Value at Risk en assurance : recherche d une méthodologie à long terme

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1 Value at Rsk e assurace : recerce d ue métodologe à log terme Marc FEDOR Uversté Pars Daupe Jule MOREL ISFA Uversté Lyo I RESUME La Value at Rsk est deveue u stadard de la gesto de rsque das le mode facer. Le but de cet artcle est de spécfer les codtos sous lesquelles la VaR pourrat être ue boe mesure de rsque d actfs e assurace. Après la descrpto des prcpales approces de calcul de la VaR employées actuellemet das le secteur bacare, ous dqueros des spécfctés de la gesto facère e assurace. Nous préseteros esute les adaptatos écessares de la VaR ayat u rapport avec ces partculartés : prse e compte des cagemets de décomposto du portefeulle d vestssemet das le futur lés à la présece des produts de taux, détermato de l espérace de redemet à log terme, cox de la melleure métode d estmato lé aux proprétés des doées storques dspobles au momet du calcul de la VaR. Ue étude emprque démotrera l mportace du cox des ypotèses et de la logueur de l storque des doées qu fluecet de maère cosdérable le motat fal de la VaR. Mots clefs : Value at Rsk, TalVaR, assurace, log terme, mesure de rsque d actfs, mesure de la solvablté. Nous voudros remercer Nousa Sad pour ses dcatos préceuses, so ade apprécable et so ecore plus grade patece auss be que Perre Bsmut pour ses éclarcssemets pragmatques et commetares ercssats, falemet Ae Tracol pour les derères correctos. Veullez adresser toute correspodace à Marc Fedor : PREDICA S.A. ; 50-56, rue de la Processo ; Pars Cedex 5 ; Frace ; Tél : ; Fax : ; e-mal : marc.fedor@ca-predca.fr

2 . INTRODUCTION Depus pluseurs aées, o assste à ue réflexo globale sur les mesures de la solvablté et la gesto des rsques e assurace. Les derères crses facères et écoomques ot accéléré la recerce sur le sujet. Les réformes adoptées das de ombreux pays (Etats-Us, Australe, Japo) s appuet sur ue ouvelle réglemetato des mesures des rsques érets à l assurace. Les assureurs europées vot à leur tour adopter u ouveau système prudetel, appelé Solvecy II, probablemet très proce de ses omologues étragers. Celuc est basé sur ue étude séparée des dfféretes sources de rsque, etre autres le rsque de marcé. Das ce cotexte, les modèles de Value at Rsk (VaR) offret l avatage de proposer ue mesure prospectve du rsque pour u portefeulle d actfs. La VaR a été tégrée das le secteur bacare va la reforme Bale II et sert a estmer ue parte des fods propres réglemetares écessares pour supporter le rsque de marcé. Naturellemet, o pourrat etrepredre ue réflexo sur l adaptato aalogue de la VaR das le secteur de l assurace. Le cocept de la VaR a été créé storquemet pour estmer le rsque des opératos de tradg das les salles de marcé. Par coséquet, la métodologe de calcul de la VaR a été étudée par et pour le secteur bacare, et elle est pas drectemet applcable das le secteur de l assurace. Malgré la quatté très mportate de la lttérature sur la VaR, tratat ses dfférets aspects, l applcato de ce cocept e assurace a été peu étudé (parm de rares artcles ous cteros celu de Albert, Barle et Kog (996) et de Ufer (996)). L objectf de cet artcle est doc de proposer, au regard des spécfctés de la poltque d vestssemets e assurace, des adaptatos à la métodologe permettat de fare de la VaR u outl coéret et vable de mesure de rsque d actfs pour ce secteur. Il va de so que la mesure du rsque de marcé d u portefeulle d actfs déped du cadre comptable utlsé. Pour smplfer et gééralser otre recerce, ous ous affracros de ce cadre comptable et e rasoeros que sur les valeurs de marcé des dfférets actfs. L applcato des ormes comptables et réglemetares peut s effectuer ultéreuremet. Par alleurs, ous e predros pas e compte les cotrats e uté de compte, qu formet ue parte o églgeable des portefeulles d actfs mas pour lesquels le rsque de marcé supporté par l assureur est ul (ce rsque est a la carge des assurés), o plus que les actfs o cotés comme les actfs mmoblers corporels. Ef, ous cosdéreros que le portefeulle d actfs e possède aucue couverture doc aucu produt optoel. 2. Defto 2. VALUE AT RISK La Value at Rsk (VaR) est ue mesure probablste de la perte possble sur u orzo doé. Elle représete u veau de perte, pour ue posto ou u portefeulle, qu e sera dépassé durat ue pérode doée qu avec u certa degré de coface. Cosdéros p actf) à l stat et comme la valeur future, et doc aléatore, d u portefeulle d actfs (ou d u p 0 sa valeur à la date d estmato. Alors la varato de prx de ce 2

3 portefeulle d actfs pour u orzo, appelée ue focto de perte ou ue focto P&L (proft ad loss), est de : p = p p (2.) 0 La Value-at-Rsk d u portefeulle d actfs pour ue pérode [0 ; ] avec probablté q est défe comme u motat, otée VaR (q), telle que la varato p observée pour le portefeulle d actfs durat l tervalle e sera féreure au motat VaR (q) qu avec ue probablté de (-q). E d autres termes, la perte de ce portefeulle pour la pérode [0 ; ] sera supéreure à VaR (q) avec ue probablté (-q). [ 0;] ou ecore P p VaR ( q) = q P p > VaR ( q) = q VaR q = F ( ) ( q) (2.2) (2.3) avec F gééralsé. Notos la focto de répartto de la varable aléatore f la desté de probablté de la varable aléatore VaR (q) sur la Grapque. p et la focto verse [ 0;] F p. Nous pouvos llustrer la Grapque : Value at Rsk avec probablté de 99,5% (focto de répartto et focto de desté de la lo ormale) [ 0;] 3

4 Il faut oter que la VaR pas la proprété de sous-addtvté. E effet, s o cosdère deux actfs A et B pour lesquels o estme la VaR pour le même orzo et le même seul de coface, VaR, A+ B ( q) VaR, A ( q) + VaR, B ( q) est pas toujours vérfé. Le proprété de sous-addtvté est vérfé par la TalVaR, appelée auss Codtoal Value at Rsk (CVaR). La TalVaR au seul de coface q se déft comme l espérace du motat de perte au delà du seul de VaR : TalVaR ( q) = E p / p VaR ( q) (2.4) [0. ] O peut as exprmer la TalVaR au seul de coface q pour u orzo e focto de la desté f défe précédemmet et du motat VaR (q) : TalVaR ( q) = VaR ( q) x f ( x) dx (2.5) L estmato de la TalVaR écesste doc à la fos le calcul de la VaR mas auss l estmato de la queue de dstrbuto de la varable aléatore p au delà de ce seul de VaR. [ 0;] 2.2 Métodes d estmato Pour applquer les dfféretes métodes de calcul de la VaR, l faut effectuer au préalable ue trasformato des dfféretes postos du portefeulle avec u certa ombre de facteurs de rsques. La varato de prx du portefeulle sur la pérode [0 ;] est alors focto des varatos de ces facteurs de rsque p = Θ(,,..., ) (2.6) 2 où, 2,..., sot les dfférets facteurs de rsque du portefeulle. Ces facteurs de rsque sot des varables fodametales du marcé (ex. les cours des ttres, les taux d térêts, les dces boursers, etc) qu détermet les rsques d actfs de l vestsseur. La focto Θ peut être léare s le modèle d évaluato du prx d ue posto de portefeulle est léare (le cas des actos). E revace, pour certas types d actfs comme les optos, le modèle d évaluato est pas léare, doc la focto Θ e l est plus. Les métodes d estmato de la VaR dovet esute exploter les doées storques dspobles relatves à ces dfférets facteurs de rsque pour estmer le quatle d ordre q de la dstrbuto de p.gééralemet, ces doées storques sot formées par les varatos [ 0;] jouralères des dfférets facteurs de rsque sur ue pérode défe. Le cox de cette pérode est très mportat pusque ous devos dsposer de cotatos pour tous les facteurs de rsque tout au log de cette pérode et pour celle-c dot permettre d estmer les futures varatos de ces facteurs de rsque. 4

5 Par la sute, ous feros l ypotèse que ous utlsos u storque de T jours ouvrés. Nous dsposos doc de T varatos storques jouralères de prx des dfférets facteurs de rsque pour estmer la dstrbuto de p. [ 0;] Avat de préseter les dfféretes métodes de calcul de la VaR, défssos les esembles suvats : S={{,...,, } pour =,..,} (2.7) [ T ; ( T )] [ 2; ] S est l esemble formé par les séres croologques de T returs jouralers des dfférets facteurs de rsque. [ ;0] H ={ Θ (, 2,..., ) pour j=0,..,t-} (2.8) [ ( j+ ); j] [ ( j+ ); j] [ ( j+ ); j] H est la sére croologque des T returs storques jouralers de ce portefeulle. Sot K le ombre de doées storques à jours dspobles : O peut alors défr les esembles suvats : S ={{ [ K* ; ( K )* ] T K = (2.9),...,, } pour =,..,} (2.0) ( 2* ; ] [ ;0] S est l esemble formé par les séres croologques de K returs à jours des dfférets facteurs de rsque. H ={ Θ (, 2,..., ) pour j=0,..,k-} (2.) [ ( j+ )* ; j* ] [ ( j+ )* ; j* ] [ ( j+ )* ; j* ] H est la sére croologque des K returs storques à jours de ce portefeulle Métode aalytque Il s agt d ue métode paramétrque. S o suppose que appartet à ue famlle coue de lo paramétrque, alors le problème de l estmato de la VaR se rédut à l estmato de ces paramètres. Cosdéros u modèle paramétrque tel que : x b F ( x) = G (2.2) a où G est la focto de dstrbuto d ue lo coue, a est u paramètre d écelle, b est u paramètre de posto. F 5

6 Alors ous pouvos exprmer la VaR comme : VaR ( q) F ( q) = b + ag ( q) = (2.3) Pour estmer la VaR l sufft doc d obter des estmateurs â et b ˆ des paramètres a et b. Gééralemet, o suppose que la varable aléatore p sut ue lo ormale de paramètres µ (moyee) et σ (écarte type). O peut esute estmer la VaR du portefeulle par la formule : [ 0;] ( q) = ˆ + ˆ σφ ( q) Vˆ ar µ (2.4) où Φ est la focto de répartto de lo ormale N(0,) doc Φ ( q) est le quatle d ordre q de la lo ormale cetrée rédute, µˆ état u estmateur de la moyee de la varable aléatore p, σˆ état u estmateur de l écart type de la varable aléatore p. [ 0;] Les paramètres µ et σ sot estmés à partr de la dstrbuto passée des facteurs de rsque. Il y a alors pluseurs métodes d estmato des paramètres selo les ypotèses qu o formule. S ous supposos que les séres croologques composat formet des écatllos detquemet et dépedammet dstrbuées (..d.) des los des varables =,...,, ous pouvos estmer les paramètres des los de ces varables { } drectemet sur ces écatllo storques as que les covaraces etres les varables. S =,..., obésset à la même ous fasos l ypotèse supplémetare que les { } famlle de lo paramétrque, ous pouvos e dédure la lo de S S [ 0;] p. Néamos, s les séres croologques des esembles e sot pas..d., l faut utlser des tecques permettat d estmer et de corrger l erreur de spécfcato (famlle des modèles ARCH/GARCH). [ 0;] Métode storque Das cette métode, la dstrbuto future de la varable aléatore est estmée drectemet par sa dstrbuto passée, sous l ypotèse que les doées sot..d. Nous estmos les varatos sur [0 ; ] des dfférets facteurs de rsque par leurs varatos storques et ous cosdéros doc que les élémets de formet u écatllo..d de la lo de [ 0;] p. Nous dsposos doc de K smulatos storques de la varable aléatore p. Cette métode présete l avatage de e pas fare d ypotèse sur la lo de la varable [ 0;] aléatore p, l e s agt doc pas d ue métode paramétrque. [ 0;] H [ 0;] p 6

7 2.2.3 Métode de Mote Carlo La métode de Mote Carlo permet de géérer des multples scéaros stocastques pour obter la dstrbuto de la varable aléatore p. Le cocept de cette métode cocere [ 0;] doc les smulatos répéttves de varables aléatores { =,..., } [0;] grad ombre de trajectores das l espace-prx pour l orzo de calcul de la VaR., traçat esute u Après le cox du modèle stocastque adapté pour les dfférets facteurs de rsque (ex. mouvemet browe géométrque), o estme des dstrbutos de ces facteurs de rsque, as que des paramètres qu y sot assocés. L utlsato cojote des modèles stocastques et des paramètres des dstrbutos permet de costrure u grad ombre de sutes de =,..., à l orzo ( sutes par smulato). Il covet de varables aléatores { } [0;] soulger que ces varables aléatores, servat à détermer la valeur future d u portefeulle d actfs, sot smulés dépedammet. Pourtat, elles sot raremet..d. Pour reméder à ce problème, o peut utlser ue décomposto de Colesky de la matrce de varacecovarace Métode de Bootstrap Les trages avec remse das l écatllo storque costtuet ue métode de smulato stocastque alteratve qu permet d obter la dstrbuto de la varable aléatore p. [ 0;] Das la métode de Bootstrap, les smulatos sot effectuées drectemet sur la base de l écatllo formé par les doées storques. Cette tecque est doc pas paramétrque. Supposos que les élémets de H formet u écatllo..d. de la lo de p, o obtet ue sute (par smulato) de varables aléatores [ 0;] p à l orzo e effectuat trages aléatores avec remse das cet écatllo. Bootstrap permet doc de géérer u grad ombre de ces smulatos pour l orzo de calcul de la VaR. Au fal, o obtet la dstrbuto de la varable aléatore p. S les élémets de e sot pas..d., la métode [ 0;] de Bootstrap peut être adaptée aux résdus ormalsés du processus GARCH. [ 0;] H Notos qu l exste u grad ombre de métodes alteratves dot la présetato dépasse le cadre de cet artcle. Le cox de la métode d estmato de la VaR déped de l orzo souaté de calcul (), du cox et de la talle de l storque utlsé (T), et ef des ypotèses formulées sur les doées de cet storque. 7

8 3. L ADAPTATION DE LA VAR EN ASSURANCE Hstorquemet, les modèles de VaR ot été créés au se de baques d vestssemet pour cotrôler le rsque du marcé. Comme ce sot e effet les opératos de tradg qu géèret la majeure parte du rsque de marcé d ue baque, la VaR est utlsée pour mesurer le rsque des postos prses par les gérats de portefeulle. Ces postos caget fréquemmet et peuvet être lbérées rapdemet. Par coséquet, les baques évaluet leur rsque de marcé pour des orzos courts. E pratque, la VaR est estmée pour ue jourée ou quelques jours. 3. Les spécfctés du portefeulle d vestssemet L objectf de la gesto facère e assurace est l optmsato du portefeulle, va le couple redemet-rsque, e respectat les cotrates réglemetares et les egagemets lés au passf. C est das ce but que les socétés d assurace défsset ue poltque d vestssemet prudete et à log terme. La poltque de placemet des socétés d assurace sut ue gesto buy ad old (déteto à log terme des ttres). Ue socété d assurace acète doc des actfs facers qu garatsset u redemet à log terme lu permettat de respecter ses egagemets de passf evers ses assurés et ses actoares. So but est la spéculato le tradg. Cela dut que le portefeulle est beaucoup plus stable das le temps que das le secteur bacare. La gesto facère e assurace a doc pas la même réactvté que das le secteur bacare. E effet, das les salles de marcé bacares, o peut asémet lbérer ue posto cosdérée comme trop rsquée, ce qu justfe l estmato de la VaR jouralère. Néamos, les assureurs dovet obter u redemet à plus court terme de leur portefeulle d actfs tout e maîtrsat so rsque. Cela mpacte auss la poltque facère à court et à log terme. Notammet, le rsque de marcé dot être évalué coformémet au tmg de reportg facer (gééralemet trmestrel et auel). Cette évaluato du rsque de marcé peut être utlsée comme u dcateur de la solvablté de l etreprse face à de brutales évolutos du marcé, et permettre de fxer le motat des fods propres auels. Par coséquet, les socétés d assurace devraet cercer à estmer leur rsque de marcé va la VaR pour des orzos allat de 3 mos à u a. Dès lors, l estmato de la VaR jouralère e assurace a aucu ses. Par alleurs, la sur-podérato effectve des produts de dette (oblgatos, prêts et dépôts) das les portefeulles est ue autre spécfcté du secteur qu fluece l estmato du rsque de marcé va la VaR. E cocluso, la gesto du rsque de marcé e assurace a pas les même objectfs que das le secteur bacare. Nous cerceros doc à évaluer va la VaR, pour des orzos comprs etre tros mos et u a, stable sur la pérode d estmato, et compreat ue grade quatté de produts de taux. Cela écesste l adaptato de la métodologe de la VaR bacare, calculée pour des orzos très courts sur u portefeulle de tradg. 8

9 3.2 Propostos d adaptatos 3.2. Représetato du portefeulle d vestssemet das le futur L estmato de la VaR est basée sur l évaluato de la dstrbuto des varatos du prx de marcé du portefeulle p etre deux dates. Par la sute, ous cosdéreros qu o calcule [ 0;] la VaR e 0 pour u orzo et que le gestoare du portefeulle d vestssemet e cage pas sa posto etre ces deux dates. S les codtos de marcé restet cagées e 0 et e (ous feros cette ypotèse par la sute), le prx de certaes classes d actfs (actos et actfs comportat u rsque smlare) sot les mêmes e 0 et e. Das ce cas, le portefeulle compred les mêmes quattés de dfférets ttres à ces deux dates. E revace, la composto du portefeulle des produts de dette (oblgatos, prêts et dépôts) cage avec le temps. Cosdéros as l évoluto sur [0 ;] d ue oblgato zéro coupo qu rembourse u motat C à la date τ (doc ue oblgato zéro coupo de maturtéτ ). So prx de marcé C téorque est à la date 0 p0 = avec r τ τ,0 taux de redemet du marcé à la date 0 + r ( τ, 0 ) d ue oblgato zéro coupo de maturté τ. Cette oblgato évolue etre 0 et : s τ, alors cette oblgato zéro coupo est plus présete das le portefeulle à la date, mas le déteteur de cette oblgato a reçu u cas flow de motat C versé depus -τ ; s τ >, alors cette oblgato zéro coupo est toujours présete das le portefeulle à la date, mas sa maturté cage et est égale à τ -. So C ouveau prx de marcé téorque e est p = avec r τ, le ( + rτ, )τ taux de redemet du marcé à la date d ue oblgato zéro coupo de maturté τ -. Nous pouvos doc costater que le prx de marcé de cette oblgato zéro coupo e déped pas des même varables aux dates 0 et : p0 p (3.) E partculer, s la courbe des taux a pas cagé etre 0 et (ypotèse des mêmes codtos de marcé), le prx de marcé de cette oblgato zéro coupo est plus le même. Par la sute, ous cosdéreros que toutes les oblgatos peuvet se décomposer e ue somme algébrque des oblgatos zéro coupo, doc que le prx de caque oblgato est détermé par la somme des prx des oblgatos zéro coupo qu la composet. S l vestsseur détet à la date 0 ue oblgato qu géère cas flows das le futur (les tombées de coupo et le remboursemet à l écéace), ces cas flows peuvet être cosdérés 9

10 séparémet comme oblgatos zéro coupo remboursat des coupos aux dates τ < τ 2 <... < τ < τ. C, C2,..., C, C Les prx téorques à la date 0 de ces oblgatos zéro coupo se défsset comme C p,0, p2,0,..., p,0, p,0, avec p,0 = pour =,, et avec r τ τ,0 le taux de redemet + ( r, 0 τ ) du marcé à la date 0 d ue oblgato zéro coupo de maturté τ. Le prx de marcé téorque de cette oblgato à la date 0 est doc P obl,0 = C p,0 = τ = = ( + rτ, 0 ) (3.2) s τ, alors l oblgato est plus présete das le portefeulle à la date, mas l vestsseur a déjà reçu e depus τ,, τ 2,..., τ τ. cas flows de motat C C,..., C, C, 2 s τ alors l oblgato cosdérée est ecore présete das le portefeulle : > o s < τ, alors le déteteur a reçu aucu cas flow à la date lé à la déteto de cette oblgato, mas l dspose désormas d ue oblgato de maturté τ dot le prx de marcé est C Pobl, = p, = (3.3a) τ ( r ) = = + τ, o s τ α,..., tel que τα < τα +. Le déteteur a doc reçu α cas flow à la date de motats C C,..., C α, C et, alors { }, 2 depus τ, τ 2,..., τ α, τ α. Le prx de marcé de l oblgato est alors C Pobl, = p, = τ ( r ) (3.3b) = α + = α + + τ, O costate comme pour les oblgatos zéro coupo que le prx de cette oblgato e déped pas des mêmes varables e 0 et. So prx e sera gééralemet pas le même, e partculer s la courbe des taux a pas cagé. Par exteso à l esemble du portefeulle oblgatare, pour estmer le prx de ce portefeulle, l faut décomposer caque oblgato comme précédemmet et aalyser leur stuato à la date. E résumé, compte teu du cox de l orzo et des caractérstques des oblgatos déteues e 0, ous pouvos évaluer le prx des dfféretes oblgatos à la date s ous coassos les courbes des taux futurs des zéro coupo, as que l esemble des cas flows reçus etre 0 et. Le prx futur du portefeulle oblgatare à la date est as détermé par la courbe des taux zéro coupo à la date et les cox de valorsato e des cas flows reçus etre les dates 0 et. α 0

11 Les calculs de la VaR écesstet de coaître la dstrbuto des varatos des prx de marcé du portefeulle etre 0 et. Comme le prx de marcé actuel de portefeulle est cou, l sufft d estmer la dstrbuto future des prx de ce portefeulle à partr de la dstrbuto e des dfférets facteurs de rsque du portefeulle. Or, la composto du portefeulle d vestssemet cage avec le temps à cause des oblgatos qu l comporte. Il e faut doc pas predre e compte sa composto actuelle mas celle qu l aura e. Notos, 2,..., les facteurs de rsque du portefeulle d actfs pour la pérode [ 0;], leurs valeurs,0, 2,0,...,,0 à la date 0 et,, 2,,...,, leurs valeurs e = (3.4) k, k,0 + k Soet P et P les prx de marcé du portefeulle d vestssemet respectvemet e 0 et e 0 avec P = f,,..., ) (3.5) 0 (,0 2,0, 0 g(,, 2,,...,, P = ) (3.6) f g s le portefeulle comporte des actfs oblgatares. Notos Σ la valeur e de l esemble des cas flows surveus sur la pérode [ 0;]. Nous e fasos aucue ypotèse quat à la métode d estmato de Σ. La varato de prx de ce portefeulle etre 0 et T est : P = P + Σ P (3.7) 0 Comme ous avos déf e (3.4), ous obteos P = g( +, +,..., + ) (3.8),0 2,0 2,0 Et respectvemet P = g(,0 +, 2,0 + 2,...,,0 + ) + Σ f (,0, 2,0,...,, 0 ) (3.9) Supposos que f et g sot des combasos léares des facteurs de rsque : g( f (,, 2,,...,, ),0, 2,0,...,,0 ) = b = = =, = = a,0 b,0 + [0, ] (3.0) (3.) Nous obteos alors : P = g(, 2,..., ) + Σ + g(,0, 2,0,...,,0) f (,0, 2,0,...,, 0) (3.l) Cercos l espérace de cette varato de prx du portefeulle :

12 E( + E( g( P) = E( g(,0, 2,0,...,,,0 2,..., )) E( f ( )) + E( Σ) +,0, 2,0,...,,0 )) E( P) = g( E( + E( Σ) + g(,0, ), E( 2,0,...,,0 ),..., E( ) 2 f (,0, 2,0 )) +,...,,0 ) (3.2) Le terme E Σ) + g(,,..., ) f (,,..., ) est autre que l espérace de (,0 2,0,0,0 2,0, 0 varato de prx de ce portefeulle lorsque les varatos des dfférets facteurs de rsque du portefeulle ot ue espérace ulle. Nous pouvos doc remarquer qu u portefeulle coteat des oblgatos aura jamas le même prx das le futur même s o fat l ypotèse que les codtos de marcé ot pas évolué. E résumé, pour calculer la VaR de ce portefeulle, l faut estmer la focto g, les dstrbutos des varatos des facteurs de rsque etre 0 et, et la valeur Σ k e des [ 0; ] cas flows surveus etre 0 et. Toutes ces estmatos dépedet de l orzo de calcul. Il est doc llogque de cercer à estmer la VaR à u orzo par rapport à la VaR à u orzo 2. E partculer, o e peut téorquemet pas estmer drectemet la VaR du portefeulle à a par rapport à ue estmato de la VaR du portefeulle à jour Recerce d ue mesure de rsque juste (et prudete) Le motat de la VaR déped de l estmato de l espérace du redemet du portefeulle pour l orzo cosdéré. Cette espérace exprme le tred (le drft) des prx des facteurs de rsque das le futur. La prévso de ce tred est problématque et l exste pas aujourd u de métodologe uque. Pour des pérodes courtes, l espérace est très fable. As, das la pratque, la VaR bacare est souvet calculée sur la base d ue VaR jouralère e fasat l ypotèse d ue espérace de redemet ulle. Das le secteur de l assurace, l est écessare de calculer la VaR pour des orzos plus allogés pour lesquels l espérace de redemet du portefeulle devet sgfcatve. Nous e pouvos pas predre e compte l espérace mesurée sur la base des doées storques pusqu elle est varable das le temps et déped de la logueur de la feêtre d estmato. Deux autres possbltés s offret à ous : le cox de ue espérace ulle : o se base sur l ypotèse que les dvers facteurs de rsque ot tous ue espérace ulle, et doc qu o e suppose a pror aucue évoluto favorable ou défavorable du marcé. le cox d ue espérace détermée : o déft ue espérace de portefeulle e se basat sot sur les prévsos de servces d experts dépedats (estmées solémet de la VaR ce qu garate sa fablté), sot sur u cosesus du marcé à la date de calcul (e utlsat par exemple les taux forward des oblgatos zéro coupo pour l orzo ou les formatos dutes das les optos). Ce cox est très mportat car l fluece fortemet l estmato de la VaR et doc du rsque du portefeulle. Il covet doc de l effectuer avec la plus grade prudece, e teat compte des buts recercés. 2

13 Le fat de baser les calculs de la VaR sur ue espérace prédétermée (o storque), sgfe que l o dot adapter l espérace de la varable aléatore P, et doc les espéraces des varatos des dfférets facteurs de rsque. Comme u portefeulle d vestssemet d ue socété d assurace compred des produts de taux, les facteurs de rsque peuvet être coss sot parm les prx de marcé des oblgatos zéro coupo sot parm les taux de marcé correspodats. Or, l est pas équvalet d utlser les taux de marcé ou les prx des oblgatos zéro coupo comme facteurs de rsque : l utlsato des varatos des taux comme facteurs de rsque surestme les varatos futures des prx doc sous estme le rsque de portefeulle d vestssemet ; l utlsato des varatos des prx comme facteurs de rsque surestme les varatos futures des taux doc surestme le rsque de portefeulle d vestssemet. Cosdéros ue oblgato zéro coupo remboursat et de maturté τ. Notos comme les prx de cette oblgato zéro coupo aux dates 0 et, et r et comme les taux de l oblgato zéro coupo e questo aux dates 0 et. Par défto, o a τ / τ / τ et p = + r ) doc r = ( ) et r = ( p ). τ, ( τ, τ, 0 p τ,0 Défssos les varables aléatores et Y : τ, τ, [ 0;] τ,0 r τ, p pτ,0 et τ, 0 ( + rτ, 0 = ) p τ, τ ( pτ ) = pτ, pτ,0 = (3.3) Y ( rτ ) = rτ, rτ,0 = (3.4) Le taux et le prx d ue oblgato zéro coupo sot toujours strctemet postfs ( r,, p,, > 0), doc = p ) = p p > p et Y τ,0 r τ, τ, 0 p τ ( τ τ, τ,0 τ, 0 = ( rτ ) = rτ, rτ,0 > rτ,0. Défssos respectvemet les foctos ϕ et φ sur ] p τ, 0; + [ et ] r τ, 0; + [ : ϕ( x) = ( p p φ / τ / τ τ, 0 + x) ( τ,0 ) τ ( x) ( + rτ, 0 + x) ( + rτ, 0 = ) τ (3.5) (3.6) O a Y = ϕ( ) et = φ(y ). Dérvos deux fos les foctos ϕ et φ : '' τ + (2τ + ) / τ ϕ ( x ) = ( p,0 + ) > 0 2 τ x (3.7) τ '' 2 φ ( x) = τ ( + r τ,0 + x) Les foctos ϕ et φ sot doc strctemet covexes. ( τ + 2) > 0 (3.8) 3

14 E utlsat l égalté de Jese, l vet : E( Y ) = E( ϕ ( )) > ϕ( E( )) (3.9) E( ) = E( φ ( Y )) > φ( E( Y )) (3.20) Pour estmer la VaR d u portefeulle d vestssemet comportat des oblgatos, o utlse comme facteurs de rsque sot les varatos des prx des oblgatos zéro coupo sot les varatos des taux correspodats. O cerce doc à détermer sot la lo de ( ) surestmat l espérace de ( p τ p τ ( ) sot la lo de ( ), alors o surestme l espérace de r τ r τ ). Par coséquet, s o utlse les varatos des prx des oblgatos zéro coupo comme facteurs de rsque, o surestme les varatos des taux futurs de ces oblgatos zéro coupo doc o surestme le rsque du portefeulle (o surestme la VaR). De même, s o utlse les varatos des taux des oblgatos zéro coupo comme facteurs de rsque, o surestme les varatos des prx futurs de ces oblgatos zéro coupo doc o sous-estme le rsque du portefeulle (o sous-estme la VaR) Le cox de la métode d estmato adapté pour l assurace Nous proposos das ce paragrape ue procédure de cox d ue métode d estmato de la VaR (parm celles présetées e 2.2) la meux adaptée e assurace par rapport aux proprétés des doées storques dot o dspose au momet des calculs. Cosdéros les séres de returs jouralers des dfférets facteurs de rsque. Comme ous l avos soulgé précédemmet, les séres croologques dovet être detquemet et dépedammet dstrbuées (..d.). S l ypotèse des doées..d. est erroée, l faut alors utlser des tecques permettat d estmer et de corrger l erreur de spécfcato (famlle des modèles ARCH/GARCH). Des agrégatos temporelles des processus GARCH ot été présetées par Drost et Njma (993). Néamos, d après Crstofferse, Debold et Scuerma (998) et Crstoffese et Debold (997), s l applcato de ces modèles se révèle effcace à court terme, elle devet caduque pour des orzos de prévso supéreurs à 0 jours. Le cadre restret de l artcle e permet pas de trater ce problème plus étrotemet. S les séres croologques sot detquemet et dépedammet dstrbuées, o peut utlser les métodes présetées e 2.2 pour estmer la VaR. S o peut accepter ue ypotèse supplémetare que les séres croologques des facteurs de rsque sot ormalemet et dépedammet dstrbuées (..d.), ous pouvos calculer la VaR a l orzo va l extrapolato de la VaR jouralère par «race du temps». La règle de la «race du temps» se base sur le rasoemet suvat. S les varatos des logartmes de prx sot..d., alors l( pt ) l( p t ) = ε t, doc l( pt / p t = ε ou t 2 ε d ~ ( µ, σ. S o cosdère la varato etre t- et t, o a doc l( p / ) ε. t ) = Comme les ε t sot..d., leur somme a ue varace σ 2 et u écart type règle de ) t p t = 0 2 σ t. D où la. Néamos, s cette métode est applquée à u quatle (le cas de la VaR), la 4

15 métode de race du temps exge que les doées soet ormalemet et dépedammet dstrbuées (..d.). Les explcatos détallées dépasset le cadre de ce artcle et se trouvet das Daelsso et Zgrad (2004). S o accepte l ypotèse que les séres croologques des facteurs de rsque sot ormalemet et dépedammet dstrbuées (..d.), la VaR peut être calculée avec la métode de Mote Carlo (sous codto de l applcato de la lo ormale) ou avec des métodes aalytque (basée sur la lo ormale) et de smulato storque. Das les deux derers cas, o calcule la VaR jouralère et esute o l extrapole à u orzo plus log avec la règle de. Das ue stuato cotradctore, s les séres croologques des facteurs de rsque e sot pas..d. (mas elles restet toujours..d.), o peut toujours calculer la VaR sur la base jouralère : avec la métode de Bootstrap ou avec la métode de Mote Carlo basée sur ue lo de dstrbuto suv par des séres croologque des facteurs de rsque (ex. lo de Studet). S l orzo de calcul de la VaR à log terme e rédut pas cosdérablemet le ombre K de doées storques à jours, calculé avec la formule (2.9), o peut estmer la VaR sur la base des séres croologques o-jouralères (o peut utlser drectemet les returs à jours). Das ce cas, la métode de smulato storque et la métode aalytque (basée sur ue lo dfférete de la lo ormale, ex. lo de Studet) sot admssbles. Das la pratque, elles peuvet être dffclemet applcables s o e dspose pas de doées storques sur pluseurs dzaes d aées. Les étapes de la décso cocerat le cox de la métode d estmato de la VaR adapté e assurace, décrtes c-dessus, sot représetées par l arbre de décso das l aexe. 4. RESULTATS EMPIRIQUES ET DISCUSSION Das cette parte, ous examos e pratque les calculs de la VaR pour u portefeulle d vestssemet d ue socété d assurace. Nous créeros u portefeulle fctf et ous aalyseros commet o peut estmer sa VaR, au regard des remarques fates au paragrape Les ypotèses Nous avos cos d estmer la VaR et la TalVaR pour u seul de coface de 99,5% ( q = 99,5%). Ce cox est spré par les travaux actuels sur Solvecy II. Nous avos spécfé au paragrape 3. que l estmato de la VaR état utle e assurace lorsqu o la calcule pour des orzos de tros mos (coformémet au caledrer de reportg facer) à u a (e coséquece d estmato du motat des fods propres). Nous avos doc cos d estmer la VaR pour ces deux orzos de 00 et 250 jours ouvrés ( = 00,250 ). { } 5

16 Nous baseros prcpalemet otre aalyse sur ue estmato de la VaR à la date du 3/2/2004. Comme o e dspose d u storque des facteurs de rsque qu à partr du 30/2/994, o peut calculer la VaR avec 262 doées jouralères au maxmum. Nous cosros de calculer la VaR avec des storques de doées équvaletes à, 2, 4 et 8 as ( T = 250,500,000,2000 ). { } Nous créeros u portefeulle fctf d actfs dot la composto s apparete à u portefeulle d vestssemet représetatf pour les socétés d assurace. Il comportera as 25 oblgatos fraçases à taux et coupos auels fxes et 7 dces actos sas versemet de dvdede. Nous cosdéreros que caque lge de ce portefeulle vaut 00 euros à la date d estmato de la VaR (date 0). La composto précse de ce portefeulle est doée par le tableau das l aexe 2. Nous cosssos d utlser comme facteurs de rsque de ce portefeulle les prx des 7 dfférets dces et les prx des oblgatos zéro coupo de maturté 3, 6 mos et, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 5, 20, 30 as. Coformémet au (3.0) et au (3.), les foctos f et g serot des combasos léares de ces 22 facteurs de rsque ( = 22 ). Notos doc : g(, f 22 (,0, 2,0,..., 22,0 ) = a,0 =,..., 22 ) = b, = b (, 2, 22,,0 [0, ] = = 22 + ) Nous rappelos que l utlsato des prx (et o des taux) des oblgatos zéro coupo comme facteurs de rsque présete le double avatage d obter des décompostos du portefeulle e combaso léare et de e pas sous-estmer le rsque du portefeulle. Coformémet au paragrape 3.2., les dfférets cas flows du portefeulle oblgatare ot été redstrbués sur u esemble d écéaces des oblgatos zéro coupo au dates 0 et pour détermer les coeffcets a, b et Σ. Il exste de ombreuses métodes dfféretes de mappg. Pour smplfer la démostrato, ous avos décdé d utlser la métode léare : P = 22 = b [0, ] + Σ + 22 ( b a ),0 = ou Σ représete la valeur e des cas flows versés etre les dates 0 et. E pratque, ces cas flows dovet équlbrer la trésorere de l etreprse mas pourraet auss être révests drectemet das de ouveaux actfs. Das u souc de prudece, ous cosdéreros que ces cas flows restet e trésorere de l etreprse. Σ est doc égale à la somme algébrque des cas flows surveus etre les dates 0 et. Nous e fasos pas d ypotèse sur ue évoluto favorable ou défavorable du marcé doc ous supposos que les dfférets facteurs de rsque ot ue espérace ulle à jours (vor paragrape 3.2.2) : E = 0 [0, ] 6

17 O peut alors détermer l espérace de ce portefeulle etre les dates 0 et, sot : E 22 ( P) = Σ + ( b a ),0 = Lorsqu o calcule cette espérace pour ue estmato à la date du 3/2/2004, o obtet des espéraces très fables vore égatves, ce qu démotre que le cox d évaluer les cas flows futurs par leur somme algébrque est très prudet : E( P) = +0,37 euros sot +0,0% [0;00] E( P) = -0,42 euros sot 0,0% [0;250] 4.2 Le cox de la métode d estmato Nous suvros l arbre de décso du paragrape pour cosr les métodes d estmato de la VaR et de la TalVaR les plus adaptées au portefeulle fctf. Comme u orzo de calculs est plus mportat de 0 jours, l utlsato des modèles ARCH/GARCH pour corrger ue possble erreur de spécfcato devet caduque. Pour pouvor calculer la VaR, les returs jouralers de toutes les séres des facteurs de rsque dovet être detquemet et dépedammet dstrbuées (..d.). S ous acceptos que les séres de returs sot ormalemet et dépedammet dstrbuées (..d), ous pouvos utlser au cox : ue métode aalytque (basée sur la lo ormale) pour calculer la VaR jouralère pus sa multplcato par 00 ou 250 ; ue métode de smulato storque pour estmer la VaR jouralère pus sa multplcato par 00 ou 250 ; ue métode de Mote Carlo basée sur la lo ormale. S ous e supposos pas que les séres des returs jouralers de tous les facteurs de rsques sot ormalemet et dépedammet dstrbuées (..d), ous sommes oblgés de cosr ue métode de Bootstrap ou de Mote Carlo (basée sur ue lo dfférete de la lo ormale). Cette cotrate est provoqués par ue logueur de l storque K trop fable pour pouvor calculer la VaR sur la base des returs à jours. L applcato de la formule (2.0) doe respectvemet ue storque des 26 doées pour = { 00} et 0 doées pour = { 250}. Pour des rasos de smplfcato, ous goreros les calculs de la VaR avec ue métode de Mote Carlo et ous cosros seulemet ue métode de Bootstrap. Das le cas des calculs de la VaR avec des métodes de trage (Mote Carlo et Bootstrap), le motat de la VaR se stablse à partr de smulatos (vor grapque 2 de l aexe 2). Les exemples de os smulatos, calculés avec smulatos, garatsset doc ue boe précso de l estmato de la VaR. 7

18 Le cox des quatre métodes d estmato de la VaR présete l avatage de pouvor comparer : les résultats obteus avec les métodes utlsat l extrapolato de la VaR jouralère va la règle de «race du temps» (métode storque et métode aalytque) avec ceux ssus des calculs avec les métodes de smulatos aléatores des futurs returs jouralers (métode de Mote Carlo et métode de Bootstrap) ; ou les motats obteus avec les métodes utlsat drectemet les returs réels des facteurs de rsques (métode storque et métode de Bootstrap) avec les cffres veus des estmatos par les métodes utlsat la matrce de varace-covarace des facteurs de rsque (métode aalytque et métode de Mote Carlo). 4.3 Aalyse des résultats Cosdéros tout d abord l esemble de ce portefeulle fctf au 3/2/2004. Sa valeur de marcé est d evro 409 euros. Le tableau 2 de l aexe 2 rassemble les motats de la VaR et de la TalVaR estmées par les quatre métodes pour des orzos de 00 et 250 jours ouvrés, e utlsat des storques T de talles 250, 500, 000 et ef 2000 jours ouvrés. Le grapque 3 de l aexe 2 motre plus précsémet les queues des foctos de répartto des varables aléatores P, obteus lors de ces dfféretes estmatos. [ 0;] E se basat sur otre exemple emprque, l apparaît que la métode qu doe les résultats les plus pessmstes est la métode de smulato storque et celle qu doe les résultats les plus optmstes est la métode de Mote Carlo. Les motats de la TalVaR à 99,5% gardet la même proporto par rapport aux motats de la VaR. Ils sot stables das le cas d ue métode storque car o dspose d u pett ombre de smulatos pour les estmer. Les tros autres métodes motret que la TalVar au seul de 99,5% est supéreure d au mos 0% à la VaR au même seul. Les résultats des dfféretes estmatos sot très dépedats des orzos recercés et de la talle T des doées storques utlsées. Il est mpossble de juger l effcacté des dfféretes métodes d estmatos sur ue seule date d estmato. Nous avos doc étudé l évoluto au cours du temps des estmatos de la VaR par ces quatre métodes pour les mêmes orzos et les mêmes talles d storque. La parte oblgatare de otre portefeulle fctf aurat pas la même composto à dfféretes dates. Nous avos doc cos de e cosdérer que la parte dce acto qu géère la majeure parte du rsque de ce portefeulle et qu dspose de surcroît d u storque plus mportat. Le grapque 4 de l aexe 2 motre as l évoluto sur pluseurs aées des estmatos de la VaR par les quatre métodes (pour des orzos de 00 jours pus de 250 jours e utlsat des talles d storque T dfféretes). Les résultats obteus sot comparés avec les returs réels de ce portefeulle d actos d ue valeur de 700 euros à caque date d estmato. Remarquos tout d abord que les actos, plus volatles que les prx des oblgatos zéro coupo, géèret la majeure parte du rsque d u portefeulle. Le veau de la VaR obteue au 3/2/2004 représete plus de 0% à 00 jours et plus de 7% à 250 jours de la valeur du portefeulle d actos alors qu l est féreur à 4% et 6% respectvemet sur l esemble du portefeulle. 8

19 Il apparaît de otre exemple emprque que les estmatos sot très dépedates pour u même orzo de la talle T de l storque utlsé. La valeur de T déterme la réactvté de l estmato de la VaR à l évoluto du marcé. E effet, plus T est mportat, mos les doées statstques de la feêtre storque utlsée varet au cours du temps, doc la dstrbuto estmée de la varable P, et so quatle à 0,5%, sot plus stables das le [ 0;] temps. Cette stablté est plus mportate pour les métodes utlsat la matrce de varacecovarace (métode aalytque et métode de Mote Carlo) que pour les métodes utlsat drectemet les returs storques des facteurs de rsque (métode storque et métode de Bootstrap). Or, s l semble mportat que l estmato de la VaR calculée pour u rsque d actfs d ue compage d assurace pusse réagr actvemet à ue évoluto du marcé, l faut auss que l estmato sot suffsammet stable à terme pour e pas dépedre uquemet de la date d estmato. Le tableau 3 de l aexe 2 présete les ombres (e pourcetages) de jours pour lesquels des estmatos de la VaR et de la TalVaR ot été suffsates. Ces cffres représetet les pourcetages des jours où le motat de la VaR et de la TalVaR a été supéreur au regard des returs effectfs du portefeulle, costatés 00 et 250 jours après les dates d estmato. Nous jugeros qu ue métode est suffsammet prudete dès lors que so pourcetage de défallace est féreur ou égal à 0,5%. Le tableau motre que toutes les métodes peuvet être jugées suffsammet prudetes pour estmer la VaR ou la TalVaR à 250 jours de ce portefeulle. A 00 jours, o peut juger que les métodes de Bootstrap et de Mote Carlo estmet pas suffsammet be le rsque du portefeulle, pusque storquemet leurs estmatos de la VaR ot été dépassées das evro % des cas. Cepedat, l faut oter que otre aalyse est basée sur l ypotèse que les dfférets dces ot ue espérace ulle sur la pérode d estmato. Le fable dépassemet du seul de coface pourrat être aulé par l utlsato d espéraces atcpées des facteurs de rsque. Il apparaît das otre exemple que l utlsato d u storque de 2000 jours ouvrés, et das ue modre mesure de 000 jours ouvrés, e permet pas de mesurer effcacemet le rsque du portefeulle. Il faut doc utlser des feêtres storques de talle féreure pour obter des estmatos plus réactves aux évolutos de marcé. Par alleurs, l utlsato de la TalVaR permet de dépasser le seul de coface à 99,5% avec toutes les métodes d estmato. O peut doc juger l effcece des dfféretes métodes sur leur capacté à e pas surestmer le rsque du portefeulle. As les métodes de smulato de Mote Carlo et de Bootstrap sot celles qu foursset e moyee les estmatos de VaR de TalVaR les mos élevées. Cepedat, elles sot parfos prses e défaut : leur utlsato écesste doc ue valdato. A cotraro, les métodes aalytque et storque, qu extrapolet la VaR jouralère avec la «race du temps», e sot quasmet jamas prses e défaut, mas doet des veaux de VaR et de TalVaR très élevés, otammet à 250 jours, et surestmet doc le rsque du portefeulle de maère sgfcatve. E se basat sur otre exemple emprque, la métode aalytque ous paraît être le meux adapté à l orzo de calculs de 00 jours, tads que pour des orzos plus logs ( = {250}) ous costatos la prédomace des métodes de smulato (métode de Mote 9

20 Carlo et métode de Bootstrap). Nous soulgos que cette costatato est effectuée sur la base de otre portefeulle fctf et e peut pas être gééralsée. 5. CONCLUSIONS Das cet artcle, ous avos aalysé les possbltés d adaptato de la VaR e assurace. Nous avos spécfé das ue parte téorque les codtos sous lesquelles la VaR peut être ue boe mesure de rsque d actfs à log terme (supéreur à 3 mos) e preat e compte les spécfctés des portefeulles d vestssemet des assureurs. Nos coclusos sot les suvates : la présece des produts de taux das u portefeulle d vestssemet cause le cagemet de la décomposto du portefeulle au cours du temps. Ce cagemet de structure des actfs dot être prs e compte pusqu l modfe le rsque et mpacte le motat de la VaR ; les calculs de la VaR à log terme soulèvet l mportace du cox de l espérace de redemet (exprmat le tred de caque facteur de rsque das le futur) qu déterme le motat fal de la VaR. Nous spécfos as deux possbltés : le cox de l espérace ulle ou le cox de l espérace détermée. L utlsato de l espérace basée sur les estmatos storques ous paraît source d erreur. Par alleurs, le cox des facteurs de rsque etre les prx et les taux des oblgatos zéro coupo pour des actfs oblgatares fluece égalemet l espérace, respectvemet surestmat ou sous-estmat le motat de la VaR ; certaes métodes d estmatos de la VaR e peuvet pas servr à calculer la VaR e assurace. Nous proposos u arbre de décsos du cox de la métode la meux adaptée par rapport aux proprétés des doées storques dot o dspose au momet du calcul de la VaR. L étude emprque sur u portefeulle fctf fat apparaître des dfféreces cosdérables das la mesure de rsque d actfs par rapport à la métode d estmato cose. L aalyse motre auss la sesblté des résultats par rapport à la logueur de la feêtre storque utlsée et à la logueur de l orzo d estmato de la VaR. Les ssues des smulatos suggèret que : les métodes utlsat l extrapolato de la VaR jouralère va la règle de la «race du temps» semble être e moyee plus pessmstes que les métodes de smulatos aléatores des futurs returs jouralers ; les métodes utlsat la matrce de varace-covarace des facteurs de rsque semblet être plus stables das le temps que les métodes utlsat drectemet les returs réels des facteurs de rsque ; l allogemet de l storque des doées red la VaR plus stable das le temps (doc mos réactve). La logueur optmale de cet storque se stue autour d u a ou deux as. L utlsato d ue feêtre storque plus logue (4 as et 8 as) e permet pas de mesurer le rsque de faço effcace ; la TalVaR est ue mesure de rsque prudete das tous les cas. E cocluso, les modèles de la VaR peuvet offrr aux socétés d assurace u outl effcace pour estmer le rsque de marcé de leurs portefeulles d actfs à moye et à log terme. Cepedat, pour que ces métodes de calculs de la VaR soet u strumet fable de mesure de solvablté e assurace, elles demadet certaes adaptatos. 20

21 Das le prologemet de otre aalyse, pluseurs voes de recerce téressates s ouvret das la maère de mesurer le rsque de solvablté e assurace, va les métodes de la VaR. Les pstes les plus mportates à explorer ous parasset être la mesure du rsque actf-passf (ALM) et la mesure du rsque opératoel. 2

22 BIBLIOGRAPHIE Albert, P., Barle, H., Kog, A. (996), Value-at-Rsk: a rsk teoretcal perspectve wt focus o applcatos te surace dustry, Cotrbuto to te 6 t AFIR Iteratoal Colloquum, Nurberg. Alexader, G., Baptsta, A. (2003), CVaR as a mesure of rsk: mplcatos for portfolo selecto, EFA 2003 Aual Coferece Paper No Crstofferse, P., Debold, F., Scuerma, T. (998), Horzo problems ad extreme evets facal rsk maagemet, Facal Isttutos Ceter, Te Warto Scool, Uversty of Pesylvaa, Workg Paper. Crstofferse, P., Pelleter, D. (2003), Backtestg Value-at-Rsk: a durato-based approac, CIRANO Workg Papers No. 2003s-05. Crstoffese, P., Debold, F. (997), How relevat s volatlty forecastg for facal rsk maagemet?, Facal Isttutos Ceter, Te Warto Scool, Uversty of Pesylvaa, Workg Paper. Crstoffese, P., Gocalves, S. (2004), Estmato rsk facal rsk maagemet, CIRANO Workg Papers No. 2004s-5. Daelso, J., Zgrad, J.P. (2004), O tme-scalg of rsk ad te square-root-of-tme rule, EFA 2004 Maastrct Meetgs Paper No Drost, F., Njma, T. (993), Temporal aggregato of GARCH processes, Ecoometrca, vol. 6(4), p Egle, A., Magaell, S. (2000), CAVaR: Codtoal Autoregressve Value at Rsk by regresso quatles, mauscrpt, NYU Ster ad ECB. Gocalves, S., Kla, L. (2003), Bootstrappg autoregressos wt codtoal eteroskedastcty of ukow form, Departemet de sceces ecoomques, Uversté de Motreal, Caers de recerce. Joro, P. (200), Value at Rsk, Secod Edto, McGraw Hll. Kupec, P. (995), Tecques for verfyg te accuracy of rsk measuremet models, Joural of Dervatves, 3, Scroder, M. (996), Te Value at Rsk approac: proposals o a geeralzato, Cotrbuto to te 6 t AFIR Iteratoal Colloquum, Nurberg. Ufer, W. (996), Te «Value at Rsk» cocept for surace compaes, Cotrbuto to te 6 t AFIR Iteratoal Colloquum, Nurberg. 22

23 ANNEE : L ARBRE DE DECISION DU CHOI DE LA METHODE DE CALCULS DE LA VALUE-AT-RISK EN ASSURANCE Séres croologques des returs jouralers des facteurs de rsque OUI Séres detquemet et dépedammet dstrbuées NON Séres..d. Correctos des erreurs de spécfcato (va modèles ARCH/GARCH) OUI Séres ormalemet et dépedammet dstrbuées NON OUI Logueur de l orzo <0 NON Métode de Mote Carlo (basée sur la lo ormale) OUI Calcul de la VaR sur la base des doées jouralères NON Estmato et prévso va le modèle ARCH/GARCH Aucue métode e covet Ou Calculs de la VaR jouralère et extrapolato par «race du temps» - Métode storque - Métode aalytque (basée sur la lo ormale) Métode Bootstrap Métode de Mote Carlo (basée sur ue lo dfférete de la lo ormale) NON Logueur de l storque K suffsate OUI Métode storque Métode aalytque (basée sur ue lo dfférete de la lo ormale) 23

24 ANNEE 2 : TABLEAU ET GRAPHIQUES Tableau : Portefeulle d vestssemets fctf (toutes les valeurs e EUR) Code ISIN Ttre Maturté Coupo Valeur d'acat au auel 3/2/2004 FR OAT Taux fxe 28/02/05 5,75 00 FR OAT Taux fxe 08//05 4,75 00 FR OAT Taux fxe 25//05 8,25 00 FR OAT Taux fxe 06/02/06 5,25 00 FR OAT Taux fxe 06/03/06 8,25 00 FR OAT Taux fxe 25/04/06 6,75 00 FR OAT Taux fxe 5/06/06 4, FR OAT Taux fxe 27/09/06 6,5 00 FR OAT Taux fxe 08/0/07 6,8 00 FR OAT Taux fxe 30/0/07 6,25 00 FR OAT Taux fxe 09/05/07 5, FR OAT Taux fxe 25/0/07 6,25 00 FR OAT Taux fxe 3/0/08 5,25 00 FR OAT Taux fxe 2/08/08 6,75 00 FR OAT Taux fxe 05//08 6,25 00 FR OAT Taux fxe 05/02/09 5, FR OAT Taux fxe 2/07/09 5,8 00 FR OAT Taux fxe 05/02/0 6,7 00 FR OAT Taux fxe 0//0 6, FR OAT Taux fxe 25/04/2 5,25 00 FR OAT Taux fxe 20/06/3 4, FR OAT Taux fxe 09/0/6 5, FR OAT Taux fxe 30/0/7 5,25 00 FR OAT Taux fxe 04/0/2 5,75 00 FR OAT Taux fxe 25/04/29 5,5 00 Code ISIN Ttre Valeur das le portefeulle à la date d'estmato de la VaR CAC CAC 40 Idex 00 INDU DOW JONES INDUSTRIAL AVERAGE 00 NKY NIKKEY CCMP NASDAQ Composte Idex 00 MEBOL Mexca Stock Excage Mexca Bolsa Idex 00 MSEUEU MSCI EU 00 EPRA EPRA Europe Prce Idex 00 24

25 Tableau 2 : Les motats de la VaR(99,5%) et de la TalVaR(99,5%) calculés pour u portefeulle total d u motat de 409 = logueur de l orzo d estmato de la VaR et de la TalVaR (jours ouvrés) T = logueur de la feêtre storque (jours ouvrés) Rato=TalVaR(99,5%)/VaR(99,5%) Métode aalytque Métode storque Métode de Mote Carlo Métode de Bootstrap T VaR -63,40-69,4-86,86-2, -240,97-248,94-282,23-38,59 TalVaR -83,47-90,22-209,8-237,04-270,57-279,52-36,89-357,72 Rato,2,2,2,2,2,2,2,2 VaR -200,66-246,40-236,72-244,64-304,8-355,28-348,64-368,20 TalVaR -233,37-257,87-248,34-297,3-34,20-368,00-366,5-450,30 Rato,6,05,05,2,2,04,05,22 VaR -60,98-67,49-78,53-200,98-227,90-237,73-258,3-290,02 TalVaR -79,3-86,77-99,59-223,52-257,05-260,75-285,43-37,39 Rato,,2,2,,3,0,0,09 VaR -66,28-7,98-8,63-205,00-253,06-272,09-272,05-3,47 TalVaR -86,70-92,34-200,97-228,0-283,4-306,8-299,6-346,92 Rato,2,2,,,2,3,0, Grapque 2 : Précso de l estmato de la VaR(99,5%) et de la TalVaR(99,5%) avec des métodes de Bootstrap et de Mote Carlo e focto du ombre des smulatos 5,00% Métode de Mote Carlo - VaR(99,5%) 5,00% Métode de Mote Carlo - TalVaR(99,5%) 0,00% 0,00% 5,00% 5,00% 0,00% -5,00% ,00% -5,00% ,00% -0,00% -5,00% -5,00% 5,00% Métode de Bootstrap - VaR(99,5%) 5,00% Métode de Bootstrap - TalVaR(99,5%) 0,00% 0,00% 5,00% 5,00% 0,00% -5,00% ,00% -5,00% ,00% -0,00% -5,00% -5,00% 25

26 Grapque 3 : Les queues des foctos de répartto obteus va quatre métodes de calcul de la VaR = logueur de l orzo d estmato de la VaR (jours ouvrés) T = logueur de la feêtre storque (jours ouvrés) 26