Q x2 = 1 2. est dans l ensemble plus grand des rationnels Q. Continuons ainsi, l équation x 2 = 1 2

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1 Exo7 Nombres complexes Vdéo parte. Les nombres complexes, défntons et opératons Vdéo parte. Racnes carrées, équaton du second degré Vdéo parte 3. Argument et trgonométre Vdéo parte 4. Nombres complexes et géométre Exercces Nombres complexes Préambule L équaton x + 5 = a ses coeffcents dans N mas pourtant sa soluton x = 3 n est pas un enter naturel. Il faut c consdérer l ensemble plus grand Z des enters relatfs. N x+5= Z x= 3 Q x = R x = C De même l équaton x = 3 a ses coeffcents dans Z mas sa soluton x = 3 est dans l ensemble plus grand des ratonnels Q. Contnuons ans, l équaton x = à coeffcents dans Q, a ses solutons x = +/ et x = / dans l ensemble des réels R. Ensute l équaton x = à ses coeffcents dans R et ses solutons x = + et x = dans l ensemble des nombres complexes C. Ce processus est-l sans fn? Non! Les nombres complexes sont en quelque sorte le bout de la chaîne car nous avons le théorème de d Alembert-Gauss suvant : «Pour n mporte quelle équaton polynomale a n x n + a n x n + + a x + a x + a 0 = 0 où les coeffcents a sont des complexes (ou ben des réels), alors les solutons x,..., x n sont dans l ensemble des nombres complexes». Outre la résoluton d équatons, les nombres complexes s applquent à la trgonométre, à la géométre (comme nous le verrons dans ce chaptre) mas auss à l électronque, à la mécanque quantque, etc.. Les nombres complexes.. Défnton

2 Défnton Un nombre complexe est un couple (a, b) R que l on notera a + b R b a + b 0 a R Cela revent à dentfer avec le vecteur (,0) de R, et avec le vecteur (0,). On note C l ensemble des nombres complexes. S b = 0, alors z = a est stué sur l axe des abscsses, que l on dentfe à R. Dans ce cas on dra que z est réel, et R apparaît comme un sous-ensemble de C, appelé axe réel. S b 0, z est dt magnare et s b 0 et a = 0, z est dt magnare pur... Opératons S z = a + b et z = a + b sont deux nombres complexes, alors on défnt les opératons suvantes : addton : (a + b) + (a + b ) = (a + a ) + (b + b ) R z + z z z 0 R multplcaton : (a + b) (a + b ) = (aa bb ) + (ab + ba ). C est la multplcaton usuelle avec la conventon suvante : =.3. Parte réelle et magnare Sot z = a + b un nombre complexe, sa parte réelle est le réel a et on la note Re(z) ; sa parte magnare est le réel b et on la note Im(z). R Im(z) z 0 Re(z) R

3 3 Par dentfcaton de C à R, l écrture z = Re(z) + Im(z) est unque : z = z Re(z) = Re(z ) et Im(z) = Im(z ) En partculer un nombre complexe est réel s et seulement s sa parte magnare est nulle. Un nombre complexe est nul s et et seulement s sa parte réelle et sa parte magnare sont nuls..4. Calculs Quelques défntons et calculs sur les nombres complexes. λz z 0 z L opposé de z = a + b est z = ( a) + ( b) = a b. La multplcaton par un scalare λ R : λ z = (λa) + (λb). L nverse : s z 0, l exste un unque z C tel que zz = (où = + 0). Pour la preuve et le calcul on écrt z = a + b pus on cherche z = a + b tel que zz =. Autrement dt (a + b)(a + b ) =. En développant et dentfant les partes réelles et magnares on obtent les équatons { aa bb = (L ) ab + ba = 0 (L ) En écrvant al + bl (on multple la lgne (L ) par a, la lgne (L ) par b et on addtonne) et bl + al on en dédut L nverse de z est donc { a ( a + b ) = a b ( a + b ) = b donc { a = b = a a +b b a +b z = z = a a + b + b a + b = a b a + b. La dvson : z z est le nombre complexe z z. Proprété d ntégrté : s zz = 0 alors z = 0 ou z = 0. Pussances : z = z z, z n = z z (n fos, n N). Par conventon z 0 = et z n = ( ) n z = z. n

4 4 Proposton Pour tout z C dfférent de + z + z + + z n = zn+ z. La preuve est smple : notons S = + z + z + + z n, alors en développant S ( z) presque tous les termes se télescopent et l on trouve S ( z) = z n+. Remarque Il n y pas d ordre naturel sur C, l ne faut donc jamas écrre z 0 ou z z..5. Conjugué, module Le conjugué de z = a + b est z = a b, autrement dt Re( z) = Re(z) et Im( z) = Im(z). Le pont z est le symétrque du pont z par rapport à l axe réel. Le module de z = a + b est le réel postf z = a + b. Comme z z = (a + b)(a b) = a + b alors le module vaut auss z = z z. z z = a + b 0 z b z 0 a Quelques formules : z + z = z + z, z = z, zz = zz z = z z R z = z z, z = z, zz = z z z = 0 z = 0 L négalté trangulare : z + z z + z

5 5 Exemple Dans un parallélogramme, la somme des carrés des dagonales égale la somme des carrés des côtés. S les longueurs des côtés sont notées L et l et les longueurs des dagonales sont D et d alors l s agt de montrer l égalté D + d = l + L. z + z z z L z + z l d z l D z z z z L 0 z Démonstraton Cela devent smple s l on consdère que notre parallélogramme a pour sommets 0, z, z et le derner sommet est donc z + z. La longueur du grand côté est c z, celle du pett côté est z. La longueur de la grande dagonale est z + z. Enfn l faut se convancre que la longueur de la pette dagonale est z z. D + d = z + z + z z = ( z + z ) (z + z ) + ( z z ) (z z ) = z z + zz + z z + z z + z z zz z z + z z = z z + z z = z + z = l + L Mn-exercces. Calculer +.. Écrre sous la forme a + b les nombres complexes ( + ), ( + ) 3, ( + ) 4, ( + ) En dédure + ( + ) + ( + ) + + ( + ) Sot z C tel que + z = z, montrer que z R. 5. Montrer que s Re z Re z et Im z Im z alors z z, mas que la récproque est fausse. 6. Montrer que / z = z/ z (pour z 0).. Racnes carrées, équaton du second degré.. Racnes carrées d un nombre complexe Pour z C, une racne carrée est un nombre complexe ω tel que ω = z. Par exemple s x R +, on connaît deux racnes carrées : x, x. Autre exemple : les racnes carrées de sont et.

6 6 Proposton Sot z un nombre complexe, alors z admet deux racnes carrées, ω et ω. Attenton! Contrarement au cas réel, l n y a pas de façon prvlégée de chosr une racne plutôt que l autre, donc pas de foncton racne. On ne dra donc jamas «sot ω la racne de z». S z 0 ces deux racnes carrées sont dstnctes. S z = 0 alors ω = 0 est une racne double. Pour z = a + b nous allons calculer ω et ω en foncton de a et b. Démonstraton Nous écrvons ω = x + y, nous cherchons x, y tels que ω = z. ω = z (x + y) = a + b { x y = a xy = b en dentfant partes réelles et partes magnares. Pette astuce c : nous rajoutons l équaton ω = z (qu se dédut ben sûr de ω = z) qu s écrt auss x + y = a + b. Nous obtenons des systèmes équvalents aux précédents : x y = a xy = b x + y = a + b x = a + b + a y = a + b a xy = b x = ± a + b + a y = ± a + b a xy = b Dscutons suvant le sgne du réel b. S b 0, x et y sont de même sgne ou nuls (car xy = b 0) donc ω = ± ( ) a + b + a + a + b a, et s b 0 ω = ± ( ) a + b + a a + b a. En partculer s b = 0 le résultat dépend du sgne de a, s a 0, a = a et par conséquent ω = ± a, tands que s a < 0, a = a et donc ω = ± a = ± a. Il n est pas nécessare d apprendre ces formules mas l est ndspensable de savor refare les calculs. Exemple Les racnes carrées de sont + ( + ) et ( + ). En effet : ω = (x + y) = { x y = 0 xy = Rajoutons la condtons ω = pour obtenr le système équvalent au précédent : x y = 0 xy = x + y = x = y = xy = x = ± y = ± xy =

7 7 Les réels x et y sont donc de même sgne, nous trouvons ben deux solutons : x + y = + ou x + y =.. Équaton du second degré Proposton 3 L équaton du second degré az + bz + c = 0, où a, b, c C et a 0, possède deux solutons z, z C éventuellement confondues. Sot = b 4ac le dscrmnant et δ C une racne carrée de. Alors les solutons sont z = b + δ a et z = b δ a. Et s = 0 alors la soluton z = z = z = b/a est unque (elle est dte double). S on s autorsat à écrre δ = pour le nombre complexe, on obtendrat la même formule que celle que vous connassez lorsque a, b, c sont réels. Exemple 3 z + z + = 0, = 3, δ = 3, les solutons sont z = ± 3. z + z + 4 = 0, =, δ = ± ( + ), les solutons sont z = ( + ) = ± 4 ( + ). On retrouve auss le résultat ben connu pour le cas des équatons à coeffcents réels : Corollare S les coeffcents a, b, c sont réels alors R et les solutons sont de tros types : s = 0, la racne double est réelle et vaut b a, s > 0, on a deux solutons réelles b ±, a s < 0, on a deux solutons complexes, mas non réelles, b ±. a Démonstraton On écrt la factorsaton ( az + bz + c = a z + b a z + c ) (( = a z + b ) b a a 4a + c ) a (( = a z + b ) ) (( a 4a = a z + b ) ) δ a 4a (( = a z + b ) δ )(( z + b ) + δ ) a a a a ( = a z b + δ )( z b δ ) = a(z z )(z z ) a a Donc le bnôme s annule s et seulement s z = z ou z = z.

8 8.3. Théorème fondamental de l algèbre Théorème. d Alembert Gauss Sot P(z) = a n z n + a n z n + + a z + a 0 un polynôme à coeffcents complexes et de degré n. Alors l équaton P(z) = 0 admet exactement n solutons complexes comptées avec leur multplcté. En d autres termes l exste des nombres complexes z,..., z n (dont certans sont éventuellement confondus) tels que P(z) = a n (z z )(z z ) (z z n ). Nous admettons ce théorème. Mn-exercces. Calculer les racnes carrées de, Résoudre les équatons : z + z = 0, z + ( 0 0)z = Résoudre l équaton z + ( )z, pus l équaton Z 4 + ( )Z. 4. Montrer que s P(z) = z + bz + c possède pour racnes z, z C alors z + z = b et z z = c. 5. Trouver les pares de nombres dont la somme vaut et le produt. 6. Sot P(z) = a n z n + a n z n + + a 0 avec a R pour tout. Montrer que s z est racne de P alors z auss. 3. Argument et trgonométre 3.. Argument S z = x + y est de module, alors x + y = z =. Par conséquent le pont (x, y) est sur le cercle unté du plan, et son abscsse x est notée cosθ, son ordonnée y est snθ, où θ est (une mesure de) l angle entre l axe réel et z. Plus généralement, s z 0, z/ z est de module, et cela amène à : Défnton Pour tout z C = C {0}, un nombre θ R tel que z = z (cosθ + snθ) est appelé un argument de z et noté θ = arg(z). R z z arg(z) 0 R Cet argument est défn modulo π. On peut mposer à cet argument d être unque s on rajoute la condton θ ] π,+π].

9 9 Remarque θ θ (mod π) k Z, θ = θ + kπ { cosθ = cosθ snθ = snθ Proposton 4 L argument satsfat les proprétés suvantes : arg ( zz ) arg(z) + arg ( z ) (mod π) arg(z n ) narg(z) (mod π) arg(/z) arg(z) (mod π) arg( z) arg z (mod π) Démonstraton zz = z (cosθ + snθ) z ( cosθ + snθ ) = zz ( cosθ cosθ snθ snθ + ( cosθ snθ + snθ cosθ )) = zz ( cos ( θ + θ ) + sn ( θ + θ )) donc arg ( zz ) arg(z) + arg ( z ) (mod π). On en dédut les deux autres proprétés, dont la deuxème par récurrence. 3.. Formule de Movre, notaton exponentelle La formule de Movre est : (cosθ + snθ) n = cos(nθ) + sn(nθ) Démonstraton Par récurrence, on montre que (cosθ + snθ) n = (cosθ + snθ) n (cosθ + snθ) = (cos((n )θ) + sn((n )θ)) (cosθ + snθ) = (cos((n )θ)cosθ sn((n )θ)snθ) +(cos((n )θ)snθ + sn((n )θ)cosθ) = cos nθ + sn nθ Nous défnssons la notaton exponentelle par e θ = cosθ + snθ et donc tout nombre complexe s écrt z = ρe θ où ρ = z est le module et θ = arg(z) est un argument.

10 0 Avec la notaton exponentelle, on peut écrre pour z = ρe θ et z = ρ e θ zz = ρρ e θ e θ = ρρ e (θ+θ ) z n = ( ρe θ) n = ρ n ( e θ) n = ρ n e nθ /z = / ( ρe θ) = ρ e θ z = ρe θ La formule de Movre se rédut à l égalté : ( e θ) n = e nθ. Et nous avons auss : ρe θ = ρ e θ (avec ρ,ρ > 0) s et seulement s ρ = ρ et θ θ (mod π) Racnes n-ème Défnton 3 Pour z C et n N, une racne n-ème est un nombre ω C tel que ω n = z. Proposton 5 Il y a n racnes n-èmes ω 0,ω,...,ω n de z = ρe θ, ce sont : ω k = ρ /n e θ+kπ n, k = 0,,..., n Démonstraton Écrvons z = ρe θ et cherchons ω sous la forme ω = re t tel que z = ω n. Nous obtenons donc ρe θ = ω n = ( re t ) n = r n e nt. Prenons tout d abord le module : ρ = ρe θ = r n e nt = r n et donc r = ρ /n (l s agt c de nombres réels). Pour les arguments nous avons e nt = e θ et donc nt θ (mod π) (n oublez surtout pas le modulo π!). Ans on résout nt = θ + kπ (pour k Z) et donc t = θ n + kπ n. Les solutons de l équaton ω n = z sont donc les ω k = ρ /n e θ+kπ n. Mas en fat l n y a que n solutons dstnctes car ω n = ω 0, ω n+ = ω,... Ans les n solutons sont ω 0,ω,...,ω n. Par exemple pour z =, on obtent les n racnes n-èmes de l unté e kπ/n, k = 0,..., n qu forment un groupe multplcatf. j = e π/3 e π/3 0 = e 0 = e π 0 j = e 4π/3 e π/3 Racne 3-ème de l unté (z =, n = 3) Racne 3-ème de (z =, n = 3) Les racnes 5-ème de l unté (z =, n = 5) forment un pentagone réguler :

11 e π/5 e 4π/5 0 e 6π/5 e 8π/ Applcatons à la trgonométre Voc les formules d Euler, pour θ R : cosθ = eθ + e θ, snθ = eθ e θ Ces formules s obtennent faclement en utlsant la défnton de la notaton exponentelle. Nous les applquons dans la sute à deux problèmes : le développement et la lnéarsaton. Développement. On exprme sn nθ ou cos nθ en foncton des pussances de cosθ et snθ. Méthode : on utlse la formule de Movre pour écrre cos(nθ) + sn(nθ) = (cosθ + snθ) n que l on développe avec la formule du bnôme de Newton. Exemple 4 cos3θ + sn3θ = (cosθ + snθ) 3 = cos 3 θ + 3cos θ snθ 3cosθ sn θ sn 3 θ = ( cos 3 θ 3cosθ sn θ ) + ( 3cos θ snθ sn 3 θ ) En dentfant les partes réelles et magnares, on dédut que cos3θ = cos 3 θ 3cosθ sn θ et sn3θ = 3cos θ snθ sn 3 θ. Lnéarsaton. On exprme cos n θ ou sn n θ en foncton des cos kθ et sn kθ pour k allant de 0 à n. ( ) Méthode : avec la formule d Euler on écrt sn n θ = e θ e n. θ On développe à l ade du bnôme de Newton pus on regroupe les termes par pares conjuguées. Exemple 5

12 ( e sn 3 θ e θ )3 θ = = ((e θ ) 3 3(e θ ) e θ + 3e θ (e θ ) (e θ ) 3) 8 = (e 3θ 3e θ + 3e θ e 3θ) 8 = ( e 3θ e 3θ 3 eθ e θ ) 4 = sn3θ + 3snθ Mn-exercces Mn-exercces. Mettre les nombres suvants sont la forme module-argument (avec la notaton exponentelle) :,,,, 3, +, 3, 3,, ( 3 ) 0xx où 0xx est l année en 3 cours.. Calculer les racnes 5-ème de. 3. Calculer les racnes carrées de 3 + de deux façons dfférentes. En dédure les valeurs de cos π et sn π. 4. Donner sans calcul la valeur de ω 0 + ω + + ω n, où les ω sont les racnes n-ème de. 5. Développer cos(4θ) ; lnéarser cos 4 θ ; calculer une prmtve de θ cos 4 θ. 4. Nombres complexes et géométre On assoce bjectvement à tout pont M du plan affne R de coordonnées (x, y), le nombre complexe z = x + y appelé son affxe. 4.. Équaton complexe d une drote Sot ax + by = c l équaton réelle d une drote D : a, b, c sont des nombres réels (a et b n étant pas tous les deux nuls) d nconnues (x, y) R. Écrvons z = x + y C, alors x = z + z, y = z z, donc D a auss pour équaton a(z + z) b(z z) = c ou encore (a b)z + (a + b) z = c. Posons ω = a + b C et k = c R alors l équaton complexe d une drote est : ωz + ω z = k où ω C et k R.

13 3 D C ω r Équaton complexe d un cercle Sot C (Ω, r) le cercle de centre Ω et de rayon r. C est l ensemble des ponts M tel que dst(ω, M) = r. S l on note ω l affxe de Ω et z l affxe de M. Nous obtenons : dst(ω, M) = r z ω = r z ω = r (z ω)(z ω) = r et en développant nous trouvons que l équaton complexe du cercle centré en un pont d affxe ω et de rayon r est : z z ωz ω z = r ω où ω C et r R Équaton z a z b = k Proposton 6 Sot A,B deux ponts du plan et k R +. L ensemble des ponts M tel que M A MB = k est une drote qu est la médatrce de [AB], s k =, un cercle, snon. Exemple 6 Prenons A le pont d affxe +,B le pont d affxe. Voc les fgures pour pluseurs valeurs de k. Par exemple pour k = le pont M dessné vérfe ben M A = MB.

14 4 M B A k = 3 k = 3 k = k = k = 4 3 k = k = 3 4 Démonstraton S les affxes de A,B, M sont respectvement a, b, z, cela revent à résoudre l équaton z a z b = k. z a z b = k z a = k z b (z a)(z a) = k (z b)(z b) ( k )z z z(ā k b) z(a k b) + a k b = 0 Donc s k =, on pose ω = a k b et l équaton obtenue z ω+ zω = a k b est ben celle d une drote. Et ben sûr l ensemble des ponts qu vérfent M A = MB est la médatrce de [AB]. S k on pose ω = a k b alors l équaton obtenue est z z z k ω zω = a +k b. C est l équaton d un cercle de centre k ω et de rayon r satsfasant r ω = a +k b, sot r = a k b + a +k b. k ( k ) k Ces calculs se refont au cas par cas, l n est pas nécessare d apprendre les formules. Mn-exercces. Calculer l équaton complexe de la drote passant par et.. Calculer l équaton complexe du cercle de centre + passant par. z 3. Calculer l équaton complexe des solutons de =, pus dessner les solutons. z z 4. Même queston avec z =. Auteurs Arnaud Bodn Benjamn Boutn Pascal Romon

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