Probabilités et statistique

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1 Probabilités et statistique Christophe Guyeux Jean-François Couchot guyeux[arobase]iut[moins]bm[point]univ[moins]fcomte[point]fr couchot[arobase]iut[moins]bm[point]univ[moins] 14 septembre 2009

2 Table des matières I Probabilités 2 1 Eléments d analyse combinatoire 3 I Quelques rappels I.1 La factorielle I.2 Les ensembles II Dénombrement : les permutations II.1 Permutation sans répétition d objets discernables II.2 Permutation avec répétition d objets discernables III Dénombrement : les arrangements III.1 Arrangements sans répétition III.2 Arrangements avec répétition IV Dénombrement : les combinaisons IV.1 Combinaisons et arrangements IV.2 Combinaison sans répétition IV.3 Combinaison avec répétition V Propriétés des arrangements et des combinaisons V.1 Valeurs remarquables V.2 Formules remarquables VI Pascal et Newton VI.1 Le triangle de Pascal VI.2 Le binôme de Newton VII Exercices Probabilités 13 I Notions d expérience aléatoire II Vocabulaire des événements III Définition d une probabilité IV Probabilités conditionnelles V Evénements indépendants VI Probabilités totales Les variables aléatoires discrètes 20 I Loi de probabilité d une variable aléatoire discrète II Fonction de répartition III Espérance mathématique, variance et écart-type IV Moment V Espérance d une fonction quelconque dey,g(y ) VI Principales probabilités de vad VI.1 Loi de bernoulli VI.2 Loi binomiale VI.3 Loi de Poisson

3 Première partie Probabilités 2

4 Chapitre 1 Eléments d analyse combinatoire I Quelques rappels I.1 La factorielle Définition 1.1. Factorielle n, noté n!, est le nombre égal à 0! = 1, n! = 1*2*3*...*(n-1)*n. Exemple ! = 1*2*3*4 = 24. Exemple ! = 1*2*3*4*5*6 = 720. Remarque 1.4. On peut encore définir ce nombre par récurrence : 0! = 1, n! = n*(n-1)!. Remarque 1.5. (2n)! = 1*2*3*...*(n-1)*n*(n+1)*...*(2n-1)*(2n), ce qui n est pas égal à 2 n! Exercice 1.6. Calculez 7! Exercice 1.7. Exprimez simplement (n+1)!-n! Exercice 1.8. Exprimez simplement le produit des nombres pairs jusqu à 2n, et le produit des nombres impairs jusqu à 2n+1. I.2 Les ensembles Soit E un ensemble, et A et B deux parties de E (c est-à-dire deux sous-ensembles de E.) E A B Fig. 1.1 Parties d un ensemble Définition 1.9 (cardinal). On appelle cardinal d un ensemble son nombre d éléments. Notation : On note card(e) le cardinal de l ensemble E. 3

5 I.2.1 Réunion d ensembles Définition 1.11 (Réunion). On notea B l ensemble, appelé réunion de A et B, constitué des éléments appartenant à A ou à B. E A B A U B Fig. 1.2 Réunion d ensembles I.2.2 Intersection d ensembles Définition 1.12 (Intersection). On note A B l ensemble, appelé intersection de A et B, constitué des éléments appartenant à A et à B. E A B Fig. 1.3 Intersection d ensembles I.2.3 Relation entre cardinalités Propriété 1.13.card(A B) =card(a) +card(b) card(a B) I.2.4 Ensemble complémentaire Définition 1.14 (Complémentaire). On notece A des éléments appartenant à E, mais pas à A. l ensemble, appelé complémentaire de A dans E, constitué Notation : On note encoreaquand il n y a pas d ambiguité. Exercice On considère les ensemblesa ={1; 2; 3; 4; 5; 6},B={1; 3; 4; 5}, etc={4}. Calculez toutes les unions, et toutes les intersections possibles. Quels sont les complémentaires de B, C dans A? Exercice On se place sur l ensemble N des entiers naturels. 1. Quel est le complémentaire de l ensemble des entiers pairs? des entiers impairs? de l ensemble{0; 1; 2}? 4

6 2. Calculez toutes les réunions et les intersections possibles des ensembles précédemment définis. Exercice On se place sur R, et on notea = [0; 1],B= R +,C= [ 5, 5],D={0} ete= R. 1. Quel est le complémentaire dea,b,c,d ete? 2. Calculez toutes les réunions et les intersections possibles des ensembles précédemment définis. II Dénombrement : les permutations II.1 II.1.1 Permutation sans répétition d objets discernables Introduction Comme exemple d introduction, considérons le nombre de dispositions de six objets discernables dans six cases consécutives numérotées avec un et un seul objet par case. Chacun des objets peut être placé dans la première case, ce qui donne six possibilités d occuper la première place. II.1.2 Une fois la première place occupée par l un des objets : il reste encore cinq candidats pour la deuxième place, la deuxième place étant attribuée, il reste seulement quatre candidats pour la troisième place, etc. pour l avant-dernière place, il ne reste plus que deux objets, une fois l un des deux placé, la dernière place doit être occupée par le dernier objet. Il y a ainsi 6*5*4*3*2*1 ou 6! = 720 possibilités de disposer six objets discernables. Généralisation Disposer des objets d un ensemble E de cardinal n, dans n cases avec un et un seul objet par case, revient à ordonner les éléments de E. Il est commode de représenter un tel ordonancement par un n-uplet (ou n-liste) d éléments de E : (x 1,x 2,...,x n ), les parenthèses étant là pour signaler que l ordre a de l importance. (x 1,x 2,...,x n ) est encore appelée une permutation des éléments de E. Propriété Il y a n! permutations (sans répétition) de n éléments. II.2 Preuve En effet, pour former un n-uplet d éléments de E : nous devons choisir un élément de E pour la première place du n-uplet (il y a n possibilités), il y a n-1 choix possibles d un élément de E pour la deuxième place, n - 2 pour la troisième, etc. il n y a plus qu un seul choix d élément pour la dernière place. Donc au total n(n-1)(n-2)... *2*1 permutations. (Cette propriété se démontre rigoureusement, par récurrence sur n.) II.2.1 Permutation avec répétition d objets discernables Présentation Pour déterminer le nombre des dispositions possibles d objets de plusieurs classes et mutuellement indiscernables dans chaque classe, il est utile de considérer le nombre de dispositions possibles de ces objets en les supposant 5

7 tous discernables, et ensuite de trouver combien de ces dispositions sont indiscernables. Le nombre des dispositions possibles de ces objets est égal au nombre de dispositions possibles des objets considérés comme discernables divisé par le nombre des dispositions indiscernables. II.2.2 Exemple Par exemple, si nous devons déterminer le nombre total de dispositions d objets dont deux sont d une première classe, trois d une deuxième classe et cinq d une troisième classe, alors nous calculons le nombre total de dispositions de ces objets considérés comme indiscernables, ce qui donne ( )!, soit dispositions possibles. Mais certaines dispositions restent inchangées lorsque les objets indiscernables d une même classe sont échangés mutuellement, et il y a 2!*3!*5! soit façons de permuter les objets de chacune de ces classes. Nous obtenons au total /1 440 = dispositions différentes. Il s agit aussi du nombre de permutations avec répétition de 10 éléments avec 2, 3 et 5 répétitions. II.2.3 Généralisation Propriété Le nombre de permutations de n éléments, répartis dans k classes dont n 1 sont de classe 1, n 2 sont de classe 2,... n k sont de classek, (avecn= k i=1 n i ) indiscernables dans chaque classe, ou le nombre de permutations de n éléments avec n 1,n 2,...,n k répétitions, est égal à n! n 1!n 2!...n k! III Dénombrement : les arrangements III.1 III.1.1 Arrangements sans répétition Présentation Nous disposons de n objets discernables et nous voulons en placer k, en tenant compte de l ordre, dans k cases numérotées de 1 à k avec un et un seul objet par case. Le nombre de dispositions est alors égal au nombre de k-listes distinctes formées à partir de ces objets. Au lieu de constituer un n-uplet, à partir de n objets discernables (k ), nous formons ici des k-uplets (x 1,x 2,...,x k ) à partir de ces n objets tels que pouri j, on aitx i x j. Définition 1.21 (Arrangement sans répétition). Un tel k-uplet s appelle un arrangement sans répétition denéléments priskàk. III.1.2 Théorème Propriété Le nombre d arrangements sans répétition denéléments prisk àk est égal àa k n = (sik n et 0 sinon). n! (n k)! Preuve En effet : 6

8 il y anchoix possibles de l objet qui occupe la première place duk-uplet, n 1 choix pour l objet de la deuxième place, etc. il ne reste plus quen (k 1) objets pour lak ieme place. soit doncn k + 1 choix possibles. III.2 III.2.1 Le produitn (n 1)...(n k + 1) s écrit bien sous la forme : Arrangements avec répétition Présentation n! (n k)!. Lorsque nous voulons placer des objets pris parmi n objets discernables dans k emplacements en tenant compte de l ordre, ces objets pouvant apparaître plusieurs fois, le nombre de dispositions est alors égal au nombre de k- uplets formés à partir de ces n objets. Définition 1.23 (Arrangement avec répétition). Un tel k-uplet, aveck n, (x 1,x 2,...,x k ) formé à partir de cesnobjets s appelle un arrangement avec répétition dekéléments pris parmin. III.2.2 Résultat Propriété Comme chaque emplacement peut être occupé indifféremment par l un quelconque de ces n objets, il y en a au totaln k. III.2.3 Exemple Quand nous tirons 11 fois l un de 3 numéros en tenant compte de l ordre d apparition nous obtenons au total 3 11 = tirages différents. Comme exemple tiré de la génétique, nous pouvons donner le nombre total de codons de base (triplets formés de quatre codes) : 4 3 = 64. IV Dénombrement : les combinaisons IV.1 IV.1.1 Combinaisons et arrangements Comparaison avec les arrangements Contrairement aux arrangements, les combinaisons sont des dispositions d objets qui ne tiennent pas compte de l ordre de placement de ces objets. IV.1.2 Exemple Par exemple, si a, b et c sont des boules tirées d une urne, abc et acb correspondent au même tirage. Il y a donc moins de combinaisons que d arrangements. IV.2 IV.2.1 Combinaison sans répétition Présentation Si nous tirons sans remisekobjets parminobjets discernables, et nous les disposons sans tenir compte de l ordre d apparition, nous pouvons représenter cesk objets par une partie àk éléments d un ensemble à n éléments (notés entre accolades.) On appelle, de telles parties, des combinaisons sans répétition denéléments priskàk. 7

9 IV.2.2 Nombre de combinaisons Pour déterminer le nombre de ces dispositions, nous pouvons calculer le nombre d arrangements de k objets et diviser par le nombre de dispositions obtenues les unes à partir des autres par une permutation. Il y a ( n) A k k = n k!. Notation : IV.2.3 On note aussic k n au lieu de ( n k). Exemples Exemple Au jeu du loto, nous devons choisir parmi 49 numéros, 6 numéros différents sans tenir compte de l ordre, et il y a ( 49) 6 = 49! 6! 43! = choix possibles. Exemple Sur le même principe, le jeu «euro-millions» demande de choisir 5 nombres entre 1 et 50 et 2 nombres entre 1 et 9, soit ( 50 5) ( 9 2) = possibilités. IV.3 IV.3.1 Combinaison avec répétition Présentation Supposons que nous tirions, avec remise, k objets parmi n objets discernables, et que nous les disposions sans tenir compte de l ordre d apparition. Ces objets peuvent apparaître plusieurs fois, et nous ne pouvons les représenter ni avec une partie àk éléments, ni avec un k-uplet, puisque leur ordre de placement n intervient pas. Il est cependant possible de représenter de telles dispositions avec des combinaisons avec répétition. IV.3.2 Résultat Le nombre de combinaisons avec répétition de n éléments pris k à k est égal à : Γ k n = ( n+k 1) k. IV.3.3 Exemple Donnons l exemple du jeu de domino. Les pièces sont fabriquées en disposant côte à côte deux éléments de l ensemble :{blanc, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Si nous retournons un domino, nous changeons l ordre des deux éléments, mais le domino reste identique. Nous avons une combinaison avec répétition de 7 éléments pris 2 à 2, et au total il y a : Γ 2 7 =( 8 2) = 28 dominos dans un jeu. V Propriétés des arrangements et des combinaisons V.1 Valeurs remarquables Propriété 1.28.A 0 n =C 0 n = 1. Preuve Il n y a, pour chaque cas (ordonné et désordonné), qu une seule façon de ne prendre aucun élément dans un ensemble à n éléments...n en prendre aucun! On peut encore, pour s en assurer, utiliser les formules donnant lesa p n et lesc p n. 8

10 Propriété 1.29.A 1 n =C 1 n =n. Preuve Comme précédemment : soit en réfléchissant un peu, soit en calculant. Propriété 1.30.A n n =n!, maisc n n = 1. Preuve L arrangement a déjà été traité. Quant à la combinaison : il n y a qu une seule manière de prendre les n éléments d un ensemble à n éléments...tous les prendre! (ici, l ordre n importe pas.) V.2 Formules remarquables Propriété 1.31.C p n =C n p n. Preuve Choisir p éléments parmi n revient à refuser n-p éléments parmi n... Propriété 1.32.C p n =C p 1 n 1 +Cp n 1. Propriété k n:kc k n =nc k 1 n 1. Propriété 1.34 (Formule de Vandermonde). n k=0 C k ac n k b =C n a+b. Preuve En effet, supposons que l on aitagarçons etbfilles, et que l on souhaite compter le nombre de groupes constituables de k individus. Il est égal : au nombre de groupes avec 0 garçon etkfilles :CaC 0 b k, ajouté au nombre de groupes de 1 garçon etk 1 filles :CaC 1 b k 1 ajouté, etc. VI Pascal et Newton VI.1 Le triangle de Pascal On utilise la propriété 1.32 précédente pour construire le triangle de Pascal, permettant d obtenir tous les coefficients binomiaux : 9

11 p n Propriété La somme des termes de lan ieme ligne du triangle de Pascal est égale à 2 n : n Cn k = 2 n k=0 Propriété La somme alternée des termes de lan ieme ligne du triangle de Pascal est nulle : n ( 1) k Cn k = 0 k=0 Propriété La somme des carrés des termes de lan ieme ligne du triangle de Pascal est égale àc n 2n : n k=0 ( C k n) 2 =C n 2n Preuve Application directe de la formule de Vandermonde. VI.2 Le binôme de Newton Propriété Si a et b commutent (ab = ba), alors : n (a +b) n = Cna k k b n k k=0 Exemple (a b) 5 =a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b a 2 b 3 + 5ab 4 +b 5 VII Exercices Exercice Calculez, en utilisant des factoriels,c 2 4,A2 4,C1 7,C3 7 eta3 7. Exercice ComparezC 1 7 etc6 7,C2 7 etc5 7,C3 7 etc4 7. Généralisez. Exercice Montrez quec k n =C k 1 n 1 +Ck n 1. 10

12 2. Application : calculezc k n, pour n allant de 1 à 5, et k allant de 0 à n. Exercice On considère un jeu de 32 cartes ; les mains sont constituées de 8 cartes (non ordonnées.) 1. Quel est le nombre de mains possibles? 2. Combien de mains contiennent un as au moins? 3. Combien conprennent au moins un coeur ou une dame? 4. Combien ne contiennent que des cartes de deux couleurs au plus? Réponses :C32 8 = ,C8 32 C8 28 = ,C8 32 C8 21 = ,C2 4 C = 77212, le 2*4 correspondant aux 4 mains d une seule couleur, qui sont comptées 3 fois dans le calcul précédent (nombre de mains de deux couleurs.) Exercice Dix livres deux à deux distincts sont placés côte à côte sur une étagère. Quel est le nombre de dispositions qui placent côte à côte trois livres fixées de la collection? Réponse : 8*3*2*1*7! = Exercice Une urne contient 5 boules blanches indiscernables et 8 boules noires indiscernables. On tire successivement 6 boules de l urne en remettant chaque fois la boule tirée. 1. Quel est le nombre de résultats possibles? 2. Combien de ces résultats amènent : (a) 5 boules noires et une boule blanche, dans cet ordre, (b) une boule noire au plus, (c) trois boules blanches et trois noires, (d) une boule blanche au moins. Réponses : 2 6 = 64, un seul, 1 +C 1 6 = 7,C3 6 = 20, 64-1=63. Exercice Reprendre l exercice 1.45 en supposant les boules blanches numérotées de 1 à 5, et les boules noires de 6 à 13. Réponses : 13 6 = , = , 5 6 +C = ,C = , = Exercice On considère un jeu de 52 cartes, et une main de 13 cartes (non ordonnées). 1. Combien y a-t-il de mains en tout? 2. Combien de mains : (a) Contiennent les 4 as. (b) Contiennent 4 trèfles, dont la dame de trèfle. (c) Ne contiennent aucun coeur. (d) Contiennent trois carreaux au plus. Réponses :C52 13,C9 48,C3 12 C9 39,C13 39, etc C1 13 C C2 13 C C3 13 C Exercice Un tiroir contient 5 paires de chaussures noires, 3 paires de chaussures vertes et deux paires de chaussures rouges. On choisit deux chaussures au hasard. 1. Combien y a-t-il de tirages possibles? 2. Combien amènent deux chaussures de même couleur? 3. Combien amènent un pied gauche et un droit? 4. Combien permettent de reconstituer une vraie paire de chaussures? Réponses :C20 2,C2 10 +C2 6 +C2 4, 10*10, 5*5+3*3+2*2. 11

13 Exercice Une urne A contient deux boules blanches, 3 boules bleues et 5 rouges, toutes numérotées. Une urne B contient 4 boules bleues également numérotées. On tire simultanément 2 boules de l urne A que l on place dans l urne B. Puis on tire simultanément 3 boules de l urne B. Quel est le nombre de tirages tricolores possibles, si l on appelle tirage la succession des deux ensembles de numéros obtenus dans l urne A, puis dans l urne B? Réponse : (5*2)*4 Exercice Une entreprise comprend 35 employés dont 16 femmes et 19 hommes. On élit le bureau directeur du comité d entreprise, composé d un président, d un vice-président et d un trésorier. Les postes sont non cumulables. 1. Quel est le nombre de bureaux possibles? 2. Quel est le nombre de bureaux : (a) où le poste de vice-président est occupé par une femme? (b) où le président et le trésorier sont des hommes? (c) où le président et le vice-président sont de sexes différents? 3. Quel est le nombre de bureaux possibles, sachant que le président est un homme, le vice-président une femme, et que Monsieur Dupond refuse de siéger avec Madame Dupuis? Réponses : 35*34*33, 16*34*33, 19*18*33, 19*16*33+16*19*33, 18*16*32+15*32+15*18. 12

14 Chapitre 2 Probabilités I Notions d expérience aléatoire Définition 2.1 (Expérience aléatoire). Une expérience aléatoire est une expérience ayant un nombre fini de résultats possibles, et dont il est impossible de connaître l issue à l avance. Définition 2.2 (Univers). L univers est l ensemble de toutes les issues possibles associées à cette expérience. On le note traditionnellement Ω. Définition 2.3 (Evénement). Un événement lié au lancé d un dé peut être «Obtenir un nombre pair», ou encore «obtenir 5 ou 6». Il concrétise une attente, l ensemble des résultats acceptables d une expérience aléatoire. C est une partie de Ω. Définition 2.4 (Evénement élémentaire). Un événement élémentaire est une issue possible, c est-à-dire un sous-ensemble de Ω à un seul élément. Exemple 2.5. Notre expérience aléatoire consiste à lancer un dé à 6 faces. Alors Ω ={1, 2, 3, 4, 5, 6}, et{5} est un événement élémentaire. Exemple 2.6. On considère l expérience aléatoire : «lancer deux dés discernables à 6 faces». Alors et{(3, 3)} est un événement élémentaire. Ω ={(1, 1), (1, 2), (1, 3),...,(1, 6), (2, 1),...,(2, 6),...,(6, 6)} II Vocabulaire des événements Définition 2.7 (Parties de Ω). Soit une expérience aléatoire et Ω l univers des possibles associé à cette expérience. L ensemblep(ω) de toutes les parties de Ω, est l ensemble de tous les événements liés à Ω. Remarque 2.8. Dans tout ce qui suit, on confond parfois l événement avec la partie de Ω qui le définit ; Ω est l événement certain ; est l événement impossible. Exemple 2.9. Soit l expérience «Tirer à pile ou face». Alors Ω ={P,F}. Ici,P(Ω) ={,{P},{F},{P,F}}, ce qui représente tous les événements possibles et imaginables liés à une pièce. Exemple Soit l expérience «Lancer un dé imaginaire à 3 faces». Alors Ω ={1, 2, 3}, P(Ω) ={,{1},{2},{3},{1, 2},{1, 3},{2, 3},{1, 2, 3}}. et{1, 2} est l événement «obtenir un nombre strictement plus petit que 3». Définition 2.11 (Réunion d événements). La loi dans P(Ω) correspond à l emploi du ou inclusif entre deux événements. 13

15 Exemple Dans l expérience «lancer un dé à 6 faces», Ω ={1, 2, 3, 4, 5, 6}, on considère les événements : A : «obtenir un nombre pair» ={2, 4, 6}, B : «obtenir un nombre impair» ={1, 3, 5}. AlorsA B est l événement «obtenir un nombre pair ou un nombre impair», qui est égal à Ω. Définition 2.13 (Intersection d événements). La loi dans P(Ω) correspond à l emploi du et entre deux événements. Exemple Dans l expérience précédente, on considère l événement : C : «obtenir un nombre premier» = {2, 3, 5}. AlorsA C est l événement «obtenir un nombre pair et premier», qui est égal à{2}. Définition 2.15 (Événement complémentaire). Soit A un événement lié à une expérience aléatoire d univers associé Ω. On appelle événement complémentaire de A, et l on note A, l ensemble des événements élémentaires n appartenant pas à A. {e i Ω tel quee i A} Exemple On reprend l expérience aléatoire précédente. L événement complémentaire «d obtenir un nombre pair en lançant un dé à six faces» est «obtenir un nombre impair en lançant un dé à six faces». Celui «d obtenir un nombre premier» est «obtenir 1,4 ou 6». Exercice Écrire, à l aide des opérations ensemblistes,, le passage au complémentaire et à l aide des événementsa,b,c,a 1,...,A n, les événements suivants : 1. l un au moins des événementsa,b,c est réalisé, 2. l un et l un seulement des événementsaoub se réalise, 3.A etb se réalisent, mais pasc, 4. Tous les événementsa n,n 1 se réalisent, II.0.1 propriétés Propriété 2.18.A B =A B,A B =A B III Définition d une probabilité Définition 2.19 (Probabilité). Soit une expérience aléatoire et Ω son univers associé (supposé fini ou dénombrable). On appelle probabilité, notée p, toute application de l ensemble des événements P(Ω) dans R, qui vérifie : pour tout événemente, 0 p(e) 1 ; p(ω) = 1 ; si deux événementse etf sont incompatibles (E F = ), alorsp(e F) =p(e) +p(f). Propriété SiE={e 1,e 2,...,e n } (où lese i sont donc des événements élémentaires), alors p(e) =p(e 1 ) +p(e 2 ) p(e n ). Propriété p(e) = 1 p(e) 14

16 Définition 2.22 (Equiprobabilité). L équiprobabilité correspond au cas où les événements ont tous la même probabilité. Exemple Lancer d un dé non pipé, etc. Propriété S il y a n événements élémentaires équiprobables dans Ω, alors la probabilité de chaque événement élémentaire vaut 1 n et, pour tout événemente, p(e) = nombre d éléments dee nombre d éléments de Ω = nombre de cas favorables nombre de cas total Ω Exemple On tire au hasard un ensemble de 5 cartes dans un jeu de 32. Alors la probabilité que cette main contienne au moins un As est égale à 1 C5 28 C 5 32 Exercice ABCDEF est un hexagone régulier. On place dans un sac six jetons indiscernables au toucher marqués de ces six lettres. On tire au hasard, et simultanément, trois jetons qui permettent de définir un triangle. Quelle est la probabilité que ce triangle soit équilatéral? Isocèle (sans être équilatéral)? Rectangle? Exercice Un représentant de commerce doit visiter successivement quatre villes A, B, C et D. 1. Déterminez tous les itinéraires permettant de visiter les quatre villes. 2. Le représentant choisit au hasard l un de ces itinéraires. (a) Calculez la probabilité que, sur cet itinéraire, les villesc etdse suivent dans cet ordre. (b) Calculez la probabilité que cet itinéraire commence par la villec et se termine par la villed. (c) Calculez la probabilité que, sur cet itinéraire, la villec soit située avant la villed. Exercice Une urne contient six jetons indiscernables au toucher numérotés de 1 à 6. On en tire simultanément deux au hasard. Calculez la probabilité de tirer : 1. deux numéros consécutifs, 2. deux numéros dont la somme vaut 7, 3. deux numéros premiers entre eux. IV Probabilités conditionnelles Définition 2.29 (probabilité conditionnelle). Soit p une probabilité sur un univers Ω et A un événement de probabilité non nulle. La «probabilité que l événementb soit réalisé sachant queal est déjà» est définie par On l appelle probabilité conditionnelle. p(b/a) = p(a B) p(a) Notation : On note encorep A (B). Exercice Une société comprend 40% de cadres, 20% d entre eux parlent l anglais. On interroge au hasard un employé de la société et on considère les événements : C : «l employé est un cadre», A : «l employé parle anglais». On demande : 1. De traduire, à l aide des deux événements précédents, les données de l énoncé. 2. Calculer la probabilité que l employé interrogé soit un cadre qui parle anglais. 15

17 Exercice Dans une population, 60% des familles ont une voiture, 65% des familles ont un téléviseur et 24% des familles n ont ni voiture, ni téléviseur. On choisit une famille au hasard, calculer la probabilité que cette famille ait une voiture sachant qu elle possède un téléviseur. Propriété p(ω/a) = 1 Propriété 2.34 (Formule des probabilités composées). p(a B) =p(a/b)p(b) =p(b/a)p(a). Exercice Dans un lycée, 55% des élèves sont des filles, 22% d entre-elles étudient l allemand. On choisit au hasard un élève du lycée et on considère les événements : F: «L élève est une fille». A : «L élève étudie l allemand». On demande de : 1. traduire à l aide des événementsaetf, les données de l énoncé ; 2. calculer la probabilité que l élève choisi soit une fille qui étudie l allemand.e Exercice 2.36 (D après banque d épreuves Mathématiques BTS DUT 2006). Une chaîne de production fabrique des pièces mécaniques dont 80% sont bonnes (notations B) et 20% défectueuses (notation B). Un test de contrôle rapide à la sortie de la chaîne permet d accepter ou de refuser chaque pièce, mais celui ci est aléatoire. On note A l événement «la pièce est acceptée», A l événement «la pièce n est pas acceptée» par le test rapide. On observe que : Si la pièce est bonne, elle est acceptée avec une probabilité de 90%. Si la pièce est défectueuse, elle n est pas acceptée avec une probabilité de 85%. Pour chacune des questions suivantes, répondre par vrai ou faux en justifiant : 1.P(A B) = 72% ; 2.P(A B) = 15% ; 3.P(A) = 75% ; 4. la probabilité que la pièce soit bonne sachant qu elle est acceptée est 72% ; 5. La probabilité que la pièce soit défectueuse sachant qu elle n est pas acceptée est 68%. Exercice 2.37 (D après banque d épreuves Mathématiques BTS DUT 2005). Alice et Bruno sont les seuls candidats à un examen. La probabilité de la réussite d Alice est de 90%, et celle de Bruno est de 60%. Leurs réussites sont indépendantes. On appelle X la variable aléatoire donnant le nombre total de réussites à l examen. X vaut donc 0 si tous les deux échouent, 1 si un seul des deux réussit, et 2 si tous les deux réussissent l examen. Pour chacune des questions suivantes, répondre par vrai ou faux en justifiant : 1. la probabilité d avoirx= 0 (les deux échouent) est 50% ; 2. la probabilité d avoirx= 2 (les deux réussissent) est 54% ; 3. la probabilité d avoirx= 1 (un seul réussit) est 36% ; 4. la probabilité qu Alice ait réussi, sachant quex= 1 est la probabilité quex= 1, sachant qu Alice a réussi est 3 7 Exercice Dans une population, on étudie deux caractères génétiques notés A et B. 55% des individus possèdent le caractèrea, 42% le caractèreb, et 27% ne possèdent nianib. On choisit un individu au hasard dans la population. 1. Calculez la probabilité qu il possède le caractère A sachant qu il possède déjà le caractère B. 2. Calculez la probabilité qu il possède le caractère B sachant qu il possède déjà le caractère A. 16

18 V Evénements indépendants Définition 2.39 (Evénements indépendants). Deux événements sont indépendants si p(a B) = p(a)p(b). Remarque Cela signifie que la réalisation dean intervient pas dans la réalisation deb. On a alors : p(b/a) =p(b) etp(a/b) =p(a). Exemple On lance un dé rouge et un dé bleu, simultanément, tous deux ayant six faces. Les événements : A : «obtenir 1 avec le dé bleu», B : «obtenir 4 avec le dé rouge», sont indépendants : le dé rouge se moque de savoir quel sera le résultat du dé bleu. Remarque 2.42.A B est l événement «obtenir 1 avec le dé bleu et 4 avec le rouge», et on ap(a B) = p(a)p(b) = 1/6/6 = 1/36 Exercice On fait l hypothèse que chacun des moteurs d un avion bi-moteur tombe en panne avec une probabilité égale à 0,0001 et ceci d une façon indépendante de l autre moteur. Quelle est la probabilité que l avion arrive à bon port sachant qu il peut voler avec un seul moteur? VI Probabilités totales Définition 2.44 (Partition de l univers). Dire que les événementsb 1,...,B n forment une partition de l univers Ω signifie que les événementsb i sont deux à deux disjoints, et que leur réunion est égale à Ω. Propriété 2.45 (Formule des probabilités totales). On suppose que les événementsb 1,...,B n forment une partition de l univers Ω. Alors, pour tout événementa: P(A) =P(A B 1 ) +P(A B 2 ) P(A B n ) ou encore : P(A) =P B1 (A).P(B 1 ) +P B2 (A).P(B 2 ) P Bn (A).P(B n ) Exemple Deux étudiantse 1 ete 2 produisent du code. Ils produisent respectivement 1/3 et 2/3 des lignes de code d un projet à rendre. e 1 écrit 50% de lignes boguées, e 2 écrit 60% de lignes boguées, Soit les événements : A 1 : «la ligne de code provient de l étudiante 1», A 2 : «la ligne de code provient de l étudiante 2», B : «la ligne de code est boguée». 1. Quelle est la probabilité que la ligne de code considérée provienne dee 1? Réponse :p(a 1 ) = On choisit au hasard une ligne de code dee 1. Quelle est la probabilité qu elle soit boguée? Réponse : p(b/a 1 ) = On choisit une ligne au hasard du projet. Quelle est la probabilité qu elle provienne dee 1 et qu elle soit boguée? Réponse :p(a 1 B) =p(b/a 1 )p(a 1 ) = On choisit au hasard une ligne du projet. Quelle est la probabilité qu elle soit boguée? Réponse :p(b) = p(b/a 1 )p(a 1 ) +p(b/a 2 )p(a 2 ) = 1/6 + 2/5 = 17/ Quelle est la probabilité qu une ligne boguée soit écrite pare 1? Réponse :p(a 1 /B) =p(a 1 B)/p(B) = 1/6/17 = 5/17 Exercice On dispose de deux urnesu 1 etu 2 indiscernables.u 1 contient 4 boules rouges et 3 vertes,u 2 contient 2 rouges et 1 verte. On choisit une urne au hasard, et on tire une boule de cette urne. Quelle est la probabilité qu elle soit rouge? 17

19 Exercice On teste l efficacité d un médicament sur un échantillon d individus ayant un taux de glycémie anormalement élevé. Dans cette expérience, 60% des individus prennent le médicament, les autres reçoivent un placebo. On étudie la baisse du taux de glycémie après l expérimentation. On constate une baisse de ce taux chez 80% d individus ayant pris le médicament : on ne constate aucune baisse pour 90% des personnes ayant pris le placebo. On choisit au hasard une personne dans l ensemble Ω des individus ayant participé à l expérience. Calculez la probabilité de l événement «L individu a une baisse du taux de glycémie». Exercice Au RU, dans la vitrine pâtisserie, 60% des gâteaux sont à base de crème, parmi ceux qui sont à base de crème, 30% ont aussi des fruits, parmi les gâteaux qui n ont pas de crème, 80% ont des fruits. On prend un gâteau au hasard. 1. Calculez la probabilité d avoir un gâteau à la crème et comportant des fruits. 2. Calculez la probabilité d avoir un gâteau avec des fruits et sans crème. 3. Calculez la probabilité d avoir un gâteau avec des fruits. Exercice Dans une usine, l énergie électrique est fournie par deux générateurs. On fait l hypothèse que sur une période donnée, chacun des générateurs tombe en panne avec une probabilité égale à 0,005 et ceci d une façon indépendante de l autre générateur. Quelle est la probabilité que sur cette période l usine possède toujours un générateur en état de marche? Exercice (corrigé) Battez un jeu ordinaire de 52 cartes, puis retournez les cartes à partir du dessus du paquet, une à une, jusqu à ce que vous ayez retourné un as. Combien aurez-vous alors retourné de cartes, en moyenne? Réponse : 10,6. Exercice (corrigé) Dans un pays où il nait autant de filles que de garçons et où l échographie n est pas encore répandue, le docteur X prévoit le sexe des enfants à naître. Il se trompe une fois sur dix si c est un garçon, et une fois sur 20 sinon. Il vient de dire à madame Y qu elle attend une fille. Quelle est la probabilité que ce soit vrai? Réponse : Exercice (corrigé) On suppose que la probabilité que l anniversaire d une personne tombe un mois donné est égale à 1/12. Six amis vont dîner ensemble au restaurant. Quelle est la probabilité que les anniversaires de ces six amis tombent tous dans des mois différents? Réponse : 0, Exercice (corrigé) Denis affirme que Carine lui avait dit que Bob lui avait confié qu Alice lui avait assuré qu elle avait réussi les épreuves de son examen. On sait que chacun des quatre amis dit la vérité une fois sur trois et ment deux fois sur trois. Quelle est la probabilité qu Alice ait vraiment réussi son examen? Réponse : Exercice Une urne contient 3 boules bleues, 6 blanches et 9 rouges. On tire successivement deux boules. Déterminer la probabilité d obtenir une boule blanche puis une rouge quand : 1. le tirage a lieu avec remise, 2. le tirage a lieu sans remise. Exercice Une urne contient 7 billets de 50 $ et trois billets de 20 $. On suppose que les 10 billets ont le même format. Soit l expérience aléatoire consistant à tirer deux billets successivement et sans remise dans l urne. 1. SiA=«tirer deux billets de 50 $, calculerp(a) 2. SiA=«tirer un billet de 50 $, puis un billet de 20, calculerp(a) 18

20 3. SiA=«tirer un billet de 20 $, puis un billet de 50, calculerp(a) 4. Quelle en est la loi de probabilité? Exercice Soit l expérience aléatoire consistant à tirer une carte d un paquet de 52. Déterminer la probabilité des événements «tirer un as», et «tirer un coeur». Exercice Une urneu 1 contient 6 boules rouges et 9 noires. Une urneu 2 contient 7 boules rouges, 3 noires et 18 vertes. Soit l expérience aléatoire consistant à tirer simultanément une boule dans chaque urne. Calculer la probabilité de tirer deux boules noires. Exercice On considère une partie de tarot à cinq. Soit les événements A : «il y a trois bouts dans le chien» ; B : «il y a deux bouts dans le chien» ; C : «il y a un bout dans le chien» et D : «il n y a pas de bout dans le chien». 1. Calculer p(a), p(b), p(c) et p(d). 2. Calculer la probabilité d avoir trois atouts dans le chien. 3. Calculer la probabilité de ne rien avoir de cela dans le chien. 4. Que se passe-t-il quand on joue à quatre? Exercice Un club de tennis comporte, commes adhérents : 60% d hommes pour 40% de femmes. Parmi les hommes, 30% pratiquent le tennis en compétition, pour 20% chez les femmes. On choisit au hasard un adhérent, et on note : H l événement : «L adhérent est un homme», F l événement : «L adhérent est une femme», C l événement : «L adhérent pratique le sport en compétition.» On vous demande de 1. Trouvez les probabilitésp(h),p(f) etp F (C). 2. Décrire l événement C F et calculer sa probabilité. 3. Justifiez quep(c) = L adhérent choisi pratique le tennis en compétition. Quelle est la probabilité que cet adhérent soit une femme? 19

21 Chapitre 3 Les variables aléatoires discrètes I Loi de probabilité d une variable aléatoire discrète Considérons l expérience aléatoire qui consiste à lancer trois fois une pièce de monnaie. Voici tous les résultats possibles de l expérience : Ω ={(F,F,F), (F,F,P), (F,P,F), (P,F,F), (F,P,P), (P,F,P), (P,P,F), (P,P,P)} Relions maintenant à chaque résultat le nombre de piles : Résultats (F,F,F) (F,F,P), (F,P,F), (P,F,F) (F,P,P), (P,F,P), (P,P,F) (P,P,P) Nombre de piles Effectifs Fréquence La fonctiony qui fait correspondre à chaque triplet (...,...,...) Ωson nombre de piles est appelée une variable aléatoire. Définition 3.1 (Variable aléatoire discrète). Une variable aléatoire discrète (vad) est une fonction définie sur l ensemble Ω à valeur dansy (Ω) qui est fini. Dans l exemple précédent,{0, 1, 2, 3} étant fini, la variable aléatoire est discrète. Définition 3.2 (Fonction de probabilité d une vad). SoitY une vad et{y 1,...,y n } =Y (Ω) l ensemble des valeurs prises pary. La fonction de probabilité dey, notéef Y, est définie par f Y : {y 1,...,y n } [0, 1] y i f Y (y i ) = effectif des antécédants dey i pary effectif de Ω La fonction de probabilité d une vad possède deux propriétés. =p(y =y i ) Propriété f Y (y i ) 1 pour touty i {y 1,y 2,...}, 2. i {1,2,...} f Y (y i ) = 1. Remarque 3.4. Par la suite, par souci de concision, on définitp i parp i =f Y (y i ) =p(y =y i ) ; on trouve parfois les termes loi de probabilité dey à la place de fonction de probabilité dey. 20

22 Exercice 3.5. On lance deux fois un dé à six faces. Soit la variable aléatoire discrètex représentant le nombre de 6 obtenus. Déterminer la fonction de probabilité de X. Exercice 3.6. Dans une fête foraine, pour une mise initiale de 3, le joueur est invité à lancer deux dés équilibrés à six faces, numérotées de 1 à Si les deux dés présentent le même chiffre, le joueur empoche le montant marqué par les dés (deux pour le double un, etc.). 2. Si un seul 6 apparaît, le joueur gagne la valeur de l autre dé. 3. Sinon, il a perdu. En désignant par G la variable aléatoire définie par le gain algébrique du joueur, déterminez la loi de probabilité deg. De façon générale, on dira qu une loi d une variable aléatoire discrète est connue si, pour chacune des valeurs possibles de cette variable, on connaît la probabilité. Ces probabilités sont soit écrites de façon exhaustive : y i Total p i 0, 064 0, 288 0, 432 0, (3.1) ou soit sous une forme analytique : Ce sont deux formes équivalentes d une même loi. p i =C i 3(0.6) i (0.4) 3 i pouri = 0, 1, 2, 3 (3.2) II Fonction de répartition Définition 3.7. On appelle fonction de répartition de la variable aléatoire X l application : F : R [0, 1] x p(x x) Propriété 3.8. la fonction de répartition F est croissante, continue par morceaux, et en escalier. On a de plus : p(x>x) = 1 F(x) p(a<x<b) =F(b) F(a) III Espérance mathématique, variance et écart-type Soit une variable aléatoire discrètey dont la fonction de probabilité est notéef Y (y). Définition 3.9 (Espérance mathématique). L espérance mathématique de Y, notée E(Y ), est la moyenne pondérée dey (notée aussiµ Y ) : E(Y ) = y i.f Y (y i ) y i {y 1,y 2,...} Exemple On a placé dans une urne cinq boules indiscernables au toucher : trois noires et deux blanches. On tire au hasard une à une toutes les boules de cette urne, et on appellerle rang de la première boule blanche tirée. Déterminer la loi de probabilité de R et son espérance. Réponse : le rang vaut 1 si on tire une blanche au premier tirage soit 2 chances sur 5 ; le rang vaut 2 si on tire une noire au premier tirage puis une blanche au second tirage soit 2 chances sur 5, soit

23 ... x i p i = 0.4 = 0.3 = 0.2 = 0.1 On a E(X) = = 2 Exercice On lance deux dés cubiques bien équilibrés, dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Si la somme des résultats est paire, le joueur gagne 1 ; sinon, il perd Précisez l univers associé à l expérience du lancer des dés, ainsi que la loi de probabilité correspondante. 2.G désigne la variable aléatoire donnant le gain d un joueur ; déterminer la loi de probabilité deg, puis calculez son espérance. Propriété On a : E(k) = k (l espérance d une vad constante est cette constante) E(X +k) =E(X) +k E(kX) =ke(x) E(kX +k ) =ke(x) +k Définition 3.13 (Variance). La variance d une vad Y est l espérance des carrés des écarts à l espérance ( V (Y ) =E (Y E(Y )) 2) = y i {y 1,y 2,...} (y i E(Y )) 2 f Y (y i ) Notation : On note souventσ 2 Y =V (Y ) Propriété La variance d une vad Y s obtient aussi par la formule V (Y ) =E(Y 2 ) E(Y ) 2 Preuve 1 : V (Y ) = y i (y i E(Y )) 2 f Y (y i ) = y i y 2 i f Y (y i ) 2E(Y ) y i y i f Y (y i ) +E(y) y i f Y (y i ) = y i y 2 i f Y (y i ) 2E(Y ) E(Y ) +E(y) 1 = E(Y 2 ) E(Y ) 2 Remarque La variance dex, vad prenant les valeursx 1,x 2,...,x n avec des probabilitésp 1,p 2,...,p n est n V (X) = p i x 2 i E(X) 2 =p 1 x 2 1 +p 2 x p n x 2 n E(X) 2 i=1 La variance est une estimation de l écart moyen à la moyenne : plus les valeurs seront éloignées de la moyenne, plus la variance sera grande. Seulement, pour certaines raisons techniques, la variance s intéresse au carré des écarts : elle n est donc pas dans la même unité quex (si la variable aléatoirex est en, la variance sera donc en carrés d ). Pour cette raison, on introduit l écart type, égal à la racine carrée de la variance. 22

24 Définition 3.17 (écart type). L écart type dex estσ X = V (X) Remarque Cet écart type mesure l écart moyen à la moyenne (de combien de points on s écarte, en moyenne, de la moyenneµ X ). Exercice Calculez l espérance, la variance et l écart type de la loi de probabilité Exercice Faire de même avec x i p(x =x i ) 0, 3 0, 6 0, 1 x i p(x =x i ) 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2 IV Moment Définition 3.21 (Moment d ordres). Le moment d ordresdey est n m s (Y ) = p i yi s =p 1 y1 s +p 2 x s p n yn s i=1 Définition 3.22 (Moment centré d ordres). Le moment centré d ordresdey est µ s (Y ) = (y E(Y )) s f Y (y) y Y (ω) Remarque Pour s = 2, on retrouve la variance. Exemple Dans une classe de 20 étudiants, sur un devoir, 5 étudiants ont eu la note 12, 10 étudiants la note 13 et 5 étudiants la note 14. Loi de probabilité : x i Fonction de répartition : p(x =x i ) 5/20 10/20 5/20 E(X) = (5/20)12 + (10/20)13 + (5/20)14 = 13 V (X) = (5/20) (10/20) (5/20) = 0, 25 σ = 0, 25 = 0, 5 23

25 m 3 (X) = (5/20) (10/20) (5/20)14 3 µ 3 (X) = (5/20)(12 13) 3 + (10/20)(13 13) 3 + (5/20)(14 14) 3 Exemple Sur un deuxième devoir, 10 étudiants ont eu 20, 10 autres ont eu la note 6. Loi de probabilité : E(X) = (10/20)6 + (10/20)20 = 13, ; V (X) = (10/20)6 2 + (10/20) = 49 ; σ = 49 = 7. x i 6 20 p(x =x i ) 10/20 10/20 Exemple On lance un dé au hasard. Un 6 rapporte 10, un 5 ou un 4 rapporte 6, un 3 rapporte 5, enfin un 2 ou un 1 ne rapporte rien. Soit X la v.a.d. qui à un événement associe son gain. Loi de probabilité : x i E(X) = 4, 5, V (X) = 12, 58 et σ = 3, 55 p(x =x i ) 1/3 1/6 1/3 1/6 Exercice On lance trois fois une pièce de monnaie équilibrée. Soit X la variable aléatoire discrète représentant le nombre de piles obtenus. 1. Déterminer la loi de probabilité dex. 2. Déterminer la fonction de répartitionf X. 3. Calculer le mode,e(x),v (X) etσ(x). 4. Calculer le moment non centré d ordre 3 ainsi que le moment centré d ordre 3. Exercice Soit l expérience aléatoire consistant à lancer simultanément deux dés non pipés distincts. Soit X la variable aléatoire discrète représentant la somme du résultat du premier dé avec celui du second dé. 1. Déterminer la loi de probabilité dex. 2. Déterminer la fonction de répartitionf X. 3. Calculer le mode,e(x),v (X) etσ(x). Exercice On choisit au hasard deux numéros distincts de l ensemble{ 2, 1, 0, 1, 2} et on désigne parx leur produit, X étant une variable aléatoire discrète. 1. Déterminer la loi de probabilité dex. 2. Déterminer la fonction de répartitionf X. 3. Calculer le mode,e(x),v (X) etσ(x). Exercice Soit l expérience aléatoire consistant à lancer simultanément un dé non pipé et une pièce de monnaie dont les faces sont marqués +3 et -3. Soit X la variable aléatoire discrète représentant la somme des chiffres obtenus. 1. Déterminer la loi de probabilité dex. 2. Déterminer la fonction de répartitionf X. 3. Calculer le mode,e(x),v (X) etσ(x). 24

26 V Espérance d une fonction quelconque de Y, g(y ) Nous venons de définir et d apprendre à calculer µ Y =E(Y ) σ 2 Y =E(Y µ Y ) 2 On remarque alors que ces deux paramètres de la population sont, en quelque sorte, des moyennes. En statistiques, le concept de moyenne est très important. Souvent, on doit calculer la moyenne d une fonction dey, disons g(y ), alors qu on connaît la loi dey et non celle deg(y ). Définition 3.31 (Espérance mathématique de g(y)). L espérance mathématique de g(y ), notée E(g(Y )), est définie par : E(g(Y )) = g(y)f Y (y) y Y (Ω) Exercice Soit l expérience aléatoire consistant à lancer un dé non pipé. Soit X la variable aléatoire discrète représentant le numéro obtenu. 1. Déterminer la loi de probabilité dex. 2. SiY etw sont deux variables aléatoires discrètes avecy = (X 3) etw =Y 2, déterminer la loi de probabilité dey et celle dew. 3. Déterminer la fonction de répartition dey et dew. 4. CalculerE(X),V (X). 5. En déduiree(y ),V (Y ) ete(w). Exercice SoitX une variable aléatoire discrète telle que :X(Ω) ={1, 2, 3}. On suppose que les valeurs prises parx sont équiprobables. SiZ= 1 X est une variable aléatoire discrète, calculere(z). VI Principales probabilités de vad VI.1 Loi de bernoulli Définition 3.34 (Expérience de Bernoulli). On appelle expérience de Bernoulli une expérience ne donnant suite qu à deux résultats possibles distincts généralement appelés succès (S) et échec (E) tel que p(s) = π. Exemple Choisir aléatoirement une boule dans une urne ne contenant que deux types de boules, est une expérience de Bernoulli où s (obtenir une boule blanche, par exemple) et e (obtenir une boule noire) sont les deux seuls résultats possibles. Les exemples d application de ce modèle sont nombreux : les résultats S et E s appellent souvent mâle et femelle, observé et non observé, mort et vivant, présent et absent, etc. A partir d une expérience de Bernoulli, on définit la variable aléatoire discrète Y comme suit : Y= 0 si échec, Y= 1 si réussite. La variable de Bernoulli ne prend que deux valeurs, 0 et 1 avec les probabilités respectives (1 π) etπ. On écrit alors : y 0 1 Total et donc Pour cette loi, on a f Y (y) 1 π π 1 E(Y ) = 0(1 π) + 1π =π E(Y 2 ) = 0 2 (1 π) π =π V (Y ) =π π 2 =π(1 π) 25

27 VI.2 Loi binomiale Définition 3.36 (loi binomiale). Si l on effectue n épreuves indépendantes, avec uniquement deux issues possibles (la réussite et l échec), et si la variable aléatoire discrète X représente le nombre de réussites obtenues au bout desnépreuves, alors on dit quex suit une loi binomialeb(n,π), oùπ est la probabilité de réussite. On a dans ce cas p(x =x i ) =C x i nπ x i (1 π) n x i Remarque Cela revient à reproduire n fois une expérience de Bernoulli de paramètre π. Propriété SoitX une variable aléatoire suivant une loi binomiale, alorse(x) =nπ, etv (X) = nπ(1 π). La preuve de ce théorème est admise. Exemple On effectue trois lancers d une pièce. Soit X la variable aléatoire comptabilisant le nombre de Piles à la fin de ces lancers. AlorsX suit une loi binomialeb(3, 0.5), et l on a p(x =x i ) =C x i 3 (0.5)x i (0.5) 3 x i =C x i 3 0, 125 D où la loi de probabilité : x i p(x =x i ) 0, 125 0, 375 0, 375 0, 125 Exercice Soit X une v.a. binomiale de paramètres n=30 et π=6%. 1. Calculerp(X = 6),p(X 3),p(X< 3),p(X = 7, 5),p(3 X 6),p(3<X 6). 2. Déterminer les valeurs dex 0 telles quep(x 0 X) 0, Calculerp(X = 24) dans le cas oùπ=0,94. Exercice Sachant que la probabilité d avoir un garçon est de 48%, quelle est la probabilité pour une famille de 5 enfants, d avoir 3 garçons et deux filles? Exercice On considère une population où chaque individu est susceptible de posséder un caractèrec avec la probabilitéπ= 0, 9. On effectue 20 observations et on désigne parx le nombre d individus ayant le caractère C dans l échantillon. 1. Donner la loi de la variable aléatoire discrètex. 2. DéterminerE(X) etv (X). Exercice Dans un stand de tir, la probabilité pour qu un tireur atteigne la cible est 0,4. 1. Sachant qu il tire 10 fois, quelle est la probabilité pour qu il atteigne la cible au moins 4 fois? 2. Combien de fois doit-il tirer pour que la probabilité qu il atteigne la cible au moins une fois soit supérieur à 0.9? Exercice On tire avec remise 7 cartes d un jeu de 32 cartes. SoitX le nombre de rois obtenus. Déterminer la loi de probabilité, l espérance et la variance de X. Exercice On dispose de 12 jetons numérotés de 1 à 12. On appelle «main» 4 jetons de numéros distincts tirés sans remise dans les 12 jetons, sans tenir compte de l ordre de la distribution. Pour chacune des questions suivantes, répondre par vrai ou faux en justifiant : 1. le nombre total de «mains» est 495 ; 2. il y a 30 «mains» ne comportant que des numéros pairs ; 3. il y a 120 «mains» comportant trois numéros pairs et un numéro impair ; 26

28 4. il y a 8 «mains» comportant 4 numéros consécutifs ; 5. il y a 70 «mains» comportant 4 numéros dont seulement 3 sont consécutifs ; 6. la probabilité de tirer une «main» dont la somme des numéros est 42 est 1/490 ; 7. la probabilité de tirer une «main» ayant trois numéros pairs et un numéro impair est 8/33 ; 8. la probabilité de tirer une «main» dont la somme des numéros est paire est 0,5 ; 9. la probabilité de tirer une «main» comportant 4 numéros consécutifs est 1/55. VI.3 Loi de Poisson La loi de Poisson peut être vue comme une bonne approximation de la loi binomiale, dans le cas particulier où un succès est un événement rare (c est-à-dire quandπest petit). De plus, elle est très utile pour étudier des phénomènes dont les résultats sont du type succès-échecs, mais dont le nombre d échecs ne peut être évalué. Définition 3.46 (Loi de Poisson). Soit X une variable aléatoire discrète telle que k N,f X (k) =e λλk k! Alors on dit quex suit une loi de Poisson de paramètreλque l on notep(λ). On admettra le théorème suivant : Propriété E(X) =λ,v (X) =λ. VI.3.1 Approximation de la loi binomiale par une loi de Poisson Lorsque n (le nombre d expériences de Bernoulli) est grand, il devient techniquement difficile de calculer la probabilité normalement obtenue par la loi de Bernoulli. Par exemple, la probabilité p(y =y) =C y 1000 (0, 01)y (0, 99) 1000 y est difficile à évaluer à moins d utiliser une très grande précision de calcul exigée par la petite valeur deπ= 0, 01. Lorsquenest grand etπ est petit, le nombreλ =nπ est modéré, on peut prouver que : et donc C y nπ y (1 π) n y e λλy y! B(n,π) P(λ) C est l approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson. Illustrons cela pourπ= 0.01 etn = 1000 etλ =nπ = 10 y C y 1000 πy (1 π) 1000 y e λλy y! Erreur Total 1, ,