Exercices de Mécanique

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1 Eecices de écanique Cinéatique : epèes, bases, tajectoies et ouveents éthode 1. Une base locale (coe la base clindique) est définie : - en un point de l espace («localeent», donc!) - pa appot à tois diections othogonale fies du epèe catésien dans lequel on tavaille. Il fauda donc toujous epésente en peie le epèe catésien (une oigine, tois aes, et qui doivent ête oientés pa une flèche, et les tois vecteu unitaies e, e, e coespondants) avant de dessine la base locale au point. 1 E-1.1 Base locale clindique Recopie les tois schéas suivants. Y faie appaaîte les tois vecteus de la base clindique et les coodonnées clindiques coespondante. Epie, dans cette base locale,le vecteu position, le vecteu vitesse v /R et le vecteu déplaceent éléentaie d. Rép. : cf. p. 3. Reteni : Dès la 1 e péiode PCSI, nous avons absoluent besoin de la base clindique donc : la copende et bien l étudie dès à pésent. e e e e e Vue de dessus e Vue dans le "plan de la pote" E-1.2 Base locale sphéique êes questions qu à l eecice pécédent dans le cas de la base locale sphéique. Rép. : cf. p.3. Reteni : Pou ce qui concene la base sphéique, nous en auons besoin en 2 e péiode, un peu en écanique, beaucoup en Électostatique et agnétostatique. donc : la copende dès à pésent et eveni plus tad de soi-êe si besoin. E-1.3 ouveent ciculaie unifoe : Un «disque vnile 33 t», placé su la platine du tounedisque, effectue un ouveent de otation unifoe à aison de 33 tous pa inute. Calcule : 1) sa vitesse angulaie de otation, sa péiode et sa féquence ; 2) la vitesse et les accéléations (noale, tangentielle et totale) d un point à la péiphéie du disque (aon R = 15 c). 3) êe question pou un point tounant à = 5c du cente du disque. Rép. : 1) ω = 3, 5 ad.s 1 ; f = 0, 55 ; T = 1, 8 s. 2) v = 0, 52.s 1 ; a n = 1, 8.s 2 ; a t = 0 ; a =Èa 2 t + a2 n. 3) v = 0, 17.s 1 ; a n = 0, 6.s 2 ; a t = 0 ; a = a n.

2 Eecices de écanique Conclusion : S il a une chose à eteni de cet eecice, c est que l accéléation d un ouveent unifoe n est pas nulle si la tajectoie n est pas une doite. Auteent dit : Seul le ouveent ectiligne unifoe possède une accéléation nulle. E-1.4 Q.C.. su l accéléation : Pou chacune des questions, indique les popositions eactes : 1) Le vecteu accéléation d un point : a) est égal à la vaiation de la vitesse pa unité de teps ; b) est égal à la déivée pa appot au teps du vecteu vitesse instantanée ; c) possède, losqu on l epie dans une base othonoée, des coodonnées obtenues en déivant les coodonnées coespondantes du vecteu vitesse. 2) Le vecteu accéléation d un point en ouveent ectiligne accéléé est : a) toujous poté pa la tajectoie ; b) de êe sens que le vecteu vitesse ; c) toujous de valeu constante. 3) Le vecteu accéléation d un point se déplaçant su une tajectoie cuviligne est : a) tangent à la tajectoie ; b) diigé ves l intéieu de la tajectoie ; c) nul si la vitesse de est constante. 4) L unité de esue de l accéléation est : a).s 2 b) 2.s 2 c).s 2. Rép. : cf. p.3. E-1.5 Relation vitesse-position : Un obile décit la patie positive de l ae () avec une vitesse de la valeu v(t). La loi de vitesse v(t) est liée à l équation hoaie (t) pa la elation = av 2, avec a une constante positive. Le point atéiel quitte l oigine de l ae à l instant t = 0. Déteine la loi hoaie (t) sachant que (t) est une fonction coissante du teps. Rép. : (t) = t2 4a. E-1.6 Pousuite en e Deu navies se touvent su le êe éidien, A étant au nod de B et à une distance d 0. A se diige ves l est à la vitesse v A et B ves le nod à la vitesse v B. La coubue de la suface teeste est négligée et les vitesses sont constantes. 1) Déteine la distance 0s iniale ente A et B. 2) Quelle diection B doit-il pende pou attape A avec un ouveent ectiligne unifoe? Déteine la duée de la pousuite. va 2 d 0 Rép : 1) d in = d va 2 + ; 2) τ = v2 B ÈvB 2 v2 A E-1.7 ouveent elliptique ( Cf Cous 7) p L équation polaie d une ellipse avec oigine au foe est : = 1 + e cos où p note le paaète et e, l ecenticité de l ellipse. 1) Pou un satellite, P est le péigée et A est l apogée. Déteine les epessions de P et A. q 2) Sachant que le ouveent est tel que 2 A F' C = cste = C, déteine l epession de v su la base ( e, P ). Cette epession sea donnée en fonction de la seule vaiabl. 3) Déteine π v en = 0, 2, π, 3π 2. Repésente, en chacun de ces points, v, e et. En quel point de la tajectoie la vitesse est-elle aiale? iniale? Rép. : 2) sin v = Ce e e cos p p e; 3) v 2 = v 2 + v 2 = C2 p 2 (1 + e2 + 2e cos ). 2 http ://pcsi-unauteegad.ove-blog.co/ qadipcsi@aol.co

3 Eecices de écanique Solution E-1.1 a pou coodonnées (,, ) dans le éféentiel R d oigine et de Base locale ( e,, e ) (base «locale» = base définie en ) : = e + e v /R = ṙ e + + ż e d = d e + d + d e Rque : Une B..N.D. véifie la «ègle des tois doigts de la ain doite» alos véifie-le avec la vôte, de ain doite! e = e e e = e e e = e e Vue de dessus e Vue dans le "plan de la pote" e e e e e e e e e Solution E-1.2 a pou coodonnées (,, ϕ) dans le éféentiel R d oigine et de Base locale ( e,, e ϕ ) (base «locale» = base définie en ) : = e v /R = ṙ e + + sin ϕ e ϕ d = d e + d + sin dϕ e Rque : Une B..N.D. véifie la «ègle des tois doigts de la ain doite» alos véifie-le avec la vôte, de ain doite! e = e ϕ e e ϕ = e eϕ e = e eϕ Vue de dessus Vue dans le "plan de la pote" e e e ϕ e e e eϕ ϕ e e eϕ Solution E b) (la éponse c) n est vaie que losqu on epie l accéléation dans la base catésienne ; elle est fausse si on tavaille dans la base polaie)) ; 2.a) ; 3.b) ; 4.c) E-1.8 Dépasseent d un autoca Su une oute ectiligne, une voitue (1) de longueu l 1 de vitesse v 1 double un autoca de longueu L et de vitesse V. En face aive une voitue (2) de longueu l 2 à la vitesse v 2. Quelle distance iniu D ente l avant de la voitue (1) et l avant de la voitue (2) peet à la voitue (1) de double? A.N. avec l 1 = l 2 = 4, L = 20, v = v 2 = 90 k.h 1 et V = 72 k.h 1. qadipcsi@aol.co http ://pcsi-unauteegad.ove-blog.co/ 3

4 Eecices de écanique E-1.9 Vitesse oenne et vitesse aiale Un autoobiliste pacout une distance d = 1, 25 k su une oute ectiligne. Son ouveent est unifoéent accéléé, puis unifoe, puis unifoéent etadé. L accéléation a est égale en valeu absolue à 0.s 2 ou à 2, 5.s 2 et la vitesse oenne vaut 75 k.h 1. Déteine la vitesse aiale de l autoobiliste. Rép : v a = a.d Ì a.d a.d = 25.s 2v o 2v oœ2 1 = 90 k.h 1 E-1.10 Spiale et base polaie Un point atéiel pacout avec une vitesse de noe constante v la spiale d équation polaie : = a. Epie en fonction d et de v le vecteu vitesse de dans la base polaie. Rép. : v v = ( e ). E-1.11 ouveent hélicoïdal (*) Soit l hélice doite définie en coodonnées clindiques pa les équations : = R et = h et oientée dans le sens coissant (soit h cste>0). L oigine de la tajectoie du point est en = 0. 1) Déteine les équations de l hélice en coodonnées catésiennes. 2) Le point pacout l hélice à une vitesse constante v. a) Déteine les vecteus vitesse et accéléation en fonction de R, h et v. b) onte que l angle α = ( e, v ) est constant. En déduie l hodogaphe du ouveent. 2 p h E-1.12 ouveent ccloïdal (**) Une oue de aon R et de cente C oule sans glisse su l ae () à vitesse angulaie ω constante tout en estant dans le plan (). Soit un point 0 w q e liée à la oue situé su la ciconféence. À l instant t = 0, se touve en 0 ( = 0, = 2R). Les ouveents sont étudiés dans le éféentiel Rassocié au C 0 C epèe (, e, e, e e ). 1) Coent epie la condition «la oue ne e e glisse pas»? I 2) Déteine les coodonnées C et C de C à l instant t. 3) êe question pou. 4) Étudie la tajectoie définie pa le sstèe d équations paaétiques ((), ()) avec = ωt. La tace pou [-4π ; 4π]. 5) Calcule la vitesse v /R du point à l instant t. Epie sa noe v en fonction decos 2. En déduie l hodogaphe du ouveent. 6) Calcule l accéléation a /R du point à l instant t. Epie sa noe en fonction de R et v. Calcule nuéiqueent cette noe de l accéléation dans le cas d un point péiphéique d un pneu de voitue oulant à 130 k.h 1 su une autooute (R = 35 c). 7) Déteine v /R et a /R losque est en contact avec l ae (). 4 http ://pcsi-unauteegad.ove-blog.co/ qadipcsi@aol.co

5 Eecices de écanique Solution E-1.8 Il est nécessaie de faie deu schéas de l ae où, su le peie, on fait appaaîte les positions des tois véhicules au début du dépasseent (l oigine étant l avant de la voitue (1) coïncidant, à t = 0, avec l aièe du bus qu elle dépasse) et où, su le second, on epésente les positions des véhicules à la fin du dépasseent dans la situation la plus citique, la voitue (1) se abattant in eteis. l 1 l 2 v 1 v 2 t=0 D V t=t f En utilisant les popiétés du ouveent ectiligne unifoe, on écit les équations hoaies des difféents points : on note 1 les abscisses elatives à la voitue qui double, 2 celles elatives à la voitue qui aive en face et X celle elatives au bus. n note l indice AV pou l avant d un véhicule et AR pou l aièe de ce véhicule. 1,AV = v 1 t X AV = V t + L 2,AV = v 2 t + D 1,AR = v 1 t l 1 X AR = V t 2,AR = v 2 t + D + l 2 À la date t f de la fin du dépasseent, l accident sea évité si : L + l :t 1 f = 1,AR v 1 V D > v 1 + v 2 v 1 V (L + l 1) = 240 = X AV 1,AV < 2,AV v 1 t f l 1 = V t f + L v 1 t < v 2 t + D 8>< Solution E-1.12 L > 1) Condition de ouleent sans glisseent : C 0 C =öi vt = R v = R Rω. 2) C C = R = Rωt C = R 3) = C + C C = R ( + sin ) = R (ωt + sin ωt) C = R (1 + cos ) = R (1 + cos ωt) 4) () est une fonction péiodique paie de péiode 2π et (+2π) = ()+2πR : il suffit donc d étudie et su [0, 2π]. Le este de la coube se déduisant pa tanslation de 2πR selon () et pa sétie pa appot à si on veut tace ((), ()) su [ 4π, 4π]. n étudie d abod () = R(1 + cos ) () = R sin n pose ɛ = π pou étudie la tangente à la coube au point de paaèt = π. Le cœfficient diecteu de la tangente à la d d = () () coube est : p = d d = d d R sin(π + ɛ) p = R(1 + cos(π + ɛ)) = sin ɛ 1 cos ɛ sin ɛ 2R () 0 πr Donc p( = π) = li ɛ 0 ɛ 2 /2 = 2 ɛ on dit que la coube pésente un point de ebousseent en = π. 1 cos ɛ ɛ 2πR 3πR () : la tangente en = π [2π] est veticale : qadipcsi@aol.co http ://pcsi-unauteegad.ove-blog.co/ 5

6 Eecices de écanique ) v /R = ẋ = Rω (1 + cos ωt) = Rω (1 + cos ) ż Rω sin ωt Rω sin Cl : L hodogaphe du ouveent est donc un cecle de cente (Rω, 0) et de aon v = Rω. De plus : v 2 = ẋ2 + ż 2 = R 2 ω 2.2(1 + cos ωt) = 4R 2 ω 2 cos 2 2 v = 2Rω cos 2 6) a /R = Rω 2 sin ωt = ω 2 R sin Rω 2 cos ωt R cos a /R = ω 2 C Soit : a = ωv = v2 R ; A. N. : a 3, s 2. 7) Pou = π : v /R = 0 et a /R = Rω 2 e. 2 Dnaique newtonienne E-2.1 Cube supeposés Soit tois cubes (1), (2) et (3) posés l un su l aute, l enseble eposant su le sol (S). n note F 1 2 l action de (1) su (2), pa eeple. Calcule : F 1 2, F 3 2 et F S 3. Données : 1 = 100 g ; 2 = 200 g ; 3 = 400 g ; g = 10, 0.s 2. Rép. : F 1 2 = 1 g = 1, 0 N ; F 3 2 = ( ) g = 3, 0 N F S 3 = ( ) g = 7, 0 N. Rq : Les epessions littéales peuvent seble intuitives : ais, ici, on de les établi pa un aisonneent (éléentaie, cetes, ais aisonneent quand êe!) E-2.2 Cœfficient de fotteent Une bille de asse = 120 g tobe dans un fluide. n a enegisté sa vitesse (noe) v en fonction du teps. 1) Quelles sont les difféentes phases du ouveent? 2) Donne une valeu appoiative du teps caactéistique τ de ce ouveent. 3) Quelle est la valeu liite de v (notée v li )? 4) En négligeant la poussée d Achiède et en penant f = k v (k > 0) coe foce de fotteent, établi l équation difféentielle satisfaite pa v. 5) En déduie l epession de v li en fonction de, k et g. 6) Calcule la valeu de k. Rép : 2) τ 0, 4 s (cf. «éthode de la tagente») ; 4/5) cf. Cous ; 6) k 0, 29 kg.s 1 (attention au unités! ; cf. Cous). E-2.3 Pofondeu d un puits Pou esue la pofondeu d un puits, íi laisse tobe une piee du bod du puits et chonoète la duée qui s écoule jusqu au oent où il entend le buit de l ipact de la piee au fond du puits (il a pis soin de place son oeille à hauteu du bod du puits). La duée esuée est t = 2, 6 s. Calcule la pofondeu h du puits. n négligea les fotteents de l ai su la piee et l équation en h sea ésolue nuéiqueent. Données : g = 9, 81.s 2 ; célécité du son dans l ai : c = 340.s 1. (1) (2) (3) (S) 6 http ://pcsi-unauteegad.ove-blog.co/ qadipcsi@aol.co

7 Eecices de écanique Rép : t =Ê2h g + h ; d où : h 31. c E-2.4 Anneau glissant su un cecle Un anneau ponctuel de asse est enfilé su un cecle fie de cente et de aon b placé hoiontaleent dans le plan (). À l instant t = 0, une vitesse initiale v 0 tangente au cecle est couniqué à l anneau qui glisse alos sans fotteent le long du guide. Déteine les coposantes de la éaction R du guide ciculaie su l anneau. E-2.5 Point souis à une foce centale et à une foce de fotteent fluide Un point atéiel de asse se déplace su un plan hoiontal (on suppose la éaction du plan noale au plan). est lancé à pati de 0, de coodonnées catésiennes (0, 0 ) et est souis à la foce F = a et à une foce ésistante f = b v (a et b sont des constantes positives). 1) Établi en coodonnées polaies, les équations difféentielles du ouveent de. 2) Dans le cas où = ω = cste, déteine ω et l epession de en fonction du teps. Rép : 1) Sstèe? éféentiel? bilan des foces? pojete le P.F.D. dans la base clindique ; 2) (t) = 0 ep 2et bt ω =Êa b E-2.6 Chute libe d une tige Une tige ectiligne AB veticale de longueu l = 80 c, lâchée avec une vitesse initiale nulle, tobe en chute libe dans le vide. Elle passe au cous de sa chute pa un tou énagé dans une plaque hoiontale de faible épaisseu. Quand son etéité inféieue A atteint le tou, sa vitesse est v = 5.s 1. 1) À quelle distance h de la plaque se touvait initialeent le point A? 2) Quelle est la vitesse v de la tige losque son etéité supéieue B sot du êe tou? 3) Quelle est la duée T du passage de la tige à taves le tou? Rép : 1) h = 1, 25 ; 2) v = 6, 4.s 1 ; 3) T = 0, 14 s. E-2.7 Point atéiel eliés ente deu essots hoiontau Le éféentiel teeste est supposé galiléen. Un point atéiel de asse est attaché à deu essot (1) et (2) hoiontau de aideus k 1 et k 2, et de longueus à vide l 01 et l 02 eliés à deu points fies A et B distants de (l 01 + l 02 ). Le point glisse sans fotteent le long de l ae () à pati de sa position d équilibe. Il est epéé su cet ae pa son abscisse =. e e e b l 02 l 01 k 2 k 1 1) Justifie la position d équilibe en du point. 2) Établi l équation difféentielle du ouveent de. En déduie la péiode T des oscillations et la aideu k du essot équivalent à cette association. 3) À l instant t = 0, le point atéiel est abandonné sans vitesse initiale du point 0 d abscisse 0. Déteine l équation hoaie du ouveent (t). Rép : 2) T = 2π = ω 0 2π ; 3) (t) = 0 cos(ω 0 t). k 1 + k 2 A (2) (1) g B qadipcsi@aol.co http ://pcsi-unauteegad.ove-blog.co/ 7

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