Eléments de réponse du TD 3 Estimation par intervalle

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1 Uiversité Paris1, Licece , Mme Pradel : corrigé TD3 1 Exercice 1 Elémets de répose du TD 3 Estimatio par itervalle 1. Modèle: SoitXidicatricede favorableà A, et p la proportio d électeurs favorables à A parmi les électeurs. Le ombre d électeurs iterrogés état très petit devat la taille de la populatio, o peut cosidérer que les variables tirées sot idépedates, comme si le tirage avait été fait avec remise. Le modèle que ous utilisos est doc : X 1,...,X i.i.d.b (1,p)(-échatillo d ue loi de Beroulli de paramètre p). La statistique utilisée est le pourcetage observé d électeurs favorables à A parmi les iterrogés. F = 1 X i N i=1 p, U = F p N (0; 1) P {U 1.645} =0.95 O e déduit pour F que P F p =0.95 P F p P p F = 0.95 = 0.95 Remarque : ous désiros u itervalle uilatéral de la forme p A (F ). Nous calculos doc u itervalle de probabilité uilatéral égalemet. Nous savos que A (F ) est croissate, et que p A (F ) A 1 (p) F. C est pourquoi ous avos calculé pourf u itervalle de probabilité 0.95, de la forme uilatérale F b (p). F (a) calcul approché: P p F (1 F ) (b) calcul sécuritaire P p F (c) calcul exact par résolutio aalytique de l iéquatio F p Note : ce calcul est pas au programme. Je le doe pour satisfaire la curiosité deceuxquiseraiet itéressés par le problème. F p 0 F p ou F p 0et (F p) (F p) [1.645]2 2 F 2 2pF + p 2 [1.645]2 2 g (p) = p 2 2F + [1.645]2 p + F 2 0 p 1 (F ) p p 2 (F )où p 1 (F )etp 2 (F )sotlesraciesdel équatio du secod degré g (p) =0 O vérifie facilemet que le discrimiat de cette équatio est 2 = 2F + [1.645] [1.645]2 F 2 = [1.645]2 [1.645] 2 +4F (1 F ) 0 : les deux racies sot réelles.

2 Uiversité Paris1, Licece , Mme Pradel : corrigé TD3 2 De plus, g (F )= 1+ [1.645]2 F 2 2F + [1.645]2 F + F 2 = [1.645]2 F (F 1) 0etraîe que F est etre les racies. La coditio sur p deviet doc F p F p ou p 1 (F ) p F p 1 (F ) p Nous avos doc P {p p 1 (F )} =0.95, pour tout p tel que p (1 p) 5, c est-à-dire, pour = 100 : (p 0.5) , ou ecore p Tableau des résultats umériques pour les différetes valeurs de, avec l observatio de f =0.52. cofiace 95% cofiace 95% cofiace = 95% = % % % = % % % = % % % Nous costatos que lorsque augmete, le calcul approché estaussiboquelecalculexact. Lefaitquele calcul sécuritaire doe la même valeur que le calcul exact est, lui, du qu au fait que la fréquece observée est proche de Preat l itervalle calculé avec =0.25, o doit résoudre l iégalité F Cela coduit à = La proportio observée de 52% de favorables pourrait doc coduire A à accorder ue cofiace de 95% au fait d être élu si cette proportio était observée sur au mois 1691 électeurs. Exercice 2 1. Modèle : X 1,..., X i.i.d.n m, (15) 2.. Propriété :six 1,..., X i.i.d.n m, (15) 2 i=1,alorsx = Xi N m; σ2 et doc U = X m σ/ N (0; 1) U itervalle bilatéral de cofiace 98% correspod à ue probabilité 1% dechaquecôté. Lecture das la table de la loi N (0.1) : P {U 2.326} =0.99 O e déduit que : P { U 2.326} =0.98, et e résolvat les iégalités e m,oobtiet: P X m X =0.98 Applicatio umérique : =20, x = 120Euros = m Euros. 2. La logueur de l itervalle de cofiace 98% est égale à Pour que cette logueur soit iférieure ou égale à 10 Euros, il faut que , c est àdire =48.7. Il faudrait doc examier au mois 49 dossiers pour que la logueur de l itervalle de cofiace 98% soit iférieure à10euros. 3. Si l écart-type est pas cou, o e peut utiliser la loi ormale. Propriété utilisée : soiet X 1,..., X i.i.d.n m, σ 2, X = i=1 Xi et S 2 = i=1(x i X) 2 1.

3 Uiversité Paris1, Licece , Mme Pradel : corrigé TD3 3 Alors : Z = X m Loi de STUDENT ( 1) S 2 / Lecture das la table de la loi STUDENT (20 1) : P { Z 2.540} =0.98 O e déduit : P X m =0.98 S 2 / et doc : P X S m X S =0.98 avec x = 120 et S = 15, o obtiet : m Euros. REMARQUE - Il est pas questio d écrire la probabilité que m soit compris etre et : il y a plus rie d aléatoire das l iégalité : ue fois l observatio faite, l évéemet correspodat est soit réalisé, soit o réalisé. Exercice 3 Le modèle statistique est : (Y 1,...,Y 36 ) i.i.d.n (m;6.25) Rappel : c est la variace qui est le paramètre das la otatio N m; σ Itervalle de cofiace à 95% pour m :.Y N m; 6.25 etlatabledelaloin (0.1) doe P { U 1.960} =0.95. O e déduit que Y m P = /36 P Y m Y = P Y m Y = Applicatio umérique : pour y =11.26, l itervalle de cofiace à 95% est m O suppose que Y Fred N (m;6.25) idépedammet de (Y 1,..., Y 36 ).La meilleure prévisio de Y Fred serait m si o le coaissait, mais puisque m est icou, la meilleure prévisio de Y Fred est doc égale au meilleur estimateur de m. L erreur de prévisio est Y Fred Y E Y Fred Y = m m =0 V Y Fred Y = V (Y Fred )+V Y 2cov Y Fred, Y = Y Fred Y N [0; 6.25 (1 + 1/36)] de la lecture de la table de la loi Normale cetrée réduite, ous doat P { U 2.326} =0.98, o tire : Y Fred Y P = (1 + 1/36) d où : P Y (1 + 1/36) Y Fred Y (1 + 1/36) =0.98 l itervalle de prévisio à 98% pour Y Fred est doc :Y Y Fred Y Les valeurs umériques correspodat aux observatios faites e 1999 sot pour y = et coduiset à l itervalle : Y Fred L écart est plus grad que pour m, puisqu il doit aussi teir compte de la variace de Y Fred.

4 Uiversité Paris1, Licece , Mme Pradel : corrigé TD3 4 Exercice 4 Modèle : X 1,X 2,..., X i.i.d.loi.expoetielle, de desité f(x; ) = 1 e x/ si x>0,et0six E (X) =, et V (X) = 2 L estimateur du maximum de vraisemblace de est la moyee empirique de l échatillo (voir le TD 1). Quelle que soit la loi commue de X 1,X 2,..., X idépedates, d espérace m et de variace σ 2 o sait (o doit savoir) que la moyee empirique de l échatillo vérifie : E X = E (X) =m V X et lorsque la taille de l échatillo deviet grade : X m loi N 0; σ 2 = V (X) = σ2 Si ous appliquos ces propriétés àotreéchatillo de loi expoetielle, ous obteos : X loi N 0; 2 et si ous cosidéros que est assez grad, alors la loi approchée de X est X #N 0; 2 ou ecore : U = X #N ; 2 X #N (0; 1) Nous devos maiteat calculer, pour chaque valeur de, ue bore a () telle que P X >a() =0.95. Or P X >a() = P X > (a () ) = P U> (a () ), où U N (0; 1) Lecturedetable:P (U 1.645) = O e déduit que P (U > 1.645) = 0.95 (a () ) = a () = = Nous avos doc obteu P X > = E résolvat l iégalité efoctiode, ous obteos la bore supérieure de cofiace à 95% : P < X = Applicatio umérique, pour l observatio de x = 24 semaies, la bore supérieure de à 95% est < 34.3 semaies

5 Uiversité Paris1, Licece , Mme Pradel : corrigé TD Facultatif. (a) Nous calculos pour commecer la probabilité pour que la durée d observatio écessaire pour pouvoir calculer cette moyee dépasse 104 semaies (2 as d observatio..) La durée de l observatio est e fait égale au maximum des durées de chômage Max(X 1,..., X ) Sa loi est obteue e remarquat l équivalece des deux évéemets suivats : {Max(X 1,..., X ) <a} {X 1 < a,..., X <a} Nous avos doc P {Max(X 1,...,X ) 104} =1 P {Max(X 1,..., X ) < 104} =1 P {X 1 < 104,..., X < 104} Or les X i sot idépedates et de même loi. Pour chacue d elles : P {X i < 104} = e x/ dx = 0 P {Max(X 1,..., X ) 104} = 1 1 e 104/ e x/ =1 e 104/ Pour =24et =, ous avos P {X i < 104} =1 e 104/24 = ,et P {Max(X 1,..., X ) 104} = 1 ( ) = P {Max(X 1,..., X ) 104} =0.327 Il y a doc eviro 1 chace sur 3 pour que l observatio dure plus de 2 as si ous voulos calculer la moyee des durées. (b) Nous pesos à utiliser comme statistique la durée miimum de chômage observée au lieu de la moyee des durées de chômage.soit Z = Mi(X 1,..., X ). Nous avos l équivalece des deux évéemets Mi(X 1,..., X ) a et {X 1 a,..., X a}. Nous e déduisos que P {Mi(X 1,..., X ) a} = P {X 1 a}... P {X a} = e a/... e a/ P {Mi(X 1,..., X ) a} = e a/ Pour P {Mi(X 1,..., X ) a} =0.95, ous obteos : e a/ =0.95, et a = l (0.95) = a = et doc : P Mi(X 1,..., X ) = 0.95 P Mi(X 1,..., X ) = 0.95 La bore supérieuredecofiace 0.95 fodée sur Mi(X 1,..., X ) est doc P { Mi(X 1,...,X )} =0.95 L observatio d ue durée miimum de 1 jour, c est-à-dire de 1 7 semaie coduit à = semaies 7 Le reseigemet aisi obteu est évidemmet mois précis que celui fodé sur la moyee des durées, car il perd toute l iformatio coteue das l observatio des 29 autres durées supérieures àlapluscourtedes durées. Ue solutio plus satisfaisate serait obteue e fodat le calcul sur les 4 ou 5 premières durées par exemple.

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