PROBABILITES EXERCICES CORRIGES

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1 PROBABILITES EXERCICES CORRIGES Vocabulaire des probabilités Exercice. Das chacue de situatios décrites ci-dessous, éocer l évéemet cotraire de l évéemet doé. ) Das ue classe, o choisit deux élèves au hasard. A : «Les deux élèves sot des filles». ) Das u groupe de suisses et de belges, o discute avec ue persoe. B : «La persoe est u homme belge». ) Au restaurat, Luc pred u plat et u dessert. C : «Luc pred ue viade et ue glace». ) A ue loterie, Elise achète billets. D : «L u des billets au mois est gagat», E : «Deux billets au maximum sot gagats. Exercice. Ue ure cotiet des boules blaches, oires et rouges. O tire ue boule de l ure. O ote : A : «Tirer ue boule blache». B : «Tirer ue boule i blache i rouge». C : Tirer ue boule oire ou ue boule rouge». ) A et B sot-ils icompatibles? ) B et C sot-ils icompatibles? ) Traduire par ue phrase e comportat pas de égatio A et B. Exercice. Lors d u jet de deux dés cubiques, o s itéresse aux évéemets suivats : A : «La somme obteue est au mois égale à». B : «La somme obteue est au plus égale à». C : «La somme obteue est strictemet iférieure à». ) A et B sot-ils cotraires? ) B et C sot-ils icompatibles? ) Traduire par ue phrase C. ) A et C sot-ils icompatibles? Déombremets simples et probabilités - équiprobabilité Exercice. O choisit ue carte au hasard das u jeu de cartes. O ote : A l'évéemet : "La carte choisie est u pique". B l'évéemet : "La carte choisie est rouge (cœur ou carreau)". C l'évéemet : "La carte choisie est ue figure (valet, dame, roi)". ) Préseter u modèle mathématique décrivat l expériece aléatoire. ) Détermier les probabilités des évèemets A,B,C,A B,B C,A B,A C. ) Détermier la probabilité de l'évéemet D "La carte choisie 'est i u pique i ue figure". Exercice. O jette ue pièce de moaie fois de suite. ) Doer la liste de tous les résultats possibles e otat P pour Pile et F pour Face (exemple : PPF). ) Doer la probabilité des évéemets suivats : A «le tirage e comporte que des Piles». B «le tirage comporte au mois ue fois Face». Exercice 6. Das ue assemblée de 0 persoes, o e remarque que les hommes portat la cravate ou ayat les yeux bleus. Il y a 0 hommes qui portet la cravate, 8 hommes qui ot les yeux bleus, dot 0 portet la cravate. O discute avec ue persoe choisie au hasard das cette assemblée. ) Quelle est la probabilité que ce soit u homme portat la cravate. ) Quelle est la probabilité que ce soit u homme aux yeux bleus et portat la cravate. ) Quelle est la probabilité que ce soit u homme aux yeux bleus ou portat la cravate. ) Quelle est la probabilité de discuter avec ue persoe qui est i u homme aux yeux bleus, i u homme portat la cravate? Page /

2 Exercice 7. Lors d u référedum, deux questios étaiet posées. 6 % des persoes ot répodu «oui» à la première questio, % ot répodu «oui» à la secode questio, et 6 % ot répodu «oui» aux deux questios. ) Quelle est la probabilité qu ue persoe ait répodu «oui» à l ue ou l autre des questios? ) Quelle est la probabilité qu ue persoe ait répodu «o» aux deux questios? Autres situatios Exercice 8. O lace u dé à 6 faces. O ote probabilités de sortie des faces sot : ; Quelle est la probabilité de sortie de la face marquée 6? Quelle est la probabilité d obteir u ombre pair? p i la probabilité de sortie de la face marquée i. Ce dé est truqué de telle sorte que les p = 0, p = 0, ; p = 0, ; p = 0, ; p = 0,. Exercice. O lace u dé à 6 faces. O suppose que la probabilité d apparitio de chaque face est proportioelle au uméro iscrit sur elle. Calculer la probabilité d apparitio de chaque face. Calculer la probabilité d obteir u ombre pair. Arbre podéré Exercice 0. Das u lycée, quel que soit le iveau, u élève peut être extere ou demi-pesioaire. L arbre ci-cotre idique la répartitio selo le iveau et la qualité de l élève (E: extere ; DP: demi-pesioaire) ) Recopier et compléter cet arbre. ) a) Détermier le pourcetage d élèves exteres das ce lycée. b) Détermier la part des Termiales parmi les exteres. Probabilité coditioelles. Exercice. Das u magasi d électroméager, o s itéresse au comportemet d u acheteur potetiel d u téléviseur et d u magétoscope. La probabilité pour qu il achète u téléviseur est de 0,6. La probabilité pour qu il achète u magétoscope quad il a acheté u téléviseur est de 0,. La probabilité pour qu il achète u magétoscope quad il a pas acheté de téléviseur est de 0,. ) Quelle est la probabilité pour qu il achète u téléviseur et u magétoscope? ) Quelle est la probabilité pour qu il achète u magétoscope? ) Le cliet achète u magétoscope. Quelle est la probabilité qu il achète u téléviseur? ) Compléter l arbre de probabilité suivat : Exercice. O dispose de deux ures u et u. L ure u cotiet trois boules blaches et ue boule oire. L ure u cotiet ue boule blache et deux boules oires. O lace u dé o truqué. Si le dé doe u uméro d iférieur ou égal à, o tire ue boule das l ure u. Sio o tire ue boule das l ure u. (O suppose que les boules sot idiscerables au toucher) ) Calculer la probabilité de tirer ue boule blache. ) O a tiré ue boule blache. Calculer le probabilité qu elle proviee de l ure u. Page /

3 Exercice. Le quart d ue populatio a été vaccié cotre ue maladie cotagieuse. Au cours d ue épidémie, o costate qu il y a parmi les malades u vaccié pour quatre o vacciés. O sait de plus qu au cours de cette épidémie, il y avait u malade sur douze parmi les vacciés. a) Démotrer que la probabilité de tomber malade est égale à 8 b) Quelle était la probabilité de tomber malade pour u idividu o-vaccié? c) Le vacci est-il efficace? Variable aléatoire Exercice. Ue ure cotiet sept boules : ue rouge, deux jaues et quatre vertes. U joueur tire au hasard ue boule Si elle est rouge, il gage 0, si elle est jaue, il perd, si elle est verte, il tire ue deuxième boule de l'ure sas avoir replacé la première boule tirée. Si cette deuxième boule est rouge, il gage 8, sio il perd. ) Costruire u arbre podéré représetat l'esemble des évetualités de ce jeu. ) Soit X la variable aléatoire associat à chaque tirage le gai algébrique du joueur (ue perte est comptée égativemet). a) Etablir la loi de probabilité de la variable X b) Calculer l'espérace de X ) Les coditios de jeu restet idetiques. Idiquer le motat du gai algébrique qu'il faut attribuer à u joueur lorsque la boule tirée au deuxième tirage est rouge, pour que l'espérace de X soit ulle. Exercice. O cosidère u dé rouge et u dé vert, cubiques, équilibrés. Le dé rouge comporte : deux faces umérotées ; deux faces umérotées 0 ; -deux faces umérotées. Le dé vert comporte : ue face umérotée 0;trois faces umérotées ;deux faces umérotées. O lace simultaémet les deux dés. O ote X la somme des poits obteus. ) Détermier la loi de probabilité de X. ) Défiir F, foctio de répartitio de X et costruire sa représetatio graphique Evéemets idépedats Exercice 6. Le tableau suivat doe la répartitio de 0 stagiaires e foctio de la lague choisie et de l activité sportive choisie. O choisit u élève au hasard. Teis Equitatio Voile Aglais 8 7 Allemad 8 ) Les évéemets «étudier l allemad» et «pratiquer le teis» sot-ils idépedats? ) Les évéemets «étudier l aglais» et «pratiquer la voile» sot-ils idépedats? Loi Biomiale Exercice 7. Das ue académie, les élèves cadidats au baccalauréat série ES se répartisset e 00 selo les trois eseigemets de spécialité : mathématiques, scieces écoomiques et sociales et lague vivate. Nous savos de plus que : 7% des cadidats ot choisi l eseigemet de spécialité mathématiques. % des cadidats ot choisi l eseigemet de spécialité lague vivate. % des cadidats ot choisi l eseigemet de spécialité mathématiques et ot obteu le baccalauréat.,% des cadidats ot choisi l eseigemet de spécialité SES et ot obteu le baccalauréat. De plus, parmi les cadidats ayat choisi l eseigemet de spécialité lague vivate, 7,% ot obteu le baccalauréat. O iterroge u cadidat pris au hasard. O ote : M l évéemet «le cadidat a choisi l eseigemet de spécialité mathématiques» ; S l évéemet «le cadidat a choisi l eseigemet de spécialité scieces écoomiques et sociales» ; L l évéemet «le cadidat a choisi l eseigemet de spécialité lague vivate» ; R l évéemet «le cadidat a obteu le baccalauréat». O pourra faire u arbre pour faciliter la répose aux questios. Les résultats serot arrodis au millième. ) Traduire e termes de probabilités les iformatios umériques doées ci-dessus. ) a) Détermier la probabilité pour que ce cadidat ait choisi l eseigemet de SES. b) Détermier la probabilité pour que ce cadidat ait choisi l eseigemet de spécialité lague vivate et ait réussi aux épreuves du baccalauréat. Page /

4 ) Quelle est la probabilité pour que ce cadidat ait choisi l eseigemet de spécialité lague vivate et ait échoué au baccalauréat? ) Ce cadidat a choisi l eseigemet de spécialité mathématiques. Quelle est la probabilité qu il ait pas obteu le baccalauréat? ) Motrer que le pourcetage de réussite au baccalauréat pour les cadidats de ES das cette académie est 7,6%. 6) O iterroge successivemet au hasard et de faço idépedate trois cadidats. a) Quelle est la probabilité qu au mois l u d etre eux soit reçu? b) Quelle est la probabilité que deux cadidats sur trois exactemet soiet reçus? Exercice 8. O utilise deux pièces de moaie : l ue pipée, de sorte que lorsqu o la lace, la probabilité d obteir pile soit/ ; l autre ormale dot la probabilité d obteir pile est / à chaque lacer. ) O pred ue pièce au hasard (chacue des deux pièces a ue probabilité / d être prise) a) Quelle est la probabilité d obteir pile? b) O a obteu pile : quelle est la probabilité d avoir utilisé la pièce pipée. c) Quelle est la probabilité d obteir au mois ue fois pile e faisat trois lacers avec la pièce choisie? ) Trois fois o choisit l ue des pièces au hasard qu o lace (chacue des deux pièces a doc à chaque fois ue probabilité / d être lacée) : détermier la probabilité d obteir au mois ue fois pile ) O lace les deux pièces esembles : quelle est la probabilité d obteir le même résultat pour les deux pièces? Exercice. O sélectioe les cadidats à u jeu télévisé e les faisat répodre à dix questios. Ils devrot choisir, pour chacue des questios, parmi quatre affirmatios, celle qui est exacte. U cadidat se présete et répod à toutes les questios au hasard. O appelle X la variable aléatoire désigat le ombre de réposes exactes doées par ce cadidat à l issue du questioaire. ) Quelle est la loi de probabilité de X? ) Calculer la probabilité pour qu il fourisse au mois 8 boes réposes, et soit aisi sélectioé. Exercice 0. Ue ure cotiet pièces équilibrées. Deux d'etre elles sot ormales : elles possèdet u côté «Pile» et u côté «Face». La troisième est truquée et possède deux côtés «Face». O pred ue pièce au hasard das l'ure et o effectue de maière idépedate des lacers successifs de cette pièce. O cosidère les évèemets suivats: B : la pièce prise est ormale. B : la pièce prise est truquée. P : o obtiet «Pile» au premier lacer. : o obtiet «Face» pour les premiers lacers. ) a) Quelle est la probabilité de l'évèemet B? b) Quelle est la probabilité de l'évèemet P sachat que B est réalisé? ) Calculer la probabilité de l'évéemet P B, puis de l'évèemet P B. E déduire la probabilité de l'évèemet P. ) Calculer la probabilité de l évèemet F B puis de l'évèemet E déduire la probabilité de l'évèemet. F F F B. Exercice. U sodage est effectué das u coservatoire de musique. 60 % des élèves pratiquet u istrumet à cordes (C). % des élèves pratiquet u istrumet à vet (V) 0 % des élèves pratiquet u istrumet à cordes et vet. ) O choisit u élève au hasard das le coservatoire. a) Quelle est la probabilité de l évéemet «Cet élève pratique au mois u des istrumets cosidérés» b) Quelle est la probabilité de l évéemet «Cet élève pratique u et u seul des istrumets cosidérés» ) O choisit au hasard u élève pratiquat u istrumet C. Quelle est la probabilité pour que cet élève pratique u istrumet V? ) Soit u etier supérieur ou égal à. O choisit au hasard élèves. O suppose que le ombre d élèves du coservatoire est suffisammet grad pour que la probabilité de recotrer u istrumetiste du type doé soit costate au cours du sodage. a) Quelle est la probabilité p qu au mois u des élèves choisis pratique u istrumet C? b) Détermier le plus petit etier tel que p 0, Page /

5 Déombremets et probabilités Exercice. Ue ure cotiet 0 bulletis idiscerables au toucher, de sortes : sot marqués «oui», sot marqués «o» et sot marqués «blac». U joueur tire simultaémet deux bulletis de l ure. Quelle est la probabilité qu il obtiee u tirage de deux bulletis de sortes différetes. Exercice. U sac cotiet jetos verts (umérotés de à ) et jetos rouges (umérotés de à ). ) O tire successivemet et au hasard jetos du sac, sas remettre le jeto tiré. Calculer les probabilités : a) De e tirer que jetos verts ; b) De e tirer aucu jeto vert c) De tirer au plus jetos verts ; d) De tirer exactemet jeto vert. ) O tire simultaémet et au hasard jetos du sac. Repredre alors les questios a), b), c) et d). Page /

6 PROBABILITES CORRECTION Exercice ) L évéemet A est «au mois u des deux élèves est u garço». ) L évéemet B est «La persoe est soit ue femme, soit u suisse». ) L évéemet C est «Luc e pred pas de viade ou e pred pas de glace». ) L évéemet D est «aucu billet est gagat». ) L évéemet E est «les trois billets sot gagats». Exercice ) A et B sot icompatibles car ue boule e peut être simultaémet blache et o blache. ) B et C e sot pas icompatibles car le tirage d ue boule oire les réalise simultaémet. ) L évéemet A est «tirer ue boule oire ou rouge». ) L évéemet B est «tirer ue boule blache ou rouge». Exercice ) A et B e sot pas cotraires car ue somme égale à les réalise simultaémet. ) B et C sot icompatibles car la somme e peut être simultaémet strictemet supérieure à (évéemet B) et strictemet iférieure à (évéemet C). ) L évéemet C est «La somme est supérieure ou égale à». ) A et C e sot pas icompatibles car ils sot simultaémet réalisés par ue somme supérieure ou égale à. Exercice ) O ote Ω l uivers des possibles, esemble des cartes du jeu. Aisi d Il y a équiprobabilité des tirages de cartes. Aisi Card ( A) 8 Card ( B) 6 ) p( A) =, p( B) Card Ω Card Ω ( B) 0 =, pc p A = car ue carte e peut être simultaémet rouge et pique, ( C) ( Ω) Card B 6 p( B C) =. Card 6 pa ( B) = pa + pb p( A B) = + 0=. 7 pa ( C) = pa + pc p( A C) = + =. 8 7 ) O cherche p(a C) = p( A C) = =. Car Ω =. ( Ω) Card C = Card 8, Remarque : o a p( A C) p( A C) =. Exercice ) A l aide d u arbre comme ci-cotre, Ω= PPP; PPF; PFP; PFF; FPP; FPF; FFP; FFF. O peut lister { } D où Card ( Ω ) = 8. Card ( A) ) Les tirages état équiprobables, o a p( A) = Card ( Ω ) 8 Efi, o remarque que B A doc 7 B = A = A = =. 8 8 = p p p = (seul le tirage PPP coviet). Page 6/

7 Exercice 6 Le tableau suivat permet de déombrer les différetes catégories : Cravate Pas de Cravate Total (évéemet C) (évéemet C) Yeux Bleus 0 8 (évéemet B) Yeux o bleus 70 6 (évéemet B) Total O ote Ω l uivers des possibles, esemble des 0 persoes. Aisi d ( Ω ) = 0 Il y a équiprobabilité des choix de persoes. Aisi Card ( C) 0 Card ( B C) 0 ) pc =, ) p( B C) =, Card Ω 0 Card Ω 0 ) p( B C) p( B) p( C) p( B C) = + = Card ( B C) p( B C) ). Card Ω = = = =. 0 0 ) p( B C) p( B C) p( B C) Car. (o pouvait aussi directemet écrire Exercice 7 Si o ote A l évéemet «la persoe a répodu oui à la première questio» et B l évéemet «la persoe a répodu p A =, p( B ) = 0, et p( A B) = 0,6. oui à la deuxième questio», l éocé ous fourit 0,6 p( A B) = p( A) + p( B) p( A B) = 0,6 + 0, 0, 6 = 0,7 ) O calcule. ) O calcule p( A B) p( A B) p( A B) = = = 0,7=0,. Exercice 8 Si o ote p 6 la probabilité d apparitio du chiffre 6, la somme des probabilités des évéemets élémetaires valat, o a p6 = ( p+ p + p + p + p) = 0,8 = 0,. L évéemet A «obteir u ombre pair» état { ;;6} Il e fallait surtout pas écrire p( A) A =, o a p( A) p p p6 0, 0, 0, 0, ( Ω) = + + = + + =. Card A = car il y a pas équiprobabilité des faces de dés. Card 6 Exercice Si o ote p la probabilité d apparitio du chiffre, les probabilités d apparitio des autres faces sot respectivemet égales à p, p, p, p,6 p, puisque proportioelles au uméro de chaque face. Puisque la somme des probabilités des évéemets élémetaires vaut, o a p + p+ p+ p+ p+ 6p=, doc p= p=. O e déduit doc : Face 6 Probabilité 6 Et aisi, l évéemet A «obteir u ombre pair» état A = { ;;6}, o a Il e fallait surtout pas écrire p( A) ( Ω) 6 p A = + + =. Card A = car il y a pas équiprobabilité des faces de dés. Card 6 Page 7/

8 Exercice 0 L arbre ous reseige sur le fait que «% des élèves du lycée sot e secode, et parmi ces élèves de secode, 80 % sot demi-pesioaires, etc». ) La somme des poids figurat sur les arêtes au départ de chaque «œud» doit être égale à (coefficiets multiplicateurs traduisat des pourcetages). O obtiet aisi l arbre : ) Les élèves de secode exteres représetet ue fractio de l effectif total égale à 0, 0, = 0,07, soit 7 %. Les exteres représetet doc ue fractio égale à 0, 0, + 0, 0, + 0, 0, + 0, 0, = 0,, soit %. ) Sur 000 élèves, 0 sot doc exteres. Les élèves de termiale exteres représetet 000 0, 0, = 0 élèves, 0 soit ue part égale à 00 % à % près.. 0 Exercice O ote T l évéemet «le cliet achète u téléviseur» et M l évéemet «le cliet achète u magétoscope». L éocé fourit 0,6 (doc = 0,= 0,8 T pt = (doc 0,6 0, p M, ce que l o peut traduire par l arbre de probabilités pt = = ), 0, p M = (doc 0, 0,6 T p M = = ), et p ( M ) = 0, T T ) E appliquat la formule de défiitio d ue probabilité coditioelle, das sa «versio multiplicative», pt ( M) pt ( M) = p( T M) = p( T) pt ( M) = 0,6 0, = 0, pt ) E appliquat la formule des probabilités totales, = ( ) + ( ) p M p T M p T M = p T p M + p T p M T = 0,6 0, + 0, 0, = 0, ) O demade p ( T) M T ( T) p( M) p M 0,6 0, = 0,7 0, ) Puisque p( M ) = 0,, o a 0, 0,68 p M = =. Puisque 0,7 O calcule de la même maière qu à la questio ), 8 p T = =. O peut doc «iverser» l arbre de probabilité : M 7 7 pm T =, o a pm ( T ) = 0,7= 0, p( M T) p T M p( M) 0, 6 0, 6 0,6, doc 0, 68 0, 68 7 Page 8/

9 Exercice Notos Ω l esemble des résultats possibles du jet de dé. O a doc Card ( Ω ) = 6. Notos u l évéemet «Le tirage s effectue das l ure u» et u l évéemet «Le tirage s effectue das l ure u». Notos B l évéemet «obteir ue boule blache» La répartitio des boules blaches et oires doées das l éocé ous fourit les probabilités : pu ( B ) = doc pu ( B ) =, aisi que p u B = et p u B = Efi, puisqu il y a équiprobabilité das les résultats du lacer de dé, pu ( ) et pu ( ) =. 6 O peut résumer cette situatio par l arbre de probabilités suivat : ) E appliquat la formule des probabilités totales, p B = p u B + p u B ( ) ( ) = p( u ) p ( B) + p( u ) p ( B) u u 7 = + = + = 6 ) O demade u p u. Puisque p B, o peut appliquer la formule de défiitio de la probabilité coditioelle de l évéemet coditioé par B : B 0 ( ) p( B) ( ) p( B) p B u p u B pb u = Exercice Notos V l évéemet «être vaccié» et M l évémeet «être malade» L éocé fourit pv = doc pm V p pm V = et M déduit pv = =. De plus = ( V ). Puisque p ( V) p ( V) p V =. Efi l éocé idique que pv M = doc V M p M =. M + =, o a) La formule des probabilités totales appliquée au système complet d évéemets { VV ; }, permet de calculer : = ( ) + ( ) = V + V p( M V) p( M) p M V p M V pv p M p V M p V M p V p M p V p M Puisque l équatio p M 6 p( M) = p( M ), o se retrouve avec p = + 6 p M = 8 = 8 d où l o tire : 8 8 p M = = 6 6 b) Du coup, o calcule p ( M) = p( M V ) = = 8 c) D après les calculs précédets, e moyee, idividu sur o vacciés tombe malade, cotre idividu sur vacciés. M Page /

10 Exercice O désige par R l évéemet «la boule tirée au er tirage est rouge», R l évéemet «la boule tirée au ème tirage est rouge», et aisi de suite avec les autres couleurs. Par équiprobabilité, o a p( R ) =, p( J ) = et pv ( ) = E cas de deuxième tirage, l ure e cotiet plus que 6 boules, dot ue rouge, deux jaues et trois vertes, ce qui permet d affirmer que pv ( R ) = doc pv ( R ) = = ) L arbre de probabilités (et les gais qui sot associés au différets évéemets) est doc ) a) X peut predre quatre valeurs distictes : -, -, +8, 0 (o ote X ( Ω ) = { ; ;8;0} O détermie les probabilités : 0 p( X = ) = p( J ) = p( X = ) = p( V R) = p( V) pv ( R ) = = p( X =+ 8) = p( V R) = p( V) pv ( R ) = = p( X = + 0) = p( R ) = Les résultats présetés das u tableau sot : x i i x i i= b) Par défiitio, E ( X) = x p( X = ) p( X = x i ) 7 ( ) p( X ) ( ) p( X ) 8 p( X 8) 0 p( X 0) = = + = + = + = 0 8 = = = ) Notos a le gai correspodat à l évéemet V R. 0 a 0 O a doc E( X) = + a + 0 = 7 7 E X = a = a= Il suffit alors de résoudre l équatio : Exercice O peut cosiger les résultats das le tableau suivat : 0 Dé vert 0 Dé Rouge ) Si o ote X la somme des poits obteus, o a doc X ( Ω ) = { ; 0;; ;}, avec x - 0 i = p( X x i ) = = 6 = 6 0 = 6 8 = 6 ) O défiit aisi la foctio de répartitio de X par : F x p( X x) 0 si x < si x < = si 0 x < 8 8 = = + + = si x < = si x < = si x Page 0/

11 Exercice 6 Après avoir complété le tableau des effectifs : Teis (T) Equitatio (E) Voile (V) Total Aglais (A) Allemad (D) 8 60 Total O choisit u élève au hasard et o ote O ote Ω l uivers des possibles, esemble des 0 élèves. Aisi Card ( A) Card ( Ω ) =. Il y a équiprobabilité das le choix des élèves. Aisi pour tout évéemet A, p( A) = Card Ω ) O calcule séparémet : p( D T) = p( T) pt ( D) = = et pt pd = = = = p D T p T p D, o peut coclure que les évéemets «étudier l allemad» et «pratiquer le teis» Puisque e sot pas idépedats ) O calcule séparémet : p( A V) = p( V) pv ( A) = et p( A) p( V) = = = p A V = p A p V, o peut coclure que les évéemets «étudier l aglais» et «pratiquer la voile» sot Puisque idépedats Exercice 7 Le début de l exercice est l archétype classique d u exercice de probabilités coditioelles. ) E utilisat les otatios de l éocé, ous avos p( M ) = 0,7, 0, p M R et pl ( R ) = 0,7 ) a) O calcule p( S) = ( p( M) + p( L) ) = ( 0,7 + 0, ) = 0,6 = 0,8 p( L R) = p( L) pl ( R) = 0, 0,7 = 0,8 0,8 ) O calcule p( L R) p( L) pl( R) ( pl( R) ) b) O calcule arrodi au millième ) O calcule pm ( R) calcule p L =, ( ) = 0,, p( S R) = 0, = = 0, = 0, 0, 7 = 0, , 06 arrodi au millième ( ) ( ) p M R p M R arrodi au millième. Puisque 0,7 p( M) 0,7 p( M R) 0, pm ( R ) = et doc pm ( R) = pm ( R) = = 6 0, p( M) 0, ) E appliquat la formule des probabilités totales, p R = p L R + p S R + p M R + +, d où la répose 0,8 0, 0, 0,76 0, p M = et p M R =, o arrodi à 0 6) O répète fois successivemet, et de maière idépedate, la même épreuve cosistat à choisir u élève qui peut avoir été reçu (issue R que ous appelleros SUCCES, de probabilité 0,76) ou qui peut avoir échoué (issue R que ous appelleros ECHEC, de probabilité -0,76=0,8). Le ombre de succès suit ue loi biomiale de paramètre et 0,76. Page /

12 O peut matérialiser cette situatio par u arbre : a) L évéemet cotraire de l évéemet «au mois u des trois cadidats est reçu» est l évéemet «les trois cadidats e sot pas reçus», de probabilité 0,8. L évéemet cosidéré a doc pour probabilité 0,8 0,77 arrodi au millième b) Pour calculer la probabilité que deux cadidats sur trois exactemet soiet reçus, soit o compte le ombre de chemis répodat à cette situatio sur l arbre (o e compte trois : RRR, RRR et RRR, chacu d eux représetat ue probabilité égale à 0,76 0,8 ), soit o applique la formule doat le ombre de succès das ue situatio biomiale, pour aboutir au calcul : ombre de répétitios ombre de succès probabilité d'u succès ombre probabilité d'u échec ombre d'échec de succès 0,76 0,8 = 0,76 0,8 0,7 arrodi au millième Exercice 8 Notos A l évéemet «le lacer s effectue avec la pièce truquée» et B l évéemet «le lacer s effectue avec la pièce équilibrée». L éocé ous fourit p( A) = p( B) =. ) (a) Notos P l évéemet «obteir Pile lors d u lacer». L éocé ous fourit pa ( P ) = doc pa ( P ) = = ; et pb ( P ) = doc pb ( P ) = =. Ceci peut se traduire par l arbre de probabilités La formule des probabilités totales appliqué au système complet { AB ; fourit : p( P) = p( A P) + p( B P) = p( A) pa( P) + p( B) pb( P) = + = 8 } p( A P) 8 (b) O demade p P A = = p( P) 8 8 (c) Notos P, P, P les probabilités d obteir Pile respectivemet aux tirages, et. O peut aisi dresser l arbre de probabilité : Raisoos avec l évéemet cotraire de «obteir au mois ue fois pile», qui est «obteir trois fois face». D après la formule des probabilités totales, ce derier évéemet a pour probabilité : p( F F F ) = p( A F F F ) + p( B F F F ) = p A p F F F + p B p F F F A B 7 = + = + = La probabilité d obteir au mois ue fois pile avec ue pièce choisie est doc égale à = 8 8 ) La situatio est cette fois ci différete de la questio ) (c) car o retire ue pièce au hasard avat chaque lacer. O répète aisi fois cosécutivemet et Page /

13 de maière idépedate, l épreuve de Beroulli décrite das la questio ) (a), qui admet deux issues : p( P ) = doc 8 p( P ) =. Le ombre de succès (obtetio de Pile) sur les trois répétitios suit doc ue loi biomiale de paramètre 8 p( P ) = et =. O raisoe ecore ue fois avec l évéemet cotraire de «obteir au mois ue fois pile», qui est 8 «obteir trois fois face», de probabilité trois lacers (et choix) est doc ( p( P) ) 87 = = =. La probabilité d obteir au mois ue fois pile sur les 8 ) Les résultats des deux pièces sot idépedats l u de l autre. Si o ote P A l évéemet «obteir Pile à l aide de la pièce truquée» et P B l évéemet «obteir Pile à l aide de la pièce équilibrée», l évéemet cherché aura doc ue probabilité égale à : p( PA PB) + p( FA FB) = p( PA) p( PB) + p( FA) p( FB) = + = Exercice ) O répète 0 fois successivemet, et de maière idépedate, la même épreuve cosistat à répodre à ue questio e choisissat au hasard et de maière équiprobable ue répose parmi les quatre proposées. Chaque épreuve a doc ue probabilité de réussite égale à p = 0, et ue probabilité échec égale à q= p= 0, = 0, 7. Le ombre de succès X parmi les 0 répétitios suit doc ue loi biomiale de paramètre 0 et 0,. ) O a aisi : p( X = 8) = 0, 0,7 = 0, 0,7, p( X = ) = 0, 0,7 = 0 0, 0,7 et efi p( X = 0) = 0, 0,7 = 0,. L évéemet cosidéré a doc pour probabilité la somme de ces trois deriers 0 ombres. Exercice 0 ) a) Les choix de pièces das l ure état équiprobables, p( B) ( Ω) Card B Card b) Si l évéemet B est réalisé, c est-à-dire si ue pièce «ormale» a été choisie, la probabilité d obteir «Pile» vaut, c est-à-dire p ( P ) = B ) O calcule p( P B) = p( B) pb ( P) = = Puisque p( B ) =, alors p( B ) = =. Si l évéemet B est réalisé, c est-à-dire si ue pièce «truquée» a été p P =. O choisie, la probabilité d obteir «Pile» est ulle, puisque la pièce truquée possède «deux «faces». Aisi 0 B = = B 0 = 0. e déduit p( P B) p( B) p ( P) E utilisat la formule des probabilités totales, pusique le système ( B, B ) est u système complet d évéemet, o = + = ) Si l évéemet B est réalisé, c est-à-dire si ue pièce «ormale» a été choisie, la probabilité d obteir «Face» au cours des premiers lacers suit ue loi biomiale de paramètres et, doc 0 pb F = =, et aisi obtiet p( P) p( P B) p( P B) p( F B) = Page /

14 Si l évéemet B est réalisé, c est-à-dire si ue pièce «truquée» a été choisie, la probabilité d obteir «Face» vaut à chaque lacer, doc la probabilité d obteir «Face» au cours des premiers lacers vaut, c est-à-dire p ( F ) = et aisi p( F B) = = E utilisat la formule des probabilités totales, puisque le système ( B, B ) est u système complet d évéemet, o = + = + = + obtiet p( F) p( F B) p( F B) Exercice L éocé ous fourit pc =, 0, et 0,6 pv = pc ( V) = 0, ) O calcule pc ( V) = pc + pv pc ( V) = 0,6 + 0, 0, = 0, (o aurait pu aussi raisoer avec les effectifs rameés à 00 élèves, coformémet au diagramme ci-cotre) ) a) O calcule pc ( V) pc ( V) = 0, 0, = 0,8 (o aurait pu aussi raisoer avec les effectifs rameés à 00 élèves, coformémet au diagramme ci-dessus) 0 b) L éocé (ou le diagramme) fourit pc ( V ) 60 6 ) O répète fois successivemet, et de maière idépedate, la même épreuve cosistat à choisir u élève qui peut pratiquer u istrumet C (SUCCES, de probabilité 0,6) ou e pas pratiquer u istrumet C (issue C que ous appelleros ECHEC, de probabilité -0,6=0,). Le ombre de succès suit ue loi biomiale de paramètre et 0,6. a) L évéemet cotraire de l évéemet «au mois u des élèves choisis pratique u istrumet C» est l évéemet «les élèves choisis e pratiquet pas u istrumet C» de probabilité 0,. Aisi p 0, = b) p 0, 0, 0, 0, 0,00 l ( 0,) ] [ 0, 0,00 car la foctio l est strictemet croissate sur 0; + l 0, l 0, 00 l 0,00 car l 0, <0 7, à 0 près Puisque est etier, o déduit doc 8 Exercice 0 0 L uivers est costitué de l esemble des combiaisos de élémets pris parmi 0, d où Car d ( Ω ) =. Notos A l évéemet «d obteir deux bulletis de sortes différetes». raisoemets s offret à ous : Card A. Il y a trois possibilités ( bulleti «oui» et bulleti «o», bulleti - Ou bie o décide de détermier «oui» et bulleti «blac», ou bulleti «o» et bulleti «blac») doc Card = ( A) Card A = =, et aisi p( A) = Card ( Ω) - Ou bie o raisoe avec l évéemet cotraire A qui est «obteir deux bulletis idetiques». Il y a trois possibilités (deux bulletis «oui», deux bulletis «o», deux buleltis «blac», doc Card A = + + = = p( A) = p( A) = = Les deux méthodes fourisset le même résultat! =, d où p( A) Page / Card A = Card ( Ω) B et doc

15 Exercice ) Tirages successifs sas remise de jetos parmi. Il y a A = 0 possibilités a) Notos A l évéemet «Tirer jetos verts». O a p( A) A A b) Notos B l évéemet «Ne tirer aucu jeto vert». O a p( B) c) Notos C l évéemet «Tirer au plus jetos verts» 7 ère méthode : p( C) = p( A) = p( A) = = ème méthode p C Tirer exactemet vert : - choix de la place du jeto vert Ne tirer aucu vert - choix d' vert et de rouges Tirer exactemet verts A + A A + A A 7 A d) Soit D l évéemet «Tirer exactemet jeto vert». p( D) ) Tirages simultaés de jetos parmi. Il y a C = 8 possibilités a) Notos A l évéemet «Tirer jetos verts». O a p( A) A A A A A C C b) Notos B l évéemet «Ne tirer aucu jeto vert». O a p( B) c) Notos C l évéemet «Tirer au plus jetos verts» 7 ère méthode : p( C) = p( A) = p( A) = = ème méthode p C Tirer exactemet vert : - choix de la place du jeto vert Ne tirer aucu vert - choix d' vert et de rouges Tirer exactemet verts C + C C + C C C 7 d) Soit D l évéemet «Tirer exactemet jeto vert». p( D) C C C C C Commetaire sur l exercice : Selo toute logique, o doit retrouver les mêmes résultats das les deux parties. E effet, tirer successivemet sas remise boules ou les tirer simultaémet reviet au même. Que l o traite u tirage comme u arragemet ou comme u sous-esemble, les questios a) et b) ous fourisset le même résultat si o a coservé l ordre jusqu au bout (umérateurs et déomiateurs des fractios) le même mode de comptage. E ce qui cocere la questio c), si o travaille avec des arragemets, o iduit aisi u ordre. Il e faut doc pas oublier de multiplier par, c est à dire de choisir d abord ue place pour le jeto vert. Ce problème e se pose pas avec des combiaisos. Coclusio : Il est plus facile de travailler avec des combiaisos. Cette derière remarque est valable car le type d évéemets étudié e fait pas iterveir d ordre. Page /

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