Modification des valeurs d une image

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2 Modification des valeurs d une image Pour l instant, nous avons vu surtout des transformations ponctuelles des pixels d une image Lire la valeur d un pixel la remplacer par une autre Il existe aussi des transformations locales Lire la valeur de quelques pixels voisins calculer une nouvelle valeur pour un pixel et des transformations globales Lire la valeur de tous les pixels de l image calculer une nouvelle valeur pour un seul pixel 2

3 f Transformations des pixels T g (x 0,y 0 ) (x 0,y 0 ) Ponctuelle: g(x 0,y 0 )=T[f(x 0,y 0 )] Locale: g(x 0,y 0 )=T[f(V)] V:voisinage de (x 0,y 0 ) Globale: g(x 0,y 0 )=T[f(x,y)] par ex: TF Source : Caroline Rougier. Traitement d'images (IFT2730). Univ. de Montréal. 3

4 Convolution numérique La convolution discrète est un outil permettant l utilisation de filtres linéaires ou de filtres de déplacements invariants L équation générale de la convolution, notée g(x), de la fonction d origine f(x) avec une fonction h(x) est : g x= f x h x = k h x k f k f(x) est la fonction d origine et g(x) la fonction convoluée (résultat de la convolution) Dans notre cas, une image est vue comme une fonction mathématique h(x) est appelé masque de convolution, noyau de convolution, filtre, fenêtre, kernel, 4

5 Exemple de convolution 2D * = Image d origine Filtre de convolution (masque) Image convoluée (résultat) Note : par convention pratique, la taille de l image résultat est la même que celle de l image d origine 5

6 Convolution numérique discrète En pratique, la convolution numérique d'une image se fera par une sommation de multiplications Un filtre de convolution est une matrice (image) généralement (mais pas toujours) de taille impaire et symétrique 3x3, 5x5, 7x7, Convolution d une image par un filtre 2D : I ' i, j = I i, j filtrei, j I ' i, j = u v I i u, j v filtre u, v 6

7 Convolution numérique I * K Noyau de convolution Image 7

8 Convolution numérique R = I*K K R I R(1,1) = I(0,0) K(0,0) + I(1,0) K(1,0) + I(2,0) K(2,0) + I(0,1) K(0,1) + I(1,1) K(1,1) + I(2,1) K(2,1) + I(0,2) K(0,2) + I(1,2) K(1,2) + I(2,2) K(2,2) 8

9 Convolution numérique R = I*K K I R R(2,1) = I(1,0) K(0,0) + I(2,0) K(1,0) + I(3,0) K(2,0) + I(1,1) K(0,1) + I(2,1) K(1,1) + I(3,1) K(2,1) + I(1,2) K(0,2) + I(2,2) K(1,2) + I(3,2) K(2,2) 9

10 Convolution numérique R = I*K K I R R(x,y) = I(x-1,y-1) K(0,0) + I(x, y-1) K(1,0) + I(x+1, y-1) K(2,0) + I(x-1,y) K(0,1) + I(x,y) K(1,1) + I(x+1,y) K(2,1) + I(x-1,y+1) K(0,2) + I(x,y+1) K(1,2) + I(x+1,y+1) K(2,2) 10

11 Convolution numérique R = I*K I R K R(N-2,M-2) = I(N-3,M-3) K(0,0) + I(N-2,M-3) K(0,1) + I(N-1,M-3) K(0,3) + I(N-3,M-2) K(1,0) + I(N-2,M-2) K(1,1) + I(N-1,M-2) K(1,2) + I(N-3,M-1) K(2,0) + I(N-2,M-1 )K(2,1) + I(N-1,M-1) K(2,2) 11

12 Convolution numérique Problème : Que faire avec les bords de l'image? Mettre à zéro (0) Convolution partielle Sur une portion du noyau Miroir de l'image f(-x,y) = f(x,y) (pas de solution miracle)???????????????????????????????????? 12

13 13

14 Masque de convolution Le masque de convolution représente un filtre linéaire permettant de modifier l'image On divisera le résultat de la convolution par la somme des coefficients du masque Pour éviter de modifier la luminance globale de l'image, la somme des coefficients doit être égale à 1 14

15 Deux types pour le filtrage spatial Filtres passe-bas Atténue le bruit et les détails (basses fréquences) lissage Filtres passe-haut Accentue les détails et les contours (hautes fréquences) accentuation CVIPTools : Utilities>Filter>Specify a filter 15

16 Le filtre moyenneur Le filtre moyenneur Permet de lisser l'image (smoothing) Remplace chaque pixel par la valeur moyenne de ses voisins Réduit le bruit Réduit les détails non-important Brouille ou rend floue l'image (blur edges) Filtre dont tous les coefficients sont égaux Exemple de filtres moyenneurs : 1/9 1/9 1/ /9 1/9 1/9 ou 1/ /9 1/9 1/ x3 CVIPTools : Utilities>Filter>Mean x5 16

17 Exemples de filtres moyenneurs Original Moyenne 5x5 Moyenne 11x11 Source : monkey.geog.ucsb.edu/mh/115b/filter.pdf 18

18 Le filtre Gaussien Fonction gaussienne en 3D Le filtre gaussien donnera un meilleur lissage et une meilleure réduction du bruit que le filtre moyenne CVIPTools : Utilities>Filter>Specify a blur>gaussian Image d'une gaussienne [ ]

19 Exemples de filtres gaussiens Original Gauss 5x5 Gauss 11x11 Source : monkey.geog.ucsb.edu/mh/115b/filter.pdf 20

20 Filtres non-linéaires (autre que convolution) 21

21 Filtre médian (non-linéaire) Pour nettoyer le bruit dans une image, il existe mieux que le filtre moyenneur ou le filtre gaussien Il s'agit du filtre médian C'est un filtre non-linéaire, qui ne peut pas s'implémenter comme un produit de convolution On remplace la valeur d'un pixel par la valeur médiane dans son voisinage NxN Moyenne = 45 bruit , 10, 10, 20, 20, 25, 30, 30, médiane CVIPTools : Utilities>Filter>Median 22

22 Exemple de filtre médian Original Moyenne 3x3 Médian 3x3 Source : Gonzalez and Woods. Digital Image Processing. Prentice-Hall,

23 Nettoyage du bruit dans une image Bruit "poivre et sel" 3 X 3 Moyenne 5 X 5 Moyenne 7 X 7 Moyenne Filtre médian CVIPTools : Utilities>Creeate>Add noise 24

24 Image initiale Bruit Poivre & Sel Moyenne V8 Min V8 Max V8 Médian V8 Source : Caroline Rougier. Traitement d'images (IFT2730). Univ. de Montréal. 25

25

26 Notions de fréquences dans un signal Signal haute fréquence Signal basse fréquence Ce signal représente la somme des quatre signaux cidessus Source : Gonzalez and Woods. Digital Image Processing. Prentice-Hall,

27 Les fréquences dans l image 3

28 Les fréquences dans l image Qu est-ce qu une fréquence dans une image? Fréquence = changement d intensité Basses fréquences : régions homogènes, flou Hautes fréquences : contours, changement brusque d intensité, bruit Haute fréquence Basse fréquence La plus grande partie de l'énergie d'une image se situe dans les basses fréquences. 4

29 Basses fréquences Les basses fréquences correspondent à des changements d intensité lents Source : Thomas Guyet. Images numériques. IUT Sérécom (France). 5

30 Hautes fréquences Les hautes fréquences correspondent à des changements d intensité rapides Source : Thomas Guyet. Images numériques. IUT Sérécom (France). 6

31 Analyse spectrale d une image Une image est avant tout un signal (visuel) Tout comme le son est un signal audio On peut analyser les fréquences de ce signal On parle de fréquences spatiales (image) au lieu de fréquences temporelles (audio) Pour cela, on crée un nouvel «histogramme» (graphique) qui va représenter les fréquences de l image L outil de base pour cela est la Transformée de Fourier On parle de domaine fréquentiel, par opposition au domaine spatial (de l image) 7

32 Transformée de Fourier (TF) Image originale y domaine spatial x Spectre de Fourier F(u,v) v Spectre rehaussée log(1 + F(u,v) ) domaine fréquentiel u CVIPTools : Analysis>Transforms>FFT (note : quelques erreurs parfois dans la FFT CVIPTools) 8

33 Interprétation de la Tranformée 2D Hautes fréquences : loin du centre de la TF Basses fréquences : proche du centre de la TF Composante continue (DC) : centre de l image fréquence zéro = moyenne de l image 9

34 Transformée en nombres complexes La Transformée de Fourier d une fonction réelle donne une fonction complexe Entrée : une image Sortie : image(partie réelle) + image(partie imaginaire) Rappel sur la définition d un nombre complexe : z=x iy où i= 1 On utilise beaucoup la norme de la Transformée : Norme= F u,v = Réel Imag

35 Codage de la transformée de Fourier L algorithme le plus connu et le plus utilisé est la FFT Deux implémentations très souvent utilisées sont FFT = Fast Fourier Transform «Numerical Recipies», chapitre 12 FFTW, On le retrouve dans la majorité des librairies existantes incluant Torch3Vision et LTI-Lib mais pas dans OpenCV qui possède une autre implémentation via la fonction cvdft 11

36 Fonctionnement (pratique) de la TF TF partie réelle Image originale (niveau de gris) Pré-traitement Changement de taille pour avoir des tailles X et Y en puissance de 2 (on remplit avec des zéros). CVIPTools : Analysis>Transforms>Extract FFT Phase FFT ou DFT TF partie imaginaire 12

37 Inversion des quadrants de la TF (selon les librairies) Origine (0,0) TF partie réelle TF partie imaginaire 13

38 TF inverse TF partie réelle TF-1 TF partie imaginaire 14

39 Exemples de Transformée de Fourier Images originales TF Source : Thomas Guyet. Images numériques. IUT Sérécom (France). Vue 3D de la TF 15

40 Quelques TF de base Sinus Gaussienne Carré Impulsions CVIPTools : Utilities>Create>{Rectangle, Sine Wave, Square Wave} 16

41 Autres exemples (contours) Regardez les lignes dans ces deux images L'image de gauche possède des lignes horizontales/verticales qu'on retrouve dans sa transformée L'image de droite possède des lignes dans toutes les directions qu'on retrouve aussi dans sa transformée Source :John M. Brayer. Introduction to Fourier transforms for image processing. 17

42 Rotation d images Rotation d images rotation de la TF (même angle) Source : Thomas Guyet. Images numériques. IUT Sérécom (France). 18

43 Filtrage dans le domaine spectral Image initiale TF Filtrage spatial (convolution) TF-1 Image filtrée Image transformée Filtrage spectral (multiplication) Image transformée filtrée Dans le domaine spatial, le filtrage se fait par convolution. Dans le domaine spectral (ou fréquentiel), il se fait par multiplication (ou masquage de l'image). Dans le cas des filtres dans le domaine fréquentiel non-multiplicatif, on ne peut pas obtenir le même résultat par convolution dans le domaine spatial. 19

44 Filtrage dans le domaine spectral TF Filtrage spectral TF-1 CVIPTools : Analysis>Transforms>Low Pass Source : Eric Favier. L'analyse et le traitement des images. ENISE. 20

45 Bandes de fréquences Image Spectre de Fourier Pourcentage de l information de l image inclus dans les cercles (plus petit vers le plus grand) : 90%, 95%, 98%, 99%, 99.5%, 99.9% Source : Tal Hassner. Computer Vision. Weizmann Institute of Science (Israel). 21

46 Filtrage passe-bas 90% 95% 98% 99% 99.5% 99.9% Source : Tal Hassner. Computer Vision. Weizmann Institute of Science (Israel). 22

47 Filtrage passe-bas par TF On efface les hautes fréquences de la TF en mettant les pixels loin du centre à zéro CVIPTools : Analysis>Transforms>Low Pass Source : Thomas Guyet. Images numériques. IUT Sérécom (France). 23

48 Filtrage passe-haut par TF On efface les basses fréquences de la TF en mettant les pixels au centre à zéro CVIPTools : Analysis>Transforms>High Pass Source : Thomas Guyet. Images numériques. IUT Sérécom (France). 24

49 Réduction du bruit dans une image Image bruitée (bruit sinus) Image filtrée FFT FFT-1 Spectre de Fourier (DC + sinus visibles) Mise à zéro des fréquences du sinus (notch) CVIPTools : Analysis>Transforms>Notch (note : résultat imparfait avec FFT CVIPTools) 25

50 Lectures suggérées Introduction au Traitement d Images (Lingrand), sections 4.3 et 4.4 Digital Image Processing: An Algorithmic Introduction using Java (Burger & Burge) : chapitres 6 Wikipédia : Produit de convolution, Lissage d'images, Masque flou, Gaussian filter, Gaussian blur, Median filter, Salt and pepper noise, Transformée de Fourier Discrète, Transformée de Fourier Rapide (FFT)

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