Miroirs sphériques Dioptres sphériques. 1 Miroirs sphériques. 1.1 Introduction : focaliser la lumière. 1.2 Miroir concaves faisceau parallèle

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1 Mrors spérques Doptres spérques Nous allons mantenant aborder des systèmes optques un peu plus complexes, couramment utlsés pour produre des mages. Nous allons commencer par étuder un mror spérque de façon rgoureuse, sans fare d approxmaton, mas assez rapdement nous serons amenés à restrendre les rayons ncdents à ceux possédant certanes caractérstques. Nous défnrons alors les condtons de Gauss et nous nous placerons dans le cadre de l optque paraxale (nous défnrons ces termes plus lon). Mrors spérques. Introducton : focalser la lumère Nous avons mentonné plus aut que dans les dspostfs focalsants, un ensemble de mrors plans peut être remplacé par un mror courbe. La forme optmale pour focalser des rayons parallèles en un pont est la parabole (c est la forme des antennes qu permettent de capter les sgnaux TV éms par les satelltes). Toutefos, l est beaucoup plus smple en pratque, et mons onéreux, de fabrquer des mrors spérques, qu permettent fnalement d arrver au même résultat, comme nous allons le vor dans ce captre. Un mror spérque est une surface réflécssante consttuée d une porton de spère. On en rencontre deux types, les mrors concaves pour lesquels la réflexon a leu sur l ntéreur de la spère, et les mrors convexes pour lesquels la réflexon a leu sur l extéreur de la spère. es mrors présentent un ntérêt partculer, car la spère est une surface relatvement facle à usner avec précson.. Mror concaves fasceau parallèle On consdère un mror spérque de centre et de rayon R, et on consdère pour commencer un ensemble de rayons ncdents parallèles. La fgure suvante ndque la marce d un de ces rayons. Par symétre, tous les rayons ncdents correspondant à la même dstance (ls sont réparts sur un cylndre) sont réflécs vers le même pont sur l axe. alculons la poston de ce pont. La normale au mror est confondue avec le rayon, c est une proprété des spères. D après la lo de la réflexon, les angles M et M sont égaux, s ben que On veut c parler du rayon de la spère. Pour évter toute confuson entre la noton de rayon lumneux et celle de rayon de la spère, nous utlserons plutôt le terme «normale» dans le second cas. 3

2 4 aptre. Mrors spérques Doptres spérques Fg..: Un exemple de réflexon sur un mror spérque. N M Fg..: Marce d un rayon ncdent, avant et après réflexon sur un mror spérque convexe. le trangle M est socèle en. Dans le trangle B, on vot mmédatement que = R cos La poston du pont dépend donc des rayons consdérés, de l angle, ou de façon équvalente de la auteur. Le système ne fat pas converger l ensemble de rayons parallèles vers un pont ben défn. Il n est pas stgmatque. ependant, lorsque l on consdère des rayons lumneux proces de l axe optque, l angle est fable et on a cos sot R De manère plus précse, on peut utlser les développements lmtés et écrre, lorsque est pett, On obtent alors, à l ordre en, cos x x! + x4 4!... R ( /) = R / R + R 4 Lorsque l on consdère des rayons lumneux proces de l axe optque, l angle est fable et les rayons parallèles convergent tous vers un unque pont F, qu consttue par défnton le foyer mage F = R

3 . Mrors spérques 5 F Fg..3: marce des rayons réflécs et leurs prolongements (à drote, zoom sur les rayons d nclnason relatvement fable). Mettre une poto de caustque vue dans une tasse de café ou une allance dorée + même fgure pour le mror convexe. On peut donc utlser un mror spérque pour concentrer la lumère d un fasceau parallèle en un pont, pourvu qu on ne l utlse qu au vosnage de l axe optque. On peut pour cela utlser des dapragmes, qu permettent de bloquer les rayons ndésrables. De la même façon, en utlsant la lo du retour nverse, on trouve que les rayons ssus du pont F sont réflécs en un fasceau parallèle par le mror. ette proprété défnt le foyer objet, qu on note généralement F. Dans le cas du mror spérque convexe, le foyer objet et le foyer mage sont confondus, F = F..3 Mror concave fasceau parallèle nclné onsdérons mantenant un fasceau consttué de rayons venant de deux drectons dfférentes (on étendra faclement les résultats à un cas encore plus général). On rajoute pour cela aux rayons précédents d autres rayons, nclnés d un angle α. En traçant un nouvel axe, nclné d un angle α par rapport au premer et passant par, on se retrouve exactement dans la stuaton précédente, et l on sat que ces rayons nclnés vont converger en un pont F stué au mleu du rayon correspondant, pourvu qu ls soent assez proces de l axe. F F! Les coordonnées de ce pont F s écrvent, dans un repère d orgne, x = R cos α et y = R sn α Lorsque les rayons sont peu nclnés par rapport à l axe optque, l angle α est pett et on peut remplacer les fonctons trgonométrques par leur développement lmté au premer ordre en α, c est-à-dre x R et y R α

4 6 aptre. Mrors spérques Doptres spérques Les rayons vont donc converger sur le plan d équaton x = R/. e plan, perpendculare à l axe optque et passant par le foyer mage, est appelé plan focal mage. On défnt de même le plan focal objet. es deux plans sont confondus dans le cas du mror spérque. La talle de l mage dans le plan focal est donnée par : B = f α = Rα Par exemple, la planète Jupter (α rad) vue à travers le mror du télescope Hubble (R 60 m) donne dans le plan focal une mage de 9 mm de aut. (.).4 Mror convexes M H Fg..4: Notatons utlsées dans le cas du mror convexe. On peut reprendre l ensemble de ce qu précède, dans le cas d un mror convexe. En se basant sur la fgure précédente, on trouve de nouveau que = R cos La dstance est la même, mas le pont se trouve mantenant à gauce de, alors qu l état à drote de dans le cas du mror concave. Grâce aux dstances algébrques, on peut dfférencer entre les deux types de mror d après le sgne de. Un mror est concave s > 0 et convexe s < 0. On peut syntétser les deux résultats précédents sous une forme unque = cos On a donc dans les deux cas, pour la poston du foyer mage, F = Dans le cas du mror convexe, l mage formée par des rayons ncdents parallèle est vrtuelle, et stuée derrère le mror..5 Les condtons de Gauss et l optque paraxale Les deux condtons que nous avons nvoquées, rayons proces d un même axe et peu nclnés par rapport à cet axe sont appelées condtons de Gauss, et cet axe est appelé axe optque. Les rayons vérfant les condtons de Gauss sont appelés rayons paraxaux.

5 . Mrors spérques 7 Une grande parte snon la totalté de l optque géométrque que vous étuderez cette année se place dans le cadre de ces condtons. On peut trouver agaçant de commencer un cours en se fasant des smplfcatons drastques, et douter que l on obtendra ans quo que ce sot d utle. tel est le cas, c est une grosse erreur! L optque paraxale est adaptée à un grand nombre de stuatons pratques, et permet de comprendre le fonctonnement et les proprétés de la plupart des nstruments d optque. De plus, nous connassons exactement les termes que nous avons néglgés, ls sont d ordre en et en α. Il est toujours possble de les prendre en compte pour calculer les dévatons qu ls donnent par rapport au cas paraxal. Dans le cadre de cette approxmaton, on peut auss consdérer que l ensemble du mror est contenu dans un plan contenant le sommet. On représente alors les mrors comme des plans aux bords arronds, ndquant s le mror est convexe ou concave. e n est qu une notaton, et l ne faut pas applquer les los de la réflexon sur un mror plan, mas les règles de constructon géométrques énoncées plus aut. Dans ce qu sut, on va s appuyer sur une proprété très mportante des systèmes optques : Dans les condtons de Gauss, les systèmes optques possédant la symétre de révoluton sont approxmatvement stgmatques. est le cas notamment des mrors spérques consdérés dans ce captre..6 Objet à dstance fne constructon géométrque des rayons En utlsant la proprété de stgmatsme approcé, on peut construre les rayons de façon purement géométrque. On peut se contenter pour cela d utlser deux des tros proprétés suvantes : Les rayons passant par le centre du mror ne sont pas dévés ; Les rayons arrvant parallèles à l axe optque convergent vers le foyer mage ; les rayons ssus du foyer objet repartent parallèles à l axe optque. Pour tout pont objet, on construt deux de ces rayons et on en dédut la poston de l mage. On en dédut B () (3) () F B B B F Fg..5: onstructon géométrque des rayons dans le cas d un mror concave et d un mror convexe. la plupart des proprétés qu suvent. Dans les cas représentés c, l mage est réelle et nversée pour le mror concave, mas vrtuelle et drote pour le mror convexe. e n est pas toujours le cas. Pour le mror concave, on peut dstnguer deux cas. Quand l objet est stué avant le foyer, son mage est réelle, l objet et l mage étant stués de part et d autre du centre. Quand l objet est stué après le foyer, son mage est vrtuelle et stuée derrère le mror. Pour le mror convexe, on dstngue auss deux cas. Quand l objet est stué avant le foyer, son mage est réelle, l objet et l mage étant stués de part et d autre du centre. Quand l objet est stué après le foyer, son

6 8 aptre. Mrors spérques Doptres spérques F F Fg..6: l objet est avant le foyer (fgure de gauce), l mage est réelle et nversée. l objet est entre le foyer et le sommet, l mage est vrtuelle, drote, et stuée derrère l mage. mage est vrtuelle et stuée derrère le mror. F F Fg..7: l objet est avant le sommet (fgure de gauce), l mage est vrtuelle et stuée entre le sommet et le foyer. l objet est vrtuel et stué entre le sommet et le foyer, (toujours fgure de gauce, où cette fos c est qu joue le rôle d objet), l mage est réelle, et stuée avant le sommet. l objet est vrtuel et derrère le foyer (fgure de drote) sommet, l mage est auss vrtuelle, nversée, et stuée derrère le foyer. ce stade, l est fortement recommandé de se munr d une cullère..7 Expérence smple Rep. 6 e regarder dans une cullère à soupe, du côté concave et du côté convexe, et commenter..8 Relaton de conjugason avec orgne au sommet onsdérons un ensemble de rayons lumneux ssus d un pont stué sur l axe optque, à une dstance fne. On se place drectement dans les condtons de Gauss. On a alors = tan(θ ) = tan(θ + ) = tan θ (.) Dans les condtons de Gauss, on peut assmler les tangentes à leurs arguments, et = (θ ) = (θ + ) = θ (.3)

7 . Mrors spérques 9 Fg..8: gauce, une cullère permet de former une mage d un objet lontan. drote, une grosse cullère, le mror du télescope spatal Hubble.!-!+ Fg..9: notatons utlsées dans le calcul de la relaton de conjugason En élmnant des deux premères équatons, on arrve à θ = θ + (.4) ce qu s écrt fnalement, en utlsant la dernère équaton de.3 sous la forme θ = /, + = On s aperçot, et l s agt là d une étape crucale dans le calcul, que l on peut smplfer par. ette remarque d ordre matématque exprme en fat la condton de stgmatsme : la varable qu décrt le rayon que l on a consdéré dsparaît du calcul, s ben que tous les rayons ssus de vont converger vers le même pont (dans les condtons de Gauss). On a donc + = (.6) Dans le cas que nous avons consdéré, les ponts, et sont tous les tros stués à gauce de, s ben que =, = et =. On obtent la relaton de conjugason avec orgne au sommet (.5) + = = f (.7) l on avat consdéré une stuaton géométrquement dfférente, dans laquelle le pont est à drote de, un calcul smlare montre que l on obtent la même relaton de conjugason. elle-c est donc valable de façon générale.

8 30 aptre. Mrors spérques Doptres spérques Remarques : pour =, on a =, le centre du mror est sa propre mage (l y a d alleurs stgmatsme rgoureux dans ce cas) ; cette relaton est nvarante par écange de et. est l mage de, alors est l mage de. l objet est renvoyé à l nfn, / 0 et = /=F s ben que l mage est stuée au foyer. On retrouve donc ben les résultats précédents (le contrare aurat été nquétant). La formule de conjugason permet de calculer la poston de l mage en foncton de celle de l objet. pplcaton bête : consdérons un objet stué à 30 cm avant le sommet d un mror de 0 cm de rayon de courbure. On a donc = 30 cm. alculons la poston de l mage pour caque type de mror. Pour un mror concave, on a = 0 cm et donc, en applquant la formule de conjugason, = = 0 cm + 30 cm = 6 cm (.8) on a donc = 6 cm, l mage se trouve à 6 cm devant le sommet. Pour un mror convexe, on a = +0 cm et un calcul smlare donne = (30/7) cm 4, 9 cm, l mage est stuée à envron 4,9 cm en arrère du sommet. La fgure?? représente la poston de l mage en foncton de celle de l objet. O ' F 3 F ' 3 3 F ' Fg..0: Relatons de conjugason d un mror concave avec orgne au sommet.

9 . Mrors spérques 3 ' F O 3 ' F 3 ' F 3 Fg..: Relatons de conjugason d un mror convexe avec orgne au sommet..9 Relaton de conjugason avec orgne au centre Il exste une relaton analogue, dans laquelle la poston des ponts est repérée par rapport au centre au leu du sommet. On pourrat la démontrer en remplaçant dans la précédente par +. On peut auss démontrer la relaton précédente en retardant le plus possble le moment de se placer dans les condtons de Gauss, en se basant sur des proprétés géométrques. On utlse pour cela la relaton fondamentale des trangles sn B = sn B = sn B (.9) où les quanttés Â, ˆB et Ĉ représentent les angles ayant pour sommet le pont correspondant. Nous allons utlser cette relaton pour retrouver la formule de conjugason. La prncpale dffculté vent du fat que la relaton.9 fat ntervenr des dstances, alors que la formule fnale fat ntervenr des dstances algébrques. Le passage de l un à l autre n est pas complqué, mas l fat ntervenr pluseurs cas, selon que le mror est convexe ou concave, et selon que le pont est à drote ou à gauce du centre. Nous allons nous concentrer sur un seul cas, celu d un mror convexe ( > 0) et du pont stué avant ( < 0).

10 3 aptre. Mrors spérques Doptres spérques B ^B ^ Â Fg..: Défnton des notatons Â, ˆB et Ĉ ntervenant dans la relaton fondamentale des trangles. Dans la fgure.9, les relatons.9 applquées au trangle M ndquent que sn(θ ) R = sn() Or, nous consdérons la stuaton où = et R =, s ben que De même, dans le trangle M, on a sn(θ ) = sn() (.0) sn(θ + ) R = sn() sot sn(θ + ) = sn() (.) pusque cette fos le pont se trouve nécessarement à drote de, s ben que =. En développant les snus selon sn(θ + ) =snθ cos + cos θ sn (.) les équatons.0 et. se réécrvent, après smplfcaton par sn, sn θ cotan En soustrayant ces deux équatons, on arrve fnalement à cos θ = et sn θ cotan + cos θ = + = cos θ Dans les condtons de Gauss, on peut consdérer que cos θ, ce qu donne la relaton de conjugason avec orgne au centre + = On peut reprendre la même démarce dans le cas où le pont est stué à drote de, et dans le cas du mror convexe. On retrouve alors la même relaton de conjugason. Retour sur l applcaton bête : On reprend le même cas que dans le paragrape précédent, l objet est stué à 30 cm devant le sommet d un mror de 0 cm de rayon de courbure. Pour un mror concave, = 0 cm et l objet est à = + = 0 cm. En applquant la formule de conjugason, = = 0 cm + 0 cm = 4 cm (.3)

11 . Mrors spérques 33 M!-!!+ on a donc = 4 cm, l mage se trouve à 4 cm derrère le centre. Pour un mror convexe, un calcul smlare donne pour = 0 cm et = + = 40 cm la valeur = (40/7) cm 5, 7 cm, l mage est stuée à envron 5,7 cm en avant du centre. es deux résultats correspondent ben à ceux que l on avat obtenus avec la formule de conjugason avec orgne au sommet..0 Relatons de conjugason avec orgne au foyer Des manpulatons géométrques dans les trangles dessnés dans la fgure.5 condusent à d autres relatons utles. On a B F B H B F B H Fg..3: Relaton de conjugason avec orgne au foyer. B H = = F F e qu donne la relaton de conjugason avec orgne au foyer et B H = = F F (.4) F F = f (.5) On l appelle auss formule de Newton. On remarque que F et F sont nécessarement de même sgne, ce qu sgnfe que l objet et l mage sont toujours du même côté de F (tous les deux à drote ou tous les deux à gauce). Retour sur l applcaton bête : On reprend le même cas que dans le paragrape précédent, l objet est stué à 30 cm devant le sommet d un mror de 0 cm de rayon de courbure. On a donc f = 5 cm. Pour le mror

12 34 aptre. Mrors spérques Doptres spérques F' f F -4 Fg..4: Relaton entre F et F. concave, on a F = F + = 5 cm. En applquant la formule de conjugason, F = f F (5 cm) = = cm (.6) 5 cm l mage se trouve à cm devant le foyer. Pour un mror convexe, un calcul smlare donne pour F = F+ = 35 cm la valeur F = (5/7) cm 0, 7 cm, l mage est stuée à envron 0,7 cm en avant du foyer. es deux résultats correspondent ben à ceux que l on avat obtenus avec la formule de conjugason avec orgne au sommet pus celle avec orgne au centre.. Grandssement transversal Le grandssement transversal est défn comme le rapport entre la talle de l mage et celle de l objet. D après les fgures, on a ce qu, en utlsant les formules de conjugason, donne γ t B B = (.7) γ t = / = / + (.8) Le grandssement est représenté en foncton de sur les fgures.0 et. pour les deux types de mrors spérques.. utres relatons D autre part, on a α H/ et α H/, s ben que α = α. En utlsant la relaton de conjugason, Invarant de Lagrange-Helmoltz α B = α B (.9)

13 . Doptres spérques 35 B H!! B Fg..5: Invarant de Lagrange-Helmoltz. Doptres spérques Nous allons reprendre rapdement l étude précédente dans le cas de la réfracton par un doptre spérque, séparant deux mleux d ndces dfférents. Nous n allons pas y passer trop de temps, en nous concentrant sur les aspects qu seront les plus utles dans la sute, quand nous étuderons les lentlles consttuées de l assocaton de deux doptres réfractants. Fg..6: gauce, mage d une composton florale vue à travers une boule de verre (ttp ://www.wlsonurst.com/blog/006/0/refracton.pp). drote, mage de syntèse (POV- Ray).. tgmatsme approcé. Formule de conjugason avec orgne au sommet Dans la fgure précédente, on a HM = Htan(θ ) =H tan(θ )=H tan θ (.0)

14 36 aptre. Mrors spérques Doptres spérques F Fg..7: marce des rayons réfractés et leurs prolongements, dans les dfférents cas de concavté et pour n >n et n >n. M!-!-! H Dans les condtons de Gauss, le pont H est confondu avec le pont et les angles sont petts. On a donc, en notant M comme dans le cas des mrors, ou encore = θ = et = θ = La lo de nell-descartes n = n se réécrt donc n = n = (θ ) = (θ )=θ (.) (.) (.3) On peut smplfer cette équaton par, ce qu tradut la proprété de stgmatsme approcé : le résultat ne dépend pas du rayon lumneux partculer que l on consdère, tant que l on est dans les condtons de Gauss. On arrve donc à n n = n n (.4) Dans la stuaton représentée sur la fgure précédente, on peut remplacer les dstances par des dstances algébrques, =, = et =, ce qu donne n n = n n (.5) Il se trouve que cette expresson est encore valable dans toutes les confguratons, quels que soent les sgnes de, et.

15 . Doptres spérques 37.3 Dscusson On en dédut pluseurs coses : Quand ou quand +, les rayons ncdents sont parallèles, et l mage se forme au foyer, F, F = n n (.6) n Quand +, ou quand, les rayons réflécs sont parallèles, ce qu sgnfe qu ls ont été éms par le foyer objet, sot F. F = n (.7) n n Les deux foyers ne sont plus confondus, contrarement au cas des mrors spérques. Quand, on retrouve la relaton du doptre plan, =(n /n)..4 Formule de conjugason avec orgne au centre On peut reprendre la démarce suve dans le cas des mrors, en se basant sur la fgure suvante. On trouve,!-!-! M en se basant sur le trangle M, que sn(θ ) R = sn( ) On trouve une relaton smlare dans le trangle M, sot sn(θ ) = sn( ) sn(θ ) = sn() Nous allons nous placer dès mantenant dans les condtons de Gauss, car les calculs exacts peuvent vte devenr lourds. On a alors θ = et θ = sot + = θ et + = θ

16 38 aptre. Mrors spérques Doptres spérques ce qu s écrt auss + = + Or les angles et sont relés par la lo de nell-descartes, et donc dans les condtons de Gauss, on peut remplacer par n/n, ce qu condut à n + = n + On peut smplfer par. omme dans le cas du mror, cette étape est crucale, elle tradut la proprété de stgmatsme, car la relaton obtenue ne dépend plus du rayon lumneux consdéré. On obtent alors, après réarrangement, la relaton de conjugason avec orgne au centre n n = n n Nous avons montré cette relaton dans un cas partculer, dans lequel les ponts et sont stués à gauce de et le doptre est concave. Une étude des autres stuatons montre qu elle est tout à fat générale..5 pplcatons Les doptres spérques jouent un rôle mportant en optque, car ls sont utlsés dans les lentlles, comme nous allons le vor dans le procan captre. On les rencontre auss dans d autres stuatons. Par exemple dans l œl, l nterface entre la cornée et l ar consttue un doptre spérque qu contrbue de façon mportante à la formaton des mages sur la rétne. La vergence de ce doptre est plus mportante que celle du crstalln, ce qu sgnfe que la dévaton des rayons lumneux dans l œl est prncpalement due à ce doptre spérque. Les tecnques crurgcales modernes de tratement de la myope altèrent la forme de ce doptre.

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