OSCILLATEURS COUPLÉS

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1 TP OSCILLATEURS COUPLÉS Capacités exigibles : mtre en évidence l action d n filtre linéaire sr n signal périoqe dans les domaines fréqentiel temporel La théorie générale des oscillaters coplés n est pas a programme Ce TP est donc l niqe occasion de mtre en éqations de résodre le problème dans n cas simple où les symétries permtent ne résoltion rapide La techniqe tilisée est à connaître Dans ne première partie, on éte le coplage électromagnétiqe entre dex bobines, qi est à la base d transformater On illstre alors dans ne dexième partie le filtrage analogiqe en essayant d éliminer les pertrbations qi pevent réslter d n tel coplage lorsq il n est pas désiré Enfin, ne troisième partie à préparer avant le TP propose l analyse d n système mécaniqe analoge : dex pendles pesants coplés par torsion Après avoir regardé ne video d phénomène, il est demandé de mtre en éqation le système d exploiter les résltats fornis d ne acqisition des positions des pendles Docment : Étde théoriqe des oscillaters harmoniqes coplés On considère n système de dex oscillaters harmoniqes identiqes En l absence de coplage, chaqe oscillater possède n d xi degré de liberté ( x o x régi par l éqation fférentielle de l oscillater harmoniqe ω x i π ω πf est la plsation propre des oscillations non amorties T ; i, En présence d n coplage linéaire, les éqations fférentielles régissant x x sont coplées (dans notre étde par des d x d x ( ω x termes proportionnels ax dérivées d ordre : d x d x ( ω x Q On pose S x x D x x ontrer qe l on pet dans ce cas simple décopler le système, c est-à-re obtenir n système de éqations fférentielles, l ne en S, l atre en D ω ω x A cos( ω t ϕ A cos( ωt ϕ On pose ω ω : montrer qe les soltions s écrivent x A cos( ω t ϕ A cos( ωt ϕ Les constantes d intégration A sont déterminées à partir des contions initiales x, x& (, x (, & (, A, ϕ, ϕ ( x ω correspond a mode propre symétriqe ( A où les dex oscillaters vibrent en phase avec la même amplitde ( x x t ω correspond a mode propre antisymétriqe ( A où les dex oscillaters vibrent en opposition de phase avec la même amplitde ( x x t Avec des contions initiales qelconqes, les oscillations sont des combinaisons linéaires des dex modes propres Les périodes T T des modes propres étant en général incommensrables, ces oscillations ne sont pas périoqes On note le résltat très général correspondant à dex oscillaters linéaires identiqes de fréqence propre f en l absence de coplage : on a dex fréqences propres lorsqe les oscillaters sont coplés : f < f < f Por la fréqence basse f les oscillaters sont en phase por la fréqence hate f les oscillaters sont en opposition de phase Por N oscillaters linéaires coplés apparaissent N modes propres Q Lorsqe le coplage est faible ( pit, les plsations propres se rapprochent Por <<, on pet faire l approximation ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ; On sppose qe les contions initiales sont telles qe A A A ϕ ϕ, montrer qe l on a alors : x x A cos Asin ( ω t ( ω t ω cos ω sin t t

2 ω Comme << ω, on est alors en présence de battements : les corbes représentatives des fonctions ω X ± Acos t cos( ωt qi varient lentement par rapport à sont des enveloppes respectivement por les corbes ω ( X ± Asin t sin ωt représentatives de x ( t x ( t La période des battements est égale à la moitié de la période des enveloppes, soit T Tbat Q3 Tracer l ne en dessos de l atre les corbes ( qe celle des battements T bat x t x ( t On y fera apparaître les enveloppes, la période T ainsi CIRCUITS OSCILLANTS COUPLÉS PAR UTUELLE INDUCTION Docment : Indctance mtelle Soient dex bobines indéformables X parcores respectivement par des corants I I Le corant I dans X crée en tot point N de l espace n champ magnétiqe Br ( proportionnel à N I De même le corant I dans X crée en tot point N de l espace n champ magnétiqe Br ( N proportionnel à I Soit alors φ le flx magnétiqe à travers X, on pet tojors écrire : φ L I I avec Φ B ( d S r N r r r r B( N B ( N B ( N I φ C L est le flx propre de B r à travers X ; L est l atoindctance de X ; c est ne constante positive φ I est le flx «de mtelle indction» de B r à travers X ; est le coefficient de mtelle indction entre X À la fférence de L, n est pas constante ; elle dépend de la position relative de X par rapport à X, elle pet être positive, négative, voire même nlle De la même façon, on pet écrire le flx d champ magnétiqe à travers X : φ L I I, où à la même valer qe précédemment On pet montrer qe l on a L facter de coplage par L : L En cas d égalité, on parle de coplage parfait On définit de manière générale le L Si les corants dans les bobines varient, il apparaît des fém d indction dans chaqe bobine Dans X, il apparaît la fém : dφ e ( t L, si sa résistance est r, il apparaît ne tension à ses bornes : On a en convention récepter ( t ri ( t e ( t ri L dφ De même, il apparaît dans X la fém : e ( t L,, tojors en convention récepter, la tension à ses bornes ( t ri ( t e ( t ri L

3 esre des ato-indctances d coefficient de mtelle indction On spose de dex bobines (de transformater démontable LEYBOLD à pe près identiqes, de spires chacne (tiliser les bornes extrêmes, la borne d milie n tilise qe 5 spires, tilisées ici sans noya de fer On cherche à mesrer lers ato-indctances ler coefficient de mtelle indction lorsq elles sont accolées Réaliser le montage RLC série ci-contre, avec R Ω C nf Dans n premier temps on prend por «L» la sele bobine X Utiliser ce montage por déterminer de la façon la pls précise la valer de L pis de L (inqer le protocole ren : L mh L mh /!\ Une bobine n est modélisée q en basses fréqences par l association série d ne indctance pre L d ne résistance r En hates fréqences, (> Hz, ne capacité répartie entre les spires d bobinage apparaît on rajote dans la modélisation ne capacité en parallèle sr l association série L, R Dans n dexième temps, on prend por «L» les dex bobines accolées montées en série La tension ax bornes de l association est alors, pisqe i i i : ri L ri L : ( r r i ( L L l association se comporte comme ne bobine niqe d ato-indctance L L L Comme il n est pas facile de stinger les sens des enrolements des spires dans X, on ne sait pas à l avance si le coefficient de mtelle indctance va être positif ( o négatif ( 3 Déterminer comme précédemment l ato-indctance de l association por n branchement qelconqe des bornes de X, pis en inversant ce branchement : on en dédit L L L L L L d où : L L mh 4 Vérifier qe l on a bien L L ( L L donner la valer d facter de coplage L L Détermination de par eff «transformater de tension» Réaliser le montage ci-contre (les bobines X sont tojors accolées, où le GBF délivre n signal sinsoïdal de plsation ω On a, en régime sinsoïdal forcé, pisqe i : r i jlωi jωi De pls, por ne fréqence sffisamment élevée, on a r << L ω (vérifier qe c est le cas por ne fréqence de qelqes Hz, sachant qe r est de l ordre de Ω, d où jlωi jω i L U U Vérifier qe les dex signax observés à l oscilloscope sont donc en phase o en opposition de phase selon le branchement des bornes de X Déterminer en mesrant les valers efficaces U U a voltmètre électroniqe : esres : mh L L 3 Qe se passe-t-il por lorsqe l on éloigne X de X, lorsqe les bobines X sont perpenclaires?

4 3 Oscillations propres de dex circits oscillants LC coplés Réaliser le montage ci-contre avec C C nf les bobines précédentes X accolées Le signal V e forni par le GBF est rectanglaire ω de fréqence Hz très infériere à la fréqence propre f des oscillations π non amorties de chaqe oscillater (de l ordre de 8 Hz, afin de povoir observer les oscillations propres d système Si on considère L L L r r, on est en présence de dex circits LC identiqes coplés par mtelle indctance Les plsations propres sont alors données par : ω ω correspondant a mode symétriqe ( L C ω ω ( L C correspondant a mode antisymétriqe Le facter de coplage étant assez faible, on observe des battements La période des oscillations est donnée par T T celle des battements par T bat π ω ω π ω T Observer le signal V ( à l oscilloscope l amortissement des oscillations dû ax résistances des bobines s t esres : T ; T bat En dédire les valers approchées de f : f ; bat T T Comparer ax valers précédentes 4 Oscillations forcées de dex circits coplés On reprend le montage précédent, mais le GBF délivre maintenant n signal sinsoïdal de plsation réglable d amplitde E Avec tojors C C C, L L L r r, on a en régime sinsoïdal forcé : Cω e e Les ( ( Cω ( ( Cω amplitdes de de sont donc infinies por ω ω ( L C ω ω ( L C, passe par n minimm nl por ω, passe par n minimm non nl por ω ω ω (le facter de coplage étant assez faible La présence de résistances r r faibles mais non nlles fait qe les amplitdes de de sont finies lors des résonances (on pet montrer q elles sont pratiqement égales à E ( r r Cω por des plsations très proches de ω ω Q4 Vérifier qe le calcl des fonctions de transfert donne bien : Cω e ( ( Cω e ( ( Cω Reprendre le montage précédent régler le GBF en sinsoïdal de faible amplitde (les résonance sont aigës Visaliser à l oscilloscope Vérifier q il y a dex résonances ne anti-résonance ; mesrer les fréqences correspondantes : f f f En dédire f f f Réaliser l analyse spectrale des réponses implsionnelles afin de rrover les valers de f, f f

5 les bobines précédentes X sont tojors accolées On a R Ω Le GBF fornit n signal e ( sinsoïdal de ASPECT FRÉQUENTIEL DU FILTRAGE ANALOGIQUE fréqence f 3 Hz de qelqes V d amplitde Le GBF fornit n signal e ( t sinsoïdal de fréqence f Hz de qelqes V d amplitde On obtient ainsi n circit linéaire pertrbé (à case de la mtelle indctance par le dexième circit On cherche à éliminer cte pertrbation dans la tension ax bornes de X t Acqérir (t sos LatisPro visaliser son spectre Créer sr plaqte n filtre simple permtant d éliminer la pertrbation Porqoi est-il nécessaire d interposer n montage siver entre X le filtre? Donner en les jstifiant les valers des caractéristiqes des composants choisis 3 Visaliser le spectre d signal filtré commenter qant a résltat recherché 4 Reprendre les paramètres d filtre si f 5 Hz tre en évidence les limites d filtre choisi 3 Visalisation Se connecter à l adresse sivante : visaliser les oscillations de dex pendles coplés faiblement à l aide d n tya en caotchoc 3 PENDULES COUPLÉS PAR TORSION 3 odélisation Q5 tre en éqation le système en spposant qe les dex pendles sont identiqes q ils oscillent dans des plans verticax parallèles, ator d même axe On note J le moment d inertie d n pendle par rapport à c axe, m sa masse, on note a la stance d centre d inertie d n pendle à l axe de rotation Les movements des pendles sont repérés par les angles orientés θ θ q ils font avec la verticale, on note C la constante de torsion d tya en caotchoc (le moment de rappel q exerce n fil de torsion d axe sr n obj placé en son extrémité est Cθ où θ est l angle algébriqe dont est tord le fil Q6 Établir le système d éqations fférentielles coplées régissant θ θ, angles spposés pits Donner les plsations des dex modes propres d système en fonction de J, m, g a, ainsi qe la constante de coplage, spposée pite 33 esres de On pet obtenir l évoltion des angles en filmant le système avec ne webcam Les mesres ont été effectées à la cadence de 3 images par seconde avec ne overtre a /5 s Cte valer est déterminante por obtenir ne image nte qand le pendle se déplace vite (passage par zéro Le ficher obten savegardé avec l extension avi pet être l par exemple sos Latis-Pro On obtient les résltats sivants :

6 Le premier graphe correspond à n sel oscillater, le troisième a cas où l on écarte l n des oscillater de sa position d éqilibre on le lâche sans vitesse initiale, le second étant initialement a repos dans sa position d éqilibre Commenter ces corbes Qelles sont les analogies avec les bobines coplées de la partie? Déterminer nmériqement la constante de coplage de dex façons fférentes atériel : bobines de spires boîtes de capacités ALI TL 8 Pits composants R C à demander a professer à remtre en place en fin de TP