CORRIGÉ DU BREVET BLANC 2011 Épreuve : MATHÉMATIQUES Collège Simone De Beauvoir Durée : 2 heures

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1 CORRIGÉ DU BREVET BLANC 2011 Épreuve : MATHÉMATIQUES Collège Simone De Beauvoir Durée : 2 heures Numéro de candidat : L'épreuve est notée sur 40 points. Elle est constituée de trois parties indépendantes à traiter dans l'ordre que l'on veut : - La première partie ( Activités numériques ) est notée sur 12 points. - La deuxième partie (Activités géométriques ) est notée sur 12 points. - La troisième partie ( Problème ) est notée sur 12 points. - La présentation de votre copie et la clarté des raisonnements seront notées sur 4 points. Il est rappelé que toute réponse doit être justifiée. L usage des calculatrices est autorisé. Il faut rendre le sujet avec vos copies à la fin de l épreuve. 1 ère partie : Activités numériques 12 points Exercice 1 (8 points = 8 1) (Attention : l ordre des questions était différent suivant les sujets) Trouver la bonne réponse parmi les 3 proposées. Écrire le numéro 1, 2 ou 3 dans la dernière case. Aucune justification n est attendue Le barème de cet exercice est le suivant : 1 point par bonne réponse ; - 0,25 par réponse fausse ; 0 point s il n y a pas de réponse. A + est égal à : 2 15 B 1 est égal à : Réponse 0, C (1+ 2)² est égal à : 1² + 2² D Pour tout nombre, 2 3 est égal à : ² ² 9 4² E F Pour tout nombre, ² 100 est égal à : Quel est le développement de : ? ² 50² G H est égale à : 1 L écriture sous forme scientifique de : est : 1,4 10 1,4 10 1, /7

2 Exercice 2 (4 points = ,5 + 0,5) 1 Compléter chaque case du tableau par oui ou par non est divisible par Non Oui Oui 774 est divisible par Oui Non Oui 322 est divisible par Oui Non Non 368 est divisible par Oui Non Non Sujet 1 Sujet 2 2 D après ce tableau, les fractions sont-elles irréductibles? Pourquoi? (Sujet 1) 774 et 1035 sont divisibles par 9. Ces deux nombres ne sont donc pas premiers entre eux. La fraction De même, 322 et 774 sont divisibles par 2 et la fraction n est pas irréductible. 2 D après ce tableau, les fractions sont-elles irréductibles? Pourquoi? (Sujet 2) 774 et 1035 sont divisibles par 9. Ces deux nombres ne sont donc pas premiers entre eux. La fraction De même, 368 et 774 sont divisibles par 2 et la fraction n est pas irréductible. 3 Calculer le PGCD de 322 et 1035 par la méthode de votre choix. (Sujet 1) Par l algorithme d Euclide : Par la méthode des soustractions successives : = = = = = = = = = = = = 23 Ainsi PGCD ( 368 ; ) = = = 0 3 Calculer le PGCD de 322 et 1035 par la méthode de votre choix. (Sujet 2) Par l algorithme d Euclide : Par la méthode des soustractions successives : = = = = = = = = = = = = 46 Ainsi PGCD ( 368 ; ) = = = 0 2/7

3 4 La fraction est elle irréductible? Pourquoi? (Sujet 1) 322 et sont divisibles par 23 et la fraction Non demandé : Puisque 322 : 23 = 14 et : 23 = 45 on a : = = L écriture irréductible de est. 4 La fraction est elle irréductible? Pourquoi? (Sujet 2) 368 et sont divisibles par 23 et la fraction Non demandé : Puisque 368 : 23 = 16 et : 23 = 45 on a : = = L écriture irréductible de est. 2 ème partie : Activités géométrique 12 points Exercice 1 (4 points = 1, ,5) Démontrer, pour chacune des trois figures ci-dessous, que le triangle ABC est un triangle rectangle en utilisant les informations fournies. Figure 1 : AB 2 + AC 2 = = = BC 2 = 50 2 = Puisque AB 2 + AC 2 = BC 2, d après la réciproque de la propriété de Pythagore, je déduis que le triangle ABC est rectangle en A. Figure 2 : Figure 3 : Puisque les droites (DE) et (AC) sont parallèles et puisque la droite (DE) est perpendiculaire à la droite (AD), je déduis que la droite (AD) est aussi perpendiculaire à la droite (AC). Le triangle ABC est donc rectangle en A. Puisque l angle inscrit intercepte le même arc que l angle inscrit, je déduis = =. + = + =. Puisque les angles et sont complémentaires, je déduis que le triangle ABC est rectangle en A. 3/7

4 Exercice 2 (3 points = ) 1 Construire un triangle ABC tel que BC = 7cm, =37 et =53. A B cm C 2 Prouver que ce triangle est un triangle rectangle. + = + =. Puisque les angles et sont complémentaires, je déduis que le triangle ABC est rectangle en A. 3 Calculer la longueur CA puis donner la valeur arrondie au mm. Dans le triangle rectangle ABC, soit soit ainsi Exercice 3 (5 points = ) = = = AC 5,6 cm (Arrondi à 0,1 près.) Sur la figure ci-contre : - les points K, A, F, C sont alignés ; les points G, A, E, B sont alignés ; - les droites (EF) et (BC) sont parallèles ; - AB = 5 ; AC = 6,5 ; AE = 3 ; EF = 4,8 ; AK = 2,6 et AG = 2. 1 Démontrer que BC = 8. Puisque les points A, F et C sont alignés, les points A, Eet B sont alignés et puisque les droites (EF) et (BC) sont parallèles, d après la propriété de Thalès, on déduit donc = et =, = =, 2 Tracer en vraie grandeur la figure complète en prenant comme unité le centimètre. = = K G 2,6 cm 2 cm A 5 cm E 3 cm 6,5 cm F B 8 cm C 4/7

5 3 Les droites (KG) et (BC) sont-elles parallèles? Justifier. = =,, mais,=,= donc = Puisque les droites (BG) et (CK) sont sécantes en A, les points G A B et K A C sont alignés dans le même ordre et puisque =, d après la réciproque de la propriété de Thalès, on déduit que les droites (BC) et (KG) sont parallèles. 4 Les droites (AC) et (AB) sont-elles perpendiculaires? Justifier. Dans le triangle ABC : AB 2 + AC 2 = ,5 2 = ,25 = 67,25 et BC 2 = 8 2 = 64 Puisque AB 2 + AC 2 BC 2, d après la contraposée de la propriété de Pythagore, on déduit que le triangle ABC n est pas rectangle en A. Les droites (AC) et (AB) ne sont donc pas perpendiculaires. Les parties I, II et III sont indépendantes ; 3 ième partie : Problème 12 points Partie I ( 6 points ) En octobre 2010, un groupe de 25 amis a participé à un semi-marathon (course de 21 km). Le tableau ci-dessous précise les résultats du groupe (sauf pour le nombre d amis ayant mis 120 minutes pour faire la course). Il indique par exemple que 2 de ces amis ont couru ce semi-marathon en 105 minutes. Durées en minutes Effectifs (nombre de coureurs) Montrer que trois coureurs ont mis 120 minutes pour faire le semi-marathon. (0,5) = = 3 Trois coureurs ont donc mis 120 minutes pour faire le semi-marathon. 2 Quel est le pourcentage de coureurs ayant mis 110 minutes pour faire le semi-marathon? (1) =,= 20 % des coureurs ont mis 110 minutes pour faire le semi-marathon. 5/7

6 3 Sur le quadrillage ci-dessous, faire un diagramme en bâton qui représente la situation. ( Indiquer sur l axe des ordonnées, le nombre de coureurs en choisissant 2 carreaux pour représenter un coureur et espacer les bâtons de 4 carreaux sur l axe des abscisses.) (2) 8 Nombre de coureurs Temps de parcours (min) On a défini ci-avant la série statistique donnant la durée de la course des coureurs. a) Calculer la moyenne de la série (le temps moyen de parcours). (1) = Le temps moyen de parcours est de 102 minutes. = = b) Calculer l étendue de la série. (0,5) = 30 L étendue des temps moyens de parcours est de 30 minutes. c) Déterminer la médiane de la série (le temps médian de parcours). (0,5) 25 : 2 = 12,5 La médiane est donc la 13 ème valeur. Le temps médian de parcours est de 100 minutes. d) Déterminer le premier quartile de la série. (0,5) 25 : 4 = 6,25 Le premier quartile est donc la 7 ème valeur, soit de 95 minutes. 6/7

7 Partie II ( 3 points = 3 1 ) On rappelle que dans un mouvement uniforme (mouvement effectué à une vitesse constante), si v désigne la vitesse du mobile en km/h, t le temps en heures et d la distance en kilomètres, on a alors la relation : =. 1 Fabien, l un des participants, a parcouru les 21 km à la vitesse constante de 12 km/h. Déterminer en minutes la durée de la course de Fabien. = donc = La durée de la course de Fabien est de 1h45min ainsi = =,=h + 0,75 60 min = 1 h 45 min 2 On s intéresse à la distance en km séparant Fabien de la ligne d arrivée après x minutes de course ( 0 x 105 ). On note y cette distance et on admet que y = 21 0,2 x a) Quelle distance sépare Fabien de la ligne d arrivée après une heure de course? 1 h = 60 min 21 0,2 60 = = 9 Après une heure de course, 9 km sépare Fabien de la ligne d arrivée. b) Quel temps sépare Fabien de la ligne d arrivée après 13 km de course? = 8 Après 13 km de course il lui reste 8 km à parcourir à la vitesse de 12 km/h. = ainsi = = donc = Après 13 km de course, Fabien doit encore courir 40 minutes. On suppose dans cette partie que : = Partie III ( 3 points = 3 1 ) - les 9 premiers kilomètres sont en montée, les 12 autres sont en descente. = - Laurent a parcouru les 9 premiers kilomètres en 40 minutes et les 12 derniers en 50 minutes 1 Calculer en km par heure la vitesse moyenne de Laurent en montée. = donc = /= /= La vitesse moyenne de Laurent en montée est de 13,5 km/h. 2 Calculer en km par heure la vitesse moyenne de Laurent en descente. = donc = /= /=13,5 km/h /= /=14,4 km/h La vitesse moyenne de Laurent en descente est de 13,5 km/h. 3 Calculer en km par heure la vitesse moyenne de Laurent sur le parcours total. = donc = /= /= /=14 km/h La vitesse moyenne de Laurent sur le parcours total est de 14 km/h. 7/7