M2 MPRO. Optimisation dans les Graphes

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1 M2 MPRO Optimisation dans les Graphes Programmation linéaire et problèmes d'optimisation dans les graphes 1

2 Problèmes d'optimisation dans les graphes : quelles méthodes pour les résoudre? Théorie des graphes (et algorithmique de graphes) : La théorie des graphes fournit un cadre unifié pour étudier des propriétés structurelles des graphes (bornes sur la valeur d'un paramètre), mais aussi pour résoudre certains problèmes d'optimisation dans les graphes De nombreux algorithmes combinatoires issus de l'algorithmique de graphes sont ainsi basés sur ces propriétés structurelles Un autre des grands domaines de la RO est la programmation mathématique, et en particulier linéaire (PL ou PLNE) : Des modèles et des méthodes génériques (et souvent efficaces) Peut-on exhiber des liens entre ces deux domaines? S'il y en a, comment les exploiter? Et comment traduire la spécificité d'un problème particulier de l'optimisation dans les graphes dans un modèle aussi général? 2

3 PARTIE I : Dualité en PL et matrices totalement unimodulaires ; Application à la dualité flots/coupes et au théorème de König 3

4 Le problème du flot maximum Problème emblématique de la RO et de l'optimisation dans les graphes Rappel : on se donne un graphe orienté G connexe dont les arcs sont munis de capacités, un sommet source s et un sommet puits p Problématique : on cherche, dans G, à acheminer autant d'unités de flot que possible de s vers p, sans dépasser la capacité de chaque arc Modèle PLNE (modèle 1)? Le flot total circulant sur tous les chemins de s à p passant par chaque arc est limité par la capacité de l'arc (une variable par chemin) Maximiser la quantité de flot acheminée de s à p Résolution en temps polynomial si flots continus? Modèle PLNE alternatif (modèle 2)? Conservation du flot en chaque nœud (sauf s et p) Flot limité par la capacité sur chaque arc (une variable par arc) Maximiser la quantité de flot acheminée de s à p 4

5 Calcul du dual Moralité : formuler un problème = en fournir une description On peut écrire les PL duaux des relaxations continues des 2 modèles Modèle 1 : et si les variables duales sont entières? Modèle 2 On obtient un PL modélisant le problème de la coupe minimum Les PL sont liés par une relation de dualité (dualité en PL), et donc les problèmes aussi! Interprétation du PL dual si les variables duales sont entières Preuve alternative de la faible dualité flot/coupe! 5

6 Totale unimodularité Définition : une matrice à valeurs réelles est dite totalement unimodulaire (TU) si et seulement si le déterminant de toute sousmatrice carrée qui en est extraite vaut 0, 1 ou -1 Propriété 1 : toute sous-matrice d une matrice TU est TU, et en particulier tout élément d'une matrice TU vaut 0, 1 ou -1 (sousmatrice carrée extraite ayant une ligne et une colonne) Propriété 2 : si une matrice est TU, alors la juxtaposition de cette matrice avec la matrice identité est aussi une matrice TU Propriété 3 : une matrice est TU si et seulement si sa transposée l est Caractérisation de Ghouila-Houri : une matrice est TU ssi tout sousensemble de colonnes peut être partitionné en deux parties telles que, sur chaque ligne, les sommes des éléments sur chacune de ces deux parties diffèrent d'au plus 1 Corollaire de la Propriété 3 : ce théorème est aussi vrai en échangeant «colonne» et «ligne» 6

7 Conséquence de la totale unimodularité Propriété 4 : si un PL a une matrice des contraintes TU et des seconds membres entiers, alors toute solution de base de ce PL est entière (et, en particulier, toute solution de base optimale l est) Corollaire de la Propriété 4 : Résoudre un PLNE ayant une matrice des contraintes TU et des seconds membres entiers est équivalent à résoudre sa relaxation continue (= un PL), et les valeurs optimales sont les mêmes! 7

8 Une condition suffisante de totale unimodularité, et une première conséquence Propriété 5 : la matrice d'incidence (arcs-sommets) d'un graphe orienté est TU Corollaire (immédiat) du modèle 2 et des Propriétés 2 à 5 : Théorème de Ford-Fulkerson (flot max=coupe min) «Preuve alternative» basée exclusivement sur la dualité en PL et les propriétés des matrices TU 8

9 Une deuxième condition suffisante de totale unimodularité, et une deuxième conséquence Modèle PLNE pour le problème du couplage maximum? Dual (avec variables entières) de la relaxation continue de ce PL = PLNE de la couverture minimum des arêtes par les sommets Propriété 6 : la matrice d'incidence (arêtes-sommets) d'un graphe biparti est TU Corollaire de cette dualité et de la Propriété 6 : Théorème de König Dans les deux cas, la «spécificité» du problème d'optimisation dans les graphes considéré est donc ici exprimée par la formulation PL/PLNE utilisée, et les propriétés de la matrice des contraintes associée (matrice d'incidence d'un graphe orienté ou d'un graphe biparti, selon le cas) 9

10 PARTIE II : Réduction entre problèmes d optimisation dans les graphes, et conséquences sur les formulations PL ; Applications aux flots non orientés, aux flots à coût minimum, aux multiflots, et aux arbres de Steiner 10

11 Flot maximum dans les graphes non orientés Problème du flot maximum entre deux sommets s et p dans un graphe non orienté? La matrice des contraintes de la formulation PLNE la plus naïve n'est pas TU ==> ce problème est-il plus difficile? Comment le résoudre? Réduire le problème considéré à un problème ayant une matrice des contraintes TU, et en déduire ainsi une «bonne» formulation PLNE? Oui : on peut en fait réduire ce cas au cas des graphes orientés! On en déduit donc une formulation PLNE ayant une matrice TU par un raisonnement purement combinatoire, qui ne porte que sur des transformations du graphe donné dans l'instance considérée Identique pour la coupe minimum ==> extension du théorème de F.-F. 11

12 Bonne formulation pour le flot à coût minimum (graphes orientés ou non) On se donne un graphe G connexe, orienté ou non, dont les arcs/arêtes sont munis de capacités et de coûts unitaires, ainsi que deux sommets s et p de G On considère le problème suivant : déterminer dans G un flot de valeur donnée (potentiellement maximum) entre s et p, et dont le coût total (somme sur tous les arcs/arêtes du coût unitaire de l'arc/arête fois la valeur du flot sur l'arc/arête) est minimum Problème du flot à coût minimum : le modèle PL associé («inspiré» de celui du flot maximum) a une matrice TU ==> polynomial Et si les coûts sont quelconques (>0 ou <0)? Peut-on alors trouver un chemin hamiltonien «facilement»? Non : le modèle n'est plus adapté! 12

13 Conséquence : de bonnes formulations pour certains cas particuliers célèbres du flot à coût minimum Plus court chemin (longueurs 0) : déterminer un plus court chemin entre deux sommets s et p dans un graphe = flot de valeur 1 à coût min. Affectation linéaire : n tâches à affecter à n agents (chaque tâche est affectée à un et un seul agent), chaque affectation induisant un coût ==> minimiser la somme totale des coûts (couplage parfait biparti à coût minimum) = flot (de valeur n) à coût minimum Programme de transport : marchandises à transporter de n entrepôts (quantité disponible de marchandises connue pour chacun) vers m clients (demande en marchandises connue pour chacun, et on suppose pour simplifier Offre totale = Demande totale), sachant que transporter 1 marchandise d'un entrepôt i à un client j induit un coût unitaire donné ==> satisfaire la demande à coût total minimum = flot à coût minimum 13

14 Multiflots (et multicoupes) Plusieurs paires sources-puits : les unités de flot émises par une source donnée ne peuvent être acheminées que vers le puits correspondant Une seule paire source-puits = flot maximum ==> problème plus général Modèles PLNE similaires aux modèles 1 et 2 Notions de «coupe» similaire à la coupe simple : multicoupe Même dualité des relaxations continues des formulations PLNE, MAIS les matrices des contraintes obtenues ne sont pas TU! Problèmes NP-difficiles, même dans des cas très particuliers 14

15 Une bonne formulation pour les multiflots/multicoupes dits «multiterminaux» dans les graphes sans circuits 15 Hypothèse 1 : étant donnés t sommets du graphe considéré, il existe une paire sourcespuits entre toute paire de ces t sommets (multiterminaux) Hypothèse 2 : le graphe G considéré est orienté et sans circuits On peut établir une bonne formulation pour les problèmes de multiflots et multicoupes dans ce cas, en les réduisant à un flot et une coupe simples Etape 1 : on «éclate» chacun de ces t sommets v i en 2 sommets v' i et v'' i (v' i est incident à tous les arcs entrant en v i, et v'' i à tous ceux en sortant) v i v i v i Etape 2 : on ajoute les 2 sommets s (super-source) et p (super-puits), et on relie s à tous les v'' i, et tous les v' i à p (par des arcs de grande capacité) Déterminer un multiflot maximum (une multicoupe minimum) est alors équivalent à calculer un flot maximum (une coupe minimum) entre s et p

16 Multicoupe minimum avec deux paires sources-puits Parfois, on peut montrer que résoudre un problème donné peut se réduire à la résolution d un ensemble d instances d un autre problème d optimisation dans les graphes : cela fournit donc un moyen de le résoudre, mais sans que cela ne se traduise nécessairement par une formulation PL ayant des propriétés particulières Ainsi, on peut réduire la résolution de toute instance du problème de multicoupe minimum avec deux paires sources-puits dans les graphes non orientés à deux instances du problème de coupe minimum (en gardant la meilleure des deux valeurs optimales obtenues) : on obtient alors une «bonne» réduction pour ce problème! Essentiellement le seul cas non NP-difficile que l'on peut obtenir (pour les multiflots/multicoupes dans les graphes, orientés ou non, avec un nombre donné >1 de paires sources-puits)! 16

17 Arbres de Steiner de poids minimum (1/5) On cherche dans un graphe dont les arêtes sont munies de poids >0 un arbre de poids minimum couvrant au moins un sous-ensemble de sommets (appelés sommets terminaux) {t 1,, t k } Tous les autres sommets, appelés sommets Steiner, sont donc facultatifs Un tel arbre (indépendamment de son poids) est un arbre de Steiner Si le graphe est connexe, alors il existe toujours un arbre de Steiner! Le problème consistant à trouver un arbre de Steiner de poids minimum généralise le problème de l'arbre couvrant de poids minimum (où tous les sommets sont terminaux), ce dernier étant polynomial Le problème de l'arbre de Steiner de poids minimum est beaucoup plus dur : il est NP-difficile même dans les graphes planaires 17

18 Arbres de Steiner de poids minimum (2/5) Exemple : un graphe à 9 sommets et 4 terminaux (= les sommets 0,3,7,8) Arbre couvrant de poids minimum (poids=35) Arbre de Steiner de poids minimum (poids=31) 18

19 Arbres de Steiner de poids minimum (3/5) Si seulement deux terminaux : problème du plus court chemin! Modèle PLNE pour le cas général? On remplace chaque arête par deux arcs de sens opposés et de même poids, On choisit un terminal «racine» t 1, et on veut qu'il existe un chemin de t 1 vers tous les autres terminaux, Les poids étant >0, on n'a pas besoin d'imposer explicitement le fait que ce soit un arbre (imposer la connexité est suffisant)! En revanche, un arc utilisé par des chemins de t 1 vers plusieurs terminaux ne doit être comptabilisé qu'une fois! Aucune formulation connue ne possède une matrice des contraintes TU 19

20 Arbres de Steiner de poids minimum (4/5) Et si le nombre de terminaux est une constante? Dans toute solution optimale, le nombre de feuilles est au plus k (le nombre de terminaux), et, dans tout arbre, le nombre de sommets de degré 3 ou plus est borné supérieurement par le nombre de feuilles-2, Donc «squelette» de la solution recherchée (sans les sommets non terminaux de degré 2) = un arbre ayant au plus 2(k-1) sommets, Détermination du squelette correspondant à cette solution par «simple» énumération : la formule de Cayley donne une borne supérieure sur le nombre f(k) d'arbres à considérer (borne moins bonne = tout sommet d un graphe étiqueté à n sommets a au plus 2 n-1 voisinages possibles). Mais comment passer du squelette à la solution elle-même? Réduction du problème à un «simple» calcul de plus courts chemins, Conservation de la meilleure solution admissible obtenue, L'algorithme obtenu est polynomial pour k constant : un meilleur temps d'exécution peut être obtenu par programmation dynamique (cf CAP). 20

21 Arbres de Steiner de poids minimum (5/5) Les 4 squelettes possibles pour k=3 : t 1 t 2 t 3 t 1 t 3 t 2 t 2 t 1 t 3 t 1 t 2 t 3 Les squelettes possibles pour k=4 : t 1 t 2 t 3 t 4 + tous ceux obtenus en contractant au plus deux arêtes et en renumérotant les terminaux 21

22 PARTIE III : Totale unimodularité et algorithmes combinatoires : les approches primales-duales 22

23 Graphes d'intervalle Un graphe d intervalle (GI) est le graphe d intersection d un ensemble d intervalles (par exemple, d intervalles de temps) horizontaux : les sommets du GI sont les intervalles, et deux sommets sont reliés par une arête du GI ssi les deux intervalles associés ont une intersection non vide Etant donné un graphe d intervalle, une représentation par intervalles de ce graphe peut être obtenue en temps polynomial Les deux représentations sont donc polynomialement équivalentes 23

24 Stables maximums dans les graphes d'intervalle Un ensemble stable (ou stable) dans un graphe d intervalle peut donc être vu comme un ensemble d intervalles deux à deux disjoints Donc chercher un stable maximum dans un tel graphe = choisir un ensemble de cardinalité maximum d intervalles deux à deux disjoints Dans cet exemple, {C,G} = stable de cardinal 2, et {A,E,F}, {B,D,G} = deux stables maximums Dans le cas général, comment déterminer un stable maximum dans de tels graphes? 24

25 Stables maximums dans les graphes d'intervalle Un ensemble stable (ou stable) dans un graphe d intervalle peut donc être vu comme un ensemble d intervalles deux à deux disjoints Donc chercher un stable maximum dans un tel graphe = choisir un ensemble de cardinalité maximum d intervalles deux à deux disjoints Dans cet exemple, {C,G} = stable de cardinal 2, et {A,E,F}, {B,D,G} = deux stables maximums Dans le cas général, comment déterminer un stable maximum dans de tels graphes? 25

26 Stables maximums dans les graphes d'intervalle Un ensemble stable (ou stable) dans un graphe d intervalle peut donc être vu comme un ensemble d intervalles deux à deux disjoints Donc chercher un stable maximum dans un tel graphe = choisir un ensemble de cardinalité maximum d intervalles deux à deux disjoints Dans cet exemple, {C,G} = stable de cardinal 2, et {A,E,F}, {B,D,G} = deux stables maximums Dans le cas général, comment déterminer un stable maximum dans de tels graphes? 26

27 Formuler le problème du stable maximum dans les graphes d'intervalle (1/3) Bonne formulation pour ce problème? Formulation «classique» pour le stable maximum : Une variable 0-1 x i pour tout sommet (ou intervalle) i, indiquant si i est choisi (=1) ou non (=0) Une contrainte x i +x j 1 pour toute arête (i,j) On maximise la somme des x i MAIS la matrice des contraintes de cette formulation n est pas toujours TU (exemple du cycle à 3 sommets, comme ABC)! 27

28 Formuler le problème du stable maximum dans les graphes d'intervalle (2/3) Formulation alternative : Notons [d i,f i ]=ième intervalle, et e j =jème plus petit élément de l union des ensembles {d i,f i } Découpage de l horizon de temps en 2n-1 fenêtres (ou moins), chacune associée à la période [e j,e j+1 ] pour un j Mêmes variables En revanche, il y a désormais une contrainte par fenêtre e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 e 9 e 10 e 11 e 12 e 13 e 14 28

29 Formuler le problème du stable maximum dans les graphes d'intervalle (3/3) Propriétés de cette formulation? Tout intervalle contient des fenêtres consécutives Sur chaque colonne, les «1» sont donc consécutifs Propriété des 1 consécutifs matrice d intervalle Or, toute matrice d intervalle est TU! Le problème est donc polynomial par la PL Le problème dual entier consiste à choisir un nombre minimum de fenêtres intersectant tous les intervalles 29

30 Algorithme primal-dual pour le problème du stable maximum dans les graphes d'intervalle (1/3) Faire mieux que la PL? En réalité, dans ce cas, on peut même concevoir un algorithme combinatoire glouton (rapide) pour ce problème On va en fait décrire une paire d'algorithmes gloutons (les deux peuvent être implémentés en O(n), où n=nombre d'intervalles) Ces algorithmes construisent une solution «primale» et une solution «duale» en se basant sur les relations d exclusion du 2ème PL et de son dual On appelle ces approches «primales-duales», et c est une méthode de conception d algorithmes particulièrement utile 30

31 Algorithme primal-dual pour le problème du stable maximum dans les graphes d'intervalle (2/3) Pseudo-code de l'algo. glouton pour le stable max. dans un GI : Calculer une représentation par intervalles du GI Trier et numéroter les intervalles par ordre croissant de leurs dates de fin Intervalle courant := premier intervalle Tant que non STOP faire Sélectionner l'intervalle courant S'il n'existe plus d'intervalle ayant une intersection vide avec les intervalles déjà sélectionnés, alors STOP Sinon, intervalle courant := premier intervalle n'ayant aucune intersection avec les intervalles déjà sélectionnés 31

32 Algorithme primal-dual pour le problème du stable maximum dans les graphes d'intervalle (3/3) Dans ce premier algorithme, les numéros des intervalles sélectionnés au cours de l exécution sont donc croissants Pseudo-code de l'algorithme glouton pour le PL dual : Exécuter l'algorithme précédent (à la fin de ce dernier, une fenêtre est dite «active» si elle est contenue dans l'un des intervalles sélectionnés) Pour chaque intervalle sélectionné par l algorithme précédent Sélectionner la fenêtre la plus à droite contenue dans cet intervalle 32

33 Exemple de déroulement de l algorithme primal-dual Solutions renvoyées par l algorithme sur l exemple : e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 e 9 e 10 e 11 e 12 e 13 e 14 33

34 Exemple de déroulement de l algorithme primal-dual Solutions renvoyées par l algorithme sur l exemple : e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 e 9 e 10 e 11 e 12 e 13 e 14 34

35 Exemple de déroulement de l algorithme primal-dual Solutions renvoyées par l algorithme sur l exemple : e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 e 9 e 10 e 11 e 12 e 13 e 14 35

36 Exemple de déroulement de l algorithme primal-dual Solutions renvoyées par l algorithme sur l exemple : e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 e 9 e 10 e 11 e 12 e 13 e 14 36

37 Exemple de déroulement de l algorithme primal-dual Solutions renvoyées par l algorithme sur l exemple : e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 e 9 e 10 e 11 e 12 e 13 e 14 37

38 Exemple de déroulement de l algorithme primal-dual Solutions renvoyées par l algorithme sur l exemple : e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 e 9 e 10 e 11 e 12 e 13 e 14 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 e 9 e 10 e 11 e 12 e 13 e 14 38

39 Preuves des algorithmes Preuves des algorithmes basées sur les relations d'exclusion en PL : Rappel : dans une solution (de base) optimale, contrainte primale (duale) saturée OU variable duale (primale) associée nulle De façon équivalente : dans une solution (de base) optimale, contrainte primale (duale) non saturée variable duale (primale) associée nulle Ici, on a un type de contraintes primales et un type de contraintes duales : Fenêtre non active non sélectionnée : toute fenêtre sélectionnée est active Intervalle contient plus d'une fenêtre active non sélectionné : tout intervalle sélectionné ne contient qu'une seule fenêtre active Il «suffit» donc de montrer que les deux solutions construites : Sont admissibles (la solution primale l étant clairement, il reste à s assurer que la solution duale l est), Respectent les relations d'exclusion (vrai par définition du 2ème algorithme). 39

40 Bilan sur les approches primales-duales Les propriétés d une bonne formulation peuvent parfois permettre d établir la polynomialité du problème étudié Souvent, cela n est qu une première étape dans la résolution pratique du problème, et signifie en fait qu il existe un algorithme combinatoire efficace pour résoudre ce problème sans passer par la PL Un algorithme primal-dual est un bon candidat dans ce cas-là, puisque ses «choix» sont guidés par les conditions des écarts complémentaires (relations d exclusion) du PL associé Dans certains cas, cela ne marche pas si bien : Stables de poids maximum dans un graphe d intervalle (dans notre exemple, si C a un poids de 3, et tous les autres 1, alors la valeur optimale est 4) Enfin, ce genre d approches peut parfois être utilisé également pour obtenir des solutions approchées à des problèmes difficiles (cf CAP) 40

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