UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire Corrigé des exercices de mise à niveau en Mathématiques

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1 UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire L1 Économie Cours de M. Desgraupes Corrigé des exercices de mise à niveau en Mathématiques Séance 01 : Calcul algébrique Corrigé ex. 1 : Inéquation (x + 2) 2 (x 1) 2 < 1 Le numérateur (x 1) 2 étant positif, on peut le faire passer à droite sans changer le signe de l inégalité. On obtient : On développe les carrés : (x + 2) 2 < (x 1) 2 x 2 + 4x + 4 < x 2 2x + 1 En mettant tous les x dans le membre de gauche, on obtient : 6x < 3 x < 1 2 Corrigé ex. 2 : Inéquation 1 x 1 1 x + 1 < 1 Cette expression n est pas définie pour x = ±1. On commence par la réduire au même dénominateur : 2 (x 1)(x + 1) < 1 La quantité au dénominateur est négative si x ] 1, 1[ et positive à l extérieur de cet intervalle. On va distinguer les deux cas. Si x ] 1, 1[ On fait passer le dénominateur à droite, ce qui renverse le sens de l inégalité puisqu il est négatif : 2 > (x 1)(x + 1) 2 > x 2 1 x 2 < 3 Cette dernière condition est vérifiée puisque x ] 1, 1[ signifie que x 2 < 1. Dans ce cas, l inégalité est vérifiée. Si x ] 1, 1[

2 On fait passer le dénominateur à droite sans changer le sens de l inégalité puisqu il est positif : 2 < (x 1)(x + 1) 2 < x 2 1 x 2 > 3 Ceci implique que soit x > 3, soit x < 3 Finalement, l ensemble des solutions est ], 3[ ] 1, 1[ ] 3, + [ Corrigé ex. 3 : Inéquation x 1 x + 2 < x + 2 x 1 Pour que ces expressions aient un sens, il faut bien sûr supposer que x 2 et x 1. On va distinguer trois cas : Si x < 2 Les deux dénominateurs sont négatifs. En les changeant de membre, on change deux fois le sens de l inégalité et on obtient (x 1) 2 < (x + 2) 2 x 2 2x + 1 < x 2 + 4x + 4 6x > 3 x > 1 2 Cette condition est contradictoire si x < 2. Donc pas de solution dans ce cas. Si x ] 2, 1[ Dans ce cas (x + 2) est positif mais (x 1) est négatif. On renverse donc le sens de l inégalité : (x 1) 2 > (x + 2) 2 x 2 2x + 1 > x 2 + 4x + 4 6x < 3 x < 1 2 Les solutions sont donc dans l intervalle ] 2, 1 2 [. Si x > 1 Les deux dénominateurs sont positifs. On les change de membre sans changer le sens de l inégalité et on obtient comme dans le premier cas (x 1) 2 < (x + 2) 2 x 2 2x + 1 < x 2 + 4x + 4 6x > 3 x > 1 2 Cette condition est toujours vraie puisque x > 1. Finalement, l ensemble des solutions est ] 2, 1[ ]1, + [ 2

3 Corrigé ex. 4 : Équation (x 1)(x + 2) = 2x 2 8. On pourrait développer et regrouper les x pour arriver à une équation du second degré mais ici il est plus astucieux de factoriser comme ceci : (x 1)(x + 2) = 2x 2 8 = 2(x 2 4) = 2(x 2)(x + 2) Les deux membres ont en commun le terme (x + 2) donc une solution est x = 2. Autrement, on peut simplifier par (x + 2) et il reste : (x 1) = 2(x 2) x = 3 Il y a finalement deux solutions : -2 et 3. Corrigé ex. 5 : Identité a Il faut montrer l identité suivante : a = (a 2 2a + 2)(a 2 + 2a + 2) On part du membre de gauche et on utilise des identités remarquables : ( )( ) (a 2 2a + 2)(a 2 + 2a + 2) = (a 2 + 2) 2a (a 2 + 2) + 2a = ((a 2 + 2) 2 4a 2) = a 4 + 4a a 2 = a Corrigé ex. 6 : Identité a 4 b 4 a 4 b 4 = (a + b)(a 3 a 2 b + ab 2 b 3 ) et a 4 b 4 = (a b)(a 3 + a 2 b + ab 2 + b 3 ) Il suffit de développer les expressions de droite et d éliminer les termes qui se simplifient deux à deux : (a + b)(a 3 a 2 b + ab 2 b 3 ) = a 3 (a + b) a 2 b (a + b) + a b 2 (a + b) b 3 (a + b) = a 4 + a 3 b a 3 b a 2 b 2 + a 2 b 2 + ab 3 b 3 a b 4 = a 4 b 4 On procède de même avec l autre expression : (a b)(a 3 + a 2 b + ab 2 + b 3 ) = a 3 (a b) + a 2 b (a b) + a b 2 (a b) + b 3 (a b) = a 4 a 3 b + a 3 b a 2 b 2 + a 2 b 2 ab 3 + b 3 a b 4 = a 4 b 4 3

4 Corrigé ex. 7 : Identité a 6 b 6 a 6 b 6 = (a + b)(a b)(a 2 + ab + b 2 )(a 2 ab + b 2 ) On part de l expression de droite et on applique les identités remarquables : ( )( ) (a + b)(a b)(a 2 + ab + b 2 )(a 2 ab + b 2 ) = (a 2 b 2 ) (a 2 + b 2 ) + ab (a 2 + b 2 ) ab = (a 2 b 2 ) ((a 2 + b 2 ) 2 a 2 b 2) = (a 2 b 2 )(a 4 + a 2 b 2 + b 4 ) = a 6 + a 4 b 2 + a 2 b 4 b 2 a 4 a 2 b 4 b 6 = a 6 b 6 Corrigé ex. 8 : Identité de Brahmagupta (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = (ad + bc) 2 + (ac bd) 2 Il faut développer chacun des deux membres et les comparer. Le membre de gauche conduit à : (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 Le membre de droite conduit à : a 2 d 2 + 2adbc + b 2 c 2 + a 2 c 2 2acbd + b 2 d 2 = a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 Les deux membres sont bien identiques. Cette identité s interprète en disant que le produit de deux nombres qui sont une somme de deux carrés est lui aussi un nombre qui est la somme de deux carrés et la formule indique comment se décompose ce nombre produit. Prenons l exemple des nombres 5 et 10. Ils sont bien somme de deux carrés puisque 5 = et 10 = Avec la notation de la formule, on a donc ici a = 2, b = 1, c = 3, d = 1. On calcule donc les quantités : { ad + bc = 5 ac bd = 5 On constate effectivement que le produit 5 10 = 50 = Remarque : tout nombre entier ne s écrit pas forcément comme une somme de deux carrés. En revanche, le théorème des quatre carrés de Lagrange stipule que tout entier positif peut s exprimer comme la somme de quatre carrés. 4

5 Corrigé ex. 9 : Identité de Lagrange (a 2 + b 2 + c 2 )(a 2 + b 2 + c 2 ) = (aa + bb + cc ) 2 + (ab a b) 2 + (bc b c) 2 + (ca c a) 2 Il faut développer chacun des deux membres et les comparer. Le membre de gauche conduit à : (a 2 + b 2 + c 2 )(a 2 + b 2 + c 2 ) = ( a 2 + b 2 + c 2) a 2 + ( a 2 + b 2 + c 2) b 2 + ( a 2 + b 2 + c 2) c 2 = a 2 a 2 + b 2 a 2 + c 2 a 2 + a 2 b 2 + b 2 b 2 + c 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 + c 2 c 2 Dans le membre de droite il faut développer chaque carré, ce qui conduit à : (aa + bb + cc ) 2 = c 2 c b c b c + 2 a c a c + b 2 b a b a b + a 2 a 2 (ab a b) 2 = a 2 b 2 2 a b a b + b 2 a 2 (bc b c) 2 = b 2 c 2 2 b c b c + c 2 b 2 (ca c a) 2 = a 2 c 2 2 a c a c + c 2 a 2 En additionnant membre à membre les expressions de droite, on retrouve l expression développée du membre de gauche de l identité car les produits avec quatre termes s éliminent deux à deux. 5

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