EMLYON 2015 S. Éléments de correction

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "EMLYON 2015 S. Éléments de correction"

Transcription

1 EMLYON 15 S Éléments de correction ECS Lycée La ruyère, Versailles Année 1/15 Premier problème Première partie 1. On peut vérifier le critère de sous-espace vectoriel E et, pour P 1, P E et λ R, λp 1 + P )) = λp 1 ) + P ) = et de même λp 1 + P )) = si bien que λp 1 + P E) ou identifier E comme noyau de l application R [X] R, P P), P) ), clairement linéaire.. Pour qu un polynôme P R [X] donné appartienne à E, il faut et il suffit que et en soient racines, c est-à-dire que P soit multiple du polynôme W = XX ) : il existe Q R[X] tel que P = WQ i.e. P = φq), nécessairement unique par unicité du quotient dans la division euclidienne de P par W) et vérifiant deg Q = deg P deg W. L équivalence précédente prouve d une part que l application φ est à valeurs dans E et d autre part qu elle est bijective. Sa linéarité étant immédiate pour Q 1, Q R [X] et λ R, φλq 1 + Q ) = WλQ 1 + Q ) = λwq 1 + WQ = λφq 1 ) + φq )), c est donc un isomorpisme de R [X] sur E. 3. Puisqu un isomorpisme préserve la dimension et transforme une base en base, l espace E est de dimension dim E = dim R [X] = 3 et les images des vecteurs de la base canonique φ1) = W, φx) = WX et φx ) = WX en forment une base.. a. La linéarité de de R [X] dans R[X] est immédiate : Q 1, Q R[X], λ R, λq 1 + Q ) = λq 1 + Q )X + 1) λq 1 + Q )X) = λ Q 1 X + 1) Q 1 X) ) + Q X + 1) Q X) ) = λ Q 1 ) + Q ). Pour Q R [X], QX + 1) est de même degré que QX) donc Q) = QX + 1) QX) appartient à R [X]. L application est donc un endomorpisme de R [X]. b. Le calcul donne 1) =, X) = 1 et X ) = X + 1. Par suite, pour Q R [X] constant, on a donc Q) = ; pour Q R [X] de degré 1 : Q = ax + b avec a, Q) = a X) est de degré ; pour Q R [X] de degré : Q = ax + Q 1 avec a et deg Q 1 1, Q) = a X ) + Q 1 ) est de degré 1 car on vient de voir que deg Q 1 ). En conclusion, { deg Q) 1 si deg Q 1 Q R [X], deg Q) = deg Q) 1. si deg Q c. Pour Q R [X], Q) = équivaut à deg Q) =. D après b., le noyau de est donc constitué des polynômes constants : Ker = R [X]. Quant au sous-espace Im, il est engendré par les images des vecteurs de la base canonique calculées plus aut : il s agit du sous-espace R 1 [X]. On peut aussi le montrer par un argument dimensionnel : la question b. met en évidence que Im R 1 [X]. Or, d après le téorème du rang, dimim ) = dim R [X] dim Ker =. On a ainsi égalité des dimensions dans l inclusion précédente, qui est donc une égalité : Im = R 1 [X]. d. D après b., on a deg 3 Q) deg Q) 3 < i.e. 3 Q) = pour tout Q R [X], ce qui signifie que l application 3 est identiquement nulle sur R [X]. 5. a. Il vient f 3 = φ φ 1 ) 3 = φ 3 φ 1 = d après.d.. b. On utilise la bijectivité de φ. Pour P E et Q R [X] tel que P = WQ, f P) = équivaut à Q) = i.e. à Q constant ou encore P Vect W. Le noyau de f est donc la droite dirigée par W : Ker f = Vect W. Connaissant l image de, il vient ensuite : Im f = φ φ 1 E) )) = φ R [X]) ) = φ R 1 [X] ) = Vect φ1), φx) ) = VectW, XW). c. Les valeurs propres de f sont racines du polynôme X 3, annulateur de f d après a.. Ainsi est la seule valeur propre éventuelle de f, qui réciproquement est bien valeur propre de sous-espace propre associé Ker f = Vect W {} d après b.. d. D après c., λ Sp f dim E λf ) = dim E f ) = 1 < dim E, d où l on déduit que f n est pas diagonalisable.

2 ECS Lycée La ruyère, Versailles EMLYON 15 S Deuxième partie 6. L application, est clairement symétrique P, Q R [X], P, Q = Q, P ) et linéaire à gauce P 1, P, Q R [X], λ R, λp 1 + P, Q = λ P 1, Q + P, Q ) donc bilinéaire. Pour P R [X], on a de plus P, P = k= Pk) car Pk) pour tout k, et, si P, P =, alors, 1,, 3 et constituent 5 racines pour le polynôme P de degré inférieur ou égal à, qui est donc nul. L application, est donc un produit scalaire sur R [X]. 7. Si λ 1, λ et λ 3 sont des réels tels que λ 1 L 1 + λ L + λ 3 L 3 =, alors en évaluant la relation en 1 resp. en, resp. en 3), on obtient λ 1 = resp. λ =, resp. λ 3 = ). La famille L 1, L, L 3 ) est donc libre. Formée de 3 = dim R [X] vecteurs de R [X], c en est donc une base. 8. a. Pour P R [X] donné, il existe d après 7. des réels λ 1, λ et λ 3 tels que P = λ 1 L 1 + λ L + λ 3 L 3. En évaluant la relation précédente en 1, et 3, on obtient les valeurs des coordonnées de P dans la base L 1, L, L 3 ) : λ 1 = 1 P1), λ = P) et λ 3 = 1 P3). b. On calcule : L 1 ) = X 1)X ) X )X 3), L ) = XX ) X 1)X 3) et L 3 ) = XX 1) X 1)X ). La décomposition de L 1 ) = L 3 L 1 sur la base L 1, L, L 3 ) est évidente et justifie la première colonne de la matrice A représentant dans la base L 1, L, L 3 ). Pour celles de L ) et L 3 ), on utilise le résultat de la question a. : L ) = 1 L ) ) 1)L 1 L ) ) )L + 1 L ) ) 3)L 3 = 1 L 1 L + 3 L 3 et, de la même manière, L 3 ) = L + L 3, d où le résultat. 9. a. Pour i 1, 3 donné, le réel i n annule ni W ni L i donc pas non plus leur produit M i : M i i). b. On vérifie que : { si k i i 1, 3, k,, N i k) =. 1) 1 si k = i Il en ressort que { i, j 1, 3, N i, N j = si i j N i k)n j k) = 1 si i = j k= car, dans la somme précédente, tous les termes sont nuls si i j car on aura toujours k i ou k j) et, si i = j, le seul terme non nul est celui d indice k = i = j qui vaut 1. Ainsi la famille N 1, N, N 3 ) est ortonormale donc libre. Formée de 3 = dim E vecteurs de E d après. et 3., c est en fait une base ortonormale de E. 1. Par définition, φl j ) = WL j = M j = M j j)n j pour tout j 1, 3, d où la matrice représentative de φ dans les bases L 1, L, L 3 ) et N 1, N, N 3 ) : M 1 1) 6 = M ) =. M 3 3) La matrice C de la composée f = φ φ 1 dans la base N 1, N, N 3 ) s obtient à partir de celles de l endomorpisme en base L 1, L, L 3 ) et de l application linéaire φ dans les bases L 1, L, L 3 ) et N 1, N, N 3 ), toutes deux déterminées dans les questions 8.b. et 1. : C = A 1 = = a. Pour P R [X], up) appartient à R [X] comme combinaison linéaire de vecteurs de R [X]. La linéarité de u étant immédiate, c est donc un endomorpisme de R [X]. b. Vu 1) et sacant que la famille N 1, N, N 3 ) est ortonormale, il vient : d où le résultat. P R [X], j 1, 3, up), N j = Pj) = P, N j, )

3 ECS Lycée La ruyère, Versailles EMLYON 15 S 3 c. Pour P R [X] donné, le vecteur up) vérifie up) E comme combinaison linéaire d éléments de E) et P up) E car P up) est ortogonal aux vecteurs de base N 1, N et N 3 de E d après b.), deux propriétés caractéristiques du projeté ortogonal de P sur E. L endomorpisme u est donc la projection ortogonale sur E. Remarque. En utilisant ), on peut aussi reconnaître dans la définition de up) = 3 i=1 N i, P N i l expression du projeté ortogonal de P sur E rapporté à la base ortonormale N 1, N, N 3 ) et conclure directement. d. D après la question c., le projeté ortogonal de Q sur E est donné par uq) = 3 i=1 Qi)N i = N 1. Deuxième problème Première partie On peut noter pour commencer que pour u : R + R continue et p N, ut) lim = ut) = ot p ), t +. t + t p 1. Il suffit de vérifier le critère de sous-espace. La fonction nulle appartient clairement à E et, étant donnés un réel α, deux éléments u, v E et des entiers p, q N tels que ut) = ot p ) et vt) = ot q ) lorsque t +, on a pour r = p + q n importe quel entier r maxp, q) convient) : αut) + vt) t r = α 1 ut) + 1 vt) t q t p ce qui assure que la fonction continue αu + v appartient à E. t p t q t +,. Soit p N tel que ut) = ot p ) lorsque t +. Pour x > donné, la fonction t ut)e xt est continue sur [, + [ et l on a : t ut)e xt = t p+ e xt) ut) t p t + car les deux facteurs tendent vers, le premier par croissances comparées et le second par ypotèse. Ainsi ut)e xt = o 1 ) lorsque t +, d où l on déduit la convergence absolue et donc la convergence) de l intégrale + t ut)e xt dt par comparaison à l intégrale de Riemann convergente + dt. 1 t 3. Étant donnés u, v E et α R, on a pour tout x > : ) + ) + Lαu + v) x) = αut) + vt) e xt dt = α ut)e xt dt + vt)e xt dt = α Lu) ) x) + Lv) ) x), toutes intégrales convergentes d après., ce qui traduit l égalité de fonctions Lαu+v) = αlu)+lv). Deuxième partie. Pour i {, 1, }, la fonction v i est continue sur R + et vérifie v i t) = ot p ) avec p = lorsque t +, c est donc un élément de E. En considérant, pour x > donné, une variable aléatoire X de loi exponentielle de paramètre a + x, dont on note f la densité, il vient : Lv ) ) x) = e a+x)t dt = 1 a + x Lv1 ) ) x) = te a+x)t dt = 1 a + x et, sur le même principe, Lv ) ) x) = 1 a + x EX ) = 1 ) VX) + EX) = a + x f t) dt = 1 a + x, tf t) dt = 1 a + x EX) = 1 a + x) a + x) 3.

4 ECS Lycée La ruyère, Versailles EMLYON 15 S 5. La fonction w n est continue sur R + et vérifie w n t) = ot n+1 ) lorsque t +, c est donc un élément de E. De plus, par cangement de variable affine s = xt, x >, Lwn ) ) s ) ne x) = t n e xt s dt = ds Γn + 1) = = n! x x x n+1 x. n+1 Troisième partie 6. Par ypotèse, il existe p N tel que ut) = ot p ) lorsque t +. En écrivant la définition de la limite avec ε = 1, on obtient l existence d un réel A R + tel que, pour tout t A, ut) 1 i.e. t p ut) t p. La fonction u étant par ailleurs continue sur le segment [, A], elle y est bornée : il existe M R + tel que pour tout t [, A], ut) M. On en déduit immédiatement en distinguant les cas t A et t A) que pour tout t R +, ut) M + t p. On a alors toutes intégrales convergentes) : x >, Lu) ) x) ut) e xt dt M + t p )e xt dt = M Lw ) ) x) + Lw p ) ) x) = 1 x + p! x p+1 x + d après 5., d où l on déduit par encadrement que Lu) ) x) tend vers lorsque x a. Le téorème fondamental du calcul différentiel et intégral appliqué à la fonction u continue sur R + indique que la fonction t t us) ds est une primitive de u sur l intervalle R +. On en déduit que R : t t us) ds = us) ds us) ds est continue sur R +. Par ailleurs il apparaît clairement sur l expression précédente, sacant l intégrale + us) ds convergente, que Rt) tend vers i.e. que Rt) = ot p ) avec p = lorsque t +. La fonction R appartient donc à E. b. Il résulte de l argument développé en a. que la fonction R est dérivable sur R +, de dérivée R = u, continue par ypotèse. Elle est donc de classe C 1 sur R +. c. Pour x > donné, une intégration par parties sur [, t] R + donne, d après b. : us)e sx ds = [ Rs)e sx] t s= x Rs)e sx ds = R) Rt)e tx x Rs)e sx ds. En passant à la limite lorsque t +, on obtient d après a. : ) + Lu) x) = us)e sx ds = R) x Rs)e sx ds = R) x LR) ) x). d. Puisque Rt) tend vers lorsque t + d après a., il existe R + tel que pour tout t [, + [, Rt) ε. D après c., on a alors pour x > : Lu) ) x) R) = x Rt)e xt dt + Rt)e st dt x x x Rt)e xt dt + x Rt) e xt dt + x Rt) dt + x ε Rt)e st dt Rt) e xt dt e xt dt x Rt) dt + ε. e. On conserve les notations de la question d.. Puisque le réel ne dépend pas de x, le majorant tend vers ε < ε lorsque x dans la dernière inégalité de d.. Il existe donc δ > tel que : x ], δ[, Lu) ) x) R) x Rt) dt + ε < ε.

5 ECS Lycée La ruyère, Versailles EMLYON 15 S 5 On a donc établi que : lim x ) + Lu) x) = R) = ut) dt. 8. a. D après la question 6. appliquée à la fonction u E, il existe p N et A R + tel que pour tout t [A, + [, u t) t p. Il vient alors : t [A, + [, ut) = ua) + u s) ds ua) + u s) ds ua) + A A s p ds ua) + tp+1 p + 1. b. Il ressort de la question précédente que ut) = ot p+ ) lorsque t +, si bien que la fonction continue u appartient à E. c. On procède par intégration par parties comme dans la question 7.c., en primitivant u en u. 9. a. Par ypotèse, il existe p N tel que ut) = ot p ) lorsque t +, ce qui entraîne u n t) = ot n+p ) lorsque t +, et la fonction continue u n appartient donc à E. b. Pour a R donné, la fonction exp est de classe C sur [, a] avec en distinguant les cas a et a ) : x [, a], exp x) = e x e a. D après l inégalité de Taylor-Lagrange appliquée à exp à l ordre 1 sur le segment [, a], on a donc : e a 1 a = e a e exp )a sup x [,a] ) a exp x) A e a a. c. Pour t [, + [, l inégalité de la question b. appliquée à a = t donne, puisque x : e x+)t e xt + te xt e xt = e t 1 + t e xt t) e t t e xt/ d où ) ) Lu) x + ) Lu) x) + Lu 1 ) ) e x+)t e xt ) x) = ut) + te xt dt ut) e x+)t e xt + te xt + dt t ut) e xt/ dt, toutes intégrales convergentes. d. Soit x >. On déduit de la dernière majoration de la question c., par encadrement le majorant tend vers lorsque car l intégrale ne dépend pas de ), que ) ) Lu) x + ) Lu) x) lim = Lu 1 ) ) x), ce qui établit la dérivabilité de Lu) en x, de dérivée Lu) ) x) = Lu 1 ) ) x). Ainsi Lu) est dérivable sur R +, de dérivée Lu) ) = Lu 1 ). e. On démontre ) par récurrence sur n que, pour tout n 1, Lu) est n fois dérivable sur R + avec Lu) n) = 1) n Lu n ). Le cas n = 1 a été traité en d. et si le résultat est acquis au rang n alors, toujours d après d. appliquée à la fonction u n, Lu n ) est dérivable sur R + de dérivée Lu n ) ) = Lu n+1 ) si bien, par ypotèse de récurrence, que Lu) est n + 1 fois dérivable sur R +, avec Lu) ) n+1) = 1) n+1 Lu n+1 ). Quatrième partie 1. a. Sacant que u E, la question 8. montre que u E puis u E avec : x >, Lu ) ) x) = u ) + x Lu ) ) x) = u ) xu) + x Lu) ) x). b. Puisque u est solution du problème, on a plus précisément : x >, Lu ) ) x) = u) + x Lu) ) x) = 1 + x Lu) ) x)

6 ECS Lycée La ruyère, Versailles EMLYON 15 S 6 et x >, Lu ) ) x) = x + x Lu) ) x) d où, par linéarité de L, x >, Lu + 5u + 6u) ) x) = 3 x + x + 5x + 6) Lu) ) x). Vu le calcul de transformée de Laplace effectué en., on a donc : x >, x + 5x + 6) Lu) ) x) = Lt e t ) ) x) x = 1 x x. On vérifie alors, en divisant par x + 5x + 6 = x + )x + 3) >, ) 1 1 ) x >, Lu) x) = x + 5x + 6 x x x + x + = x + 1)x + )x + 3) x + = x + 1)x + 3) = 1 1 x x + 3 où la dernière égalité se justifie en remettant au même dénominateur le membre de droite. 11. Par linéarité de L et d après les exemples étudiés en., 1 1 x >, x x + 3 = L t e t + e 3t )) x). D après 1.b., on est conduit à s intéresser à la fonction u : t 1 e t + e 3t ), qui n est pour l instant qu un candidat et dont il convient de vérifier soigneusement qu elle est solution. Il s agit tout d abord d une fonction de classe C sur R + dont les dérivées sont données par : u : t e t 3e 3t et u : t e t + 9e 3t. On constate bien que u t) + 5u t) + 6ut) = e t pour tout t R + et d autre part que u) = 1 et u ) =. La fonction u : t 1 e t + e 3t ) est donc solution du problème posé. Remarque. ien qu on n ait pas les moyens de le démontrer ici, cette solution est unique.

IV. Espaces L p. + tx 1. (1 t)x 0

IV. Espaces L p. + tx 1. (1 t)x 0 cours 13, le lundi 7 mars 2011 IV. spaces L p IV.1. Convexité Quand deux points x 0, x 1 R sont donnés, on peut parcourir le segment [x 0, x 1 ] qui les joint en posant pour tout t [0, 1] x t = (1 t)x

Plus en détail

Intégration de polynômes Points de Gauss

Intégration de polynômes Points de Gauss Intégration de polynômes Points de Gauss Commençons par un exercice classique de premier cycle. Problème 1 Trouver trois réels α, β et γ tels que, pour tout polynôme P de degré au plus 2, on ait : ( )

Plus en détail

EMLyon 2011 - Corrigé

EMLyon 2011 - Corrigé EMLyon - Corrigé Partie I. Soit X une variable aléatoire suivant la loi E() ; une densité de X est : f(x) = { si x < e x si x et E(X) = et V (X) =.. (a) Soit n N ; n E(S n ) = E(X k ) = n par linéarité

Plus en détail

Indication Prendre une combinaison linéaire nulle et l évaluer par ϕ n 1.

Indication Prendre une combinaison linéaire nulle et l évaluer par ϕ n 1. 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R 2 (2x + y, x y) R 2, f 2 : (x, y, z) R 3 (xy, x, y) R 3 f 3 : (x, y, z) R 3 (2x +

Plus en détail

en dimension finie Table des matières

en dimension finie Table des matières Maths PCSI Cours Algèbre linéaire en dimension finie Table des matières 1 Rappels d algèbre linéaire 2 1.1 Applications linéaires......................................... 2 1.2 Familles libres, génératrices

Plus en détail

PC* Espaces préhilbertiens réels

PC* Espaces préhilbertiens réels I. Espace préhilbertien réel................................... 3 I.1 Produit scalaire dans un espace vectoriel réel................... 3 I.2 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski..................

Plus en détail

Devoir maison n 5. MP Lycée Clemenceau. A rendre le 7 janvier 2014. Centrale

Devoir maison n 5. MP Lycée Clemenceau. A rendre le 7 janvier 2014. Centrale Devoir maison n 5 MP Lycée Clemenceau A rendre le 7 janvier 214 Centrale - Dans le problème, λ désigne toujours une application continue de IR + dans IR +, croissante et non majorée. - Dans le problème,

Plus en détail

Le Déterminant. par Alain Prouté Université Denis Diderot Paris 7. 1 Permutations. 1. 2 Application transposée, base duale. 3. 3 Mesures de volume.

Le Déterminant. par Alain Prouté Université Denis Diderot Paris 7. 1 Permutations. 1. 2 Application transposée, base duale. 3. 3 Mesures de volume. Ce cours peut être librement copié et distribué. Il est recommandé d en télécharger la version la plus récente à partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Toute remarque, correction ou suggestion doit

Plus en détail

ALGÈBRE BILINÉAIRE 1

ALGÈBRE BILINÉAIRE 1 3-8- 213 J.F.C. Eve p. 1 ALGÈBRE BILINÉAIRE 1 P mentionne des résultats particulièrement utiles et souvent oubliés dans la pratique de l algèbre bilinéaire... mentionne des erreurs à ne pas faire où des

Plus en détail

Définition d une norme

Définition d une norme Définition d une norme Définition E est un K-ev. L application N : E R + est une norme sur E ssi 1. x E, N(x) = 0 x = 0. 2. k K, x E, N(k.x) = k N(x). 3. x, y E, N(x + y) N(x) + N(y) Notation N,. Propriété

Plus en détail

Feuille d exercices n o 1. N(x i ). 4. On rappelle qu un espace normé est séparable s il contient une partie dénombrable dense.

Feuille d exercices n o 1. N(x i ). 4. On rappelle qu un espace normé est séparable s il contient une partie dénombrable dense. 1 Feuille d exercices n o 1 1. Deuxième forme géométrique du théorème de Hahn-Banach Soient A E et B E deux convexes, non vides, disjoints (E est une espace vectoriel normé). On suppose que A est fermé

Plus en détail

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 48 Chapitre 4 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées La motivation de ce chapitre est la suivante. Étant donné un endomorphisme f d un espace E de dimension finie, déterminé par sa matrice

Plus en détail

11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases

11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases 11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases 11.1. Espaces vectoriels, algèbres 11.1.1. Structure d espace vectoriel et d algèbre 11.1.2. Combinaisons linéaires 11.1.3. Espaces vectoriels et algèbres

Plus en détail

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. Solution des exercices d algèbre linéaire

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. Solution des exercices d algèbre linéaire UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 3 4 Master d économie Cours de M. Desgraupes MATHS/STATS Document : Solution des exercices d algèbre linéaire Table des matières

Plus en détail

MEÉF 1 - Mathématiques DS2-5 octobre 2015 Analyse - Géométrie

MEÉF 1 - Mathématiques DS2-5 octobre 2015 Analyse - Géométrie MEÉF - Mathématiques DS2-5 octobre 25 Analyse - Géométrie Eercice Soit E un K-espace vectoriel (K étant le corps R ou C). Deu normes N et N 2 sur E sont dites équivalentes s il eiste deu constantes réelles

Plus en détail

Rappels d Algèbre Linéaire de P.C.S.I

Rappels d Algèbre Linéaire de P.C.S.I Rappels d Algèbre Linéaire de PCSI Table des matières 1 Structure d espace vectoriel sur IK 3 11 Définition et règles de calcul 3 12 Exemples de référence 3 13 Espace vectoriel produit 4 14 Sous-espaces

Plus en détail

1. a) question de cours b) P(f) est un polynôme de l endomorphisme f donc commute avec f.

1. a) question de cours b) P(f) est un polynôme de l endomorphisme f donc commute avec f. escp-eap 2(Ecole de commerce) OPTION SCIENTIFIQUEMATHEMATIQUES I adapté en retirant certaines question qui sont du cours de PC et en ajoutant le dernier exemple.. a) question de cours b) P(f) est un polynôme

Plus en détail

Université Paris IX Dauphine UFR Mathématiques de la décision Notes de cours ALGEBRE 2. Guillaume CARLIER

Université Paris IX Dauphine UFR Mathématiques de la décision Notes de cours ALGEBRE 2. Guillaume CARLIER Université Paris IX Dauphine UFR Mathématiques de la décision Notes de cours ALGEBRE 2 Guillaume CARLIER L1, année 2006-2007 2 Ce support de cours est basé sur le poly de Tristan Tomala des années précédentes.

Plus en détail

Généralités sur les fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques 7 Généralités sur les fonctions numériques Une fonction numérique est, de manière générale, une fonction d une variable réelle et à valeurs réelles. 7.1 Notions de base sur les fonctions Si I, J sont deux

Plus en détail

Espaces affines. 2 Applications affines 7. 2.2 Projections et symétries affines ; affinités... 8 2.3 Alignement et parallélisme...

Espaces affines. 2 Applications affines 7. 2.2 Projections et symétries affines ; affinités... 8 2.3 Alignement et parallélisme... Maths PCSI Cours Espaces affines Table des matières 1 Espaces et sous-espaces affines 2 1.1 Espaces affines et translations.................................... 2 1.2 Exemples d espaces affines......................................

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques Cours de mathématiques Ó Ø Ó Ö ¾¼½ PSI Aurélien Monteillet ii Ce document contient les notes d un cours de mathématiques pour la classe de PSI. Les démonstrations non exigibles ou hors programme sont explicitement

Plus en détail

EXERCICE 1. Corrigé ECRICOME Eco 2012 par Pierre Veuillez

EXERCICE 1. Corrigé ECRICOME Eco 2012 par Pierre Veuillez Corrigé ECRICOME Eco par Pierre Veuillez EXERCICE (M 3 (R), +,.) désigne l espace vectoriel des matrices carrées d ordre 3 à coeffi cients réels. Deux matrices A et B de M 3 (R) étant données, on suppose

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot ESPACES VECTORIELS 1 Définition et exemples fondamentaux 1.1 Définition Définition 1.1 Espace vectoriel Soient K un corps et E un ensemble muni d une loi interne + et d une loi externe. i.e. d une application

Plus en détail

2010/2011. Espaces vectoriels

2010/2011. Espaces vectoriels Université Paris-Est Marne-la-Vallée 010/011 M1 enseignement CD/Préparation au CAPES Espaces vectoriels Dans toute la suite on considèrera des espaces vectoriels sur un corps commutatif K de caractéristique

Plus en détail

Le théorème du point xe. Applications

Le théorème du point xe. Applications 49 Le théorème du point xe. Applications 1 Comme dans le titre de cette leçon, le mot théorème est au singulier, on va s'occuper du théorème du point xe de Picard qui a de nombreuses applications. Le cas

Plus en détail

ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES

ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES 30-9- 2010 J.F.C. p. 1 ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES Exercice 1 Intersection d hyperplans. E est un espace vectoriel de dimension n sur K (n [2, + [). Q1. Montrer que si F et G sont deux

Plus en détail

Agrégation de Mathématiques Exercices d algèbre linéaire

Agrégation de Mathématiques Exercices d algèbre linéaire Agrégation de Mathématiques Exercices d algèbre linéaire P. HUBERT La plupart des exercices ci-dessous se trouvent dans les livres suivants : - E. Leichtnam, X. Schaeur, Exercices corrigés de mathématiques

Plus en détail

Master de Mathématiques M1 Analyse fonctionnelle Examen du 16 juin 2011 1 - durée : 3h

Master de Mathématiques M1 Analyse fonctionnelle Examen du 16 juin 2011 1 - durée : 3h Master de Mathématiques M1 Analyse fonctionnelle Examen du 16 juin 2011 1 - durée : 3h - Le seul document autorisé est un résumé manuscrit du cours de trois pages maximum. - Les téléphones portables et

Plus en détail

Espaces euclidiens. 1 Définitions et exemples. 2 Orthogonalité, norme euclidienne 2. 3 Espaces euclidiens, bases orthonormées 2

Espaces euclidiens. 1 Définitions et exemples. 2 Orthogonalité, norme euclidienne 2. 3 Espaces euclidiens, bases orthonormées 2 Espaces euclidiens Table des matières 1 Définitions et exemples 1 Orthogonalité, norme euclidienne 3 Espaces euclidiens, bases orthonormées 4 Orthogonalisation de Schmidt 3 5 Sous-espaces orthogonaux 3

Plus en détail

Applications linéaires, matrices, déterminants

Applications linéaires, matrices, déterminants Applications linéaires, matrices, déterminants Exercice 1. Soit u: R 3 R défini pour tout x = (x 1, x, x 3 R 3 par u(x = (x 1 + x + x 3, x 1 + x x 3 1. Montrer que u est linéaire.. Déterminer ker(u. Allez

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mai 2016 Enoncés 1 Applications linéaires Etude de linéarité a) Montrer que ϕ et ψ sont des endomorphismes de E. b) Exprimer ϕ ψ et ψ ϕ. c) Déterminer images et

Plus en détail

Les espaces L p. Chapitre 6. 6.1 Définitions et premières propriétés. 6.1.1 Les espaces L p, avec 1 p < +

Les espaces L p. Chapitre 6. 6.1 Définitions et premières propriétés. 6.1.1 Les espaces L p, avec 1 p < + Chapitre 6 Les espaces L p 6.1 Définitions et premières propriétés 6.1.1 Les espaces L p, avec 1 p < + Soient (E, T,m) un espace mesuré, 1 p < + et f M = M(E, T) (c est-à-dire f : E R, mesurable). On remarque

Plus en détail

1 Topologies, distances, normes

1 Topologies, distances, normes Université Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathématiques L3. Topologie Générale 29/1 1 1 Topologies, distances, normes 1.1 Topologie, distances, intérieur et adhérence Exercice 1. Montrer que dans un

Plus en détail

Les espaces vectoriels

Les espaces vectoriels Agrégation interne UFR MATHÉMATIQUES 1. Généralités Les espaces vectoriels Dans tout le chapitre, K représente un corps commutatif. 1.1. Notion d espace vectoriel On considère un ensemble E sur lequel

Plus en détail

Topologie des espaces vectoriels normés

Topologie des espaces vectoriels normés Topologie des espaces vectoriels normés Cédric Milliet Version préliminaire Cours de troisième année de licence Université Galatasaray Année 2011-2012 2 Chapitre 1 R-Espaces vectoriels normés 1.1 Vocabulaire

Plus en détail

Formulaire de maths - Analyse dans R n

Formulaire de maths - Analyse dans R n Formulaire de maths - Analyse dans R n Nom Théorème ou formule Espaces vectoriels normés Norme sur E Application qui vérifie les propriétés de : séparation : homogénéité : inégalité triangulaire : Normes

Plus en détail

Cours de Mathématiques 2

Cours de Mathématiques 2 Cours de Mathématiques 2 première partie : Analyse 2 DEUG MIAS 1 e année, 2 e semestre. Maximilian F. Hasler Département Scientifique Interfacultaire B.P. 7209 F 97275 SCHOELCHER CEDEX Fax : 0596 72 73

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES. D. Azé

LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES. D. Azé LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul Différentiel et Équations Différentielles D. Azé Université Paul Sabatier Toulouse 2008 Table des matières 1 Généralités sur les espaces normés 3 1.1 Espaces

Plus en détail

Sujets HEC B/L 2013-36-

Sujets HEC B/L 2013-36- -36- -37- Sujet HEC 2012 B/L Exercice principal B/L1 1. Question de cours : Définition et propriétés de la fonction de répartition d une variable aléatoire à densité. Soit f la fonction définie par : f(x)

Plus en détail

Remerciements. Partie 1 Algèbre linéaire 1

Remerciements. Partie 1 Algèbre linéaire 1 Table des matières Préface Remerciements xix xxi Partie 1 Algèbre linéaire 1 1 Compléments d algèbre linéaire 3 I Rappels du cours de première année.......................... 3 I.1 Famille dans un espace

Plus en détail

Autour de Perron, Frobenius et Markov

Autour de Perron, Frobenius et Markov Université Claude Bernard Lyon 1-2007/2008 Préparation Capes - Algèbre et Géométrie - Devoir à rendre le 12 février 2008 - Autour de Perron Frobenius et Markov Rappels et notations On note M mn (K) le

Plus en détail

et Transversalité par Pierre Vogel

et Transversalité par Pierre Vogel Université Paris 7 Denis Diderot Institut de Mathématiques de Jussieu Géométrie des Variétés et Transversalité par Pierre Vogel Introduction Ce cours est destiné à l étude des variétés différentiables

Plus en détail

COURS ET EXERCICES DE MATHEMATIQUES PARTIE 1 1998-2011

COURS ET EXERCICES DE MATHEMATIQUES PARTIE 1 1998-2011 COURS ET EXERCICES DE MATHEMATIQUES PARTIE 1 1998-2011 2 PC Premier semestre Version 2011 Cours Exercice Auteur de la Ressource Pédagogique PICQ Martine MATHEMATIQUES Cours et exercices de Mathématiques

Plus en détail

Licence 1ère année Mention Mathématiques

Licence 1ère année Mention Mathématiques Licence 1ère année Mention Mathématiques Semestre 1 Anglais (2 ECTS) Préparation du C2i (3 ECTS) Méthodologie du Travail Universitaire Scientifique (2 ECTS) Expression Orale et Écrite (3 ECTS) Outils Mathématiques

Plus en détail

Intégrale de Lebesgue

Intégrale de Lebesgue Intégrale de Lebesgue ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 1 / 50 1. Motivations et points de vue ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 2 / 50 Deux

Plus en détail

EMLYON 2016 S. Premier problème. Éléments de correction

EMLYON 2016 S. Premier problème. Éléments de correction EMLYON 26 S Éléments de correction ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Année 25/26 Premier problème Première partie Les deux équations forment un système linéaire d inconnue (P, P 2 ), que l on résoud sans

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MIPI - S2. Cours de Mathématiques : Polynômes et Suites

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MIPI - S2. Cours de Mathématiques : Polynômes et Suites Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L MIPI - S Cours de Mathématiques : Polynômes et Suites Table des matières Nombres complexes 5. Le corps C des nombres complexes.................................

Plus en détail

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique Analyse et Géométrie Différentielle Première Année I NOMBRES REELS ET COMPLEXES, SUITES ET FONCTIONS 1 Nombres réels et complexes 2 Suites de nombres

Plus en détail

Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique

Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique CHAPITRE 4 DÉRIVATION ET PRIMITIVATION Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique 08. Nombre dérivé Soit f une fonction numérique, définie sur un intervalle ou une réunion d intervalles,

Plus en détail

Mathématique - Cours

Mathématique - Cours Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : partie seconde partie 1/3 partie 2/3 partie 3/3 Sommaire 1 Ensemble

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

202 - Exemples de parties denses et applications

202 - Exemples de parties denses et applications 202 - Exemples de parties denses et applications 1 Généralités et premiers exemples 1.1 Parties denses On xe un espace métrique (X, d). Dénition 1. Soit D X. On dit que D est dense dans X si D = X. Exemple.

Plus en détail

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales Recueil d annales en Mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Frédéric Demoulin Dernière révision : 3 juin 2 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini 2. frederic.demoulin

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. d) Soient A vérifiant (P ) et B une matrice de même rang que A ; montrer

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. d) Soient A vérifiant (P ) et B une matrice de même rang que A ; montrer [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 205 Enoncés Exercice [ 02598 ] [Correction] Soient A et B deux matrices réelles carrées d ordre n telles qu il existe un polynôme P R [X] de degré au

Plus en détail

Fiche Méthode 11 : Noyaux et images.

Fiche Méthode 11 : Noyaux et images. Fiche Méthode 11 : Noyaux et images. On se place dans un espace vectoriel E de dimension finie n, muni d une base B = ( e 1,..., e n ). f désignera un endomorphisme de E 1 et A la matrice de f dans la

Plus en détail

Cours de Mathématiques II Chapitre 1. Algèbre linéaire

Cours de Mathématiques II Chapitre 1. Algèbre linéaire Université de Paris X Nanterre UFR Segmi Année 7-8 Licence Economie-Gestion première année Cours de Mathématiques II Chapitre Algèbre linéaire Table des matières Espaces vectoriels Espaces et sous-espaces

Plus en détail

Réduction. Sous-espaces stables. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1

Réduction. Sous-espaces stables. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1 Réduction Sous-espaces stables Exercice 1 [ 00755 ] [Correction] Soient u et v deux endomorphismes d un K-espace vectoriel E. On suppose

Plus en détail

Énoncés des exercices

Énoncés des exercices Énoncés Énoncés des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit f un endomorphisme de E, commutant avec tous les endomorphismes de E. Montrer que f est de la forme λid, avec λ IK. Exercice

Plus en détail

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0 Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0. Le théorème de Rolle sur un espace vectoriel normé Pour ce paragraphe, on se donne un espace vectoriel normé (E, ). Le théorème

Plus en détail

Exo7. Espaces vectoriels. 1 Définition, sous-espaces. Fiche amendée par David Chataur et Arnaud Bodin.

Exo7. Espaces vectoriels. 1 Définition, sous-espaces. Fiche amendée par David Chataur et Arnaud Bodin. Exo7 Espaces vectoriels Fiche amendée par David Chataur et Arnaud Bodin. Définition, sous-espaces Exercice Montrer que les ensembles ci-dessous sont des espaces vectoriels (sur R) : E = { f : [,] R } :

Plus en détail

COURS DE LICENCE 2 SCIENCES ECONOMIQUES COURS D ANNIE CLARET

COURS DE LICENCE 2 SCIENCES ECONOMIQUES COURS D ANNIE CLARET COURS DE LICENCE 2 SCIENCES ECONOMIQUES COURS D ANNIE CLARET MATHEMATIQUES 3 PRISE DE NOTE PAR : PLASMAN SYLVAIN SERIE 7 ANNEE 2010-2011 1 Sommaire et accès aux chapitres/sous-chapitres Cliquez sur le

Plus en détail

L2 2011/2012 USTV. Analyse. numérique M43. Recueil d exercices corrigés et aide-mémoire G. FACCANONI. Dernière mise-à-jour

L2 2011/2012 USTV. Analyse. numérique M43. Recueil d exercices corrigés et aide-mémoire G. FACCANONI. Dernière mise-à-jour L / Recueil d exercices corrigés et aide-mémoire USTV M Analyse numérique G FACCANONI Dernière mise-à-jour Jeudi mai Avertissement : ces notes sont régulièrement mises à jour et corrigées, ne vous étonnez

Plus en détail

Suites et Convergence

Suites et Convergence Suites et Convergence Une suite c est se donner une valeur (sans ambigüité) pour chaque N sauf peutêtre les premiers n. Donc une suite est une fonction : I R où I = N: = N. Notation : On note ( ) I R pour

Plus en détail

Formes bilinéaires, produits scalaires Pour s entraîner...

Formes bilinéaires, produits scalaires Pour s entraîner... Formes bilinéaires, produits scalaires Pour s entraîner... I Savoir reconnaître un produit scalaire Les applications ci-dessous sont-elles des formes bilinéaires? Si oui sont-elles symétriques? Définies?

Plus en détail

Chapitre : Fonctions convexes

Chapitre : Fonctions convexes Chapitre : Fonctions convexes I Définition Définition 1 Soit f : I R une fonction continue où I un intervalle de R On dit que f est une fonction convexe si (x, y I 2, λ [0, 1], f(λx + (1 λy λf(x + (1 λf(y

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M Topologie 1 Espaces métriques 1.1 Distance Dans toute cette partie E représente un ensemble qui n est pas forcément un espace vectoriel. Définition

Plus en détail

(Un) Corrigé du partiel Lundi 19 mars 2007. u u1 = Au = 1 2) 1 t forment une base des solutions de ce système,

(Un) Corrigé du partiel Lundi 19 mars 2007. u u1 = Au = 1 2) 1 t forment une base des solutions de ce système, Université Paris 7 Denis Diderot UFR de Mathématiques Licence L3 Equations différentielles 2006-2007 P. Perrin (Un) Corrigé du partiel Lundi 9 mars 2007 Eercice. On considère le système différentiel linéaire

Plus en détail

Exercice 3.1.1 Si f est une fonction continue sur [0, 1], montrer que l équation différentielle

Exercice 3.1.1 Si f est une fonction continue sur [0, 1], montrer que l équation différentielle Chapitre 3 FORMULATION VARIATIONNELLE DES PROBLÈMES ELLIPTIQUES Exercice 3.. Si f est une fonction continue sur [, ], montrer que l équation différentielle { d 2 u = f pour < x < dx 2 (3.) u() = u() =.

Plus en détail

Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel

Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les vecteurs d un espace vectoriel général. Dans ce chapitre désigne

Plus en détail

Algèbre linéaire 3 : produits scalaires, espaces euclidiens, formes quadratiques.

Algèbre linéaire 3 : produits scalaires, espaces euclidiens, formes quadratiques. Université Paris-Dauphine DU MI2E, 2ème année Algèbre linéaire 3 : produits scalaires, espaces euclidiens, formes quadratiques. Cours 2010/2011 Olivier Glass Le polycopié qui suit peut avoir des différences

Plus en détail

Exo7. Développements limités. 1 Calculs. 2 Applications. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Développements limités. 1 Calculs. 2 Applications. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Développements ités Corrections d Arnaud Bodin. Calculs Exercice Donner le développement ité en 0 des fonctions :. cosx expx à l ordre 2. ln + x)) 2 à l ordre 4 shx x. x à l ordre 6 4. exp sinx) )

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Enoncés Familles sommables Ensemble dénombrable a) Calculer n+ Exercice [ 03897 ] [Correction] Soit f : R R croissante. Montrer que l ensemble des

Plus en détail

ET - FONCTIONS D ONDE DANS LES ETATS LIES D UN PUITS DE POTENTIEL

ET - FONCTIONS D ONDE DANS LES ETATS LIES D UN PUITS DE POTENTIEL ET - FONCTIONS D ONDE DANS LES ETATS LIES D UN PUITS DE POTENTIEL Dans ce qui suit on adopte les notations suivantes : désigne une constante universelle h = π = 6,60 34 Joules par seconde est la constante

Plus en détail

Systèmes dynamiques. Chapitre 1

Systèmes dynamiques. Chapitre 1 Chapitre 1 Systèmes dynamiques 1) Placement financier On dépose une quantité d argent u 0 à la banque à l instant t 0 = 0 et on place cet argent à un taux r > 0. On sait qu en vertu de la loi des intérêts

Plus en détail

Planche n o 19. Applications linéaires continues, normes matricielles. Corrigé

Planche n o 19. Applications linéaires continues, normes matricielles. Corrigé Planche n o 19. Applications linéaires continues, normes matricielles. Corrigé n o 1 *I : 1 Soit P E. Si on pose P = + a k X k, il existe n N tel que k > n, a k =. Donc P = { k= P k } Sup k!, k N = Max{

Plus en détail

Université Lille I 2010-2011. Feuille 1

Université Lille I 2010-2011. Feuille 1 Université Lille I 00-0 Feuille Dans la suite D est un domaine de C, muni d une pseudo-métrique infinitésimale définie par un poids ρ. On note d la pseudo-distance induite. Exercice. On suppose ici que

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. a) x arctan x. a) x x x b) x (ch x) x c) x ln x

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. a) x arctan x. a) x x x b) x (ch x) x c) x ln x [ttp://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 205 Enoncés Dérivation Dérivabilité Eercice [ 0354 ] [Correction] Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : a) 2 3 b) 2 ) arccos 2 ) Eercice 2

Plus en détail

Unicité et minimalité des solutions d une équation de Ginzburg-Landau.

Unicité et minimalité des solutions d une équation de Ginzburg-Landau. Unicité et minimalité des solutions d une équation de Ginzburg-Landau. Gilles arbou.m.l.a Ecole Normale Supérieure de achan 61, avenue du Président Wilson 9435 achan edex Résumé. - On étudie les solutions

Plus en détail

Chapitre 01 : Intégrales généralisées. Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle

Chapitre 01 : Intégrales généralisées. Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle Chapitre 01 : Intégrales généralisées Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle fermé borné de Dans ce chapitre, on va étudier le cas d

Plus en détail

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels.

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l année 28-29 1 Partiel Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. On suppose a + c = b + d = 1 et a b 1. ( ) a b c d 1. Soient (x 1,x

Plus en détail

Boîte à outils mathématiques de base pour l infographie et l animation par ordinateur. Yves Chiricota, professeur DIM, UQAC Cours 8TRD147

Boîte à outils mathématiques de base pour l infographie et l animation par ordinateur. Yves Chiricota, professeur DIM, UQAC Cours 8TRD147 Boîte à outils mathématiques de base pour l infographie et l animation par ordinateur Yves Chiricota, professeur DIM, UQAC Cours 8TRD147 14 Janvier 2015 2 Il est impossible d envisager l étude des méthodes

Plus en détail

Isométries d'un espace euclidien.

Isométries d'un espace euclidien. Isométries d'un espace euclidien. Dans ce chapitre, le corps des scalaires est R et l'espace (E ; ) est un espace euclidien de dimension finie n. 1. Isométries vectorielles d'un espace euclidien...p.1

Plus en détail

Liste complète des sujets d oral (SESSION 2004) servant pour 2004-2005. Leçons d Algèbre et de Géométrie

Liste complète des sujets d oral (SESSION 2004) servant pour 2004-2005. Leçons d Algèbre et de Géométrie http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini/agreg.htm Liste complète des sujets d oral (SESSION 2004) servant pour 2004-2005 Légende : En italique : leçons dont le libellé a changé ou évolué par rapport

Plus en détail

Espaces euclidiens. 1 Produit scalaire 2 1.1 Définition... 2 1.2 Exemples fondamentaux... 2 1.3 Cauchy-Schwarz... 3 1.4 Norme associée...

Espaces euclidiens. 1 Produit scalaire 2 1.1 Définition... 2 1.2 Exemples fondamentaux... 2 1.3 Cauchy-Schwarz... 3 1.4 Norme associée... Maths PCSI Cours Table des matières Espaces euclidiens 1 Produit scalaire 2 1.1 Définition...................................... 2 1.2 Exemples fondamentaux.............................. 2 1.3 Cauchy-Schwarz..................................

Plus en détail

Intégrales curvilignes et de surfaces

Intégrales curvilignes et de surfaces Intégrales curvilignes et de surfaces Fabrice Dodu FORMATION CONTINUE : DUT+3 DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES : INSA TOULOUSE 2-21 Version 1. Sommaire I Le cours 6 1 Intégrales curvilignes 8 1.1 Notions sur

Plus en détail

Quelques éléments d algèbre pour l analyse de

Quelques éléments d algèbre pour l analyse de Fiche TD avec le logiciel : tdr80 Quelques éléments d algèbre pour l analyse de données A.B. Dufour, D. Chessel et M. Royer L algèbre matricielle est fondamentale dans la compréhension de la théorie liée

Plus en détail

Ch2 : Analyse en Composantes Principales (ACP)

Ch2 : Analyse en Composantes Principales (ACP) Ch2 : Analyse en Composantes Principales (ACP) A- Objectifs B- construction d un espace factoriel C- Les étapes d une ACP D- Interprétation E- Limites A- Objectifs On dispose d un tableau de données X.

Plus en détail

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I ÉLÉMENTS D OPTIMISATION Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I CHARLES AUDET DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET DE GÉNIE INDUSTRIEL ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL Hiver 2011 1 Introduction

Plus en détail

Préparation à l agrégation interne de mathématiques - Année 2014-2015 Préparation à l écrit - Samedi 13 décembre 2014

Préparation à l agrégation interne de mathématiques - Année 2014-2015 Préparation à l écrit - Samedi 13 décembre 2014 Préparation à l agrégation interne de mathématiques - Année 04-05 Préparation à l écrit - Samedi 3 décembre 04 Durée : 4 à 6 heures - Le sujet comporte 6 pages. Dans ce problème, on se propose de prouver

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

Chapitre 3. Espaces vectoriels

Chapitre 3. Espaces vectoriels Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 3 Espaces vectoriels Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé

Plus en détail

Variations des fonctions

Variations des fonctions CH2-1er S Variations des fonctions Rédacteur : Yann BANC Le mot du prof : Ce chapitre vous permet de revoir les fonctions usuelles et de découvrir de nouvelles fonctions usuelles : valeur absolue et racine

Plus en détail

Exo7. Formes quadratiques. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr

Exo7. Formes quadratiques. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr Exo Formes quadratiques Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

Plus en détail

TD7. ENS Cachan M1 Hadamard 2015-2016. Exercice 1 Sous-espaces fermés de C ([0,1]) formé de fonctions régulières.

TD7. ENS Cachan M1 Hadamard 2015-2016. Exercice 1 Sous-espaces fermés de C ([0,1]) formé de fonctions régulières. Analyse fonctionnelle A. Leclaire ENS Cachan M Hadamard 25-26 TD7 Exercice Sous-espaces fermés de C ([,] formé de fonctions régulières. Soit F un sous-espace vectoriel fermé de C ([,] muni de la convergence

Plus en détail

Inde, avril 2014, exercice 1

Inde, avril 2014, exercice 1 Sujet 1 Inde, avril 2014, exercice 1 4 points Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième. 1 La durée de vie, exprimée en années, d un moteur pour automatiser

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

Équations différentielles en physique

Équations différentielles en physique Fiche Mathématiques pour la Physique - Équations différentielles en physique - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2012 Équations différentielles en physique On ne considère en physique en prépa (quasiment) que des

Plus en détail

ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 2007

ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 2007 ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 27 CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS DU CONTRÔLE DE LA NAVIGATION AÉRIENNE Épreuve commune obligatoire de MATHÉMATIQUES Durée : 4 Heures Coefficient

Plus en détail

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Semestre d accueil, le 30 mars 2006

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Semestre d accueil, le 30 mars 2006 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Semestre d accueil, le 30 mars 2006 MODÈLES DE DYNAMIQUE DES POPULATIONS N désigne l effectif d une population isolée. dn(t) dt MODÈLE DE MALTHUS (1766-1834) dn(t)

Plus en détail

1.1. Le moment cinétique en mécanique classique

1.1. Le moment cinétique en mécanique classique c M Dunseath-Terao - Master 1 de Physique UR1 2006 2007 1 Complément 1 Le moment cinétique 1.1. Le moment cinétique en mécanique classique L équation du mouvement d un corps en rotation en mécanique classique

Plus en détail