Exercices chapitre 8. Probabilités.

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1 Lycée Descartes PC M. Besbes Exercices chapitre 8. Probabilités. Exercice 1. Soit (Ω, B, P ) un espace probabilisé. Montrer que l ensemble : A = {A B; P (A) = 0 ou P (A) = 1} est une tribu. Exercice 2. Soient Ω un ensemble et A, B deux tribus sur Ω. Si C est une partie de P(Ω), alors on note σ(c) la plus petite tribu sur Ω contenant C. a) Montrer que σ(a B) = σ({a B; A A, B B}). b) Montrer que σ(a B) = σ({a B; A A, B B}). Exercice 3. On modélise trois lancers successifs d une pièce de monnaie par la donnée d un triplet {(a, b, c)} dans l ensemble Ω = {P, F } 3. On note A = { ; {(P, P, F ), (P, F, P ), (P, F, F ), (F, P, P ), (F, F, P ), (F, P, F ), (F, F, F )}; {(P, P, P )}; Ω}. a) Est-ce-que A est une tribu? Que représente cet ensemble? b) Décrire la tribu A 1, engendrée par M 1 = {M 1 } où M 1 est la partie de Ω correspondant à : (il y a au moins un pile). c) Décrire la tribu A 2, engendrée par M 2, définie par : M 2 = {{(F, P, P ), (F, P, F )}; {(F, F, P ), (F, F, F )}}. d) Soit M 3 la partie de Ω correspondant à : (le premier lancer est un pile). Déterminer la tribu A 3 engendrée par M 3 = {M 3 } et montrer que A 3 A 2, définie dans la question c). Exercice 4. Soient X, Y deux ensembles et f : X Y une application. On note : A = {A P(X); A = f 1 (f(a))}. Montrer que A est une tribu sur X. Exercice 5. On considère l ensemble Ω = {a, b, c, d}, la tribu B = P(Ω) et les deux probabilités suivantes : P 1, P 2 définies par : P 1 ({a} = P 1 ({b}) = P 1 ({c}) = P 1 ({d}) = 1 4 P 2 ({a} = P 2 ({b}) = 1 4 P 2({c}) = 1 2 P 2({d}) = 0. On note A = {a, c}, B = {b, c}, D = {d, c}. (1) Les événements A et B sont-ils indépendants pour P 1? Et pour P 2? (2) Montrer que les événements A et D sont indépendants de B pour P 1. Est-ce le cas aussi de A D? Exercice 6. Soient (Ω, B, P ) un espace probabilisé et A, B B deux événements aléatoires. (1) Déterminer la tribu σ({a}) engendrée par A. 1

2 (2) Montrer que A et B sont indépendants ssi : A σ({a}), B σ({b}), A et B sont indépendants. Exercice 7. Soient (Ω, B) un espace probabilisable, (P j ) j N une suite de probabilités et (λ j ) une suite bornée de réels strictement positifs. On suppose que pour tous j N et A B, λ j P j (A) λ j+1 P j+1 (A) et on pose, pour tout A B, P (A) = sup j N (λ j P j (A)) sup j N λ j. Montrer que P est une probabilité sur Ω. Exercice 8. Soit (Ω, B, P ) un espace probabilisé. Montrer que pour tous n N et (A 1,..., A n ) B n, n P (A 1... A n ) = k=1 ( 1) k+1( 1 i 1 <...<i k n P (A i1... A ik ) ). Exercice 9. Soient (Ω, B, P ) un espace probabilisé et (A n ) une suite d événements de B, telle que la série P (A n ) converge. Montrer que P ( ( A k ) ) = 0. k n Exercice 10. Soient (Ω, B, P ) un espace probabilisé et (A n ) une suite d événements indépendants de B, telle que la série P (A n ) diverge. Montrer que P ( ( A k ) ) = 1. k n Exercice 11. Une urne U contient trois boules numérotées 1, 2 et 3 et une urne V contient trois boules numérotées 4,5 et 6. On lance un dé équilibré et on change d urne la boule dont le numéro a été tiré. On note X n le nombre de boules dans l urne U après le n-ième lancer. 1) Exprimer P (X n+1 = k) en fonction de tous les événements (X n = j) possibles. 2) En déduire que les espérances vérifient : n N, E(X n+1 ) = 2 3 E(X n) ) Calculer E(X n ). Exercice 12. On lance une pièce équilibrée consécutivement. On s arrête dès que deux piles successifs sont obtenus. Soit X le nombre de lancers jusqu à l arrêt. Déterminer la loi de X. Interpréter le résultat obtenu. Exercice 13. Une urne contient 3 boules numérotées b 1, b 2, b 3. On tire avec remise une boule dans cette urne et on appelle X le nombre de tirage nécessaire pour obtenir les 3 numéros. On appelle aussi A le rang du premier 1, B le rang du premier 2 et C le rang du premier 3. 1) Exprimer (X > n) en fonction de A, B et C. En déduire P (X > n) pour n 1. 2) Calculer P (X = n). X est-elle une variable aléatoire? 3) X admet-elle une espérance? Si oui, la calculer. 2

3 Exercice 14. Tous les jours, Tom doit faire un trajet entre son domicile et son lieu de travail en voiture (on compte seulement l aller). Il dépasse la limite de vitesse autorisée une fois sur deux. Un contrôle radar est mis en place une fois sur dix. Si le radar enregistre son excès de vitesse, il perd un point sur son permis de conduire. On note X i le nombre de points perdus le jour i. Pour tout n N, on note S n = n i=1 X i. a) Que représente S n? b) Donner la loi, l espérance et la variance de S n. c) En tant que jeune conducteur, Tom ne dispose que de 6 points sur son permis de conduire. On note T le nombre de jours de validité de son permis dans le cas ou son permis lui est retiré. Si Tom ne perd pas la totalité des 6 points, on pose T = 0. Déterminer la loi de T et son espérance. Exercice 15. Un livre contient cinq erreurs. A chaque lecture, chaque erreur a une chance sur trois d être corrigée. Les lectures sont indépendantes. Combien faut-il de lectures pour que la probabilité que les erreurs sont toutes corrigées soit supérieure à 0,9? Exercice 16. Une urne contient a > 0 boules blanches et b > 0 boules noires. On tire, successivement avec remise, une boule dans cette urne. Soient X le rang de la première boule blanche et Y celui de la première boule noire, obtenue après la première boule blanche. Déterminer les lois de X, du couple (X, Y ), de Y et les espérances de X et Y. Exercice 17. On tire successivement, avec remise, une boule dans une urne contenant 10 boules noires et cinq boules blanche. On s arrête dès que l on a obtenu une boule blanche et une noire. On appelle X le nombre de tirages, Y le nombre de boules blanches et Z le nombre de boules noires. Déterminer les lois de X, Y, Z et la covariance de X et Y. Exercice 18. Soient X, Y deux v.a. indépendantes. On suppose que X P(λ) et Y U({1, 2}). On note Z = XY. 1) Déterminer la loi de Z, son espérance et sa variance. 2) Déterminer la propbabilté que Z soit pair. Exercice 19. Au péage d une autoroute, le nombre de voitures circulant dans le sens A B suit une loi de Poisson de paramètre a et celui dans le sens B A suit une loi de Poisson de paramètre b. Déterminer la probabilité pour que, sur n voitures attendant au péage, il y en ait k qui soient dans le sens A B. Exercice 20. X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, qui suivent deux lois géométriques de paramètres a, b. On note Z = Y X et T = 1 si X Y et T = 0, sinon. Déterminer la loi de Z et la covariance de Z et T. Exercice 21. Une compétition rassemble n candidats. Chaque personne a une probabilité p de réussir l objectif demandé. Lors d un essai, tous les candidats n ayant pas encore réussi, tentent de nouveau l épreuve. La séance d entraînement s arrête quand tout le monde a réussi. 1) Déterminer la loi du nombre d essais nécessaire pour que tout le monde réussisse. 3

4 Le jour de la compétition, celle-ci s arrête dès qu un candidat a réussi et celui-ci est déclaré vainqueur. (il peut y avoir plusieurs vainqueurs). 2) Déterminer la loi du nombre d essais nécessaires pour désigner au moins un vainqueur. En moyenne combien doit-on compter d essais? Exercice 22. Soit (X n ) une suite de v. a. i. suivant toutes la même loi de Poisson de paramètre θ. On note Y n = 1 si X n = 0 et Y n = 0 sinon. Pour tout n N, on pose Z n = Y Y n. n 1) Montrer que l on peut majorer la variance de Z n par 1 4n. 2) A partir de quelle valeur de n, a-t-on plus de 90 % de chance que Z n donne une approximation de e θ à 10 1 près. Exercice 23. Trouver la constante k et une condition sur a > 0 pour que : P (X = n) = k ( a ) n, a + 1 définisse une v. a. à valeurs dans N. Soit (X n ) une suite de v.a. i. suivant toutes la loi précédente. n 1) Déterminer la fonction génératrice de S n = X k. 2) Calculer, de deux manières différentes, l espérance et la variance de S n. k=1 Exercice 24. Un candidat est soumis à une suite de questions indépendantes. Il répond correctement à chacune de ces questions avec une probabilité de 1. Le test est terminé quand il donne la bonne réponse à 3 k questions consécutives, (k N est un entier fixé). On note p n la probabilité de l événement : (le teste s arrête après n questions). 1) Calculer p k et montrer que pour tout n k, p n+1 = 2 p n i 3 3 i. i=0 2) On suppose que k = 2. Calculer p n et la probabilité de l événement (le test s arrête). Exercice 25. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. Pour tout entier n N, on pose p n = P (X = n) et z n la probabilité conditionnelle : z n = P (X n) (X = n). 1) Montrer que la loi de X est définie par la suite (z n ). 2) Quelle est la loi de X si la suite (z n ) est( constante )? n + 2 3) On suppose que pour tout n N, p n = p 3 q n, avec p ]0, 1[ et q = 1 p. Vérifier que 2 X est une v. a. et déterminer la suite (z n ) et sa limite quand n tend vers +. Exercice 26. Un rayon laser tente d éradiquer une bactérie à raison d un coup par seconde. La probabilité pour la bactérie d être atteinte par le rayon est p ]0, 1[. La bactérie meurt dès qu elle est touchée r fois. On note X la durée de vie en secondes de la bactérie. Montrer que X est une v. a. à valeurs dans N. Déterminer sa loi et son espérance si elle existe. Exercice 27. Soient X une v. a. qui suit une loi géométrique de paramètre p et M N un entier donné. On note Z = min(x, M). Déterminer la loi de Z et son espérance éventuelle. 4 k 1

5 Exercice 28. Soit X le numéro d un jeton tiré au hasard et qui suit une loi de Poisson de paramètre a > 0. Si X est impair, alors Pierre gagne la partie et reçoit X euros de Paul et si X est pair et non nul, alors Paul gagne et reçoit X euros de Pierre. Si X = 0, la partie est nulle. Déterminer la probabilité pour que chacun des joueurs soit déclaré gagnant et l espérance de gain de chacun des deux joueurs. Exercice 29. Une urne contient au départ a > 0 jetons A et un jeton B. On tire successivement et avec remise un jeton de l urne. Après chaque tirage, on rajoute un jeton A. On note X le rang du premier jeton B et Y le rang du second jeton B dans cette suite de tirages. 1) Déterminer, pour tout k N, P (X > k). 2) Montrer que X est une variable aléatoire à valeurs dans N et préciser sa loi. La variable X admet-elle une espérance? 3) Exprimer la loi de Y à l aide de sommes. Exercice 30. Un organisme de ventes par internet reçoit chaque jour un nombre N de commandes. N suit une loi de Poisson de paramètre a > 0. Chaque colis envoyé a une probabilité p d être retourné. On note X le nombre de retours par jour et Y le nombre de colis acceptés. Déterminer la loi du couple (N, X) puis celle de X et Y. Les deux variables X et Y sont-elles indépendantes? Exercice 31. Une v.a. X suit une loi géométrique de paramètre p. On pose Y = 1 si X est pair et Y = 0 sinon. 1) Déterminer la loi et l espérance des variables X et Z = X + Y. 2) Déterminer la loi du couple (X, Z) et la covariance de X et Z. Exercice 32. Les barres d admissibilité d un concours sont tombées. Julien consulte les résultats à partir de son ordinateur et arrive à se connecter au site une fois sur 10. Marc consulte les résultats à partir de son smartphone et arrive à se connecter une fois sur 5. Soient X le nombre de tentatives de connexion nécessaires pour Julien et Y pour Marc. 1) Déterminer les lois de X et Y, leurs espérances et leurs variances. 2) Déterminer la loi de X + Y, nombre de tentatives des deux candidats, son espérance et sa variance. 3) Calculer la probabilité que Julien se connecte après Marc (en nombre de tentatives). Exercice 33. Soit (X k ) k N une suite de v.a. i. suivant toutes une loi de Poisson de paramètre λ. On définit : Z n = ( 1 1 n) X X n. Déterminer une constante K telle que V (Z n ) K quand n +. n En déduire que pour tout ε > 0, lim P ( Z n e λ ε ) = 0. n + Exercice 34. On lance un dé deux fois de suite et on note X 1 et X 2 les numéros des faces obtenus respectivement lors du premier et du second lancer. Soit S = X 1 + X 2 la somme de ces deux numéros. Déterminer la fonction génératrice de S. Est-il possible de truquer le dé pour que S suive une loi uniforme sur [[ 2, 12 ]]? 5

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