Validation numérique de l homogénéisation pour un modèle simplifié de stockage avec sources aléatoires

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1 Validation numérique de l homogénéisation pour un modèle simplifié de stockage avec sources aléatoires

2 Introduction Modélisation de la migration de radionucléide Vers un modèle probabiliste Calcul des moments Comportement aléatoire des sources : un exemple Définition et calcul des premiers moments Simulations numériques Homogénéisation du modèle aléatoire Présentation générale Résultats théoriques Validation numérique 2

3 Introduction Modélisation de la migration de radionucléide Vers un modèle probabiliste Calcul des moments Comportement aléatoire des sources : un exemple Définition et calcul des premiers moments Simulations numériques Homogénéisation du modèle aléatoire Présentation générale Résultats théoriques Validation numérique 3

4 Introduction modélisation Objectif : Valider (illustrer) les résultats de l homogénéisation Géométrie et équation simplifiées Approche valable (sauf mention contraire) dans des cas plus complexes et plus réalistes Modélisation simplifiée de la migration de radionucléide en milieu poreux ( phase saturée): ω C (. ( ) ) pr div D grad C VC + pr C Q t ω λ = C ω ( ) pr + L C = Q t 4

5 Introduction modélisation Une géométrie 2D simplifiée : Caractéristiques de l I 29 : - Période radioactive de l I 29 : ans 5 x 0-4 relâchement de l' I 29 par module 0 moles/ans temps (ans) 5

6 Introduction modélisation Un exemple de simulation : rupture simultanée de tous les containeurs calculs effectués avec Castem (EFMH) concentration (mol/m 3 ) 6

7 Introduction aspect aléatoire Plusieurs sources d incertitudes : Caractéristiques physiques du milieu Description exhaustive impossible Comportement de relâchement Contenu des colis variable Phénomène d usure/rupture bien modélisé par un contexte aléatoire Prise en compte de l aléa sur la fuite dans la modélisation 7

8 Introduction aspect aléatoire Modèle probabiliste : Aléa sur le terme source : Q(ω) la solution du problème devient aléatoire : C(ω) ( ω ) C ωpr LC( ω) = Qω P t ( ) ( ) ( ) On peut caractériser la solution à travers ses moments 8

9 Introduction Modélisation de la migration de radionucléide Vers un modèle probabiliste Calcul des moments Comportement aléatoire des sources : un exemple Définition et calcul des premiers moments Simulations numériques Homogénéisation du modèle aléatoire Présentation générale Résultats théoriques Validation numérique 9

10 Calcul des moments - un exemple Un cas particulier d aléa sur les sources Une courbe de relâchement typique, avec : Aléa sur le temps de déclenchement Aléa sur la quantité de matière relâchée Indépendance entre tous les aléas Terme source associé à l alvéole i : Q ω, t = α ω f t ω i ( τ ) ( ) ( ) ( ) i i f ( t) Q ( ω,t) α ( ω) τ ( ω) 0

11 Calcul des moments - un exemple Conséquence de la linéarité : la solution C(ω,x,t) de (P) devient une superposition des c i (x,t) solutions de ci ω pr + L ci = B P i i t ( ) f. ( ) N ( ) ω α ( ω) τ ( ω ) C(, x, t) = i ci t i, x i=

12 Calcul des moments La linéarité et l indépendance donnent l espérance et la variance sous la forme: * * N (,, ) = [ αi ] i ( τ i, ) i= E C x t E E c t x N 2 (,, ) = α ( τ, ) 2 [ α ] 2 ( τ, ) 2 Var C x t E E c i i t i x E i E c i t i x i= et si on connaît f τ la densité de probabilité des décalages τ i, par définition: ( τ, ) = (, ) f ( ) E ci t i x ci s x τ t s ds E ci t ( τ, x) 2 = (, ) 2 f ( ) i c s x t s ds i τ 2

13 Calcul des moments De même, la corrélation entre différents temps et points de l espace se calcule ainsi: Avec par définition: ( X, Y ) = E[ X Y ] Cor. ( ( ) ( )) 2,,,,, = α ( τ, ) ( τ, ) 2 2 i i i i 2 i 2 i= i, j i j N Cor C x t C x t E E c t x c t x [ α ] ( ) ( ) i α j i τi, j 2 τ j, 2 + E E E c t x E c t x ( τ, ) ( τ, ) = (, ) (, ) ( ) E ci t i x ci t2 i x2 ci t s x ci t2 s x2 f τ s ds 3

14 Calcul des moments Par définition, la covariance et le coefficient de corrélation se déduisent de l espérance et de la corrélation par : * Cov ( X, Y ) = Cor ( X, Y ) E [ X ] E [ Y ] * ρ (,, ), (,, ) ( C x t C x s ) = 2 = ρ,2 ( ts, ) (,, ), (, 2, ) (,, ) (,, ) ( ) Cov C x t C x s Var C x t Var C x s 2 4

15 Calcul des moments Tous ces moments sont bien déterminés si on fixe E[α] et Var[α] finis et f τ Leur calcul requiert la résolution de N ( =nb de sources ) problèmes similaires gains possibles dans la résolution numérique : - Construction d une discrétisation commune - Préconditionnement des matrices - Résolution des systèmes linéaires 5

16 Calcul des moments - simulation numérique Calcul des moments en tout temps (t,s) et en deux points (x,x 2 ) : [ αi ] [ α ] N = 2 E = Var i = ~400 x f τ x 2 6

17 Calcul des moments moyenne et variance 4.5 x 0-7 moyenne de la concentration au point.6 x 0-4 moyenne de la concentration au point mol/m mol/m temps (ans) temps (ans).8 x 0-5 variance de la concentration au point 2.5 x 0-9 variance de la concentration au point (mol/m 3 ) (mol/m 3 ) temps (ans) temps (ans) 7

18 Calcul des moments covariance 0 0 covariance de la concentration entre le point et le point x 0-6 temps (ans) lié au point temps (ans) lié au point 0 0 covariance de la concentration entre le point 2 et le point x covariance de la concentration entre le point 2 et le point 2 x temps (ans) lié au point temps (ans) lié au point temps (ans) lié au point temps (ans) lié au point

19 Calcul des moments coefficient de corrélation temps (ans) lié au point coefficient de corrélation de la concentration entre le point et le point s t temps (ans) lié au point ρ, ( ts, ) ρ 0 : valeurs non corrélées ou variant dans le même sens temps longs décorrélés des temps courts temps longs corrélés entre eux temps (ans) lié au point2 coefficient de corrélation de la concentration entre le point et le point 2 ρ s ( ts, ) t temps (ans) lié au point 2, temps (ans) lié au point2 coefficient de corrélation de la concentration entre le point 2 et le point 2 ρ s ( ts, ) t temps (ans) lié au point2 2,2 9

20 Introduction Modélisation de la migration de radionucléide Vers un modèle probabiliste Calcul des moments Comportement aléatoire des sources : un exemple Définition et calcul des premiers moments Simulations numériques Homogénéisation du modèle aléatoire Présentation générale Résultats théoriques Validation numérique 20

21 Homogénéisation présentation Difficultés de la simulation numérique : grand domaine (~km) / petits détails (sources ~m) maillage très lourd et calcul coûteux Une solution possible : l homogénéisation construction d un modèle global macroscopique sur un domaine homogénéisé plus simple approche adaptée à l obtention d un modèle champ lointain à partir des renseignements champs proche 2

22 Homogénéisation présentation Eléments de base : Mise en évidence de deux échelles spatiales de taille (micro/macro) Détermination d un petit paramètre ε caractérisant le rapport entre les deux échelles Périodicité sur l échelle microscopique (peut être relaxé) Le problème limite (ε 0) donne le modèle global (macroscopique) 22

23 Homogénéisation présentation Cas du stockage : macro : site de stockage micro : alvéole petit paramètre : ε=/n périodicité horizontale apparition d une source homogène de support singulier dans le modèle global ε Qi t q T B x'/ ε t i γ ε ( ω, ) = ε ( ω, ) x'/ T ε ω processus stationnaire et ergodique 23

24 Homogénéisation résultats théoriques On considère : u ε solution aléatoire du problème détaillé ( ω ) ε u N ( ε ( )) ε ωpr + Lu ω = Qi ( ω) dans G t i= u 0 solution du problème homogénéisé ω u t 0 0 pr + Lu = Q 0. δ Σ dans G ( ) ( ) = ( ) 0 avec 2, Q t ss E q t 24

25 Homogénéisation résultats théoriques On peut montrer que 0 lim u ε u 2 ε 0 L ( 0, ; H ( G )) = 0 p.s. On a donc convergence vers un problème: déterministe avec une géométrie homogène plus simple avec une source homogène spatialement u 0 est une approximation simple à calculer On complète ce résultat avec une estimation du taux de convergence 25

26 Homogénéisation résultats théoriques Sous certaines hypothèses de mélange (+ que ergodicité), on peut montrer l estimation d erreur suivante : ( ( γ ε ε ) ) Eu ε u C + ( ) L 0, T; H G Ceci permet d estimer la qualité de l approximation de u ε faite par u 0 26

27 Homogénéisation validation numérique On a : E T T T ε 0 0 ε 0 ε u u ( ( )) ( u ) dxdt E u u dxdt E ( u ) dd L 2 0, T; L 2 G = + 0 G 0 G 0 G 2 xt. I I I 2 3 ( ) ( ) ( ) Dans le cas où u (, x, t) = α ω i ci t τ i, x, on calcule que : i= N I 2 T T T = g(,) st fτ ( t s) dt ds et I3 = h( s) Fτ ( s) ds N 0 2 [ ] ( ) ( ) h( ) ( ) 2 avec g( s, t) = E α c x, s u x, t dx et s = E αi ci x, s dx i i i= G i= N G 27

28 Homogénéisation validation numérique Mise en œuvre du calcul Etapes Etapes 2 Etapes 3 (boucle) Etapes 4 Construction du maillage commun maillage Résolution de (P 0 ) u 0 (.,.) Calcul de h(s) et g(s,.) h(.) g(.,.) Calcul de I, I 2 et I 3 E u ε u L Résolution du pas s n- às n des (P i ε ) (c i (.,s)) i 28

29 Homogénéisation validation numérique Résultats numériques 2 x E( u ε -u 0 2 ).4.2 E( u ε -u 0 2 ) Nombre de sources (N) epsilon (ε=/n) 29

30 Homogénéisation simulation numérique Réalisation Réalisation 2 Homogène concentration (mol/m 3 ) 30

31 Conclusion Application des techniques d homogénéisation au problème aléatoire Calcul des moments dans un cas particulier Validation numérique de la convergence Perspectives : Résultats numériques du cas 3D Modélisation plus réaliste de l aléa Application au cas non linéaire Convergence en loi 3