japanese Equiies (Nikkei 225) -2.9% -2.7% -18.1% Emerging Marke Deb (1-Year+) BB Composie Real esae (Wilshire REIT Index) -11.4% -1.7% -.9% 1.8% en base annuelle 3-Monh UST 1.5% GS Ca Bond Baske (a) 2.7% 5-Year UST 6.5% -25% -2% -15% -1% -5% % 5% Source Goldman Sachs L avanage des dérivés C&A en maière de diversificaion es égalemen révélé lors de la consrucion d un porefeuille efficien. En effe, la nouvelle fronière efficiene résulan de l inrocion de ces acifs dans un porefeuille obligaaire se siue largemen au dessus de 5

7 celle définie à l aide de porefeuilles d obligaions radiionnelles. La représenaion ci dessous des différenes classes d obligaions 2 dans un plan «renabilié-risque», représené ici par le couple «spread au dessus Libor-espérance de pere annuelle», illusre bien l inérê de ces ires en erme de diversificaion e de rendemen espéré. 14% Spread au dessus de LIBOR 12% 1% B- Corporae Exension de la fronière efficiene Russie 8% 6% Porefeuille de risques Ven e remblemen de erre US 4% Tremblemen de erre Japon Brésil Hurricane US BB Corporae Tremblemen de erre US 2% Typhoon Mexique Clima % % 1% 2% 3% 4% 5% Espérance annuelle de pere Source Goldman Sachs A l inérê de la diversificaion que procure les dérivés C&A s ajoue celui d un rendemen poeniel aracif. L exemple ci dessous, donné à ire d exemple, compare le rendemen espéré d une obligaion caasrophe (Namazu Re) avec celui d une obligaion corporae de raing équivalen. L arai de ce ype d invesissemen apparaî alors clairemen. Namazu Re (BB raed) Corporae Ba-raed Spread (over libor) 4.5 % 2.% Espérance de pere.75%.75% Espérance de spread 3.75% 1.25% Pour une espérance de pere annuelle équivalene (.75%), l espérance spread de l obligaion caasrophe au dessus de Libor es ici rois fois supérieure à celle de l obligaion corporae. La décomposiion de la prime d une obligaion caasrophe monre qu en réalié celleci ne consiue pas seulemen la juse rémunéraion risque caasrophe. L analyse spread de ces obligaions sur le schéma ci-dessous perme d idenifier la naure des aures primes rapporées par ces acifs. 2 L obligaion climaique figuran sur cee figure consise en la juxaposiion d une obligaion radiionnelle e d une composane climaique à caracère opionnel. 6

8 Prix echnique Tiers 1 Prime de risque Tiers 2 Prime de nouveaué Tiers 3 Prime d illiquidié Prime commerciale Le prix echnique ou iers 1 es la parie spread desinée à couvrir l espérance mahémaique de pere des coupons fuurs e principal, le monan de la pere espérée éan déerminé par la probabilié d occurrence de la caasrophe. La prime de risque (iers 2) reflèe l aversion de l invesisseur pour le risque e correspond au monan don ce dernier a besoin en plus prix echnique pour porer ce risque. Enfin le iers 3 regroupe un ensemble de rémunéraions supplémenaires difficiles à quanifier : la prime de liquidié rémunère le fai que le ire soi difficile à céder ; la prime de nouveaué a pour effe de récompenser l effor d invesissemen dans un proi nouveau. Enfin la prime commerciale rai le jeu de l offre e de la demande qui aujourd hui es pluô en faveur des invesisseurs. S il es manifese que les dérivés C&A son en mesure d améliorer la diversificaion d un porefeuille, force es d admere que la réalisaion de cee diversificaion es largemen faciliée par l exisence de fon spécialisés dans ces nouveaux acifs. L invesissemen dans cee caégorie d acifs nécessie, en effe, une experise pariculière que seuls les gérans de ces fon son en mesure de posséder. En oure, la diversificaion praiquée à l inérieur même d un fon spécialisé en dérivés C&A réi le risque lié au recours à ces acifs e perme aux invesisseurs d augmener la diversificaion de leur porefeuille ou en y consacran un monan de capiaux correspondan au niveau sricemen souhaié. 4. Une gesion radiionnelle La gesion d un fon C&A consise à inclure dans un même porefeuille des obligaions caasrophes, de rée relaivemen longue (plusieurs année, e des dérivés climaiques don la rée de vie es beaucoup plus coure (quelques moi. Malgré la naure innovane de ces nouveaux prois, la gesion d un el fon reprend les echniques de la gesion radiionnelle. La première caracérisique de cee gesion repose sur le principe, cher aux assureurs, d une diversificaion maximale. Celle-ci s opère selon rois axes : - suivan la naure risque : remblemen de erre, ouragan, empêe, empéraure, pluie, ven, neige - suivan la localisaion géographique risque. A ce jour rois grandes régions monde fon l obje d émissions, à savoir : l Europe, l Amérique nord e le Japon. - suivan le sens des posiions (acheeur/vendeur) e le ype d opéraion (call, pu, swap, srangle, collar, ) Cee diversificaion s accompagne d une sélecion d opporuniés en erme de aille e de prix. Au oal, une diversificaion rigoureuse perme au géran de ne pas faire de pari pariculier sur l évoluion de elle ou elle variable physique. La présence dans le porefeuille de composanes opionnelles liées à ces variables perme cependan au géran, grâce à un 7

9 posiionnemen plus efficien dans le plan espérance-risque, d améliorer la renabilié fon par rappor à celle d un porefeuille obligaaire radiionnel. La qualié de la gesion d un fon dépend égalemen de l efficacié des ouils d évaluaion mis à la disposiion des gesionnaires. Ces ouils jouen, en effe, un rôle esseniel pour la fixaion de la fourchee de prix (bid-ask) régulièremen proposée par les gesionnaires aux inervenans marché e, in fine, pour la sélecion des opporuniés d invesissemen qui s offren à eux. Une applicaion rop rapide des modèles classiques de la finance peu cependan conire à une évaluaion erronée des dérivés climaiques. Il en es ainsi, par exemple, de l uilisaion de la formule de Black e Scholes (1973) pour évaluer une opion sur la empéraure. En effe, cee formule classique de la finance moderne repose sur le principe de consrucion d un porefeuille d arbirage sans risque composé de l acif sous-jacen e de l opion écrie sur ce acif. En maière de dérivés climaiques, le sous-jacen n éan pas négociable, la consiuion d un el porefeuille d arbirage n es pas possible. Tandis que l applicaion de la formule de Black e Scholes équivau à un calcul d espérance dans l univers risque neure, le recours à ce changemen d univers de probabilié n es pas applicable dans le cas de l évaluaion des dérivés climaiques. Force es donc d admere que celle-ci doi reposer sur les principes radiionnels de l assurance e noammen sur l éude saisique risque. S agissan de l évaluaion des dérivés climaiques, la concepion d un modèle de simulaion de la empéraure es essenielle. Le phénomène de reour vers la empéraure moyenne, qui caracérise l évoluion de cee mesure physique, incie à modéliser l évoluion de la empéraure à l aide d un processus courammen uilisé en finance pour représener l évoluion des aux d inérê, un processus avec reour à la moyenne en l occurrence. Dans une éude récene, Dornier e Quéruel (2) on ouefois mis en évidence les conséquences d une ransposiion rop hâive des modèles de ce ype. Nous reprenons ici les principales conclusions de cee éude. Le caracère saisonnier comporemen clima milie en fai pour l uilisaion processus de Hull e Whie (H&W 199) qui consiue une version généralisée modèle de Vasicek (1977). Dans le cadre de ce modèle, l évoluion aux d inérê insanané es défini par le processus suivan : dr ( ) = )[ m r( )] d + σ ( ) dw ( ) où r (), désigne le aux d inérê insanané à la dae, a (), la force de rappel, m, la valeur vers laquelle reourne le processus, σ (), la volailié processus e W (), un mouvemen brownien sandard. A la différence modèle de Vasicek dans lequel la volailié e la force de rappel son des consanes, ces variables son ici des foncions emps. En revanche, la valeur, m, vers laquelle revien le processus es une consane comme dans le modèle de Vasicek. On démonre facilemen (cf. annexe 1) que l espérance processus pour une dae fuure quelconque es alors bien représenée par cee consane m. S agissan de la empéraure, il es apparu assez naurel à plusieurs aueurs de suivre l exemple précéden e, selon une première inuiion, de modéliser l évoluion de la empéraure à l aide d un processus voisin. Celui-ci s écri : où : dt ( ) = )[ θ ( ) T ( )] d + γ ( ) dw ( ) [1] 8

10 T (), désigne la empéraure à la dae, θ (), la valeur moyenne hisorique de la empéraure à la dae (corrigée de la endance au réchauffemen), a (), la force de rappel, γ (), la volailié processus, e W (), un mouvemen brownien sandard. Dans cee modélisaion, la variable θ (), représenan la moyenne hisorique de la empéraure, es une foncion emps censée prendre en compe l évoluion saisonnière de la empéraure. Cee foncion peu êre esimée par des méhodes saisiques habiuelles. Elle es ensuie injecée dans le modèle qui devien alors un insrumen de simulaion de la empéraure. Hélas, l espérance de la empéraure fuure donnée par cee modélisaion ne coïncide pas avec la valeur moyenne hisorique, θ (), mesurée ex ane e uilisée pour définir le processus. Ce résula fâcheux provien fai que la variable θ () n es pas, comme dans H&W, une consane mais bien une foncion emps. En effe, à parir processus précéden, on déi facilemen (cf. annexe 2), après inégraion, l espérance de la empéraure fuure. Celle ci es donnée par l expression suivane : E[ T ( )] = e T() + e θ ( e s On consae qu il n exise effecivemen aucune raison pour que cee espérance soi égale à θ (), sauf dans le cas ou θ () es définie par une consane. Afin d apprécier l imporance de l erreur que le gesionnaire peu commere en uilisan la modélisaion précédene, Dornier e Quéruel on choisi l exemple suivan relaif à la empéraure observable à Chicago. Le graphique ci dessous représene le relevé hisorique de la empéraure observée dans cee grande ville américaine. Tempéraure Hisorique sur Chicago e sa moyenne déerminise 1 Tempéraure en F /1/8 1/4/8 1/7/8 1/1/8 1/1/81 1/4/81 1/7/81 1/1/81 1/1/82 1/4/82 1/7/82 1/1/82 Dae 9

11 Sur la base de ces observaions les aueurs on ensuie esimé la foncion θ () nécessaire à la définiion processus. A parir d une foncion sinusoïdale ils on ainsi défini la foncion θ () reproisan le plus fidèlemen la endance d évoluion e la saisonnalié de la empéraure. Les paramères de volailié e de force de rappel on éé égalemen esimés de elle sore que le processus reproise les valeurs de l échanillon avec un maximum de vraisemblance. Une fois le processus d évoluion de la empéraure défini e ses paramères esimés, celui-ci peu êre uilisé à des fins de simulaion de la empéraure fuure puis à l esimaion de l espérance mahémaique payoff des dérivés climaiques e par là même à leur évaluaion. La figure ci-dessous représene l écar, E[ T( ) ] θ ( ), obenu enre la empéraure espérée fournie par le modèle e la valeur moyenne hisorique donnée par la foncion θ () injecée dans le modèle, e ce pour un horizon d un an. Différence enre la moyenne déerminise e la moyenne simulée 6 4 Différence en F dae 1/1983 1/1987 1/1991 1/1995 dae 1/1983 1/1987 1/1991 1/1995 Le graphique précéden monre qu il exise une différence de +5 à 6 F enre les deux mesures e que cee différence ne end pas vers zéro. Le processus n effecue donc pas un reour vers θ () mais vers une aure foncion, ce qui coni à biaiser l évaluaion d un dérivé climaique, pouvan enraîner des conséquences financières imporanes pour les invesisseurs dans ces prois. Si l inuiion de la modélisaion précédene es correce, en revanche, sa formulaion mahémaique ne l es pas. La première amélioraion à apporer à ce modèle consise simplemen à appliquer le processus de H&W/Vasicek direcemen à la empéraure moins sa moyenne. Ce processus a alors une espérance nulle e donc consane au cours emps. Les hypohèses d applicaion processus de H&W/Vasicek son alors réunies. Le processus ainsi corrigé s écri : dt ( ) = dθ ( ) + )[ θ( ) T ( )] d + γ '( ) dw ( ) [2] Afin de monrer les implicaions d une faible erreur dans la définiion processus uilisé pour simuler l évoluion de la empéraure, on considère, à ire d exemple, l évaluaion sur Chicago d un call sur HDD 3 (Heaing Degree-Day) pour la période allan 1 er novembre 3 [ 65 F Moyenne Tempéraure jour i ; ] HDD = Max Jourdela période 1

12 2 au 31 mars 21. Le prix d exercice K 1 es fixé à 5 1 HDD e le noionnel à 1 USD/HDD. Par ailleurs, le call es cappé à 2 $ (K 2 = 7 1 HDD). Supposons que pour évaluer ce call on simule l évoluion de la empéraure, d une par, avec le modèle de base défini par l équaion [1] puis, d aure par, avec le modèle corrigé [2] inégran le erme d erreur d θ (). Tandis que, dans le premier cas, la empéraure espérée pour l échéance de l opion ressor à HDD, dans le second cas, elle s élève à HDD, soi une différence de 18 HDD. En oure, l écar ype processus es plus faible dans le premier modèle que dans le second. Cee différence n es pas sans conséquence sur l évaluaion de l opion don le prix echnique (payoff espéré hors prime de risque 4 ) s éabli à $ avec le premier modèle e $ avec le second, la différence de $ représenan alors 21% de la prime donnée par le premier modèle. Néanmoins la spécificié processus de empéraure ne peu sans doue pas êre complèemen appréhendée avec un modèle aussi simplise. Les séries chronologiques e pariculièremen les processus auo-régressifs son sans doue mieux adapés pour cela. Enfin, la naure de l aléa empéraure doi êre pris en compe au niveau des résis modèle en uilisan des disribuions aures que gaussiennes si nécessaire. Conclusion Ces quelques écueils echniques inhérens à la mise en place d un nouveau marché ne sauraien occuler le poeniel de développemen de l invesissemen dans cee nouvelle classe d acifs. La demande croissane de couverure de la par des enreprises e des réassureurs e l appéi croissan des invesisseurs pour ce nouvel ouil de diversificaion son auan de faceurs milian pour une croissance rapide e coninue de ce marché. Celui-ci ne peu cependan s affranchir d un accroissemen de la liquidié. A ce égard, le développemen des fon dédiés aux dérivés C&A, en favorisan l invesissemen dans cee classe d acifs, consiue un faceur favorable à l augmenaion de la liquidié. Celle ci rese en parie condiionnée par une réflexion approfondie e récurrene sur la qualié des données climaiques e sur les echniques d évaluaion uilisées. Ceraines régions monde, comme l Amérique sud ou le coninen Africain, ne disposan pas de données climaiques fiables resen à l écar de ce processus e coninuen à subir les conséquences des aléas naurels sans opporuniés de couverure. Dans ces pays une réflexion es engagée pour rouver un palliaif à cee absence de données fiables. Enfin, dans le domaine de la modélisaion, des effors son encore à réaliser de manière à apporer des réponses adapées au problème de l évaluaion de ces acifs avec la mise en place de modèles sandar universellemen reconnus, à l image de celui de Black e Scholes uilisé pour l évaluaion des opions sur acions. 4 La prime de risque reenue par les inervenans se siue généralemen auour de 3 % de la volailié payoff. 11

13 Annexes 1. Le processus de Hull e Whie es défini par l équaion suivane : dr ( ) = )[ m r( )] d + σ ( ) dw ( ) On pose : Y( ) = e [ m r( )] A l aide lemme d Iô, il vien : dy( ) = e dr( ) + )[ m r( )] e En remplaçan dr () par son expression on a : s a s a ( ) ( ) dy( ) = e σ ( ) dw ( ) Sachan que Y ( ) = m r(), en inégran de à e en remplaçan Y () par son expression, on obien celle de r() don l espérance s écri : E[ r( )] = m [ m r()] e e Lorsque a es une consane posiive, end vers l infini lorsque s accroî e E [ r( )] end vers sa moyenne m. Le processus es bien de ype mean revering avec reour vers m. 2. Soi le processus suivan : dt ( ) = )[ θ ( ) T ( )] d + γ ( ) dw ( ) [1] On pose : X( ) = e [ θ ( ) T( )] En différenian à l aide lemme d Iô, il vien : as d { θ '( ) + )[ θ ( ) T( )] d dt( )} dx ( ) = e Où θ '( ) représene la dérivée de θ () par rappor à. En remplaçan dt par son expression, on obien : On inègre de à : dx ( ) = e [ θ' ( ) d γ ( ) dw ( )] 12

14 X ( ) = X () + e θ '( γ ( e s s dw ( En inégran par parie le second erme de l équaion précédene e en remplaçan X() par son expression, on obien : T ( ) = e T () + e θ ( e + e γ ( e Références s s dw( Le dernier erme de l expression précédene éan gaussien, en prenan l espérance de T(), il vien : E[ T ] = e T() + e θ ( e s ATALON P., «On Modelling and Pricing Weaher Derivaives», Working Paper, Universiy KTH, 2. BLACK F. e SCHOLES M., «The Pricing of Opions and Corporaes Liabiliies», Journal of Poliical Economy, Vol. 81, 1973, p DISCHEL B., «Opions Pricing Black & Scholes Won Do», Ocober 1998, hp:// Weaher Risk An Energy and Power Risk managemen Magazine and Risk, Magazine Special Repor, Ocober, (inerne). DOHERTY S. and McINTYRE R., «An Example from he UK», Energy, June DORNIER F. e QUERUEL M., «Cauion o he Wind», Risk, Supplemen Weaher Risk, Aoû 2, p HULL J. and WHITE A., «Pricing Ineres Rae Derivaive Securiies», Review of Financial Sudies, 3, 4 (199), p NELKEN I., «Weaher Derivaives Pricing and Hedging», VASICEK O., «An Equilibrium Characerizaion of he Term Srucure», Journal of Financial Economics, Vol. 5, 1977, p

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