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1 Roland CHARNAY, professeur honoraire de mathématiques en IUFM, chercheur associé à l'inrp «Apprentissage des tables : quelques étapes du CE1 au CM2» Roland Charnay pose un certain nombre de points de repères sur une question sur laquelle on peut considérer que l école a parfois tendance à se départir de son rôle en pensant que l apprentissage des tables de multiplication relève de la répétition à la maison et que la vérification en est faite en classe. Ce qu il va montrer c est que cela ne marche pas pour tous les élèves et que la répétition à la maison peut avoir des défauts par rapport à cet apprentissage. Il faut inciter fortement les enseignants à se saisir de la mise en place et de la mémorisation des tables de multiplication. Ce travail appartient à l enseignant, même si parfois travailler parallèlement à la maison peut y aider. Avoir mémorisé un résultat comme 6 X 7 1 ) Première réflexion Avoir mémorisé un résultat comme 6 X 7, qu est-ce que cela veut dire? Il faut se convaincre qu on a mémorisé 6 X 7 que si on est capable de répondre à partir de là, à un certain nombre de questions : De savoir que 6 X 7 et 7 X 6 sont égaux à 42 tous les deux. De savoir que dans 42, il y a 7 X 6. De savoir que dans 42 et il y a 6 X 7. C est cela qui va intervenir dans la division. Si je veux profiter de mes tables de multiplication pour travailler sur la division, il faut avoir mémorisé cela. De savoir que 42 divisé par 6 est égal à 7 ; ou 42 divisé par 7 est égal à 6. En terme de combien de fois? Divisé par? De savoir que 42 se décompose sous la forme 6 fois 7, ou 7 fois 6. Quand j ai 42 sur 49 (42/49) à simplifier qu est-ce qu il faut que je repère? Il faut que je repère que 42 et 49 sont tous les deux dans la table de 7 et que je les décompose sous la forme 7 X 6 et 7 X 7. Roland Charnay ajoute même qu il en a oublié Avoir complètement mémorisé ce résultat, c est être capable de dire que dans 44, c est répondre à la question, combien de fois 6 dans 44? C est cela qui va intervenir dans la simplification des fractions. La connaissance doit porter non seulement sur les résultats qui sont inscrits dans la table, mais doit porter sur tous les nombres compris entre 0 et 100. Pour tous les nombres, je dois être capable de dire combien de fois 6 par exemple dans 38. La maîtrise complète des tables de multiplication ne se limite pas à la connaissance des produits mais c est la connaissance des «Combien de fois?», c est la connaissance des «divisés» et la connaissance des décompositions qui peuvent être produits directement. Autrement dit, cela devrait faire partie des connaissances qui sont devenues des connaissances réflexes lorsque l élève sort de l école primaire. On doit avoir comme objectif à l école primaire que quand un élève arrive en 6 ème et qu il entend «Combien de fois 7 dans 50?», il dise 7 immédiatement sans réfléchir. 1

2 On sait que s il a besoin de réfléchir, cela va handicaper l élève pour un grand nombre d exercices auxquels il va être confronté. Ensuite, par rapport à cet objectif de maîtrise complète des tables de multiplication. On sait aussi qu un certain nombre d élèves va y arriver, que certains vont y arriver assez bien à l école primaire, que d autres vont y arriver moins bien malgré les efforts qui auront été faits par les enseignants. Et qu il appartient au collège de continuer à maintenir ces connaissances et assurer leur maîtrise pour les élèves pour lesquels elle n est pas encore totalement assurée. Pour Roland Charnay, c est un objectif majeur car il considère qu un certain nombre d élèves sont en difficulté en 6 ème dans leurs apprentissages mathématiques parce qu ils passent trop de temps à essayer de reconstituer des résultats qu ils devraient maîtriser par cœur et toute l énergie qu ils mettent à essayer de reconstituer ces résultats, ils ne la mettent pas à s investir sur les apprentissages nouveaux. Un élève de 5 ème qui est sur la fraction 42/49, si on lui demande de simplifier cela, s il ne repère pas immédiatement que ces deux nombres sont dans la table de 7, comment voulez-vous qu il puisse travailler sur la simplification des fractions? Il ne peut pas tout simplement. Il ne peut même pas reconstituer les résultats nécessaires ici puisqu il ne sait pas dans quel type de tables il faut aller chercher le résultat en question. Donc tout cela fait partie des objectifs très importants de l école primaire. 2 ) Maintenant, si on essaie de penser cet apprentissage en termes de progression. Avant de rentrer dans la progression elle-même, on peut se donner un certain nombre de points d appui généraux à la mémorisation, à travers des formules qui ont leur limite mais qui peuvent donner des points de repère. 1 ère formule : «On mémorise mieux ce qu on a compris que ce qu on n a pas compris.» Autrement dit, quand on a compris quelque chose, on a plus de facilité à le mémoriser. Dit autrement, la compréhension aide à la mémorisation. Elle aide aussi à retrouver ce qu on a oublié. 2 ème formule : «Il est plus facile de mémoriser un ensemble de résultats qui sont structurés, qui ont du lien entre eux, qu un ensemble de résultats qui sont tous isolés les uns des autres.» Si tous les résultats de la table de multiplication sont des résultats singuliers qui ne sont pas accrochés d une certaine manière avec d autres résultats, la mémorisation sera plus difficile. Un exemple très simple peut être donné. Si je dispose de la connaissance de la commutativité de la multiplication. Si j en connais un, j en connais deux. Je connais 7 X 6 et je connais 6 X 7. Si j ai acquis cela, l économie est de 50%. C est donc considérable sur l effort de mémorisation. Si je connais 7 X 6 et que j ai oublié 7 X 7. Si je suis capable de raisonner sur la différence entre 7 X 6 et 7 X 7 pour retrouver le résultat que je n ai pas, cela est plus facile. 3 ème formule : «Les conditions de la mémorisation influent sur les conditions de la restitution.» Autrement dit, la manière dont on a incité les élèves à mémoriser, dont on les a interrogés va avoir une influence sur la manière dont les élèves vont solliciter leurs résultats. Par exemple, si les élèves n ont appris que la récitation des tables (3 X 1 = 3, 3 X 2 = 6, 3 X 3 = 9, 3 X 4 = 12 etc.) Un certain nombre d élèves va avoir du mal à isoler un résultat de cette liste de résultats. Autrement dit, pour accéder à 3 X 7, ils vont être obligés de repasser par 3 X 1, 3 X 2, On voit que ce n est pas de cela dont on a besoin. On a besoin d un accès direct à chaque résultat. 4 ème formule : «La mémorisation nécessite de l entraînement. Pour mémoriser, il faut répéter, s entraîner.» 2

3 La mémorisation n est pas le seul facteur, même si c est un élément important. Il ne suffit pas de s entraîner pour mémoriser même s il est nécessaire de s entraîner pour mémoriser. Autrement dit, il faut peut-être commencer par autre chose que rabâcher pour mettre en place ses tables de multiplication. Roland Charnay a dégagé un certain nombre de moments qui sont au nombre de 3. Ces moments ne sont pas forcément consécutifs, mais ils vont intervenir sur les zones de la table. La table ne se construit pas toute entière d un seul bloc. a) 1 er moment, c est être capable de reconstruire : de66 = 36 (passage de 6 fois 6 à 7 fois 6) A partir de 6 x 5 = 30 (7 fois 6, c'est 2 fois 6 de plus) Comment reconstruire le résultat de 6 X 7 si je l ai oublié? Première chose, en faisant référence au sens, soit par une simulation en quelque sorte de 6 X 7, en dessinant 6 paquets de 7 objets, en dessinant un rectangle de 7 sur 6 et en m organisant pour compter les objets. - Ou bien de manière plus rapide et plus économique, en comptant 7 fois de 6 en 6, ou en comptant 6 fois de 7 en 7. Le lien entre additions répétées et multiplication est très important à installer, à maintenir chez les élèves. Il faut reconstruire de manière calculatoire, en s appuyant sur des résultats déjà connus. Cela doit être au cœur de l apprentissage sur la multiplication. Apprendre aux élèves à profiter d un résultat pour pouvoir obtenir un autre résultat. Roland Charnay a cité tout à l heure la commutativité, qu il n a pas mentionné ici, mais c est une des armes possibles. Si je connais 6 X 6 = 36, si je veux 7 X 6, on voit que le mot «fois» est important ici car si je veux 7 X 6, je peux me le dire comme «une fois 6» de plus. 6 X 5 et 7 X 6, c est «deux fois 6» de plus. Autrement dit, comment m appuyer sur un résultat que je connais, ou qu on m a donné. Pour en déduire un autre résultat. Et pratiquement ce travail doit commencer du point de vue de Roland Charnay, assez, tôt au CE2 et pouvoir fonctionner dans plusieurs circonstances. b) 2 ème moment, c est installer 7 X 6 dans un répertoire : C est de se dire que les résultats, on est capable de les construire et de les reconstruire, mais que les résultats on aurait intérêt à les stocker. A les stocker en mémoire interne à un certain moment. Peut-être qu une étape c est d abord de les stocker dans un répertoire externe. Par exemple, sur une grande affiche dans la classe, et chaque fois qu un résultat multiplicatif est produit, quel qu il soit, et dans un ordre quelconque, il est inscrit sur le répertoire. On a alors un répertoire qui se complète au jour le jour. Il faut avoir évidemment le droit de l utiliser pour aller y chercher un résultat, pour fabriquer un résultat à partir d un résultat qui y figure. Ce répertoire devient très vite un «foutoir». Quand j y ai installé une trentaine de résultats en vrac, pour retrouver un résultat etc De là naît la nécessité de l organiser. Cela fait apparaître deux choses ; mettre de l ordre dans ce qui existe et faire apparaître ce qui manque. Si j organise, je vais voir par exemple que j ai 2 X 7, 5 X 7, 9 X 7, mais il me manque tous les autres avec 7. D où l idée de compléter le répertoire avec les résultats qui manquent. Ce qui va me permettre d arriver aux tables de multiplication. On peut d ailleurs discuter de la manière dont on organise ces tables : directement sous la forme de table de Pythagore, pas directement sous forme de table de Pythagore? 3

4 Roland Charnay pense que la table de Pythagore est un peu difficile pour certains et donc au CE1, il est plutôt pour une organisation par tables (table de 2, table de 3, table de 4.) de manière linéaire et au CE2 sous une forme de table de Pythagore qui a l avantage de résumer dans un espace restreint toutes les données. Mais cela n est pas forcément facile, par exemple pour décomposer un nombre, ou pour connaître le facteur d un produit connaissant un terme. Il faut repérer les propriétés du répertoire, en particulier la commutativité. Le fait que ça avance de 6 en 6 dans la table de 6. Un autre élément qui semble important pour la mémorisation, c est de donner à l élève la conscience et la lisibilité de ce qu il connaît par cœur et ce qu il lui reste à mémoriser. Ce qu on peut faire c est par exemple de recommander à un élève de colorier dans sa table tout ce qu il sait par cœur. Progressivement va s imager pour l élève ce qu il sait et ce qu il lui reste à apprendre. Cette lisibilité de ce que l élève sait et de ce qu il lui reste à apprendre peut être utile pour savoir sur quoi il doit travailler. C est autre chose pour lui que d apprendre la table de 2 alors qu il la connaît aux trois quarts. Si on a un répertoire, cela veut dire qu il est utile et qu a certains moments on a le droit de l utiliser. Après il faudra s en passer, mais il y a des moments où je vais pouvoir l utiliser pour différentes questions. c) 3 ème moment, c est l entraînement : Roland Charnay répète qu il ne faut pas abuser de la récitation des tables. Ce qui ne veut pas dire qu il faut s en priver. Il pense que de toute façon, les parents ne vont pas s en priver. Il pense que l enseignant doit être attentif à ne pas les faire réciter, mais à interroger les élèves sur les résultats de la table plutôt que sur la récitation des tables pour bien marquer à l élève que ce qu on attend de lui, c est la production de chaque résultat et non pas la production des tables. Il apparaît que pour Roland Charnay, la lisibilité de l enjeu qui lui est assigné est un élément important de l apprentissage. Mettre en évidence ce qui est su et ce qui reste à apprendre par le coloriage. Et dès le départ à la fin du Cycle 2, on dit qu on devrait avoir mémorisé les tables de 2 et de 5. Déjà sur ces tables-là, il faut interroger les élèves sur des produits. 2 fois 7, cela fait combien? Et 7 fois 2 en même temps ; si je connais l une, je connais l autre. Mais aussi interroger l élève sur combien de fois 2 dans 14? Il faut aussi l interroger là-dessus. Comment compléter un produit qui comporte 2 pour avoir 16 etc Il faut que dès le départ l élève sache que non seulement il a à connaître les produits, mais il a à connaître les résultats dérivés des produits en quelque sorte. Et donc il n y a pas un premier moment de la scolarité qui serait dévolu au produit et un autre moment qui serait dévolu au «Combien de fois?». Roland Charnay pense que c est plutôt la difficulté des tables qui doit guider leur mémorisation. Pour chaque table mémorisée, l ensemble des questions doit être posé dès le départ. Privilégier l oral lors des interrogations car la mémorisation des tables est oral. Je parle les nombres quand j apprends les tables! Donc les interrogations écrites qui font intervenir le signe «X», Roland Charnay ne dit pas qu il ne faut pas le faire, mais il faut être vigilant par rapport à cela, car il faut que l élève, lui, oralise de toute façon à ce moment-là pour solliciter son répertoire mental. Utiliser des jeux de calcul. Revenir sur tous les moments précédents tant que les résultats n ont pas été mémorisés. 4

5 Dans quel ordre faut-il apprendre les tables? On peut donner des grandes lignes. Les tables de 2 et 5 à la fin du cycle 2 sont les plus simples. La table de 2, ce sont les doubles, ils sont mémorisés avant même d être traduits sous forme multiplicative. Les tables de 4 et 8 sont ensuite bien placées, car on peut dire que la table de 4 est le double de la table de 2, et celle de 8 le double de la table de 4. On a ainsi une séquence des tables de 2, 4 et 8. Ensuite, il y a une bonne table qui est 9, car la table de 9 peut être facilitée par un certain nombre de remarques du type : «Le chiffre des dizaines avance toujours de 1, alors que le chiffre des unités recule toujours de 1. Ex : 18, 27, 36.» Autre remarque : «Quand je dis 3 X 9? Le résultat pour les dizaines c est 3 moins 1, et pour les unités c est le complément à deux sept. 6 X 9 : dizaine : 5, unité complément à 9, donc X 7 : dizaine 6, unité complément à 9, donc 63. Très souvent les maîtres n ont pas ces remarques pour eux, alors que c est très profitable pour la mémorisation. Après, apprendre les tables de 3 et 6 qui forment un ensemble car 6 est le double de 3. Et la table de 7 alors? Et bien c est fini, il n y a plus rien à apprendre. Il ne reste plus que 7 X 7. C est un carré qui est assez bien mémorisé. Donc, il faut bien se dire que chaque fois qu on apprend une table, il faut dès le CE1, interroger les élèves sur l ensemble des questions que nous venons d évoquer 5

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