ALGEBRE FINANCIERE. Calculez la valeur acquise (capital + intérêts) qu Anatole pourra retirer au bout des six mois. Durée Intérêt Valeur acquise

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1 ALGEBRE FINANCIERE 1. Opérations financières à intérêts simples. a Introduction Placement à court terme Un organisme financier propose aux jeunes de moins de 25 ans les conditions de placement suivantes : Taux d intérêt : 8 % l an ; Durée de placement : 6 mois ; Capital minimum placé : 1. Anatole accepte la proposition en plaçant 1 5 dans les conditions ci-dessus. Calculez la valeur acquise (capital + intérêts qu Anatole pourra retirer au bout des six mois. Durée Intérêt Valeur acquise 1 an 15,8 1 = = mois 15,8,5 = = trimestre 15,8,25 = 15 + = 15 1 mois 15,8 1 = = 151 Soit A, la valeur acquise et n la durée du placement. Exprimez dans les conditions ci-dessus A en fonction de n b Définition I = C t n A = C + C t n Intérêt = Somme rapportée par un capital pendant une période donnée I = C t n avec C = capital t = taux annuel n = durée de placement en année Valeur acquise = Capital + Intérêt A = C + I Remarques : Le calcul de l intérêt simple ne s applique que pour des durées inférieures à 1 an ;

2 Si la période du taux est annuelle, on exprime n en fractions d années ; On considère que l année est constituée de jours. Si des dates sont données, on compte le nombre de jours et on ne tient pas compte du 1 er jour mais on compte le dernier. Soit I, l intérêt que rapporte un capital de 1 8 placé du 4 mars au 15 mai au taux de 11 % l an. Calculez la durée de placement n, le taux de placement t, les intérêts et la valeur acquise. Données : C = 1 8 t = 11 % =,11 Inconnues : n? I? A? n = ( = 72 jours 72 = an 72 I = 18,11 = 9, 6 A = ,6 = 1 89,6 c Taux proportionnels Les taux sont dits proportionnels s ils sont proportionnels aux durées de placement. On place 2 capitaux de pendant 4 mois, l un au taux annuel de 12 % et l autre au taux mensuel de 1%. Calculez l intérêt dans les deux cas. 1 er cas : t =,12 ; n = 12 4 ; C = 4 I =,12 = ème cas : t =,1 ; n = 4 ; C = I =,1 4 = 12 Dans les deux cas, les intérêts sont semblables. On dit que le taux annuel de 12 % est proportionnel au taux mensuel de 1 %. d Taux moyen Le taux moyen de placement de plusieurs capitaux est le taux unique auquel on aurait pu placer ces capitaux afin d obtenir le même intérêt total pour des durées semblables.

3 Anatole a réalisé 2 placements : 9 à 4,5 % pendant 9 jours 6 à 6,5 % pendant 15 jours Calculez le total des intérêts produits et déterminez t, le taux moyen c.-à-d. le taux unique qui produirait le même intérêt dans les mêmes conditions de durée. Total des intérêts produits : 9 15 I = 9,45 + 6,65 = 11, ,5 = 26,75 Soit t, le taux unique qui produirait le même intérêt dans les mêmes conditions de durée. On peut écrire : ,75 = 9 t + 6 t 26,75 = 225t + 25t 26,75 = 475t t,555 Le taux moyen de placement est de 5,55 %. 2. Opérations financière à intérêts composés. a Introduction Placement d une prime de préretraite Un salarié prenant sa préretraite a touché une prime de 1. En attendant sa retraite, il place cette somme pendant 5 ans à 4% l an. A la fin de chaque année, l intérêt de l année est incorporé au capital pour le calcul de l année suivante. Calculons à l aide du tableau ci-dessous : Capital au début de l année Intérêt annuel Valeur acquise à la fin de l année 1 ère année ème année ème année , ,64 4 ème année ,64 449, ,59 5 ème année ,59 467, ,5 De quelle somme disposera le salarié au bout de 5 ans? ,5

4 b Intérêts composés Un capital est placé à «intérêts composés» lorsque, à la fin de chaque période de placement (mois, trimestre, année, l intérêt de la période est incorporé au capital pour le calcul de l intérêt de la période suivante. C = C 1 + t Valeur Acquise : ( n I = C 1 + t C Intérêt au bout de n années de placement : ( n avec C = capital de départ t = taux n = nombre d' années Vous déposez 15 au taux de 8 % pendant 5 ans. Calculons la valeur acquise par ce capital. Données : t =,8 n = 5 ans C = 15 Demande : C? C = C C = 15 c = 224 n ( 1 + t ( 1 +,8 C = 15 1,8 5 5 c Taux proportionnels Deux taux correspondant à des périodes différentes sont dits proportionnels lorsque leur rapport est égal au rapport de leurs périodes de capitalisation respectives. Taux annuel t =,6 Taux mensuel correspondant :,5 % Vous placez 15 au taux de 6 % l an pendant ans. Calculons 1 La valeur acquise pour une durée de ans. 2 La valeur acquise par ce capital pour une durée de ans, capitalisable mensuellement.

5 Données : t1 =,6 C = 15 n1 = ans et et t n 2 2 =,5 = mois Demande : C? 1 = 1 C = C ( 1 + t = 15( 1 +, , 24 2 = 2 C = C ( 1 + t = 15 ( 1 +,5 1795, 21 Remarque Les deux taux proportionnels ne conduisent pas à la même valeur acquise. La capitalisation mensuelle est plus favorable au client. d Taux équivalents t et t Deux taux correspondant à des périodes de capitalisation différentes sont dits équivalents si, pour un même capital et une même période de placement, ils conduisent à une même valeur acquise. Vous déposez 5 au taux de 6 % l an, pendant ans. Calculons le taux de placement équivalent correspondant à une capitalisation mensuelle. Données : Demande : t '? t =,6 C = 5 n = ans et n = mois C n n' ( 1 + t = C ( 1 + t' ( 1 +,6 = 5 ( 1 + t' = ( 1 + t' ( = ln( 1 + t' = ln( 1 + t' 5 1,6 ln 1,6 ln 1,6 ln 1,6 = ln 1,4856 = ln t' = e,4856 t' =,4868 t' =,4868% ( + t' 1 + t' = 1,4868 ( + t'

6 Le taux de placement mensuel équivalent est de,4868 %. Le taux de placement proportionnel annuel est de 5,841 %. Vérification : 5 ( 1 +,6, = 41685,56 = 41685,48