Dossier de candidature à un poste de Maître de conférences

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1 Dossier de candidature à un poste de Maître de conférences Anne-Laure Dalibard Détails du poste Mettre ici le numéro du poste Le laboratoire et l Université Contact Adresse professionnelle : Université Paris-Dauphine - CEREMADE Place du Maréchal de Lattre de Tassigny Paris Téléphone : Fax : Adresse électronique : dalibard@ceremade.dauphine.fr Page web : http :// dalibard Table des matières 1 Présentation Curriculum vitæ Publications et pré-publications Activités d enseignement Responsabilités administratives Activités de recherche Résumé des travaux de recherche Projet de recherche Bibliographie générale Annexes Mots clés Équations aux dérivées partielles. Homogénéisation. Lois de conservation scalaires. Équations de transport. Formulation cinétique. Équations paraboliques. Fluides géophysiques. Couches limites. Mécanique des fluides.

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3 1 Présentation 1.1 Recherche Je suis docteur en Sciences (Spécialité Mathématiques) ; au cours de ma thèse, j ai démontré les premiers résultats généraux sur l homogénéisation de lois de conservation scalaires, dans des cadres paraboliques ou hyperboliques. J ai travaillé dans de nombreux domaines liés aux équations aux dérivées partielles, qui sont tous présents au sein de [mettre ici le nom du labo] : équations cinétiques, lois de conservation, équations elliptiques et équations paraboliques lors de mon doctorat, équations de Navier-Stokes et des fluides tournants depuis ma soutenance de thèse. Dans l ensemble, mes travaux sont plutôt théoriques (analyse qualitative des solutions d une équation, ou analyse asymptotique d un système avec petit paramètre), mais certains d entre eux sont tournés vers les applications (étude du système de Keller-Segel en biologie, de fluides géophysiques...) Je souhaiterais conserver ces deux composantes - théorie et applications - dans mes recherches à venir. Je suis en outre tout à fait disposée à m ouvrir à de nouvelles thématiques de recherche représentées à [mettre ici le nom du labo], par exemple Enseignement Au cours de ma thèse, j ai bénéficié d un monitorat d une durée de trois ans à l Université Paris- Dauphine. J ai assuré des travaux dirigés d Algèbre et d Analyse (analyse réelle, calcul matriciel, analyse fonctionnelle, algèbre linéaire) dans les trois années de Licence (L1, L2 et L3), et devant des groupes d une trentaine ou d une quarantaine d étudiants. Je souhaiterais à l avenir enseigner dans un cursus de Mathématiques fondamentales et/ou appliquées. 1

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5 2 Curriculum vitæ Nom : Anne-Laure Dalibard ép. Roux Date de naissance : ; Nationalité : Française ; État civil : Mariée ; Titre : Docteur en Sciences (Spécialité Mathématiques) ; Qualifiée en sections 25 et 26 du CNU. 2.1 Situation actuelle Membre à mi-temps du DMA (ENS, Paris). Travail post-doctoral sous la direction de Laure Saint-Raymond Allocataire-monitrice au CEREMADE (Université Paris-Dauphine). 2.2 Formation doctorale Thèse au CEREMADE, sous la direction de Pierre-Louis Lions. Sujet : homogénéisation de lois de conservation et d équations de transport. Soutenance à l Université Paris-Dauphine le 8 octobre Mention très honorable. Jury : Présidente : Laure Saint-Raymond. Rapporteurs : Denis Serre, Benoît Perthame. Examinateurs : Thierry Goudon, Jean Dolbeault. Directeur : Pierre- Louis Lions Cours de Pierre-Louis Lions au Collège de France DEA d Analyse de l Université de Paris 6 (mention TB). Sujet de mémoire : formulation cinétique de lois de conservation. Directeur : Pierre-Louis Lions Cours du DEA d Analyse numérique de l Université de Paris Études pré-doctorales Cursus mixte maths/physique du Magistère de mathématiques fondamentales et appliquées (ENS Paris). Licence (mention TB) et maîtrise (mention TB) de mathématiques. Licence de physique (mention TB). Mémoire de maîtrise sur le comportement en temps long des solutions des équations de coagulation-fragmentation (travail dirigé par Stéphane Mischler) Élève de l ENS (Ulm). 3

6 3 Publications et pré-publications 3.1 Articles acceptés ou publiés dans des revues à comité de lecture 1. Kinetic formulation for heterogeneous scalar conservation laws. Publié dans les Annales de l IHP (C) : Analyse non linéaire, 23, pp (2006). 2. Homogenization of a quasilinear parabolic equation with vanishing viscosity. Publié dans le Journal de mathématiques pures et appliquées, 86, pp (2006). 3. Initial layer for the homogenization of a quasilinear parabolic equation with vanishing viscosity. Publié dans Archive for Rational Mechanics and Analysis, 185, pp (2007). 4. Kinetic formulation for a parabolic conservation law. Application to homogenization. Publié dans SIAM Journal on Mathematical Analysis, 39, pp (2007). 5. Homogenization of a linear transport equation in a stationary ergodic setting. Accepté pour publication dans Communications on Partial Differential Equations (2007) ; 31 pages. 6. Existence of solutions of the hyperbolic Keller-Segel model. Avec Benoît Perthame. Accepté pour publication dans Transactions of the AMS (2006) ; 23 pages. 7. Homogenization of nonlinear scalar conservation laws. Accepté pour publication dans Archive for Rational Mechanics and Analysis (2007) ; 35 pages. 3.2 Articles soumis 8. Asymptotic behavior of a rapidly rotating fluid with random stationary surface stress. Disponible sur HAL (référence hal ) ; 45 pages. 9. Mathematical study of resonant wind-driven oceanic motions. Avec Laure Saint-Raymond. Disponible sur HAL (référence hal ) ; 52 pages. 10. Resonant wind-driven oceanic motions. Avec Laure Saint-Raymond ; 6 pages. 3.3 Article en préparation 11. Nonlinear stability of vertical profiles for resonant wind-driven oceanic motions. En collaboration avec Laure Saint-Raymond. 3.4 Acte de séminaire sans comité de lecture 12. Étude mathématique de fluides en rotation rapide avec forçage en surface. Séminaire X-EDP, ; 17 pages. Les articles 1-10 et 12 sont accessibles sur la page http :// dalibard/publis.html, et pourront être adressés aux rapporteurs. 4

7 4 Activités d enseignement 4.1 Monitorat à l Université Paris-Dauphine ( ) 5

8 4.2 Interrogations orales au Lycée Henri IV à Paris ( ) Durant l année , j ai donné 90 heures d interrogations orales (colles) dans les deux classes de MPSI du Lycée Henri IV, à Paris, à raison de trois heures hebdomadaires. Ce type d enseignement permet d avoir un contact suivi et personnalisé avec des étudiants d un très bon niveau, et requiert un travail personnel important de la part de l interrogateur (recherche de questions de cours et d exercices originaux). 4.3 Participation à la préparation à l agrégation à l ENS Ulm (2008) En février 2008, j ai encadré deux leçons d Analyse, à la demande du responsable de la préparation à l épreuve orale d Analyse de l agrégation à l ENS (Grégoire Nadin) ; les sujets étaient «Méthodes hilbertiennes en dimension finie et infinie» et «Équations différentielles Ẋ = f(t, X) ; exemples d études qualitatives des solutions». Ma formation doctorale en équations aux dérivées partielles m a permis d apporter aux élèves quelques exemples originaux pour chacune des deux leçons. 6

9 5 Responsabilités administratives Reviewer pour Mathematical Reviews Représentante (nommée) des doctorants et ATER au conseil de laboratoire du CEREMADE. Déc Porte-parole des doctorants lors de l évaluation du CEREMADE par l AERES. 7

10 6 Activités de recherche 6.1 Exposés dans des conférences nationales ou internationales Déc Juil Juin 2006 Juin 2006 Journées Singularités et Comportement Asymptotique des Systèmes d Euler et Navier Stokes, à Paris (exposé sur invitation). Conférence ICIAM 07 à Zürich (exposé sans invitation). Conférence à Vienne : Nonlinear PDEs : Homogenization and Kinetic Equations (exposé sur invitation). Conférence à Tolède en l honneur de Peter Lax et Louis Nirenberg : Recent advances in Nonlinear PDEs and Applications (présentation d un poster). 6.2 Invitation dans des séminaires ou des groupes de travail en France Juin 2008 Juin 2008 Fév Jan Nov Oct Sep Av Jan Jan Nov Jan Nov Av Séminaire EDP de l Institut Élie Cartan de Nancy. Séminaire d Analyse Numérique et Calcul Scientifique de l Université de Franche- Comté (Besançon). Groupe de travail Calcul des variations du CEREMADE (Université Paris- Dauphine). Séminaire X-EDP (École polytechnique, Palaiseau). Séminaire EDP de l Université Paris-Sud. Séminaire Analyse-Probabilités du CEREMADE. Séminaire de mathématiques appliquées de l Université Blaise Pascal (Clermont- Ferrand). Séminaire de Mathématiques appliquées du Collège de France. Groupe de travail Calcul des variations du CEREMADE. Séminaire Calcul scientifique du CERMICS (ENPC). Séminaire EDP et Applications de l UMPA (ENS Lyon). Séminaire EDP du DMA (ENS Paris). Groupe de travail des thésards du CEREMADE. Séminaire des élèves de l ENS. 8

11 6.3 Participation régulière à des groupes de travail, avec exposé Groupe de travail «Maths-Océano»à l École normale supérieure (Paris). Exposé en Janvier Groupe de lecture «Transport Optimal»à l École normale supérieure (Paris). Exposé en Mars Participation à des conférences nationales ou internationales sans exposé Juil Juil Mai 2005 Juin 2004 Congrès en l honneur de Luc Tartar à Paris. Congrès Homogénéisation aléatoire au CIRM à Marseille. Congrès Recent advances in homogenization à Rome. Congrès en l honneur de Haïm Brézis à Paris. 6.5 Participation régulière à des séminaires (en tant qu auditeur) Groupe de travail Analyse non linéaire (commun au DMA et au Laboratoire Jacques-Louis Lions) Séminaire Analyse-Probabilités du CEREMADE Séminaire de mathématiques appliquées du Collège de France Séminaire EDP du DMA. 6.6 Organisation de groupes de travail Co-organisatrice du groupe de travail des thésards du CEREMADE 9

12 7 Résumé des travaux de recherche Cette partie est consacrée à la description de mes travaux de recherche, réalisés dans le cadre de mon stage de DEA et de ma thèse au sein de l équipe Analyse non linéaire du CEREMADE (UMR CNRS 7534, Université Paris-Dauphine), sous la direction du Professeur Pierre-Louis Lions, puis de mon travail post-doctoral dans l équipe Équations aux dérivées partielles du Département de mathématiques et applications (UMR CNRS 8553, École normale supérieure, Paris), sous la direction du Professeur Laure Saint-Raymond. Les références de cette partie et de la suivante sont regroupées dans la bibliographie générale page Présentation générale Au cours de ma thèse, j ai étudié différents phénomènes d oscillations dans des équations aux dérivées partielles d évolution, et en particulier des questions liées à l homogénéisation de lois de conservation scalaires. Précisément, le résultat principal de ma thèse est le suivant : soit u ε C(R +, L 1 loc (RN )) L loc (R + R N ) la solution entropique de l équation u ε N t (t, x) + ( x ) A i x i ε, uε (t, x) = 0 t 0, x R N, i=1 u ε (t = 0, x) = u 0 ( x, x ε ), où A : R N R R N est un flux donné, périodique en sa première variable. J ai démontré, sous une hypothèse de donnée initiale «bien préparée», c est-à-dire adaptée à la microstructure dictée par le flux A, que ( u ε (t, x) u t, x, x ) 0 dans L 1 loc ε ([0, ) RN ), (7.2) où u est l unique solution d un système limite de nature cinétique, composé d une équation microscopique dite «de la cellule», et d une équation d évolution macroscopique. La grande nouveauté de ce résultat réside dans l universalité de ses hypothèses sur le flux A, ainsi que dans la complexité du système limite : en effet, il n y a en général ni problème homogénéisé, ni loi de conservation associée aux équations cinétiques limites. Ce phénomène était entièrement absent des travaux antérieurs sur le sujet. Avant la preuve de ce résultat et en vue de définir des techniques adaptées à l étude de phénomènes d oscillations dans les équations de transport, j ai travaillé sur l homogénéisation de lois de conservation scalaires avec viscosité évanescente, une variante parabolique du problème (7.1). J ai démontré dans ce cadre un résultat de convergence du même type que (7.2). Ce résultat est, à ma connaissance, le premier sur l homogénéisation de lois de conservation multi-dimensionnelles dans un cadre général, sans hypothèse de structure sur le flux ou sur la condition initiale. Cette entreprise nécessite une bonne compréhension de la loi de conservation (7.1) - ou de sa version visqueuse - à ε > 0 fixé. J ai donc été amenée à démontrer, parallèlement aux questions d homogénéisation directement liées à (7.1) (voir [1, 3, 5, 6]), deux résultats sur les formulations cinétiques de lois de conservation scalaires (voir [2, 6]). Ces derniers travaux ont donné lieu à un article en collaboration avec Benoît Perthame sur un sujet indépendant, dans lequel nous démontrons l existence de solutions du modèle de Keller-Segel hyperbolique (voir [10]). Enfin, toujours dans le cadre de ma thèse, j ai également prouvé un résultat d homogénéisation pour une équation de transport, dans un cadre stationnaire ergodique (voir [4]). Depuis le mois de septembre 2007, je suis également membre à mi-temps de l équipe Équations aux dérivées partielles du DMA, où je travaille sous la direction de Laure Saint-Raymond sur des (7.1) 10

13 problèmes d océanographie, abordés sous un angle mathématique, et plus spécifiquement sur l influence du vent sur la vitesse des courants océaniques. Dans l article [7], je démontre des résultats de convergence forte pour un fluide en rotation rapide soumis à un forçage aléatoire, stationnaire et non résonnant ; dans [8], nous étudions, avec Laure Saint-Raymond, le cas où le forçage est en résonance avec la rotation de la Terre, et nous mettons en évidence de nouveaux profils de couches limites et des phénomènes de déstabilisation du fluide dans ce cadre. Dans les paragraphes qui suivent, je décris plus en détail chacun des articles sus-mentionnés. 7.2 Formulation cinétique de lois de conservation scalaires et applications Formulation cinétique de lois de conservation hétérogènes [2], paru aux Annales de l IHP. Cet article est consacré à l étude des solutions entropiques de lois de conservation scalaires du type t u + div x A(x, u) = 0. Dans le cas homogène, c est-à-dire lorsque le flux A est indépendant de la variable d espace x R n, Pierre-Louis Lions, Benoît Perthame et Eitan Tadmor ont démontré dans [30] que la fonction (t, x, v) 1 v<u(t,x) vérifie une équation de transport linéaire, appelée formulation cinétique, dont le second membre est la dérivée en v d une mesure positive. Cette construction permet ensuite de définir une notion plus faible de solutions, appelées solutions cinétiques. J ai généralisé dans [2] ces résultats au cas hétérogène. La principale différence structurelle réside dans la présence d un terme supplémentaire dans la formulation cinétique, qui représente un transport dans la variable v. Par ailleurs, les preuves deviennent beaucoup plus techniques en raison de la dépendance spatiale du flux Formulation cinétique d une loi de conservation parabolique [6], paru dans SIAM J. Math. Anal. L article [6] est composé de deux parties : la première, que je vais exposer ici, présente une formulation cinétique pour une loi de conservation scalaire parabolique, et la seconde, dont il sera question plus tard, donne une application de cette construction à l homogénéisation d une version visqueuse de l équation (7.1). Dans la première partie de [6], on considère l équation t u(t, y)+div y A(y, u(t, y)) y u(t, y) = 0, munie de conditions aux bords périodiques. En s inspirant d une idée de E. Audusse et B. Perthame [12], on définit pour cette équation une nouvelle formulation cinétique, associée à des inégalités entropiques basées sur la comparaison entre la fonction u et les solutions stationnaires de la loi. Cette formulation permet en particulier de définir une notion de solution cinétique, dont on montre qu elle est équivalente à celle de solution entropique si l on travaille dans une classe de fonctions régulières et bornées. On donne dans la seconde partie une application de cette construction à l homogénéisation d une version visqueuse de l équation (7.1) ; ce point sera décrit au paragraphe Existence de solutions du système de Keller-Segel hyperbolique [10], avec Benoît Perthame, accepté pour publication dans Transactions of the AMS. Le modèle de Keller-Segel décrit la réponse collective de populations de cellules à des signaux chimiques. On étudie un système couplé de deux équations : { { t u + div y ( S u(1 u)) = 0, t > 0, y Ω, S + S = u dans Ω, u(t = 0) = u 0 L 1 L et (7.3) (Ω), 0 u 0 1 p.p, S n Ω = 0 sur Ω, où Ω R d est un domaine C 1 borné, et n Ω est la normale sortante à Ω. Ici, la quantité u représente la 11

14 densité de cellules et S la concentration en chimioattractant. Dans un premier temps, on démontre l existence de solutions du système (7.3) par passage à la limite dans une approximation parabolique de l équation. Cette méthode avait été utilisée en dimension d = 1 par Yasmin Dolak et Christian Schmeiser dans [20] ; mais dès que d > 1, l analyse du système parabolique approché est très différente en raison de l absence de bornes a priori dans L loc (0, ; BV (Ω)), et donc de compacité sur les solutions du système. La technique adoptée consiste en l écriture d une formulation cinétique pour le système approché, équation de transport linéaire dans laquelle il est possible de passer à la limite faible. Le cœur de la preuve réside dans un théorème de «rigidité» : on montre que les solutions de l équation limite sont des fonctions indicatrices. On en déduit ensuite sans mal la convergence forte des solutions du système approché vers une solution du système de Keller-Segel (7.3). Dans un second temps, on démontre des résultats qur le comportement en temps long d une solution du système (7.3) ; ceux-ci viennent en partie corroborer les simulations numériques de [20] en dimension Homogénéisation de lois de conservation scalaires Cas visqueux, données bien préparées [1], paru au J. Math. Pures et Appl. ; [6], paru dans SIAM J. Math. Anal. L objet de ces travaux est la preuve du résultat (7.2) dans le cas de l équation u ε t (t, x) + N ( x ) A i x i=1 i ε, uε (t, x) ε x u ε = 0 t > 0, x R N, ( u ε (t = 0, x) = u 0 x, x ). ε (7.4) En postulant un développement asymptotique du type u ε (t, x) u 0 ( t, x, x ε ) + εu 1 ( t, x, x ε ), on trouve que u 0 (t, x, y) = v(y, ū(t, x)), où, pour chaque p R, v(, p) est la solution d un problème microscopique dit «de la cellule» (une équation elliptique en y) et ū : R + R N R est la solution entropique d une loi de conservation scalaire homogène, appelée «problème homogénéisé». Cette méthode formelle soulève une première difficulté, sur laquelle on reviendra dans le paragraphe suivant : il est possible qu à l instant t = 0, u 0 (x, ) ne soit pas solution du problème de la cellule. Cela signifie que l Ansatz était faux à t = 0, et il faut alors le modifier pour décrire convenablement le comportement asympotique de u ε. Dans tout ce paragraphe, on se concentre donc sur le cas de données initiales bien préparées ; autrement dit, u 0 (x, ) est solution de l équation de la cellule pour presque tout x. Dans un premier temps, dans [1], on montre l existence et l unicité de solutions du problème de la cellule sous certaines hypothèses de régularité et de croissance sur le flux. On montre ensuite le résultat de convergence (7.2) dans le cas visqueux. Cette étape est réalisée de deux façons différentes dans [1] et [6] : dans [1], la méthode s inspire de celle développée dans [21] et [22], et s appuie sur la notion de mesures d Young à deux échelles. Dans [6], j ai mis en place une méthode originale, qui simplifie nettement la preuve de convergence, et qui s appuie sur la formulation cinétique développée dans la première partie de [6], décrite plus haut. Le passage à la limite double-échelle dans cette équation linéaire permet facilement de montrer le résultat de convergence forte. De plus, le résultat démontré est plus général que celui de [1] car l hypothèse ū 0 L devient superflue. Enfin, cette méthode se généralise aisément au cas où le flux A possède une dépendance macroscopique, i.e. A = A(x, y, v), et A très régulier en x ; cette dernière extension, qui ne figure pas dans [6], est incluse dans ma thèse de doctorat. 12

15 7.3.2 Couche initiale dans le cas visqueux, pour des données mal préparées [5], paru dans Arch. Rat. Mech. Anal. L article [5] est consacré à l homogénéisation de l équation (7.4) dans le cas de données initiales mal préparées, c est-à-dire qui ne sont pas solutions du problème de la cellule. Dans ces circonstances, on s attend à ce qu il se forme une couche initiale, de durée typique ε, durant laquelle la famille de solutions u ε se rapproche du profil microscopique dicté par le flux. Plus précisément, on montre que l évolution de u ε sur des temps courts (d ordre ε) est régie par un problème d évolution parabolique, dont les solutions convergent en temps grand vers une solution stationnaire. De plus, en vertu d une propriété de trou spectral, on montre que la vitesse de convergence est exponentielle. Il faut ensuite combiner cette analyse avec le résultat d homogénéisation dans le cas de données bien préparées [1, 6]. À l aide d une série d estimations fines, on montre qu au bout d un temps ε, tout se passe comme si la condition initiale était bien préparée. Évidemment, le résultat de convergence exponentielle exposé plus haut est fondamental dans la description des solutions sur des temps d ordre ε. À ma connaissance, ce résultat est la première preuve d homogénéisation pour des lois de conservation scalaires hétérogènes dans le cas de données mal préparées Cas hyperbolique, données bien préparées [3], accepté pour publication dans Arch. Rat. Mech. Anal. L article [3] traite de l homogénéisation de l équation hyperbolique (7.1), dans le cas de données bien préparées, et j y démontre le résultat de convergence (7.2). La situation est ici beaucoup plus compliquée que dans le cas parabolique, en raison du manque d informations sur la structure des solutions stationnaires de l équation (7.1) ; en particulier, il est impossible de transposer directement les techniques mises au point dans [6]. La première partie de la preuve de convergence repose sur un passage à la limite double-échelle dans l équation de formulation cinétique associée à (7.1) (voir aussi l article [2]). Le système limite se compose alors de deux équations sur la fonction indicatrice 1 p<u(t,x,y) : une équation de contrainte d une part, qui joue le rôle d une équation de la cellule à un niveau cinétique, et une équation de transport linéaire d autre part, avec un second membre que l on peut interpréter comme un multiplicateur de Lagrange associé aux contraintes sur 1 p<u(t,x,y). La grande particularité de ce système réside dans le fait qu on ne peut écrire d équation d évolution pour la fonction u, ni pour la moyenne de u sur une période spatiale. Il n y a donc pas, en général, de problème homogénéisé. Ainsi, la formulation cinétique de la loi de conservation (7.1) semble être la vision adéquate pour aborder les problèmes d oscillations en général, et d homogénéisation en particulier. En vue de montrer le résultat de convergence forte, il faut ensuite montrer des propriétés de rigidité et de contraction pour le système limite. La faible régularité des solutions, ainsi que la présence d oscillations rapides, rend les preuves relativement techniques. 7.4 Homogénéisation d une équation de transport linéaire [4], accepté pour publication dans Comm. Partial Differential Equations. Ce travail traite de l homogénéisation de l équation t f ε + ξ x f ε 1 ε xu ( x ε, ω) ξ f ε = 0, qui modélise le transport de particules chargées par un potentiel électrique fortement oscillant u(x/ε, ω), où x R N est la variable d espace, et ω Ω, où (Ω, P ) est un espace de probabilité sur lequel agit un groupe ergodique de transformations invariantes τ y, y R N. On suppose de plus que la densité de particules initiale f 0 (x, y, ω) et u(y, ω) sont des fonctions stationnaires en y. Je montre dans [4] un résultat de convergence forte dans L 1 loc sur la fonction f ε, et j identifie les équations macroscopiques et microscopiques satisfaites à la limite. Ce travail généralise un article de K. Hamdache et E. Frénod [24], qui abordent le même problème dans un cadre périodique. Mais 13

16 les techniques choisies par ces auteurs semblaient difficilement transposables au cas stochastique, et il a donc fallu changer de stratégie. La méthode adoptée dans [4] est fondée sur les liens entre l équation de transport et le système hamiltonien associé à l énergie H(y, ξ; ω) = ξ 2 /2 + u(y, ω). Au moyen du théorème ergodique, on retrouve alors les résultats de K. Hamdache et E. Frénod, en mettant de plus en évidence un phénomène d oscillations rapides en temps, qui était absent de [24]. Dans un second temps, on démontre des formules explicites sur les coefficients du système homogénéisé en dimension un. Ici encore, la méthode choisie est différente de celle de [24]. Les arguments utilisés dans le cadre stationnaire sont inspirés de calculs récurrents dans la théorie d Aubry-Mather ou dans la théorie KAM, et mettent ainsi à jour certains liens inédits avec l homogénéisation d équations de Hamilton-Jacobi. 7.5 Forçage par le vent de courants océaniques [7], pré-publication ; [8], avec Laure Saint-Raymond, pré-publication. Ces articles sont consacrés à l analyse du comportement d un fluide homogène et incompressible, en rotation rapide à une fréquence 1/ε, soumis à un forçage en surface. Le forçage est décrit par une condition de Neumann non homogène et rapidement oscillante sur le bord, de la forme σ (t, t/ε). On étudie le comportement asymptotique du système de Navier-Stokes-Coriolis lorsque le petit paramètre ε et la viscosité verticale ν tendent vers zéro. Des résultats de convergence forte sont alors démontrés dans deux cadres différents et complémentaires : l article [7] traite du cas où la fonction σ est aléatoire et stationnaire en sa variable rapide, et n a pas de fréquences d oscillations voisines de celle de la rotation de la Terre. Le cas résonnant, c est-à-dire celui où le forçage σ est une fonction périodique, de même période que la rotation de la Terre, est traité dans [8], dans le cas linéaire. Ces deux travaux généralisent ceux de Nader Masmoudi dans [31]. Dans les deux cas, la preuve repose sur la construction d une solution approchée, et suit pour ce faire des méthodes classiques en théorie des fluides tournants (voir [15, 26]), utilisant des techniques de filtrage des oscillations d une part, et de construction de couches limites d autre part. Dans l article [7], l introduction de termes aléatoires et stationnaires nécessite de modifier les définitions habituelles des termes de couches limites, adaptées à des cadres périodiques ou presque périodiques en temps (voir par exemple [15, 31]). Par ailleurs, les méthodes de filtrage consistent à étudier le comportement moyen en temps long de fonctions oscillantes, ce qui est accompli ici au moyen du théorème ergodique de Birkhoff. Il convient de souligner que l équation limite obtenue dans [7] demeure aléatoire. Par conséquent, la dernière partie de l article [7] est consacrée à l obtention d une équation déterministe «moyenne», ou homogénéisée. Dans l article [8], la résonance entre la fréquence de rotation de la Terre et celle du forçage par le vent modifie principalement la construction des couches limites : en effet, on montre qu un forçage résonnant et non homogène crée des tailles de couches limites beaucoup plus grandes que les forçages usuels. En outre, la partie homogène et résonnante du forçage ne peut être traitée par les méthodes usuelles de couches limites, et donne naissance à un profil singulier, déstabilisant ainsi en temps grand l ensemble du fluide à l intérieur du domaine. Ces résultats diffèrent donc de façon conséquente des travaux [15, 31]. Dans un troisième article en cours de rédaction [9], nous démontrons un résultat de stabilité non linéaire pour ce profil singulier. 14

17 8 Projet de recherche Dans les années à venir, je compte développer trois grands axes de recherche, classés ici par ordre décroissant d importance du temps que je souhaite leur consacrer. Le premier et le deuxième thème sont partiellement liés : il s agit respectivement d étudier des modèles de fluides géophysiques et de rugosité en mécanique des fluides. Le troisième volet de ce programme de recherche est indépendant des autres, et porte sur le comportement en temps long des solutions de lois de conservation scalaires. Par ailleurs, je suis prête à m investir dans d autres projets, suivant les souhaits et les besoins de l équipe dans laquelle j effectuerai mes recherches. Les références entre crochets sont regroupées dans la bibliographie générale page Étude de fluides géophysiques Le but de cette première thématique de recherche est d étudier mathématiquement le comportement des fluides géophysiques. Cette question se situe dans la continuité des travaux que j ai effectués après la fin de ma thèse, et qui ont donné lieu à la rédaction de deux articles de recherche, dont un en collaboration avec Laure Saint-Raymond. Les modèles considérés décrivent l évolution des fluides océaniques ou atmosphériques dans un référentiel terrestre en rotation, sur des domaines qui s étendent horizontalement sur plusieurs milliers de kilomètres, et verticalement sur quelques kilomètres. Les forces qui s exercent sur le système sont la force de Coriolis et la force de pesanteur. Ces deux forces se compensent, créant ainsi un équilibre dit «géostrophique», autour duquel apparaissent de petites oscillations. La compréhension de ce mécanisme de compensation et la description des fluctuations autour de l équilibre sont deux enjeux majeurs de la modélisation. Du point de vue mathématique, l évolution du système (océan ou atmosphère) est régie par les équations de la mécanique des fluides, portant sur la densité, la vitesse, l énergie volumique ou la température du fluide. Ce système d équations est ensuite réduit à l aide d équations d état ou d approximations physiques qui dépendent de la situation étudiée (voir [26]). Objectifs généraux et outils. Le but est, dans un premier temps, de montrer l existence de solutions du système réduit, puis de passer à la limite lorsque le petit paramètre ε := U/(2 Ω L) tend vers zéro, où U (resp. L) est une vitesse (resp. une distance) horizontale caractéristique du mouvement, et Ω est la vitesse de rotation de la Terre. Cette limite correspond donc à des situations où la vitesse de rotation de la Terre est grande devant la vitesse angulaire caractéristique du fluide ; pour l Atlantique occidental, par exemple, on a ε 10 3, et cette approximation est justifiée. Ce type d étude s apparente donc à des problèmes de perturbation singulière ; dès lors, la première étape en vue du passage à la limite consiste à étudier le spectre de l opérateur de pénalisation, et les ondes associées à celui-ci. Le système limite est ensuite obtenu grâce à des méthodes de filtrage, introduites indépendamment par Emmanuel Grenier [28] et Steven Schochet [32]. Par ailleurs, il est classique en océanographie de supposer que la viscosité verticale tend vers zéro, ce qui conduit naturellement à étudier des phénomènes de couches limites. Enfin, les preuves de convergence reposent en général sur des méthodes d énergie classiques (voir [15]), qui permettent d estimer la différence entre la solution du système initial et une solution approchée explicite, obtenue comme la somme de la solution du système limite filtré, de termes de couches limites, et de termes correctifs intérieurs. Quelques problèmes plus précis. Un premier but à moyen terme sera de généraliser les résultats de [7, 8], portant sur le forçage par le vent de courants océaniques, au cas du modèle β-plan, pour lequel on prend une approximation affine (et non constante) pour le vecteur rotation 15

18 de la Terre. Ce type d étude a déjà été réalisé par Isabelle Gallagher et Laure Saint-Raymond dans [25], où les auteurs étudient le modèle β-plan au voisinage des zones équatoriales (sans forçage par le vent). Après cela, une généralisation supplémentaire consistera à considérer des modèles dépendant de la densité. En effet, la stratification des fluides océaniques - c est-à-dire la répartition du fluide en couches d isodensité superposées - joue un rôle primordial dans l équilibre et dans la dynamique, et il serait donc intéressant de disposer d une méthode systématique pour étudier ces phénomènes. Pour cela, les travaux de Raphaël Danchin (voir par exemple [18, 19]) sont un point de départ possible. Enfin, la prise en compte de conditions aux bords réalistes est un autre enjeu important de la modélisation. Dans cette optique, des liens se tisseront naturellement avec mon deuxième axe de recherche, les modèles de rugosité en mécanique des fluides : dans le contexte de l océanographie, l objectif sera d étudier les conséquences sur la dynamique globale des irrégularités des fonds marins ou des côtes. Plus précisement, je compte m intéresser aux effets de la rugosité sur les couches limites. Des études ont déjà été menées par David Gérard-Varet [27] et David Gérard-Varet et Didier Bresch [14] pour des profils périodiques de rugosité, et le but sera dans un premier temps de généraliser leurs travaux à un cadre aléatoire et stationnaire. Environnement scientifique. Une demande de projet ANR Blanc a été déposée en mars 2008 par David Lannes (CNRS, MAB-UMR 5466, Université de Bordeaux 1), sur le thème «Modélisation, analyse mathématique et simulation numérique en océanographie» ; si le projet est accepté, il est prévu que je fasse partie de la composante «Fluides tournants» de ce projet. 8.2 Modèles de rugosité en mécanique des fluides Le but de ce deuxième axe de recherche est de comprendre les effets d une paroi rugueuse sur la dynamique d un fluide au contact de celle-ci. Outre les questions liées à l océanographie, mentionnées dans la première partie, il s agit d étudier par exemple des problèmes de microfluidique. Cette thématique de recherche est en grande partie nouvelle pour moi, mais se rapproche néanmoins des travaux que j ai effectués dans ma thèse, puisque la modélisation des rugosités se traduit souvent mathématiquement par des problèmes d homogénéisation. Motivations physiques. La problématique est d obtenir une description précise des propriétés de glissement d un fluide sur une surface rugueuse. Il semble naturel, et il est de fait communément admis, que la rugosité augmente les effets de friction sur le bord de la paroi, allant jusqu à supprimer toutes les propriétés de glissement au niveau macroscopique. Néanmoins, des expériences et des simulations récentes (voir par exemple [16]) indiquent au contraire que pour certaines surfaces hydrophobes et très rugueuses, soumises à de faibles pressions, les irrégularités de la surface améliorent les propriétés de glissement. Ce phénomène s explique par la formation d une interface composite : des poches d air s immiscent dans les creux des aspérités de la surface, et le fluide glisse sur ce coussin d air au lieu d être au contact direct de la paroi. La minimisation des effets de friction est un enjeu industriel primordial, car l énergie dissipée pour faire passer un fluide visqueux dans des microcanaux est considérable. Toutefois, il semble difficile pour l instant de quantifier ces propriétés de glissement à l aide d une loi empirique, car les résultats expérimentaux, par ailleurs peu nombreux, sont très disparates. D après les physiciens, ces différences quantitatives pourraient s expliquer par des propriétés de mouillage variables d une expérience à l autre, ou par la formation de «nano-bulles» à l interface fluide/paroi. Disposer d études mathématiques approfondies sur le sujet permettrait de trancher entre ces différents points de vue, et de mieux comprendre le phénomène de glissement. D autre part, dans l idée d accentuer l effet de ce glissement, on peut utiliser un procédé d électrophorèse pour concentrer l écoulement dans une couche limite près de la surface rugueuse «glis- 16

19 sante». Un deuxième objectif sera de décrire mathématiquement ce phénomène de couche limite. Modélisation et outils mathématiques. D un point de vue formel, la rugosité de la surface peut être modélisée d au moins deux façons : soit par le manque de régularité de la fonction représentant la surface, soit par son caractère fortement oscillant. Je compte me concentrer plutôt sur le deuxième aspect, ce qui conduit donc à représenter une surface rugueuse par une équation du type ( z = f x, y, x ε, y ), (x, y, z) R 3, ε où ε est un petit paramètre. Une hypothèse classique consiste à supposer que la fonction f est périodique mais en général, les rugosités sont dûes à des défauts de fabrication de la paroi, par exemple, et il semble donc plus réaliste de supposer que la fonction f est aléatoire. Je serai donc naturellement amenée à étudier des problèmes d homogénéisation stochastique de systèmes fluides. Pour cela, mes travaux antérieurs sur l homogénéisation stochastique d équations de transport (voir [4]), ainsi que sur le forçage aléatoire par le vent de courants océaniques (voir [7]), seront des atouts certains. En passant à la limite lorsque le petit paramètre ε tend vers zéro, on espère trouver une condition aux limites effective, appelée loi de paroi. Ce type d étude a été mené par exemple par David Gérard-Varet dans [29], pour des conditions aux limites de type Dirichlet. Compte tenu des motivations physiques exposées plus haut, mon but est de généraliser ce travail à des conditions aux limites mixtes, afin de prendre en compte les bulles qui se forment dans les cavités de la surface. Un point de départ possible serait de considérer des conditions de type Neumann dans les zones où le fluide est en contact avec une bulle d air, et Dirichlet pour l interface fluide/paroi. Cette étude devrait spontanément conduire à étudier des phénomènes de couches limites, ce qui facilitera sans doute l attaque du deuxième point mentionné plus haut. Environnement scientifique. David Gérard-Varet (CNRS, DMA-UMR 8553, École normale supérieure) m a proposé de participer à un projet ANR-Jeunes chercheurs, sur les modèles de rugosité en mécanique des fluides. La demande de projet a été déposée en mars 2008, et si celui-ci est accepté, l équipe comportera des mathématiciens «numériciens» et «théoriciens». 8.3 Comportement en temps long de solutions de lois de conservation scalaires Cette partie de mon projet de recherche est totalement indépendante des deux premières ; mon intérêt pour ces questions est né de discussions avec Denis Serre. Il s agit d étudier le comportement en temps long de solutions entropiques de lois de conservation visqueuses ou hyperboliques. Dans un premier temps, je me concentrerai sur l étude du système u t + div xa(x, u(t, x)) x u = 0, t > 0, x T N (8.1) u(t = 0) = u 0 L (T N ). (8.2) Connaître le comportement lorsque t de u(t) est une question directement inspirée de certains de mes travaux de thèse, et j y ai d ailleurs consacré l un de mes articles (voir [5]). J ai démontré, sous certaines hypothèses sur le flux et à condition que la donnée initiale soit comprise entre deux solutions stationnaires de la loi (8.1), que la famille u(t) converge exponentiellement vite vers une solution stationnaire de (8.1). Le but ici sera donc de comprendre dans quelle mesure ce résultat peut être généralisé à des classes plus grandes de données initiales. Dans un second temps, je compte m intéresser à un problème similaire, mais sans doute plus difficile en raison de son hyperbolicité. En effet, il s agit de comprendre la nature du comportement 17

20 en temps long de la solution du système u t + div xa(x, u(t, x)) = 0, t > 0, x Ω (8.3) u(t = 0) = u 0 L (Ω), (8.4) où Ω = T N ou R N. À ma connaissance, ce type de comportement asymptotique a été étudié majoritairement dans le cas homogène ; l hypothèse classique sur le flux A est alors une condition de convexité, sous laquelle on démontre qu il y a convergence vers une solution stationnaire de (8.3) (voir par exemple [23], [33], ainsi que l ouvrage de C. Dafermos [17]). Il est important de souligner que la seule non-linéarité du flux est insuffisante pour obtenir ce résultat, comme le montre un contre-exemple de Debora Amadori et Denis Serre dans [11] : les auteurs construisent, pour un flux A particulier, non linéaire et non convexe, une solution périodique en temps et en espace de (8.3). Dès lors, la solution de (8.3) ne peut converger vers un état stationnaire pour toute donnée initiale. La convexité est donc une condition cruciale en dimension un, et il faudra dégager des hypothèses non triviales en dimension supérieure. Objectifs précis et pistes possibles. Dans le cas visqueux, supposer que la donnée initiale est comprise entre deux solutions stationnaires est une hypothèse relativement classique dans un cadre parabolique ; on pourra par exemple se référer à [33], ou encore à [13]. Néanmoins, dans [33], les résultats de convergence sont généralisés à des profils quelconques de données initiales, ce qui laisse penser que le même type d étude peut être entrepris ici. Je commencerai par étudier le cas où le flux A est de la forme A(y, v) = φ(y)g(v), où φ est périodique. En effet, de nombreux calculs explicites sont possibles dans ce cas, et en particulier, la forme des états stationnaires est connue. Il semble donc plus accessible d obtenir des conditions nécessaires et suffisantes de convergence dans ce cadre. D un point de vue mathématique, le phénomène de convergence est dû à des propriétés de dissipation par diffusion : les parties de la solution u(t) qui se trouvent respectivement au-dessus et en-dessous du profil stationnaire ont tendance à décroître avec le temps. Quant au cas hyperbolique, le type de résultat que je souhaite généraliser dans un premier temps est celui obtenu par D. Amadori et D. Serre dans [11] : ces auteurs considèrent un flux A du type A(y, v) = f(v) V (y), avec V périodique, en dimension 1. Sous une hypothèse de convexité de f, ils montrent que u(t) converge quand t vers une solution stationnaire de (8.3) ; sous une hypothèse supplémentaire sur V, cet état stationnaire peut être déterminé de façon unique en fonction de u 0. Ce projet nécessite donc de connaître les états stationnaires de la loi (8.4) ; toutefois, on peut diviser la preuve de [11] en deux étapes. La première s appuie des arguments de systèmes dynamiques, et ne fait pas appel à la forme des solutions stationnaires de (8.3). On peut donc imaginer que l on puisse généraliser les résultats de cette première partie en dimension supérieure en admettant l existence de solutions stationnaires. La seconde partie, en revanche, repose sur une étude précise des solutions stationnaires, ainsi que sur la structure des chocs de (8.3)-(8.4) en dimension un. Pour cette partie, il faudra donc vraisemblablement mettre en place d autres arguments, ou commencer par étudier les solutions stationnaires de (8.3). 18

21 9 Bibliographie générale 9.1 Publications [1] A.-L. Dalibard, Homogenization of a quasilinear parabolic equation with vanishing viscosity, J. Math. Pures et Appl. 86 (2006), [2], Kinetic formulation for heterogeneous scalar conservation laws, Annales de l IHP (C) : Analyse non linéaire 23 (2006), [3], Homogenization of a nonlinear scalar conservation laws, Arch. Rat. Mech. Anal. (2007), accepté. [4], Homogenization of linear transport equations in a stationary ergodic setting, Comm. Partial Differential Equations (2007), accepté. [5], Initial layer for the homogenization of a quasilinear parabolic equation with vanishing viscosity, Arch. Rat. Mech. Anal. 185 (2007), no. 3, [6], Kinetic formulation for a parabolic conservation law. Application to homogenization., SIAM J. Math. Anal. 39 (2007), [7], Asymptotic behavior of a rapidly rotating fluid with random stationary surface stress, soumis, preprint hal , [8] A.-L. Dalibard and L. Saint-Raymond, Mathematical study of resonant wind-driven oceanic motions, soumis, preprint hal , [9], Nonlinear stability of vertical profiles for resonant wind-driven oceanic motions, en préparation, [10] B. Perthame and A.-L. Dalibard, Existence of solutions of the hyperbolic Keller-Segel model, Transactions of the AMS (2007), accepté. 9.2 Références [11] Debora Amadori and Denis Serre, Asymptotic behavior of solutions to conservation laws with periodic forcing, J. Hyperbolic Differ. Equ. 3 (2006), no. 2, [12] Emmanuel Audusse and Benoît Perthame, Uniqueness for scalar conservation laws with discontinuous flux via adapted entropies, Proc. of the Royal Soc. of Edinburgh (2005), no. 135A, [13] Adrien Blanchet, Matteo Bonforte, Jean Dolbeault, Gabriele Grillo, and Juan-Luis Vazquez, Asymptotics of the fast diffusion equation via entropy estimates, Arch. Rat. Mech. Anal., à paraître. [14] Didier Bresch and David Gérard-Varet, Roughness-induced effects on the quasi-geostrophic model, Comm. Math. Phys. 253 (2005), no. 1, [15] J.-Y. Chemin, B. Desjardins, I. Gallagher, and E. Grenier, Mathematical geophysics, Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, vol. 32, The Clarendon Press Oxford University Press, Oxford, 2006, An introduction to rotating fluids and the Navier-Stokes equations. [16] Cécile Cottin-Bizonne, Jean-Louis Barrat, Lydéric Bocquet, and Élisabeth Charlaix, Lowfriction flows of liquid at nanopatterned interfaces, Nature materials 2 (2003),

22 [17] Constantine M. Dafermos, Hyperbolic conservation laws in Continuum Physics, Grundlehren Mathematischen Wissenschaften, no. GM 325, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, [18] Raphaël Danchin, Local and global well-posedness results for flows of inhomogeneous viscous fluids, Adv. Differential Equations 9 (2004), no. 3-4, [19], The inviscid limit for density-dependent incompressible fluids, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6) 15 (2006), no. 4, [20] Yasmin Dolak and Christian Schmeiser, The Keller-Segel model with logistic sensitivity function and small diffusivity, SIAM J. Appl. Math. 66 (2005), no. 1, [21] Weinan E, Homogenization of linear and nonlinear transport equations, Comm. Pure Appl. Math. (1992), no. 45, [22] Weinan E and Denis Serre, Correctors for the homogenization of conservation laws with oscillatory forcing terms, Asymptotic Analysis (1992), no. 5, [23] Bjorn Engquist and Weinan E, Large time behavior and homogenization of solutions of twodimensional conservation laws, Comm. Pure Appl. Math (1993), no. 46, [24] E. Frenod and K. Hamdache, Homogenisation of transport kinetic equations with oscillating potentials, Proc. of the Royal Soc. of Edinburgh (1996), no. 126A, [25] Isabelle Gallagher and Laure Saint-Raymond, Mathematical study of the betaplane model : equatorial waves and convergence results, Mémoires de la Société Mathématique de France, à paraître. [26], On the influence of the earth s rotation on geophysical flows, Handbook of Mathematical Fluid Dynamics (Susan Friedlander and Denis Serre, eds.), vol. 4, Elsevier, [27] David Gérard-Varet, Highly rotating fluids in rough domains, J. Math. Pures Appl. (9) 82 (2003), no. 11, [28] Emmanuel Grenier, Oscillatory perturbations of the Navier-Stokes equations, J. Math. Pures Appl. (9) 76 (1997), no. 6, [29] David Gérard-Varet, The Navier wall law at a boundary with random roughness, soumis, [30] Pierre-Louis Lions, Benoît Perthame, and Eitan Tadmor, A kinetic formulation of multidimensional conservation laws and related equations, J. Amer. Math. Soc. (1994), no. 7, [31] Nader Masmoudi, Ekman layers of rotating fluids : the case of general initial data, Comm. Pure Appl. Math. 53 (2000), no. 4, [32] Steven Schochet, Fast singular limits of hyperbolic PDEs, J. Differential Equations 114 (1994), no. 2, [33] Denis Serre, L 1 -stability of nonlinear waves in scalar conservation laws, Evolutionary equations. Vol. I, Handb. Differ. Equ., North-Holland, Amsterdam, 2004, pp

23 10 Annexes Je donne ici la liste des documents joints à ce dossier de candidature. Déclaration de candidature ANTARES/ANTEE datée et signée ; Copie du rapport de soutenance de thèse ; Copie des rapports de pré-soutenance, rédigés par Benoît Perthame et Denis Serre ; Lettres de recommandation de recherche (Pierre-Louis Lions et Laure Saint-Raymond) ; Lettres de recommandation d enseignement (Judith Rousseau, Rabah Tahraoui et Gabriel Turinici). 21