COMPARAISON DE MÉTHODES POUR LA CORRECTION

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1 COMPARAISON DE MÉTHODES POUR LA CORRECTION DE LA NON-RÉPONSE TOTALE : MÉTHODE DES SCORES ET SEGMENTATION Émle Dequdt, Benoît Busson 2 & Ncolas Sgler 3 Insee, Drecton régonale des Pays de la Lore, Servce Études Dffuson, 05 rue des Franças Lbres, BP 6740, NANTES CEDEX 2 ; 2 DGFIP, Servce des Retrates de l'état, 0 boulevard Gaston Doumergue, NANTES CEDEX 9 ; 3 Insee, Drecton régonale des Pays de la Lore, Pôle Ingénere statstque Entreprses, 05 rue des Franças Lbres, BP 6740, NANTES CEDEX 2 ; Résumé. L obet de cet artcle est de comparer deux méthodes de formaton des classes de repondératon utlsées pour corrger la non-réponse totale : la méthode des scores, fondée sur la modélsaton de la probablté de réponse à l ade de procédures logstques, et la segmentaton. Cette comparason a été mse en œuvre à partr de smulatons sur l enquête concernant les technologes de l nformaton et de la communcaton et le commerce électronque (TIC) 20. Ont été utlsés 2 scénar de non-réponse, ssus de 7 mécansmes de réponse calés sur 3 taux de réponse (70 %, 80 % et 90 %). La segmentaton semble présenter de nombreux avantages. En termes de formaton des classes de repondératon, son ntérêt essentel est de fournr des groupes de réponse homogènes ayant un sens du pont de vue économque. La méthode, descrptve, permet de les caractérser faclement. Elle est également plus lsble, le nombre de groupes reflétant l homogénété des untés en termes de comportement de réponse. En revanche, la qualté des estmateurs obtenus ne donne pas d avantage net à la segmentaton par rapport à la méthode des scores. Les résultats fourns par les deux méthodes sont en effet très proches.

2 Sommare. Éléments de contexte Pourquo corrger la non-réponse? Correcton de la non-réponse totale par repondératon Les méthodes de formaton des classes de repondératon Comparason des deux méthodes Étapes prélmnares Stuaton de référence La populaton fctve Les estmateurs cbles Génératon des échantllons Génératon de la non-réponse Premère méthode : la méthode des scores Descrpton Intérêt de la méthode Mse en œuvre Deuxème méthode : la segmentaton par arbre Présentaton de la segmentaton par arbre Intérêt de la méthode Mse en œuvre Analyse des résultats Analyse des «modèles» trouvés Les varables retenues dans le modèle Le nombre de groupes de réponse homogènes Analyse des estmateurs Comparason des méthodes La «modélsaton» Les ndcateurs de Monte-Carlo Synthèse et pstes d approfondssement... 7 Bblographe... 9 Annexes

3 L obet de cette contrbuton est de comparer deux méthodes de formaton des classes de repondératon utlsées pour corrger la non-réponse totale : la méthode des scores, fondée sur la modélsaton de la probablté de réponse à l ade de procédures logstques, et la segmentaton. Cette comparason a été mse en œuvre à partr de smulatons sur l enquête concernant les technologes de l nformaton et de la communcaton et le commerce électronque (TIC) 20.. Éléments de contexte. Pourquo corrger la non-réponse? L absence de réponse, pour tout ou parte d un questonnare, a un mpact sur les estmateurs produts. La conséquence prncpale est de baser les estmateurs ponctuels (proportons pour les varables qualtatves, total ou moyenne par exemple pour les varables quanttatves), s les nonrépondants ont un comportement dfférent des répondants. En effet, dans ce cas, observer les estmateurs sur les seuls répondants ne reflète pas la stuaton qu aurat été observée sur l ensemble de l échantllon. La non-réponse a également pour effet d augmenter la varance des estmateurs : les estmateurs sont mons précs, dans la mesure où ls sont calculés sur un échantllon plus pett, en l absence de réponse sur une parte de l échantllon. Enfn, la non-réponse entraîne un bas des estmateurs de varance standard, ce qu peut avor un mpact lors de la réalsaton de tests par exemple..2 Correcton de la non-réponse totale par repondératon Usuellement, pour les enquêtes thématques entreprses, la non-réponse totale est corrgée par repondératon, qu consste à augmenter le pods de sondage des untés répondantes pour compenser l absence des untés non répondantes. Introdusons quelques notatons pour explcter les effets de la non-réponse. Sot une populaton U de talle N. Supposons que l on veulle estmer le total Y = pour une varable d ntérêt y. y U Pour estmer y, on tre un échantllon aléatore s, de talle n selon un plan de sondage p (.). Sot Yˆ NR l estmateur de Y obtenu après correcton de la non-réponse totale. L erreur totale de Yˆ NR, Yˆ NR Y, peut être décomposée comme la somme de deux termes d erreur : Yˆ NR Y = ( Yˆ Y ) + ( Yˆ Yˆ ) à l HT 4243 erreur due ' échantllonage NR HT, 4243 erreur due à la non réponse où Yˆ HT est l estmateur de Horvtz-Thompson que l on aurat obtenu en l absence de non-réponse, lequel est un estmateur sans bas de Y sous p (s). Le bas de l estmateur s écrt alors de la manère suvante : Bas ( Yˆ ) = E( Yˆ Y ) = E E ( Yˆ Y s) = E ( Yˆ Y s) + E E ( Yˆ Yˆ s) NR NR = E p Er ( Yˆ NR Yˆ HT s) = E p ( Br ) où B E ( Yˆ Yˆ s) p r NR p HT r = r NR HT est le bas de non-réponse condtonnel étant donné l échantllon s, E p (.) l espérance par rapport au plan de sondage et E (.) l espérance par rapport au mécansme de réponse. r p r NR HT 3

4 Le bas de non-réponse condtonnel est nul lorsque le mécansme de réponse est unforme, c està-dre que pour toutes les untés de la populaton, la probablté de réponse est ndépendante des varables auxlares comme des varables d ntérêt. L hypothèse d un mécansme de réponse unforme n est pas réalste en pratque. Pour s en approcher, l dée est de découper l échantllon en classes, telles que le mécansme de réponse sot homogène à l ntéreur de chacune d entre elles. La dffculté est que les probabltés de réponse p de chaque unté ne sont pas connues. Dès lors, l faudra modélser cette probablté de réponse et utlser sa valeur estmée pour repondérer au sen de chaque classe. S l échantllon s est dvsé en C classes, * w pour l unté dans la classe c est donné par classe c.,..., s c sc telles que U C s s c c= w * = w / pˆ c, où c s,..., L estmateur par repondératon est alors donné par Yˆ = Nˆ y, où Nˆ c = w et rc = w a y s c s c s c RC C c= c rc =, alors le pods austé pˆ est le taux de réponse dans la y w a, sot la moyenne des répondants dans la classe c. Le bas de non-réponse condtonnel s écrt sous la forme : C ( Y s) = E ( Yˆ Yˆ s) = w ( p p )( y y ) Bas ˆ RC R RC c c, p où c= c p c = w p w et c = w y s c s c y w. s s c c s c Ans, pour que le bas sot nul, l sufft que le mécansme de réponse sot unforme au sen de chaque classe, c est-à-dre pˆ = pˆ c s l unté sc. Dans la pratque, lorsque les classes - ou «groupes de réponse homogènes» (GRH) - sont consttuées, l reste alors à repondérer les observatons. On calcule tout d abord le taux de réponse observé à l ntéreur des classes, comme le rapport entre le nombre de répondants et l effectf total du groupe (sot c le nombre d entreprses en tenant compte de leur pondératon détermnée à l échantllonnage). Le taux de réponse pour la classe c est ans donné par : Taux de réponse = w répondantes w ensemble de l ' échantllon = pˆ. c Enfn, les pods détermnés sute à la correcton de la non-réponse sont calculés à l ntéreur de chaque classe en dvsant le pods de départ des répondants par ce taux de réponse observé (estmaton de la probablté de réponse) : w * = w / pˆ. Notons que cette étape de repondératon est menée de manère dentque, quelle que sot la méthode de formaton des classes utlsée..3 Les méthodes de formaton des classes de repondératon Dfférentes méthodes peuvent être moblsées pour former les classes homogènes (ou GRH) par rapport aux probabltés de réponse. Elles sont fondées sur de la modélsaton ou de la segmentaton, mas reposent toutes sur la sélecton au préalable d un ensemble de varables auxlares (dsponbles pour toutes les untés de l échantllon, qu elles soent répondantes ou non répondantes) lées au comportement de réponse. c 4

5 La mse en œuvre de ces méthodes peut être résumée de la manère suvante : - Technques de modélsaton : Méthode des crosements : Cette méthode consste à modélser les probabltés de réponse p à partr d un modèle contenant au départ toutes les nteractons possbles entre les varables auxlares préalablement sélectonnées et catégorsées s beson. Les crosements de varables sont ensute regroupés de manère tératve usqu à former les classes de repondératon. Des contrantes sont mposées sur le nombre et la proporton d untés répondantes dans chaque classe, afn d évter les classes à fable effectf, qu pourraent rendre les estmateurs nstables. La méthode des crosements est celle qu s approche le plus de celle mse en œuvre usqu à présent au pôle Ingénere statstque Entreprses de l Insee. Elle nécesste néanmons une étape d expertse dans la défnton du modèle, afn d obtenr des groupes de réponse ayant un sens d un pont de vue économque, ou tout au mons qu soent nterprétables selon dfférentes varables. Pour cette rason, nous avons pour nos smulatons chos d utlser une méthode alternatve, plus faclement automatsable : la méthode des scores. Méthode des scores : La méthode des scores s appue également sur de la modélsaton, mas sans ntrodure les nteractons entre les varables auxlares. La probablté de réponse est estmée pour toutes les untés de l échantllon, répondantes ou non, et sert de crtère d homogénété pour la formaton des classes. Sot les estmateurs pˆ sont ordonnés pour dvser l échantllon en classes de talles égales (méthode des «quantles égaux»), sot les untés smlares sont regroupées à l ade d une classfcaton. - Technques de segmentaton : Dans l approche par segmentaton, la populaton de départ est découpée de manère successve selon les modaltés des varables détermnées comme les plus dscrmnantes à chaque tératon. Dfférents algorthmes de segmentaton exstent, tel que l algorthme CHAID (Kass, 980)..4 Comparason des deux méthodes Notre obectf est c de comparer les deux méthodes de correcton de la non-réponse : la méthode tradtonnelle, par régresson logstque, et la méthode par segmentaton. La comparason est effectuée à partr de smulatons sur l enquête concernant les technologes de l nformaton et de la communcaton et le commerce électronque (enquête TIC, cf. annexe 4), en combnant dfférents scénar de non-réponse sur 000 échantllons ssus de l enquête 20. Le protocole suv se déroulera suvant les dfférentes étapes décrtes c-dessous : - consttuton d une populaton fctve à partr de l enquête TIC 20 - calcul des estmateurs cbles - échantllonnage - génératon de la non-réponse - correcton de la non-réponse selon les deux méthodes - analyse des estmateurs obtenus (bas, varance) Les estmateurs sont comparés au regard du bas relatf ( RB MC ) et de l erreur quadratque moyenne ( MSE MC ) de Monte-Carlo. On compare ans : ˆ R seg Y ( ˆ Y R score seg Y RB Y ) 00 (en %) et ( ˆ Y score Y ) 00 MC = R = Y ˆ RB MC = (en %), R Y = 5

6 MSE MC R R seg seg 2 ( Yˆ ) = ( Yˆ score score Y ) et MSE ( Yˆ ) = ( Yˆ Y ) R = seg MSEMC ( Yˆ ) (on compare en fat score MSE ( Yˆ ) MC à ) où R est le nombre d échantllons ( 000 dans notre cas), MC R = seg Yˆ segmentaton et scores calculés sur l échantllon, et Y l estmateur cble. et 2 score Yˆ les estmateurs des méthodes 2. Étapes prélmnares 2. Stuaton de référence Avant de procéder aux smulatons, comprenant une phase d échantllonnage et la génératon de la non-réponse, la premère étape consste à créer une populaton fctve à partr du fcher TIC 20 de fn d enquête, dans lequel les non-réponses partelle et totale ont été corrgées. 2.. La populaton fctve La populaton fctve est créée à partr de l échantllon de TIC 20. Les entreprses conservées pour créer cette populaton artfcelle, après redressement de la non-réponse totale et partelle sur le fcher d orgne, sont les entreprses répondantes ou consdérées comme telles. Ce derner cas concerne les entreprses non substtuables : ce sont de très grandes entreprses et/ou des entreprses très partculères par rapport aux thèmes tratés, pour lesquelles des tratements partculers sont effectués. Au total, entreprses sont retenues, qu représentent 8 % de l échantllon d orgne. Ces untés sont duplquées selon leur pods de calage, pour obtenr une populaton de départ proche de la populaton d orgne. Au fnal, la populaton fctve est composée de entreprses Les estmateurs cbles Pour comparer les deux méthodes, ont été choses 4 varables test : 5 varables quanttatves et 9 varables qualtatves (ou/non). Les estmateurs cbles calculés correspondent au total pour les varables quanttatves et à la proporton de «ou» pour les varables qualtatves. Varables test et estmateurs cbles : Varables numérques Cble A2 Nombre de personnes utlsant un ordnateur B4 Nombre de personnes utlsant Internet G2 Montant du CA généré va le web (en mllers d euros) G5 Montant du CA généré va EDI* (en mllers d euros) G8 Montant des achats électronques (en mllers d euros) Varables qualtatves (proporton de ou, en %) B Présence d'un accès Internet 98,3 B6 Présence d'un ste web ou d'une page d'accuel 62,7 C Présence d'un système d'échange électronque traté automatquement 48, Da Factures électronques aux clents par tratement automatque 9,6 Db Factures électronques aux clents par courrer ou pèces ontes pdf 34,8 G Récepton de commandes de bens ou servces sur le ste web 9,3 G4 Récepton de commandes de bens ou servces va EDI* 5,3 G7 Achat de bens et servces par voe électronque 27,4 H Utlsaton d'outls fondés sur la RFID* 2,5 * EDI = Echange de données nformatsées, RFID = Identfcaton par rado-fréquence 6

7 2.2 Génératon des échantllons Avant de smuler la non-réponse, nous procédons à une phase d échantllonnage, l dée étant de cumuler les mécansmes aléatores comme en pratque dans les enquêtes. Après avor créé la populaton fctve, la seconde étape consste à trer 000 échantllons à partr de cette populaton servant de base de sondage, le nombre d échantllons étant suffsamment mportant pour que les dfférences observées par la sute ne soent pas le fat du hasard. On reprodut l échantllonnage stratfé par secteur et talle de l enquête TIC 20. Les entreprses d au mons 500 personnes occupées sont nterrogées exhaustvement. Pour les autre strates, les taux de sondage provennent d une allocaton proportonnelle au nombre de personnes occupées. Cette étape a été réalsée à l ade de la procédure Surveyselect de SAS, en entrant le nombre d untés à trer dans chaque strate. Chacun des 000 échantllons content n fne entreprses. 2.3 Génératon de la non-réponse Après avor réalsé l échantllonnage, l étape suvante consste à générer la non-réponse. Nous avons smulé 2 scénar de non-réponse, générés à partr de 7 mécansmes de réponse calés sur 3 taux de réponse dfférents (70 %, 80 % et 90 %). Les mécansmes de réponse ont été construts selon dfférentes logques. Nous avons eu recours au secteur et à la talle des untés, deux varables clés des enquêtes thématques entreprse. Nous avons également testé un mécansme fondé sur les groupes de réponse homogènes, tels qu ls ont été détermnés lors du tratement effectf de l enquête TIC 20. Nous avons par alleurs souhaté tester des mécansmes plus proches de la réalté en ntrodusant des «varables cachées», au sens où celles-c ne seront pas utlsées ensute pour corrger la non-réponse. Les 7 mécansmes de réponse sont les suvants : - Aléatore smple sans remse - ZAU : localsaton de l unté selon la typologe des communes en ares urbanes ; l s agt d une varable cachée - Taux d endettement : taux d endettement de l entreprse catégorsé en décles ; l s agt d une varable cachée - GRH : les GRH retenus lors du redressement de l enquête TIC 20, au nombre de 8 ; les varables composantes sont la régon (DOM/TOM, Pars et pette couronne, provnce), le comportement de réponse à l enquête précédente, le secteur (0 postes) et la talle (5 tranches) - GRH x taux d endettement : crosement des varables précédentes (taux d endettement en varable cachée) - Secteur x talle : crosement du secteur (regroupé en 23 postes de la nomenclature agrégée A38) et de la talle en 5 tranches (0 à 9, 20 à 49, 50 à 249, 250 à 499, 500 salarés et plus) - Secteur x talle x taux d endettement : crosement des varables précédentes (taux d endettement en varable cachée). Ces mécansmes de réponse ont été générés en fxant une probablté de réponse pour chaque modalté des varables (ou crosement de varables) consdérées, en reprodusant le taux de réponse observé sur l enquête TIC 20. Cette premère phase a été réalsée sous SAS à l ade de la procédure Surveyselect. La macro Calmar a ensute été utlsée pour caler les taux de répondants à 70 %, 80 % et 90 %. 7

8 3. Premère méthode : la méthode des scores La premère méthode de correcton proposée, la méthode des scores, est mse en œuvre avec la méthode des quantles égaux, qu permet d automatser les tratements et d être plus «obectf», par rapport à la pratque usuelle dans le tratement des enquêtes, où une expertse est menée au cas par cas pour amender les classes de repondératon. 3. Descrpton La méthode des scores, permettant de construre les classes de repondératon, procède suvant les deux phases décrtes c-dessous. Étape : Modélsaton du score La ère étape consste à modélser la probablté de réponse Rappelons que nous sommes dans la stuaton d un mécansme de réponse défn par une ndcatrce de réponse a qu vaut s l ndvdu répond et 0 snon, telle que : avec une probablté p. p. a = 0 avec une probablté p À partr de varables auxlares dsponbles pour toutes les untés dans l échantllon (répondantes et non répondantes), on estme la probablté de réponse p pour toutes les untés, qu elles soent répondantes ou non répondantes, à l ade d un modèle logstque de la forme : p log = z β p, où z est un vecteur de varables auxlares dsponbles pour toutes les untés dans l échantllon et β un vecteur de paramètres nconnus. On obtent alors la prédcton pˆ log pˆ βˆ étant obtenu par la méthode du maxmum de vrasemblance. = z βˆ pour toutes les untés dans l échantllon, le vecteur On en dédut le score pˆ, qu servra de crtère d homogénété des classes. Notons que lors de cette étape, est également détermné l ensemble des varables auxlares qu explquent le comportement de réponse. Étape 2 : Formaton des classes En se fondant sur les probabltés de réponse estmées pˆ, on forme les classes suvant la méthode des quantles égaux, en répartssant les untés en un certan nombre de groupes, défn a pror. Pour ce fare, on ordonne les valeurs de pˆ en ordre crossant, pus on dvse l échantllon en classes de talles approxmatvement égales. L dée est que s les probabltés de réponse p sont ben estmées, alors pˆ p, et les classes, homogènes par rapport à pˆ, le seront également par rapport aux p, de sorte que le bas sera proche de Intérêt de la méthode Cette méthode, automatque, présente des avantages : - L nformaton des varables auxlares est résumée dans l estmaton de la probablté p ; dès lors, le problème de la présélecton de varables auxlares pertnentes ne se pose pas. - La modélsaton par groupes amène une certane robustesse s le modèle est mal spécfé. - On maîtrse a pror le nombre de classes, ce qu permet d assurer d un nombre suffsant d ndvdus par classe, même s, en théore, le chox du nombre de classes peut s avérer 8

9 délcat. En effet, l résulte d un comproms entre, d une part, augmenter le nombre de classes pour rédure le bas en assurant une plus grande homogénété à l ntéreur des classes, et, d autre part, dmnuer le nombre de classes pour avor davantage de répondants dans chacune et donc une melleure précson pour des estmateurs plus stables. Les nconvénents sont les suvants : - Le prncpal est que la répartton par quantles égaux peut amener à regrouper des untés très dfférentes (secteur, talle, etc.). Auss, les classes peuvent ne pas avor de cohérence économque, ce qu peut, en pratque, dérouter quelque peu les maîtrses d ouvrage des enquêtes. - En théore, l faudrat également accorder une mportance partculère, en amont de la procédure Logstc, à la structure des données en termes de découpage et de regroupement des modaltés. Cette phase préalable n a toutefos pas été réalsée c, de manère à comparer les deux méthodes de correcton de la non-réponse à partr de varables dentques en entrée. - Il faut également sgnaler que la méthode ne permet pas de détecter les nteractons entre varables, sauf à les ntégrer explctement en entrée de la modélsaton. 3.3 Mse en œuvre La modélsaton des ndcatrces de réponse et l estmaton des probabltés de réponse sont réalsées sous SAS à l ade d une procédure Logstc non pondérée. Les varables en entrée du modèle sont des varables qualtatves dsponbles pour toutes les untés (souvent des varables de lancement de l enquête) ayant potentellement une nfluence sur la probablté de réponse. Le chox a été largement nspré de la consttuton des groupes de réponse homogènes réalsée lors du tratement effectf de la non-réponse sur le fcher TIC 20, qu retenat les varables : secteur d actvté, talle, localsaton, comportement de réponse à l enquête précédente et appartenance à un groupe. Nous avons aouté le chffre d affares, et vellé à prendre le même nveau de détal que lors de la génératon de la non-réponse pour les varables relatves au secteur et à la talle de l entreprse. Au fnal, les varables proposées en entrée de la modélsaton sont les suvantes : - le secteur d actvté : regroupement en 23 postes de la nomenclature d actvté agrégée A38 - la talle de l entreprse : 0 à 9 salarés 20 à 49 salarés 50 à 249 salarés 250 à 499 salarés 500 salarés et plus - la localsaton géographque : DOM/TOM Pars et pette couronne autres régons regroupées par grandes zones géographques - le comportement de réponse à l'enquête précédente : entreprse non nterrogée dans TIC 200 entreprse nterrogée répondante à TIC 200 entreprse nterrogée non répondante ou hors champ dans TIC l appartenance à un groupe en 2008 : ou non 9

10 - le chffre d affares (en mllers d euros) : 0 à mons de à mons de à mons de à mons de et plus. Les groupes de réponse homogènes sont ensute détermnés à l ade de la procédure Rank de SAS, le nombre de classes étant paramétré à 25. Il faut précser que le nombre de classes demandées consttue en fat un maxmum. En pratque, le nombre de classes peut être nféreur à 25 en foncton du modèle trouvé lors de la procédure Logstc (cf. page 5). 4. Deuxème méthode : la segmentaton par arbre 4. Présentaton de la segmentaton par arbre La segmentaton consste à construre des groupes d untés les plus homogènes possble par rapport à une varable d ntérêt Y en utlsant l nformaton de p varables X,..., X p, dtes «explcatves». Elle procède par dvsons successves des untés d une populaton en segments, ou «nœuds», construsant un arbre, de sorte que chaque nœud sot homogène par rapport à la varable d ntérêt en utlsant l nformaton des varables explcatves. L ensemble des nœuds termnaux, ou «feulles», consttue une partton de la populaton ntale en classes homogènes par rapport à la varable d ntérêt. Les varables Y et X,..., X p peuvent être bnares, nomnales, ordnales ou quanttatves. S Y est qualtatve (bnare, nomnale ou ordnale), on parle d arbre de classfcaton. S Y est quanttatve, on parle d arbre de régresson. Dverses méthodes de segmentaton par arbres (CART, ID3, C4.5 et C5.0, CHAID, QUEST, etc.) ont été proposées depus les années 960. Elles dffèrent par le type de varables à exploter (qualtatves, contnues ), par l ndcateur de qualté ou les crtères d arrêt retenus. Ces méthodes sont dsponbles dans dfférents logcels de statstque. Pour automatser la segmentaton sur 000 échantllons pour chacun des 2 scénar, nous avons chos d utlser la méthode CHAID, mplémentée en SAS va la macro TREEDISC. Celle-c permet de générer un code SAS utlsable pour réalser une classfcaton des observatons. La méthode CHAID (Ch-square Automatc Interacton Detecton) a été proposée par Kass (980). Il s agt d une améloraton des algorthmes AID (Morgan et Sonqust, 963) et THAID (Messenger et Morgan, 973). La méthode fonctonne avec des varables qualtatves ou quanttatves, et repose sur l utlsaton de deux algorthmes : pour regrouper les modaltés des varables explcatves et pour construre l arbre. Nous explquons c-dessous le processus suv avec des varables qualtatves. Soent Y la varable d ntérêt qualtatve à K modaltés et qualtatves, telles que X possède M modaltés. X,..., X J, J varables explcatves 0

11 Étape : Algorthme de regroupement des modaltés L algorthme est fondé sur des tests du ch2, dont la statstque se calcule de la manère suvante, pour deux varables qualtatves déclnées respectvement selon p et q modaltés : χ ² = p q nk. n. nk n n k= = k. n. n On construt pour chaque varable explcatve crosant Y et X : 2 Y/X X y X le tableau de contngence de dmenson ( K, )... x m... x M Σ M y k y K Σ n On détermne la pare de modaltés de X dont le sous-tableau (,2) K fournt le plus pett ch2.s ce ch2 n est pas sgnfcatf, c est-à-dre que la lason entre Y et les deux modaltés consdérées de X est fable, on regroupe les deux modaltés correspondantes en une seule modalté et on répète l opératon usqu à ce que toutes les modaltés (regroupées ou non) présentent un ch2 sgnfcatf. Ensute, pour chaque modalté composée de plus de tros modaltés orgnales, on détermne la dvson bnare assocée au ch2 le plus grand. S ce ch2 est sgnfcatf, c est-à-dre que la lason entre Y et les deux nouvelles modaltés est forte, on effectue cette dvson bnare et on revent au début de l étape. Étape 2 : Algorthme de constructon de l arbre Il faut tout d abord trouver la varable explcatve la plus sgnfcatve au moyen de tests du ch2. Pour cela, on calcule la sgnfcatvté p de chaque varable X dont les modaltés ont été regroupées et on retent la plus sgnfcatve. Le degré de sgnfcatvté corrgé p est obtenu en multplant le degré p du test du ch2 du tableau rédut par le coeffcent de Bonferron, qu représente le nombre de possbltés de regrouper les L modaltés d une varable explcatve en g groupes ( g L ) et vaut selon le type de varable : g - nomnale : ( ) ( ) L g nom =! ( g ) = 0! B, L - ordnale : B ord =, g L 2 L 2 - ordnale avec une modalté «flottante» (sans obet) : B ord = + g. g 2 g

12 S la sgnfcatvté dépasse la valeur seul défne a pror, on dvse l ensemble des observatons en autant de segments que de modaltés composées de la varable chose. Pour chaque segment ans obtenu, on répète ensute l étape 2 usqu à ce qu l n y at plus de varable explcatve sgnfcatve. 4.2 Intérêt de la méthode La segmentaton par arbre présente de nombreux avantages : - Le prncpal avantage est la smplcté de son fonctonnement, par dvsons successves de la populaton. La lsblté des règles d affectaton des untés aux groupes permet de communquer asément sur la méthode, en l llustrant notamment par des arbres. - La segmentaton est une méthode non paramétrque, ne nécesstant pas d hypothèses sur la dstrbuton des varables. - Elle est peu sensble aux valeurs extrêmes ou aberrantes. - Elle permet de détecter les nteractons entre pluseurs varables. - Par alleurs, comme pour la méthode des scores, le problème de la présélecton de varables explcatves pertnentes ne se pose pas, pusque la segmentaton met en œuvre des tests de sgnfcatvté des varables. - Par rapport à la méthode des scores, la segmentaton devrat permettre d obtenr des groupes ayant davantage de cohérence d un pont de vue économque, dans la mesure où les modaltés des varables qualtatves ordnales sont regroupées de manère adacente, tands qu avec la méthode des scores, tous les regroupements sont possbles. La segmentaton n est toutefos pas exempte d nconvénents : - Le prncpal, tout au mons avec la macro TREEDISC, est que l on ne maîtrse pas le nombre de groupes de réponse homogènes consttués, qu peuvent en outre être de talle très dfférente. - Il s agt d une méthode «descrptve» et non «explcatve», ce qu sgnfe qu elle ne s appue sur aucun test, pusqu aucun modèle n est supposé a pror. - Par alleurs, la méthode est assez sensble à la structure des données (nombre de modaltés des varables, etc.). - Elle peut également manquer de robustesse, s l échantllon n est pas assez grand. 4.3 Mse en œuvre L algorthme de la macro TREEDISC sous SAS est smlare à l algorthme CHAID décrt plus haut, même s les crtères de sgnfcatvté utlsés lors des tests sont dfférents : pour le regroupement des modaltés (étape ), la sgnfcatvté des tests est observée au regard des p-values austées. Par alleurs, pour trouver la varable de dvson la plus sgnfcatve (étape 2), l algorthme propose une améloraton de l austement de Bonferron. La macro TREEDISC permet de réalser des arbres m-ares. Les varables explcatves peuvent être qualtatves (nomnales ou ordnales, avec possblté de modalté «flottante» (sans obet)) ou quanttatves. Lors du parttonnement, les modaltés des varables nomnales peuvent être regroupées sans contrante. Pour les varables ordnales, les modaltés, étant ordonnées, ne peuvent être regroupées qu entre modaltés adacentes. Les valeurs manquantes sont tratées comme une modalté supplémentare. Les dfférents crtères (macro varables) à rensegner sont : - le seul de sgnfcatvté du test du ch2 (alpha) 2

13 - les crtères d arrêt : le nombre mnmum d observatons d un nœud pour qu l sot subdvsé en pluseurs branches (branch) le nombre mnmum d observatons pour consttuer une nouvelle feulle (leaf) le nombre maxmum de nveaux de l arbre (maxdepth). Dfférents tests ont montré que pour notre eu de données, l état dffcle de concler un seul de sgnfcatvté fable (mons de 0 %) avec un nombre relatvement mportant de groupes de réponse homogènes (au mons une vngtane), sans que ces derners soent trop volumneux (mons de untés). Au fnal, les segmentatons, non pondérées, ont été réalsées avec le seul de sgnfcatvté alpha=0, et les crtères d arrêt suvants : branch=60, leaf=80 et maxdepth= Analyse des résultats 5. Analyse des «modèles» trouvés 5.. Les varables retenues dans le modèle Pour comparer les performances des deux méthodes, nous nous ntéressons dans un premer temps aux «modèles» trouvés va la régresson logstque et la segmentaton. Le terme de «modèle» est c un abus de langage, pusque dans la seconde méthode, l s agt plus exactement des varables ntervenant dans les segmentatons, aucune modélsaton n étant réalsée. Globalement, quelle que sot la méthode utlsée, les résultats montrent une dfférence notable entre les scénar aléatore smple et varable cachée seule (ZAU ou taux d endettement), où le plus souvent aucun modèle n est trouvé, sauf avec un taux de réponse de 90 %, et les autres scénar, pour lesquels un modèle est trouvé dans tous les cas. Les mécansmes avec varables cachées seules sont approchés par des modèles comprenant une seule varable : le secteur d actvté prédomne pour le taux d endettement et la localsaton géographque pour le ZAU, mas le nombre d échantllons concernés reste assez modeste pour le taux d endettement. Pour les autres scénar, les modèles sont en général ben reconsttués ou approchés, même s ls sont combnés à une varable cachée. Dans ce cas, les varables cachées renforcent l effet des varables avec lesquelles elles sont les plus corrélées. Par alleurs, pour tous les scénar, plus le taux de réponse augmente, plus les modèles auront tendance à comporter davantage de varables. Ans, des taux de réponse élevés n assurent pas de retrouver exactement le mécansme de réponse, par contre, ls permettent de repérer davantage de modèles cohérents avec celu-c. Les modèles observés avec la régresson logstque et la segmentaton sont très proches : globalement, les méthodes explcatve et descrptve se reognent. La prncpale dfférence est que la segmentaton garde davantage de varables par rapport à la modélsaton logstque, en partculer dans les scénar avec GRH et quand le taux de réponse est élevé. Les modèles trouvés avec la segmentaton sont donc beaucoup plus varés et comportent souvent davantage de varables, au pont que pour les scénar fondés sur le GRH, avec ou sans la varable cachée, les deux ters des modèles avec 90 % de réponse comprennent l ensemble des varables potentelles. La plus grande varété de modèles avec la segmentaton est également de mse pour les scénar reposant sur le secteur et la talle de l entreprse, qu ls soent assocés ou non au taux d endettement. 3

14 Prncpaux modèles trouvés par régresson logstque selon le scénaro (en % sur les 000 échantllons) : Scénaro Modélsaton Talle Localsaton géographque Comportement de réponse en 200 Appartenance à un groupe Aléatore smple ZAU Taux d'endettement GRH GRH x taux d'endettement Secteur x talle Secteur x talle x taux d'endettement Secteur Chffre d'affares Modèles trouvés : varables sgnfcatves x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 70 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % Note : Les cases blanches représentent mons de 0 % des échantllons. Lecture : Lorsque le mécansme de réponse est fondé sur les varables secteur x talle avec un taux de réponse de 70 %, pour 48 % des échantllons, le modèle trouvé comprend le secteur et le chffre d affares. Prncpaux «modèles» ssus de la segmentaton selon le scénaro (en % sur les 000 échantllons) : Scénaro Varables Appartenance à un groupe Aléatore smple ZAU Taux d'endettement GRH GRH x taux d'endettement Secteur x talle Secteur x talle x taux d'endettement Secteur Talle Localsaton géographque Comportement de réponse en 200 Chffre d'affares "Modèles" trouvés : varables sgnfcatves x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Autres modèles Ensemble des modèles 70 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % Note : Les cases blanches représentent mons de 0 % des échantllons. Lecture : Lorsque le mécansme de réponse est fondé sur les varables secteur x talle avec un taux de réponse de 70 %, pour 3 % des échantllons, le «modèle» trouvé comprend le secteur et le chffre d affares. Autres Ensemble 4

15 5..2 Le nombre de groupes de réponse homogènes Un autre pont à examner, pour meux comprendre le fonctonnement de la repondératon, est le nombre de groupes de réponse homogènes obtenus n fne, après la modélsaton. Pour la méthode des scores, le nombre de groupes de réponse homogènes est comprs entre et 25 selon les scénar. Le nombre de classes est en effet fxé au maxmum à 25, mas vare en foncton du modèle trouvé. Ans, reflet des conclusons précédentes, dans le cas du scénaro aléatore smple ou des varables cachées seules, les échantllons consttuent souvent une seule classe de repondératon. C est le cas lorsque le modèle est rédut à la constante. Lorsqu une ou pluseurs varables sont ugées sgnfcatves, l est possble d attendre 25 groupes de réponse homogènes. Pour les autres scénar, le nombre mnmum de groupes s établt à 8 (secteur x talle), suffsant pour assurer une bonne homogénété au sen des classes. On peut remarquer également que plus le mécansme fat ntervenr de nombreuses varables, plus le nombre de groupes est élevé, ce qu est le cas lorsqu on aoute la varable cachée. Avec la segmentaton, le nombre de groupes de réponse vare entre et 35. Contrarement à la méthode des scores, le nombre de classes maxmum n est c pas mposé. Cela a peu d mpact sur le scénaro aléatore smple et sur ceux fondés sur les varables cachées seules, où le nombre de groupes est relatvement fable, comme avec la méthode des scores. Par contre, pour les autres scénar, la segmentaton aboutt à un nombre de groupes de réponse homogènes très varable, même pour un scénaro donné. Ans, pour les scénar fondés sur le GRH ou le crosement secteur x talle, avec ou sans varable cachée, tands que pour la méthode des scores le nombre de classes est comprs entre 8 et 25, avec la segmentaton, celu-c osclle entre 3 et 35. S le nombre de GRH défn par la méthode des scores dépend prncpalement de son paramétrage, le fat que le nombre de GRH détermnés par la segmentaton ne sot pas contrant permet une melleure adéquaton entre ce nombre de GRH et la stuaton à décrre. Nombre de GRH obtenus par scénaro selon la méthode : Scénaro Mécansme de réponse Aléatore smple ZAU Taux d'endettement GRH GRH x taux d'endettement Secteur x talle Secteur x talle x taux d'endettement Taux de réponse Méthode des scores Segmentaton Mnmum Médane Maxmum Mnmum Médane Maxmum 70 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % Analyse des estmateurs La qualté des estmateurs obtenus après correcton de la non-réponse est analysée au regard des ndcateurs de Monte-Carlo (cf. pages 5 et 6). 5

16 Concernant les varables quanttatves, qu sont les prncpales varables sur lesquelles les résultats de l enquête sont dffusés, les estmateurs sont globalement ben redressés par les deux méthodes. Le bas relatf est touours fable, en valeur absolue nféreur à respectvement,3 % et, % pour la méthode des scores et la segmentaton. L erreur quadratque moyenne est également du même ordre de grandeur par les deux méthodes, avec un rapport comprs entre 0,66 et,29. L erreur relatve est d alleurs partculèrement fable pour les varables de montant de chffre d affares et d achats électronques (varables G2, G5 et G8), où elle vare entre 0,93 et,08. En termes de scénaro, les mécansmes fondés sur le GRH semblent meux corrgés par la méthode des scores, tands que les taux de réponse plus élevés (90 %) seraent à l avantage de la segmentaton, même s les écarts restent fables. Pour ce qu est des varables qualtatves, les résultats sont également très proches va les deux méthodes. Comme pour les varables quanttatves, les bas relatfs sont fables : ls sont contenus à mons de,2 % en valeur absolue, sauf dans le cas du scénaro secteur x talle x taux d endettement pour la récepton de commandes de bens ou servces sur le ste web (G), où ls attegnent,5 % pour la méthode des scores et 2, % par la segmentaton. Par alleurs, l erreur quadratque moyenne est très proche va les deux méthodes : l erreur relatve est comprse entre 0,95 et,7, les valeurs extrêmes étant observées pour le scénaro secteur x talle x taux d endettement. 6. Comparason des méthodes 6. La «modélsaton» Les résultats présentés sur la «modélsaton» et le nombre de groupes de réponse homogènes consttués tradusent le fonctonnement très dfférent des deux méthodes. Malgré quelques nconvénents, la phase de «modélsaton» semble être à l avantage de la segmentaton. Cette méthode permet en effet de décrre et nterpréter les groupes de réponse homogènes à l ade des caractérstques des untés et de leur taux de réponse. Les règles d affectaton précses rendent la méthode transparente pour l utlsateur et permettent de communquer faclement sur les chox réalsés en termes de correcton de la non-réponse. En comparason, avec la méthode des scores, les classes de repondératon peuvent regrouper des untés très dfférentes, pusque ces dernères sont classées unquement en foncton de leur probablté prédte. Il faut toutefos précser que ce constat est lé en parte à la répartton des entreprses par quantles égaux. Dans le tratement actuel des enquêtes thématques entreprses, les résultats de la régresson logstque sont utlsés pour consttuer, «à la man», des groupes d entreprses présentant des caractérstques proches selon leur probablté de réponse. Cela revent à fare pas à pas ce que la segmentaton réalse de manère automatque, à cec près que la phase de modélsaton en amont de la méthode des scores rsque de reeter un certan nombre de varables canddates utlsées dans la segmentaton. Il est également ntéressant de soulgner que la segmentaton prend en compte un nombre plus mportant de varables pour un nombre de groupes de réponse homogènes souvent plus fable qu avec la méthode des scores. La segmentaton permet donc d utlser davantage d nformaton auxlare. Quant au nombre plus mportant de classes détermnées avec la méthode des scores, s l peut donner l mpresson de meux corrger la non-réponse, la répartton par quantles égaux n assure aucunement que les probabltés soent très dfférentes entre les groupes obtenus. Dès lors, le nombre de classes ssu de la segmentaton a plus de sens que celu obtenu par la méthode des scores, qu peut s avérer artfcellement élevé. La segmentaton est donc également plus transparente sur ce pont. Pour compléter la comparason, deux aspects négatfs de la segmentaton dovent être sgnalés. Cette méthode nécesste en amont de nombreux tests sur les paramètres à rensegner (profondeur de l arbre, nombre d observatons mnmum par nœud, etc.), et surtout une nterrogaton subsste sur la robustesse de la méthode, notamment en présence de petts échantllons. 6

17 6.2 Les ndcateurs de Monte-Carlo Concernant les ndcateurs de Monte-Carlo, les résultats semblent plus souvent en faveur de la segmentaton, en partculer pour les varables quanttatves et les taux de réponse élevés. En revanche, la méthode des scores s en sort meux en termes de bas quand le taux de répondants est plus fable. Ans, tous scénar confondus, par rapport aux 294 cas étudés, synthèse des 2 scénar applqués aux 4 varables d ntérêt, la segmentaton permet d amélorer le bas dans 52 % des cas par rapport à la méthode des scores, et surtout de dmnuer l erreur relatve dans 59 % des cas. S globalement l avantage se porterat plutôt sur la segmentaton, dont le prncpal ntérêt est de dmnuer plus souvent l erreur relatve par rapport à la méthode des scores, l faut toutefos se garder de généralser ce résultat, et ce, pour deux rasons. La premère est que, même s les ndcateurs de Monte-Carlo permettent de comparer les deux méthodes, les ndcateurs restent tout de même assez proches. La seconde rason porte sur la varablté des résultats en foncton des varables et du scénaro. Proporton de cas où la segmentaton est melleure selon l ndcateur de Monte-Carlo (en %, sur les 294 cas étudés, sot 4 varables x 2 scenar) : Bas relatf Erreur relatve 70 % 80 % 90 % Total 70 % 80 % 90 % Total Varables quanttatves dont Aléatore smple ZAU Taux d'endettement GRH GRH x taux d'endettement Secteur x talle Secteur x talle x taux d'endettement Varables qualtatves dont Aléatore smple ZAU Taux d'endettement GRH GRH x taux d'endettement Secteur x talle Secteur x talle x taux d'endettement Ensemble des varables dont Aléatore smple ZAU Taux d'endettement GRH GRH x taux d'endettement Secteur x talle Secteur x talle x taux d'endettement Note : Les cases sont grsées lorsque la segmentaton est melleure dans la maorté des cas. 6.3 Synthèse et pstes d approfondssement Les ndcateurs de Monte-Carlo étant fnalement relatvement proches, l ntérêt essentel de la segmentaton porte sur la phase de «modélsaton». La segmentaton présente en effet pluseurs avantages. Elle faclte le regroupement des modaltés, utlse davantage d nformaton auxlare et permet de caractérser les groupes de réponse homogènes consttués. En marge de ces conclusons, l faut avor à l esprt que les deux méthodes de correcton de la nonréponse ont été tratées dans un cadre partculer, celu de l enquête TIC 20, avec des chox parfos arbtrares sur leur mse en œuvre (nombre de groupes de réponse homogènes pour la 7

18 méthode des scores, crtères d arrêt pour la segmentaton, etc.). Auss, quelques pstes d approfondssement peuvent être envsagées. D autres tests pourraent être effectués pour analyser l mpact des dfférents paramètres (seul de sgnfcatvté, etc.). La stablté des modèles de segmentaton pourrat également être vérfée par valdaton crosée ou par utlsaton d un échantllon d apprentssage et d un échantllon-test. Enfn, en pratque, la régresson logstque pourrat être conservée en phase prélmnare, pour sélectonner les varables auxlares, avant d utlser la segmentaton par arbres pour le regroupement des modaltés et la formaton des classes de repondératon. 8

19 Bblographe Théore des sondages : - Ardlly, P. (2006). Les technques de sondage, Technp. - Le Guennec, J., and Sautory, O. (2005). Les sondages avec SAS, Insee/Cepe. Correcton de la non-réponse : - Hazza, D. (2006). Tratement de la non-réponse dans les enquêtes, Ensa, support de cours FCDA. - Caron, N. (2005). La correcton de la non-réponse par repondératon et par mputaton, Insee, Document de traval, n M Neter, B., and Busson, B. (200. Comment redresser une enquête thématque?, Insee, Document de traval, n E200/0. Régresson logstque : - Pommeret, D. (2008). Régresson sur données catégorelles et sur données de comptage, Ensa, support de cours FCDA. - Nakache, J.-P., and Confas, J. (2003). Statstque explcatve applquée, Technp. Segmentaton : - Gelen, B. (20). Méthodes de segmentaton par arbres, Ensa, support de cours de 2 e année. - Costet, N. (2009). Méthode de segmentaton par arbres bnares, Ensa, support de cours FCDA. - Rakotomalala, R. (2005). Arbres de décson, Revue Modulad, n Nakache, J.-P., and Confas, J. (2003). Statstque explcatve applquée, Technp. - Claudel, A., and Guevara, S., Utlsaton des arbres de segmentaton - Gude du chargé d études pour CIS 200, Insee Île-de-France, Document de traval. - Tufféry, S. (2009). Étude de cas en statstque décsonnelle, Technp (macros SAS dsponbles sous Enquête TIC 20 : - L enquête sur les technologes de l nformaton et de la communcaton, auprès des entreprses - TIC, Insee, Sources et méthodes (verson du 7 anver 20). - Demande d expertse pour le trage de l échantllon pour l enquête TIC 20, Insee/DES, note nterne n /DG75-E430/ du 22 ullet Demande de trage de l échantllon pour l enquête TIC 20, Insee/DSE, note nterne n 60/DG75-E430/ du 2 novembre Trage de l échantllon pour l enquête TIC 20, Insee/UMSE, note nterne n 65/DG75- E0/AF du 22 novembre Redressement de l enquête TIC 20 (correcton de la non-réponse et calage) - Note de cadrage, Insee/PISE, note nterne du 2 avrl 20. 9

20 Annexes Annexe Estmateurs... 2 _ Annexe 2 Indcateurs de Monte-Carlo. 23 _ Annexe 3 Exemple d arbre de segmentaton 25 _ Annexe 4 L enquête TIC _ 20

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