Feuille 4. Université de Lorraine, Jean-Pierre Croisille, Dong Ye 1

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1 Université de Lorraine, Jean-Pierre Croisille, Dong Ye 1 Université de Lorraine, UFR MIM Master de Matématiques, M-MFA, Equations de la mécanique des fluides Feuille 4 1- Scéma décentré de Courant pour u t + u x = 0 1) Donner la solution exacte du problème de Caucy (P 1) ut + u x = 0 x [0, 1] t 0 (1) ) Exécuter le programme upw1.m. On prendra successivement pour nombre de mailles N = 50, 100, 00, 400,... On observe la solution exacte (pointillés) et l approximation (trait continu) du problème (1) par le scéma de Courant (ou upwind, ou décentré ) + un un 1 = 0 () u n est une approximation de u(, n). La condition initiale est u0 = u 0(). Qu oberve-t-on quand le nombre de mailles augmente? 3) Modifier la condition initiale dans le script initial.m. 4) Remplacer dans le programme dt=0.8*; par dt=0.3*;. Faire des essais avec N = 50, 100, 00, 400,... On observe la dissipation du scéma. 5) Remplacer dans le programme dt=0.8*; par dt=;. Exécuter. Qu observet-on? 6) Remplacer dans le programme dt=0.8*; par dt=c;, avec C = 1.1,C = 1.01, C = Qu observe-t-on? - Scéma décentré de Courant pour l équation u t + a(x, t)u x = 0 Dans le cas d une vitesse positive a(x, t) > 0, le scéma de Courant s écrit + a n u n un 1 = 0 (3) où a n = a(, n). 1) Modifier le programme upw.m (qui devient upw.m) pour qu il puisse discrétiser les problèmes suivants: (P ) ut + xu x = 0 x [0, 1] t 0 (4) et ut + tu (P 3) x = 0 x [0, 1] t 0 Modifier également le calcul de la solution exacte. ) Vérifier numériquement que, pour que le scéma soit stable, le pas de temps doit être coisi t.q. = C max a n, où C [0, 1] est une constante (nombre de Courant). (5)

2 Université de Lorraine, Jean-Pierre Croisille, Dong Ye 3) On considère la fonction u(x, t) = x(1 + x) t, x [0, 1], t 1. Calculer la vitesse a(x, t) telle que u soit solution de l équation de transport à vitesse a, (problème (P4)). Pourquoi peut-on utiliser le programme précédent pour discrétiser le problème de Caucy correspondant? 4) Comparer numériquement la solution exacte et la solution approcée par le scéma de Courant. Essayer plusieurs maillages (N=50, 100, 00,...). 3- Scéma décentré pour u t + f(u) x = 0 1) Un scéma conservatif volumes finis pour la loi de conservation u t + f(u) x = 0 (6) est un scéma de la forme + f +1/ n f 1/ n = 0 (7) où u n est une approximation de la valeur moyenne 1 [x 1/,x +1/ ] u(x, tn )dx. On appelle f+1/ n = Φ(u n, un +1 ), le flux numérique à l interface + 1/. On note a(u) = f (u) et c(u, v) = f(u) f(v) u v. On note aussi c n +1/ = c(un, un +1 ). La généralisation du scéma décentré de Courant à (6) est donnée par le scéma (7) avec si c n +1/ > 0, Φ(un, un +1 ) = f(un ) si c n +1/ < 0, Φ(un, un +1 ) = f(un +1 ) Montrer que le flux numérique Φ(u, v) s écrit sous la forme Φ(u, v) = 1 (f(u) + f(v)) 1 c(u, v) (v u) (8) ) Ecrire un programme upw3.m pour (7). On assemblera le scéma en deux étapes: a) calcul du flux numérique aux interfaces. b) assemblage du scéma par la formule (7) 3) Tester le programme sur les problèmes suivants: ( ) u u t + = 0 x u(x, 0) = u 0 (x) avec la condition initiale u 0 (x) donnée successivement par: u 0 (x) = 1 si x < 1/ et u 0 (x) = 0 si x > 1/ (solution coc) u 0 (x) = 0 si x < 1/ et u 0 (x) = 1 si x > 1/ (solution détente) u 0 (x) donnée par: u 0 (x) = 0 pour x < 0.05 = 1 pour 0.05 < x < 0.5 = (0.79 x)/0.9 pour 0.5 < x < 0.79 = 0 pour 0.79 < x < 1 (9) Donner la solution analytique du problème dans cacun des trois cas. Qu observe-t-on dans le cas? Quelle est la solution faible calculée par le scéma? Afin de corriger le scéma, on effectue une modification de la fonction flux numérique. Une possibilité est de remplacer c +1/ dans (7) par la correction de Harten et Hyman c+1/ si c +1/ ɛ c +1/ = 1 ( (10) c +1/ ε + ε) si c +1/ < ε

3 Université de Lorraine, Jean-Pierre Croisille, Dong Ye 3 avec ε = max(0, a +1 c +1/, c +1/ a ). (On pourra essayer d autres valeurs de ε.) 4) Pour cacun des 3 cas test précédents, calculer E (T ) = u (., T ) u ex (., T ) L avec T = 1, et u la fonction valant u sur la ]x 1/, x +1/ [. On tracera la courbe Log 10 () Log 10 (E (T )) en se basant sur les 4 valeurs obtenues pour = 1/50, 1/100, 1/00, 1/ Equation de conservation du trafic routier On considère le problème suivant qui modélise le trafic routier sur une autoroute. L axe des x représente l autoroute. On suppose que le flux automobile s écoule dans le sens des x > 0. On note ρ(x, t) la densité du trafic (nombre de voitures par unité de longueur) et q(x, t) le flux du trafic (nombre de voitures par unité de temps). L équation de conservation de la densité en ρ(x, t) est ρt + q x = 0 (11) ρ(x, 0) = ρ 0 (x) On modélise ensuite le flux en fonction de ρ ( loi d état ou relation de fermeture ) par q = G(ρ) = cρ(1 ρ ρ 1 ). (1) c est la vitesse moyenne du trafic routier libre (vitesse limite de l autoroute) et ρ 1 est la densité maximum de véicules admise par l autoroute, (ce qui correspond à un embouteillage à l arrêt). 1) On pose u = ρ/ρ 1. Calculer la fonction flux f(u) telle que (11) s écrive ut + f(u) x = 0 (13) u(x, 0) = u 0 (x) ) On suppose que u 0 est C 1 et décroissante. Donner l équation implicite dont u(x, t) est solution. 3) On considère la condition initiale (P4) u 0 (x) = 3/4 x 0 = 3/4 (5/1)x 0 x 1 = 1/3 x 1 Calculer explicitement la solution exacte correspondante a (13). Préciser la nature pysique du problème correspondant. 4) On suppose maintenant que u 0 est strictement croissante sur ]ξ 1, ξ [. Calculer le temps T au delà duquel la solution ne peut plus être C 1. 5) On considère la donnée initiale (P5) u 0 (x) = 1/3 x 0 = 1/3 + (5/1)x 0 x 1 = 3/4 x 1 Calculer T. Calculer explicitement la solution exacte de ce problème, en distinguant t < T et t > T. Quel est l interprétation pysique de ce problème? 6) Résoudre numériqument ce problème par l un des scémas suivants: décentré, Lax-Friedrics, Mac- Cormac. On fera des essais avec différents maillages. NB: On prendra dans les calculs numériques c = Métode MUSCL (Van Leer) u t + f(u) x = 0 La métode MUSCL (pour monotonic upwind sceme for conservation laws) de

4 Université de Lorraine, Jean-Pierre Croisille, Dong Ye 4 Van Leer est une métode d interpolation générique permettant d augmenter la précision tout en empêcant l apparition d oscillations parasites. On part d un scéma conservatif de base de la forme avec au temps t n = n + f n +1/ f n 1/ = 0 (14) f n +1/ = Φ(un, u n +1) (15) où Φ(u, v) est une formule de flux numérique donnée. On considèrera ici le cas où Φ(u, v) est le flux du scéma décentré avec la correction de Harten et Hyman. On remplace (15) par f n +1/ = Φ(un, +1/, un,+ +1/ ) (16) où u +1/, u+ +1/ sont des interpolations affines de u au temps tn provenant des mailles, + 1. En notant +1/ = u +1 u et r = u u 1 u +1 u, ces interpolations sont de la forme u +1/ = u /ϕ(r ) (17) u + +1/ = u /ϕ(1/r +1 ) (18) La fonction ϕ(r) s appelle le limiteur de pente. Elle est destinée à empêcer l apparition d oscillations. Plus précisément, on a u ± +1/ [min(u, u +1 ), max(u, u +1 ] (19) si et seulement si (i) ϕ(r) 0 pour r 0 (ii) ϕ(r) [0, r] pour r [0, 1] (iii) ϕ(r) pour r 1 1) Ecrire un programme muscl.m correspondant au scéma (14), (16). On utilisera le limiteur min-mod défini par ϕ(r) = 0 pour r 0 ϕ(r) = r pour r [0, 1] ϕ(r) = 1 pour r 1 ) Tester le scéma MUSCL sur les cas de l exercice 1. 3) Calculer numériquement que la variation totale de u n, définie au temps n par T V n = u n 1 (0) Tracer la fonction n T V n. 6- Quelques cas-test du type u t + f(u) x = 0 On considère les problèmes suivants (P 6) /) x = 0 x [0, 1] t 0 u(x, 0) = 1 si 0 < x < 1/ u(x, 0) = 1 si 1/ < x < 1 (1)

5 Université de Lorraine, Jean-Pierre Croisille, Dong Ye 5 (P 7) /) x = 0 x [0, 1] t 0 u(x, 0) = 1 si 0 < x < 1/ u(x, 0) = 1 si 1/ < x < 1 () u (P 8) ) x = 0 x ] 1; [ t 0 u(x, 0) = 0 si 1 < x < 0 u(x, 0) = x si 0 < x < 1 u(x, 0) = 1 si 1 < x < (3) Il s agit du problème du trafic routier (13) avec une autre condition initiale. (P 9) 3 /3) x = 0 x ] 3; 3[ t 0 (4) u(x, 0) = x si 3 < x < 3 Pour cacun de ces cas, 1) Calculer les caractéristiques issues de ξ R. Les essiner les à l aide de matlab pour plusieurs valeurs de ξ. Observer en particulier les lieux où elles se coupent et en déduire (euristiquement) si des cocs sont susceptibles d apparaître. ) Calculer la solution faible admissible (entropique) u(x, t). Ecrire un programme qui représente cette solution. 3) Résoudre numériquement par les scémas décentrés, Lax-Wendroff, Lax-Friedrics, Mac-Cormac, Muscl. 4) Représenter sur un même grapique la solution numérique à des instants différents. 5) Représenter sur un même grapique la solution au même instant mais sur des maillages différents. (On pourra prendre 50, 100, 00, 400, 800 mailles). 6) Tracer la courbe Log() Log(E (t)), (cf exercice ). 7) Question libre. Voici des tèmes possibles: - autre loi de conservation. exemple: f(u) = u (1 u ). - test numérique pour savoir si les solutions calculées numériquement sont entropiques ou non. - terme source dans l équation de Burger - application des scémas précédents pour le p-système de la dynamique des gaz.